# HGL₄(F₄) はハミルトン閉路を持つ — Orel の Open Problem 16 の n=4（肯定側）

**作成**：作業記録[^1]（2026-09-07）
**もとになった作業**：作業記録（作業便[^2]・閉路の発見）、作業記録（作業便・独立検証と証明書）
**位置づけ**：**検分依頼のための文書であり、記録更新の宣言ではない。「世界初」を主張しない。**
この文書は新しい探索をしていない。数値はすべて `verify_hgl4.py` の一回の実行
（`verify_hgl4.out`、2026-09-07、1.4 秒）から写した。
**帳簿[^3]上は検分により 記録番号[^4] として採番されている**が、記録番号 は「閉路が独立検証済みの証明書になった」
という帳簿内の事実であって、文献上の先取権の主張ではない（§7.2）。
**外部に報告するかどうか、するとしてどう書くかは、運営者（運営者）の判断である。**

> **English summary is in §8.**

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## 1. 主張

### 1.1 主張（一行）

> **グラフ HGL₄(F₄)（38,080 頂点・45 正則）はハミルトン閉路を持つ。**
> 証拠は `hgl4_cycle.txt` の 38,080 行であり、
> 検査は標準ライブラリだけの Python 一本（`verify_hgl4.py`）で **1.4 秒**で終わる。

### 1.2 主張しないこと（先に書く）

- **「Orel より良い」ではない。** Orel は Concorde TSP ソルバで 280・448・13,888 頂点の三つの場合に
  閉路を見つけ、一般の場合を未解決問題として残した。こちらは Pósa の回転＋拡張という**発見的手法**であり、
  発見的手法は肯定側にしか使えない。同じ道具で「無い」は言えない。
- **一般の n の構成法は与えていない。** Open Problem 16 の後半
  （"is there a general way, valid for each n, to construct it?"）には触れていない。
- **SGLₙ(F₂) の側には何も足していない。** 未決の最小は SGL₆(F₂)（888,832 頂点）で、
  作業記録の実測では閉じていない（§7）。
- **頂点推移性は Orel Prop. 12 に依った。** 本検証器が独立に確かめたのは
  「無作為 100 頂点の次数が 45 で一定」までである。
- **「世界初」とは書かない。** 書けるのは「**本帳簿の探索範囲では既知の文献が見当たらない**」
  までである。探索した範囲と検索語、および**行っていない探索**は §7.2 に列挙した。
  **報告可否は運営者（運営者）の判断であり、本文書は判断しない。**

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## 2. 定義（版面の逐語）

Orel, *On generalizations of the Petersen graph and the Coxeter graph*,
**Electronic Journal of Combinatorics 22(4) (2015), #P4.27**
（Submitted: Sep 27, 2013; Accepted: Nov 4, 2015; Published: Nov 13, 2015。
MSC 2010: 05C50, 15B33, 15B57）。

### 2.1 グラフの定義（版面 p.4 相当・逐語）

> Let
> H_n(F₄), HGL_n(F₄), S_n(F₂), SGL_n(F₂)　　(2)
> denote, in the same order, the sets of all hermitian n × n matrices over F₄, invertible
> hermitian n × n matrices over F₄, symmetric n × n matrices over F₂, and invertible
> symmetric n × n matrices over F₂. Each of these four sets is a vertex set of a graph, where
> {A, B} is an edge if and only if rk(A − B) = 1.　　(3)
> We slightly abuse the notation and denote these graphs with the same symbols (2).

続けて（同じ段落）：

> Graphs HGL₂(F₄) and SGL₃(F₂) are the Petersen and the Coxeter graph, respectively,
> as it can be seen in Figures 1 and 2.

