# SGL₆(F₂) はハミルトン閉路を持つ — Orel の Open Problem 16 の n=6（非頂点推移の側・肯定側） **作成**：作業記録[^1]（2026-09-08） **もとになった作業**：作業記録（作業便[^2]・998 秒で 99.9637% まで）、 作業記録（作業便・**設計を替えて閉じた**・独立検証器）、本コマ（正規化ハッシュ・版面の照合・本文書） **位置づけ**：**検分依頼のための文書であり、記録更新の宣言ではない。「世界初」を主張しない。** **帳簿[^3]上は作業便の検分により 記録番号[^4] として採番されている**が、記録番号 は「閉路が独立検証済みの証明書になった」 という帳簿内の事実であって、文献上の先取権の主張ではない（§7.2）。 この文書は新しい探索をしていない。数値はすべて本コマの二回の実行 （`n960_canon.out` 2026-09-08 6.0 秒、`n960_verify_rerun.out` 同 35.5 秒）から写した。 **外部に報告するかどうか、するとしてどう書くかは、運営者（運営者）の判断である。** > **English summary is in §8.** --- ## 1. 主張 ### 1.1 主張（一行） > **グラフ SGL₆(F₂)（888,832 頂点・正則でない：次数 31 と 63）はハミルトン閉路を持つ。** > 証拠は `sgl6_cycle_mat.txt` の 888,832 行であり、 > 検査は標準ライブラリだけの Python 一本（`verify_sgl6.py`）で **35.5 秒**で終わる。 ### 1.2 主張しないこと（先に書く） - **「Orel より良い」ではない。** Orel は Concorde TSP ソルバで 280・448・13,888 頂点の三つの場合に 閉路を見つけ、一般の場合を未解決問題として残した。こちらは Pósa の回転＋拡張という**発見的手法**であり、 発見的手法は肯定側にしか使えない。同じ道具で「無い」は言えない。 - **一般の n の構成法は与えていない。** Open Problem 16 の後半 （"is there a general way, valid for each n, to construct it?"）には触れていない。 - **これは一つの n についてのデータ点である。** HGL₄(F₄)（記録番号・`HGL4-NOTE.md`）と合わせて Orel の二つの族にそれぞれ一つずつ肯定側の点が付いた、というだけである。 - **費用の比較は手続きの比較であって対象の比較ではない。** 作業記録 の無作為 Pósa は 998 秒で 99.9637% で止まり、作業記録 の**一手先読み**は その状態から 53.3 秒で閉じた。**「SGL₆ は易しい／難しい」とは書かない**（壁39[^5]）。 さらに **53.3 秒は「全部で 53.3 秒」ではない**——前に作業記録 の 998 秒がある（§9-3）。 - **正則性・頂点推移性の否定は Orel Prop. 12 に依った。** 本検証器が独立に確かめたのは「無作為 100 頂点の次数の集合が {31, 63}」までである。 - **「世界初」とは書かない。** 書けるのは「**本帳簿の探索範囲では既知の文献が見当たらない**」 までである。探索した範囲と検索語、および**行っていない探索**は §7.2 に列挙した。 --- ## 2. 定義（版面の逐語） Orel, *On generalizations of the Petersen graph and the Coxeter graph*, **Electronic Journal of Combinatorics 22(4) (2015), #P4.27** （Submitted: Sep 27, 2013; Accepted: Nov 4, 2015; Published: Nov 13, 2015。 MSC 2010: 05C50, 15B33, 15B57）。 ### 2.1 グラフの定義（版面 p.4 相当・逐語） > Let > H_n(F₄), HGL_n(F₄), S_n(F₂), SGL_n(F₂)　　(2) > denote, in the same order, the sets of all hermitian n × n matrices over F₄, invertible > hermitian n × n matrices over F₄, symmetric n × n matrices over F₂, and invertible > symmetric n × n matrices over F₂. Each of these four sets is a vertex set of a graph, where > {A, B} is an edge if and only if rk(A − B) = 1.　　(3) > We slightly abuse the notation and denote these graphs with the same symbols (2). 続けて（同じ段落）： > Graphs HGL₂(F₄) and SGL₃(F₂) are the Petersen and the Coxeter graph, respectively, > as it can be seen in Figures 1 and 2. **⟹ SGL₆(F₂) はコクセターグラフの第四段目である**（n = 3, 4, 5, 6 で 28, 448, 13,888, 888,832 頂点）。 標数 2 なので `rk(A − B) = rk(A + B)` であり、検証器はこちらを見る。 ### 2.2 Open Problem 16（版面 p.14 相当・逐語） > There are only five known connected vertex-transitive graphs without a Hamilton > cycle: the complete graph on two vertices, the Petersen graph, the Coxeter graph, and > two graphs derived from the Petersen and Coxeter graphs by replacing each vertex with > a triangle (see the survey paper [9] and the references therein). It is believed by many > mathematicians that no other exist. Since the graphs HGL_n(F₄) and SGL_{2n−1}(F₂) are > vertex-transitive by Proposition 12 and they generalize the Petersen and the Coxeter > graph in a natural way, it seems worthwhile to check if these graphs have a Hamilton cycle. > Unfortunately we did not succeed in this task. With an application of the Concorde TSP > Solver [5] we were able to find a Hamilton cycle in HGL₃(F₄), SGL₄(F₂), and SGL₅(F₂), > which are graphs on 280, 448, and 13888 vertices, respectively. **We state the general case, > which include non-vertex-transitive graphs SGL_{2n}(F₂), as an open problem.** > > **Open Problem 16.** Do graphs HGL_n(F₄) and SGL_n(F₂) contain a Hamilton cycle? If > the answer is positive, is there a general way, valid for each n, to construct it? **⟹ SGL₆(F₂) は「非頂点推移な側」の最小の未決点である。** 太字にした一文が、Orel が n 偶数の SGL を**わざわざ問題に含めた**箇所である。 版面には **「SGL₆(F₂)」という記号そのものは印字されていない**—— 印字されているのは一般の n の問いと、Concorde が落とせた三つ（280 / 448 / 13,888）だけである。 **n=6 が「未決」であることは、この二つの記述の差から出る**（Concorde が落とせた一覧に無い）。 この読み方は本文書のものであり、Orel が n=6 を名指しで未決と印字しているのではない。**ここを混ぜない。** ### 2.3 基数と次数（版面の公式） 基数（版面 p.11 相当。[2, Lemma 9.5.9] による）： > The cardinality of SGL_n(F₂) is computed in [2, Lemma 9.5.9], which tells that > |SGL_n(F₂)| = 2^{(n²−1)/4} Π_{j=1}^{(n+1)/2} (2^{2j−1} − 1)　　if n is odd, > |SGL_n(F₂)| = 2^{((n+1)²−1)/4} Π_{j=1}^{n/2} (2^{2j−1} − 1)　　if n is even. 同じ段落で交代行列の個数： > … precisely Π_{j=0}^{n/2−1} 2^{2j}(2^{n−2j−1} − 1)(2^{n−2j} − 1)/(2^{2j+2} − 1) > = 2^{((n−1)²−1)/4} Π_{j=1}^{n/2} (2^{2j−1} − 1) = |SGL_n(F₂)| / 2ⁿ > matrices in SGL_n(F₂) are alternate. 次数と推移性（**Proposition 12**、逐語）： > **Proposition 12.** Let n ≥ 2. Graph HGL_n(F₄) is arc-transitive of degree > (2ⁿ − (−1)ⁿ)(2^{n−1} − (−1)^{n−1}) / 3.　　(23) > **If n is odd, then SGL_n(F₂) is arc-transitive. If n is even, then SGL_n(F₂) is not > vertex-transitive.** It is not edge-transitive unless n = 2. **Nonalternate and alternate > matrices have vertex degree 2^{n−1} − 1 and 2ⁿ − 1, respectively.** （**上付きの読み方は Prop. 12 の証明の版面で確定した**——OCR は指数を落とすので、 Prop. 12 の一行だけでは `2^{n−1} − 1 and 2ⁿ − 1` と `2^{n−1} − 1 and 2^{n−1}` の区別が付かない。 証明の側に逐語で > If A ∈ SGL_n(F₂) is alternate, … any nonzero x generate a neighbor A + xxᵀ. > Hence **the degree of A equals 2ⁿ − 1**. For nonalternate A ∈ SGL_n(F₂) … the degree of A > equals … **= 2^{n−1} − 1**. とあるので、**交代が 2ⁿ − 1、非交代が 2^{n−1} − 1** である。n=6 では **63 と 31**。） **本コマが独立に打ち直した値**（`n960_canon.out` [1] 逐語。