**⟹ HGL₄(F₄) はペテルセングラフの第三段目である**（n = 2, 3, 4 で 10, 280, 38,080 頂点）。

### 2.2 Open Problem 16（版面 p.14 相当・逐語）

> There are only five known connected vertex-transitive graphs without a Hamilton
> cycle: the complete graph on two vertices, the Petersen graph, the Coxeter graph, and
> two graphs derived from the Petersen and Coxeter graphs by replacing each vertex with
> a triangle (see the survey paper [9] and the references therein). It is believed by many
> mathematicians that no other exist. Since the graphs HGL_n(F₄) and SGL_{2n−1}(F₂) are
> vertex-transitive by Proposition 12 and they generalize the Petersen and the Coxeter
> graph in a natural way, it seems worthwhile to check if these graphs have a Hamilton cycle.
> Unfortunately we did not succeed in this task. With an application of the Concorde TSP
> Solver [5] we were able to find a Hamilton cycle in HGL₃(F₄), SGL₄(F₂), and SGL₅(F₂),
> which are graphs on 280, 448, and 13888 vertices, respectively. We state the general case,
> which include non-vertex-transitive graphs SGL_{2n}(F₂), as an open problem.
>
> **Open Problem 16.** Do graphs HGL_n(F₄) and SGL_n(F₂) contain a Hamilton cycle? If
> the answer is positive, is there a general way, valid for each n, to construct it?

**⟹ Orel の族は HGLₙ(F₄) と SGLₙ(F₂) の二つだけである**（作業便の自己訂正 N61-1[^5]）。
HGL は「エルミート」の定義に F₄/F₂ の対合 x ↦ x² を要するので、**F₂ 上に HGL は無い**。

### 2.3 基数と次数（版面の公式）

基数（版面 p.11 相当。[20, Corollary 5.32]・[2, Theorem 9.5.7] による）：

> |HGL_n(F₄)| = Π_{j=0}^{n−1} (2^{2n} − 2^{2j}) / (2^{j} (2^{j+1} + (−1)^j))
>             = 2^{n(n−1)/2} Π_{j=1}^{n} (2^j + (−1)^j)

- n=2 → 2 · 1 · 5 = **10**（ペテルセン）
- n=3 → 8 · 1 · 5 · 7 = **280**
- **n=4 → 64 · 1 · 5 · 7 · 17 = 38,080**

次数（**Proposition 12**、逐語）：

> **Proposition 12.** Let n ≥ 2. Graph HGL_n(F₄) is arc-transitive of degree
> (2ⁿ − (−1)ⁿ)(2^{n−1} − (−1)^{n−1}) / 3.　　(23)
> If n is odd, then SGL_n(F₂) is arc-transitive. If n is even, then SGL_n(F₂) is not vertex-transitive.

- n=4 → 15 · 9 / 3 = **45**

**検証器の総当たりはこの二つを独立に再現する**（§5 の [2] と [6]）。

（版面の OCR は 作業ディレクトリの OCR テキスト、PDF は同じ場所の `orel_ejc22.pdf`。
上の逐語は OCR から写し、数式記号（⋆・†・≥・−）を版面の意味に直したものである。
書き換えたのは記号の字形だけで、語順・語句は変えていない。）

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## 3. 構成法（どうやって閉路を見つけたか）

**作業記録（作業便）**。Concorde も SAT ソルバも使わない。

1. **符号化**：エルミート行列全体 H₄(F₄) は加法群である。対角 4 成分は F₂（各 1 ビット）、
   対角外の 6 組は F₄（各 2 ビット）で、合計 16 ビット。
   `|H₄(F₄)| = 2⁴ · 4⁶ = 65,536 = 2¹⁶`。**加法は符号のビット XOR そのもの。**
2. **近傍**：隣接は差の階数だけで決まるので、階数 1 のエルミート行列の集合 `S`（|S| = 85）を
   一度作れば、頂点 `v` の近傍は `v XOR S` を可逆性で濾すだけで出る（隣接表を持たない）。
   すなわち **HGL₄(F₄) は H₄(F₄) 上のケイリーグラフの、可逆頂点への誘導部分グラフ**である。
3. **探索**：Pósa の回転（rotation）＋拡張（extension）。路の端から伸ばせなくなったら
   端の近傍を選んで路を反転する。閉路化は路が全頂点を覆ったあとで両端の隣接を見る。
   38,080 頂点・価数 45 では **0.8 秒**で閉路に達した。

**この探索の再現性について**：Pósa は無作為化を含むので、同じ閉路が再び出るとは限らない。
**再現すべきは閉路そのものではなく「閉路が存在すること」**であり、そのために納品するのが
`hgl4_cycle.txt` と `verify_hgl4.py` である。別の閉路が見つかったときに
同じものかどうかを判定できるよう、**回転・反転に依らない正規化ハッシュ**を §6 に置く。

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## 4. 納品物

| ファイル | 中身 | 大きさ |
|---|---|---|
| **`hgl4_cycle.txt`** | 閉路そのもの。**一行＝一頂点＝ 4×4 のエルミート行列を行優先で 16 個の F₄ の元として並べたもの**（4 個ずつ空白で区切る＝各群が一行）。F₄ = {0,1,2,3} = {0, 1, x, x+1}、x² = x+1 | 38,085 行（うち註 5 行）／762,110 バイト |
| **`verify_hgl4.py`** | 独立検証器。**依存は Python 3 の標準ライブラリのみ**（numpy 不要）。読むのは `hgl4_cycle.txt` ただ一つ | 252 行 |
| `verify_hgl4.out` | 上の実行結果（2026-09-07、1.4 秒） | — |
| `hgl4_cycle.npy` | 元の 16 ビット符号の列（作業記録 が保存したもの。参考） | 152,448 バイト |
| `n924_dump.py` | `.npy` → `.txt` の変換（納品物を作る道具であって検証器ではない） | — |

**使い方**：

```bash
python3 verify_hgl4.py hgl4_cycle.txt      # 引数を省くと同名を読む
# 終了コード 0 が合格、1 が不合格
```

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## 5. 検証の手順（`verify_hgl4.py` が何をするか）

検査するのは**二つだけ**である。この二つで主張は尽きる。

> **(i)** ファイルの 38,080 行は相異なり、可逆エルミート 4×4 行列の全体 HGL₄(F₄) を
> **ちょうど尽くす**。
> **(ii)** 巡回して隣り合う二行の差は**すべて階数 1** である。

### 5.1 判定法を他の実装と別経路にしてある

前便までの実装（`lovasz896.py`＝掃き出し、`lovasz896v.py`＝2×2 小行列式、
`r909_verify.py`＝numpy 版）を **import も exec もしない**。違いは四点：

| | 作業記録 の二本 | `verify_hgl4.py` |
|---|---|---|
| F₄ の乗法 | carry-less 乗算／多項式の式 | **手で書いた 4×4 の乗積表**（結合律・分配律・可換性・逆元を総当たりで検査してから使う） |
| 可逆性 | 掃き出し／2×2 小行列式 | **ライプニッツ展開**（S₄ の 24 個の置換。標数 2 なので符号なし） |
| 隣接 | 階数を測る | **階数を測らない**——差 D が外積の集合 S に属するかで判定 |
| 差の計算 | 符号の XOR | **行列に復号してから成分ごとに引く** |
| 入力 | `.npy`（numpy 依存） | **`.txt`（行列そのもの）** |

**隣接判定の論理（ここが要）**：
`S := { x x* : x ∈ F₄⁴, x ≠ 0 }` と置く（`x x*` の (i,j) 成分は `x_i · conj(x_j)`）。
`D = x x*`（x ≠ 0）ならば D の列はすべて x の倍元だから `rk(D) = 1`。
すなわち **`D ∈ S` は `rk(D) = 1` の十分条件**であり、辺の証明にはこれで足りる。
逆向き（「階数 1 のエルミート行列はすべて `x x*` の形」）は**使っていない**。
S の各元が非零で全 2×2 小行列式 0 であることは総当たりで確かめる。

### 5.2 実行結果（`verify_hgl4.out` 逐語）

```
[0] 入力 hgl4_cycle.txt : 38080 行
[1] エルミートである行 = 38080 / 38080
[1] 可逆である行（ライプニッツ展開） = 38080 / 38080
[2] |H_4(F_4)| = 65536   (= 2^4 · 4^6)
[2] |HGL_4(F_4)| = 38080   (Orel 2015 の公式 ... は n=4 で 64·1·5·7·17 = 38080)
[3] 行数 = |HGL_4(F_4)| : True
[3] 全行が相異なる      : True
[3] 行の集合 = HGL_4(F_4) : True
[4] 外積 x x^* の相異なる値 |S| = 85   (= (4^4-1)/(4-1) = 85)
[4] S の元で「非零かつ全 2x2 小行列式 0」を破るもの = 0 個  ⇒ S の元の階数はちょうど 1
[5] 閉路の辺の総数（末尾→先頭を含む） = 38080
[5] 差 D = A − B が外積 x x^* の形でない辺 = 0 本
[5] 使われた階数 1 の元の種類 = 85 / 85
[6] 無作為 100 頂点の次数の集合 = [45]   (Orel Prop.12: 15·9/3 = 45)

[判定] **合格**  頂点 38080 / 行 38080 / 相異なる True / 集合一致 True / 悪い辺 0
所要 1.4 秒
```

**版面との照合**：`|HGL₄(F₄)| = 38,080` と次数 45 はどちらも §2.3 の公式と一致する。
検証器はこの二つを版面から取らず、**総当たりで独立に出している**。

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## 6. コードの所在とハッシュ

すべて 作業ディレクトリ にある。

| 対象 | sha256 |
|---|---|
| `verify_hgl4.py` | `95e7ae549f99e4608738cf8e3701165b8e8507105bb9e7dbccb19461be01e2c6` |
| `hgl4_cycle.txt` | `b58c5d60ddb35c224cf709b800e76c9a7ac59f79a8671e9e8bee70260700149a` |
| `n924_dump.py` | `d51f81e7ba12a53e6e8bab5e236c5253ee1a561f35f0e5aa8688a032d5e46944` |
| `hgl4_cycle.npy`（参考） | `34ddeeb27bd2aad54d082b69a7a8779713eaf3f8e1b986e59dfded868cc34d57` |

**閉路そのものの三つのハッシュ**（`verify_hgl4.py` が出力する）：

| 対象 | sha256 |
|---|---|
| `hgl4_cycle.txt` のバイト列 | `b58c5d60ddb35c224cf709b800e76c9a7ac59f79a8671e9e8bee70260700149a` |
| 16 ビット符号のコンマ区切り十進（保存順） | `3c00b73d19892e60c2634fbc4c205c4e1e93580c6273eaac3074cee850140096` |
| **回転・反転で正規化した符号列** | **`eb408f47d628aa3293b55b1a961853d62ee76dd947d8557a5e956d04dd117790`** |

正規化は「最小の符号を先頭に置き、二番目の要素が小さくなる向きに取る」。
**閉路そのものが同じであれば、保存の向き・開始点に依らずこの値が一致する。**
第三者が別に閉路を見つけたとき、同じものかどうかはこの一行で判定できる。

**校正**：後の二つは作業記録の独立検証器（numpy 版・`.npy` を読む）が出した値と
**桁まで一致する**。すなわち `.npy` → `.txt` の変換（`n924_dump.py`）は情報を失っていない。

**16 ビット符号の約束**（`.txt` を符号に戻すための規約であって、検証の中身ではない）：

- bit `i`（i = 0..3）：対角成分 `A[i][i] ∈ F₂`
- bit `4+2k`, `4+2k+1`（k = 0..5、`PAIRS = [(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)]`）：
  `A[PAIRS[k]] ∈ F₄`（下位ビットが先）
- `A[j][i]` は `conj(A[i][j])` で決まる

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## 7. 既知との関係

### 7.1 Orel の表と、本文書が足す一行

| グラフ | 頂点数 | 頂点推移 | ハミルトン閉路 | 出所 |
|---|---|---|---|---|
| HGL₂(F₄) ＝ ペテルセン | 10 | ○ | **無い**（古典） | — |
| SGL₃(F₂) ＝ コクセター | 28 | ○ | **無い**（古典） | — |
| HGL₃(F₄) | 280 | ○ | **ある** | Orel 2015（Concorde） |
| SGL₄(F₂) | 448 | ×（n 偶数） | **ある** | Orel 2015（Concorde） |
| SGL₅(F₂) | 13,888 | ○ | **ある** | Orel 2015（Concorde） |
| **HGL₄(F₄)** | **38,080** | ○ | **ある** | **本文書（Pósa・作業記録／検証 作業記録・作業記録）** |
| SGL₆(F₂) | 888,832 | ×（n 偶数） | 未決（本文書の時点） | 作業記録 で 99.9637% まで（§7.3）。**その後、別の報告（SGL6-NOTE）で閉じた** |
| HGL₅(F₄) | 18,887,680 | ○ | 未決 | — |
| SGL₇(F₂) | 112,881,664 | ○ | 未決 | — |

**⟹ 本文書が足すのは、上の表の太字の一行だけである。**

### 7.2 既知性——**探索した範囲を先に書く**

**この文書は「世界初」とは書かない。**書けるのは次の一文だけである。

> **本帳簿の探索範囲では、HGL₄(F₄) のハミルトン性を印字した文献が見当たらない。**

その「探索範囲」を、検分が同じ手順を踏み直せる形で明示する。

**実際に行った探索（2026-09-07）**：一般のウェブ検索を、次の五つの検索語で。

1. `"Orel Open Problem 16"`
2. `"HGL_n(F_4) Hamilton cycle"`
3. `"Grassmann graph Hamiltonian"`
4. `"invertible hermitian matrices graph Hamiltonian"`
5. `"Petersen graph" "Coxeter graph" generalizations "Hamilton cycle"`

**当たった文献**：Orel 2015 自身と、同著者の隣接保存写像の二本（arXiv:1307.3482／1307.3484）のみ。
**Open Problem 16 を解いたと述べる文献は出てこなかった。**

**行った探索（作業記録・2026-09-08。作業便の検分が転記）**：

| 手段 | 結果 |
|---|---|
| **Orel 2015 の被引用一覧を全件当たる** | **実施。**OpenAlex（`W2172989702`・`cited_by_count` = 6）で **6 件全件**を題名と要旨まで読み、**ハミルトン性に触れるものは 0 件**。内訳は core／補プリズム 4 件・階数 1 非増加写像 1 件・グラフ準同型 1 件。うち **Orel–Višnjić, *Homomorphisms from the Coxeter graph*, Linear Algebra Appl. 2025** は同じ族 `Γ_n = SGL_n(F₂)` を 2025 年に扱いながら **Open Problem 16 には触れていない**。**Semantic Scholar は HTTP 429 で取得不可**（無認証・3 回再試行）、**Crossref は数（`is-referenced-by-count` = 3）のみ**で一覧は返らない。生の応答は 作業ディレクトリの被引用の控え、読み出しは 探索の出力。**検分が保存済み JSON を別実装で数え直して 6 件・Hamilton 0 件・DOI 10.37236/3759・被引用数 3 を再現した**（検分の台本／`.out`） |

**⟹ この一行は「見当たらない」の質を一段上げる**——族の当事者が同じ族の論文を 2025 年に出していて、
そこにハミルトン性の決着が書かれていない。**それでも「世界初」とは書かない。**
**なお、被引用が 6 件と少ないこと自体は難しさの証拠ではない**（壁19[^6] の裏面：無名さと難しさは別である）。
**取れたのは要旨までであって本文ではない。**本文の中で一行触れている可能性は消えていない。

**行っていない探索（＝この主張の穴。ここを埋めるのが検分の仕事である）**：

| 手段 | 状況 |
|---|---|
| **MathSciNet**（Mathematical Reviews） | **当たる手段がこの環境に無い**（購読が要る） |
| **Zentralblatt MATH** | 同上 |
| **arXiv の全文検索**（`math.CO` を "HGL" / "hermitian" × "Hamilton" で通す） | **未実施**。上の 1–5 は一般のウェブ検索であって、arXiv の全文索引を直接引いてはいない（**作業記録 は arXiv の API 索引＝題名・要旨・著者を 7 クエリで通し、`SGL_n`／`HGL_n` の当たりは arXiv:2404.17067 一本のみ・Hamilton の語なし。全文索引ではないので、この行はそのまま残す**） |
| **EJC 以後の関連号・会議録の目次走査** | **未実施** |
| 非英語文献 | **未実施** |

⟹ **したがって「無い」ではなく「見当たらない」と書く**（壁19 の裏面）。
**残る穴は MathSciNet／zbMATH／arXiv の全文検索／会議録などの目次走査／非英語文献である。**

**報告可否は運営者（運営者）の判断である。**この文書を外部に出すか、
出すとしてどの範囲で出すかは、本便も本帳簿も決めない。

（帳簿上の位置：検分により **記録番号** として採番された。記録番号 は
「HGL₄(F₄) の閉路が独立検証済みの証明書になった」という帳簿内の事実であって、
文献上の先取権の主張ではない。）

### 7.3 次の未決点

**SGL₆(F₂)（888,832 頂点）**は Orel の族の中で**非頂点推移**な側の最小の未決点である
（n が偶数のとき SGLₙ(F₂) は正則ですらない——非交代行列の次数 31、交代行列の次数 63）。
作業記録（別の機体・Pósa の回転＋拡張・**探索 998 秒**）の実測は
**到達率 99.9637%（888,509 / 888,832。取り残し 323 頂点）で、閉じていない**。
（本文書の後、設計を替えた探索で閉じた。閉路と検証はもう一つの報告 SGL6-NOTE にある。）
取り残された 323 頂点は**全部が非交代（次数 31）**で、交代行列（次数 63・全体の 1.5625%）は
一つも残らず、**323 個のうち 317 個は互いに隣接しない**。
**費用は手続きの性質である**（作業記録・壁候補 K59-W1[^7]）ので、
「SGL₆(F₂) は難しい」ではなく「この Pósa 実装（路を反転する表現）ではこの予算に入らない」と書く。

---

## 8. English summary

**Claim.** The graph HGL₄(F₄) — vertices: the 38,080 invertible Hermitian 4×4 matrices
over F₄; edges: {A,B} with rk(A−B)=1 — **has a Hamilton cycle.**
This is the case n=4 of the first family in Orel's Open Problem 16
(*Electron. J. Combin.* **22**(4) (2015), #P4.27), which Orel left open; with the
Concorde TSP Solver he found Hamilton cycles in the smaller cases HGL₃(F₄), SGL₄(F₂) and SGL₅(F₂).

**Certificate.** `hgl4_cycle.txt`: 38,080 lines, one per vertex, each line the 4×4
Hermitian matrix written row-major as 16 elements of F₄ = {0,1,2,3} = {0, 1, x, x+1},
x² = x+1, in four space-separated groups of four.

**Verifier.** `verify_hgl4.py` — **Python 3 standard library only**, reads only that text
file, runs in **1.4 seconds**. It checks exactly two things:
(i) the 38,080 lines are distinct and exhaust the set of invertible Hermitian matrices;
(ii) all 38,080 cyclic differences have rank 1.
Independence: F₄ multiplication from a hand-written table (verified against the field
axioms), invertibility by **Leibniz expansion** over S₄ (no elimination, no minors),
adjacency by membership of the difference in S = {x x* : x ≠ 0} (**no rank computation**;
D ∈ S ⟹ rk D = 1 is used, the converse is not), differences by componentwise subtraction
of decoded matrices.

**Canonical hash** (rotation- and reflection-invariant, so a third party who finds another
cycle can tell whether it is the same one):
`eb408f47d628aa3293b55b1a961853d62ee76dd947d8557a5e956d04dd117790`.

**What is not claimed.** This is a heuristic search (Pósa rotation–extension), so it can
only settle the positive side; it is not "better than Concorde". No general construction
for arbitrary n is given. Nothing is added on the SGL_n(F₂) side.

**Priority is explicitly not claimed.** We do **not** say this is new. What we can say is:
*within the search we actually performed, we found no printed source giving a Hamilton
cycle in HGL₄(F₄).* That search was a general web search on 2026-09-07 with five queries
("Orel Open Problem 16"; "HGL_n(F_4) Hamilton cycle"; "Grassmann graph Hamiltonian";
"invertible hermitian matrices graph Hamiltonian"; "Petersen graph" "Coxeter graph"
generalizations "Hamilton cycle"), which returned only Orel 2015 itself and two papers by
the same author (arXiv:1307.3482, arXiv:1307.3484). We **did** go through the complete
citation list of Orel 2015 (6 works on OpenAlex, read down to title and abstract; none of
them touches Hamiltonicity). We did **not** query MathSciNet or zbMATH (no access), did
**not** run an arXiv full-text search, did **not** scan the tables of contents of related
issues and proceedings, and did **not** search non-English literature (§7.2).
Whether and how this note is circulated is the operator's decision, not ours.

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## 9. 残る前提

1. **頂点推移性・弧推移性は Orel Prop. 12 に依っている。**
   本検証器が独立に確かめたのは「無作為 100 頂点の次数が 45 で一定」までである。
   ただし**主張（ハミルトン閉路の存在）はこれに依らない**——
   §5 の (i)(ii) だけで閉路であることが従う。
2. **`.npy` → `.txt` の変換は本便が書いた。**校正はハッシュ二つの一致で取れているが、
   変換器と検証器は同じ書き手（作業便）である。**共通の概念的な誤解は潰せない。**
   ——ただし符号化の規約は §6 に印字してあるので、第三者は `.txt` だけを見て
   検証器の中身を読み直せる。
3. **版面の逐語は OCR から写した**（作業ディレクトリの OCR テキスト）。
   数式記号は版面の意味に直した。PDF（`orel_ejc22.pdf`）は同じ場所にあるので、
   検分では PDF の該当ページと突き合わせていただきたい。
4. **第三者の検分を経ていない。**運営者・他の系列・外部いずれも未了。
5. **既知性の根拠は §7.2 に列挙した探索の範囲に限られる。**行ったのは五つの検索語による
   一般のウェブ検索と、Orel 2015 の被引用一覧の全件（6 件。題名と要旨まで。ハミルトン性に
   触れるものは無い）である。**MathSciNet・zbMATH は当たれず、arXiv の全文検索・会議録などの
   目次走査・非英語文献は未実施。**被引用一覧について取れたのも要旨までであって本文ではない。
   したがって本文書は「世界初」を主張しない。主張するのは
   「**本帳簿の探索範囲では見当たらない**」までである。
   **この一点が、本文書のいちばん弱いところである。**
6. **報告可否は運営者（運営者）の判断である。**外部に出すか、出すとして
   どの範囲でどう書くかは、本便も本帳簿も決めない。

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## 10. 帰属表

| 何を | 誰が | いつ・どこに |
|---|---|---|
| グラフ HGLₙ(F₄) の定義、基数の公式、次数の公式（Prop. 12）、Open Problem 16 | **Marko Orel** | *On generalizations of the Petersen graph and the Coxeter graph*, **Electron. J. Combin. 22(4) (2015), #P4.27**（Published Nov 13, 2015） |
| HGL₃(F₄)・SGL₄(F₂)・SGL₅(F₂) のハミルトン閉路 | **Marko Orel**（Concorde TSP Solver [5] による） | 同上、p.14 相当 |
| 基数の公式のもとになった計数 | **[20, Corollary 5.32]**（Orel の引用）／[2, Theorem 9.5.7]（Brouwer–Cohen–Neumaier）／[6, Lemma 2.12] | Orel の参考文献表 |
| 次数の計数に使われたエルミート多様体の基数 | **[3, Theorem 8.1]**（Orel の引用） | 同上 |
| ハミルトン閉路の探索法（回転＋拡張） | **L. Pósa**（1976） | 古典 |
| 頂点推移グラフのハミルトン性の総覧（既知の 5 例外） | Orel の引用 **[9]**（survey） | 同上 |
| **HGL₄(F₄) の閉路そのもの** | **作業記録**（作業便、2026-09-07） | `hgl4_cycle.npy` |
| **独立検証器（numpy 版）と証明書** | 同 **作業記録**（作業便） | `r909_verify.py`／`r909_hgl4_certificate.md` |
| **標準ライブラリのみの検証器と納品形式・本文書** | 同 **作業記録**（作業便） | `verify_hgl4.py`／`hgl4_cycle.txt`／本文書 |
| 「族は HGLₙ(F₄) と SGLₙ(F₂) の二つだけ」の訂正 | 同 **作業記録**（自己訂正 N61-1） | 版面 Open Problem 16 |

**参考文献の番号**（[2][3][5][6][9][20]）は Orel 2015 の参考文献表のものであり、
本文書は**その表を写していない**。番号の指す文献を確かめるには版面に当たること。

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**註**——本文に付けた番号の印は、作業側の帳簿の内部の呼び名についての註である。本文の言い方はそのままにしてある。

[^1]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「作業記録」は作業のひと区切り分の記録。

[^2]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「作業便」は作業の区切りの単位。

[^3]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「帳簿」は作業記録を綴じたもの。

[^4]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「記録番号」（帳簿では ★ を冠して書く）は帳簿の採番であって、文献上の先取権とは関係がない。

[^5]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「N61-1」は検分で付いた指摘の札の番号。

[^6]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「壁 N」は作業側が自分に課している検分の規則の番号。壁19 は「探索で見つからないことを『無い』の証拠にしない——注目の少なさは難しさの証拠にならない」。

[^7]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「K59-W1」は検分で付いた指摘の札の番号で、規則（壁）の候補として立てられたもの。