整数演算のみ）： ``` n=2: |SGL_n(F_2)| = 4 交代行列 = 1 n=3: |SGL_n(F_2)| = 28 n=4: |SGL_n(F_2)| = 448 交代行列 = 28 n=5: |SGL_n(F_2)| = 13,888 n=6: |SGL_n(F_2)| = 888,832 交代行列 = 13,888 n=7: |SGL_n(F_2)| = 112,881,664 n=8: |SGL_n(F_2)| = 28,897,705,984 交代行列 = 112,881,664 ``` - n=3 → **28**（コクセター）、n=4 → **448**、n=5 → **13,888** ——**Orel が版面に印字した三つと一致する。** - **n=6 → 888,832**、うち交代 **13,888**（＝ 888,832 / 2⁶）、非交代 **874,944**。 - 次数：非交代 2⁵ − 1 = **31**、交代 2⁶ − 1 = **63**。 **検証器の実測（無作為 100 頂点の次数の集合 = {31, 63}）と一致する**（§5.2 の [6]）。 交代行列の割合 13,888 / 888,832 = **1/64 = 1.5625%** も、版面の `|SGL_n(F₂)| / 2ⁿ` と一致する。 **検証器はこの基数を版面から取らず、2²¹ = 2,097,152 個の対称行列を総当たりで掃き出して 888,832 を独立に出している**（§5.2 の [2]）。 （版面の OCR は 作業ディレクトリの OCR テキスト、PDF は同じ場所の `orel_ejc22.pdf`。 上の逐語は OCR から写し、数式記号（≥ ・− ・上付き）を版面の意味に直したものである。 書き換えたのは記号の字形だけで、語順・語句は変えていない。） --- ## 3. 構成法（どうやって閉路を見つけたか） **作業記録（作業便）と作業記録（作業便）の二段**。Concorde も SAT ソルバも使わない。 1. **符号化**：対称行列全体 S₆(F₂) は F₂ 上のベクトル空間で、次元は 6·7/2 = **21**。 `|S₆(F₂)| = 2²¹ = 2,097,152`。**加法は符号のビット XOR そのもの。** 2. **近傍**：隣接は差の階数だけで決まるので、階数 1 の対称行列の集合 `S`（|S| = 2⁶ − 1 = **63**）を 一度作れば、頂点 `v` の近傍は `v XOR S` を可逆性で濾すだけで出る（隣接表を持たない）。 すなわち **SGL₆(F₂) は S₆(F₂) 上のケイリーグラフの、可逆頂点への誘導部分グラフ**である。 （グラフ全体はケイリーグラフでは**ない**——誘導が入るので。Orel も同じことを版面 p.14 で述べている。） 3. **第一段（作業記録・無作為 Pósa）**：端から伸ばせなくなったら端の近傍を無作為に選んで路を反転する。 **998 秒で到達率 99.9637%（888,509 / 888,832・取り残し 323）。閉じない。** 4. **第二段（作業記録・設計を替える）**：予算を増やすのではなく手続きを三つに分けて別々に測った。 | 設計 | 中身 | 入った頂点 | |---|---|---| | (i) 挿入 | v の隣接頂点のうち二つが路の上で隣り合っていれば、その間に v を挿す | **0 / 323** | | (ii) 二重交換 | v~p_i, v~p_j かつ p_{i+1}~p_{j+1} なら区間 [i+1,j] を反転して挿す | **0 / 323** | | **(iii) 端点の一手先読み回転** | 回転先の端点 p_{i+1} が**取り残しの近傍に入る**ものを選んで回す | **323 / 323** | Pósa の回転は「端点 e の路上の隣 p_i を選び、辺 (p_i, p_{i+1}) を切って (e, p_i) を足す」で、 **新しい端点は p_{i+1}** になる。**どの p_i を選ぶかを無作為でなく、 p_{i+1} が取り残しの近傍に入るように選ぶ**——一歩だけ先を読む。 端点の路上の隣は 31 個あり、取り残しの近傍は 323×31 ≈ 10⁴ 個なので、 一回の回転で当たる確率は 31 × (10⁴/888,832) ≈ 35%。取り残し一つあたり数回の回転で足りる。 **(iii) は 53.3 秒・回転 6,906 回で 323 個すべてを入れ、さらに 3.5 秒・439 回転で閉路にした。** | | 作業記録（無作為・998 秒） | 作業記録（一手先読み・53 秒） | |---|---|---| | 取り残し | 8,116 → 2,453 → 323 | **323 → 0** | | 回転 | 128,081 回 | **6,906 回** | | 反転した長さの総和 | 564.0 億 | **29.8 億**（**19 分の 1**） | **(i) と (ii) が効かないのは SGL₆ の性質ではなく数の問題である**—— 次数 31 の頂点の近傍が長さ 888,509 の路の上で隣り合う期待個数は 323 × 2·31·31/888,509 ≈ **0.70 個**、二重交換でも対は 465 通りで期待値 5 個どまりである。 **実測はどちらも 0 個で、この数え上げと整合する。** **この探索の再現性について**：Pósa は無作為化を含むので、同じ閉路が再び出るとは限らない。 **再現すべきは閉路そのものではなく「閉路が存在すること」**であり、そのために納品するのが `sgl6_cycle_mat.txt` と `verify_sgl6.py` である。別の閉路が見つかったときに 同じものかどうかを判定できるよう、**回転・反転に依らない正規化ハッシュ**を §6 に置く。 --- ## 4. 納品物 | ファイル | 中身 | 大きさ | |---|---|---| | **`sgl6_cycle_mat.txt`** | 閉路そのもの。**一行＝一頂点＝ 6×6 の F₂ 上の対称行列**を、行ごとに 6 桁の 0/1 で（6 個を空白区切りで）印字したもの | 888,832 行／37,330,944 バイト | | **`verify_sgl6.py`** | 独立検証器。**依存は Python 3 の標準ライブラリのみ**（numpy 不要）。読むのは `sgl6_cycle_mat.txt` ただ一つ | 154 行 | | `verify_sgl6.out`／`n960_verify_rerun.out` | 上の実行結果（作業便 36.8 秒／本コマ **35.5 秒**） | — | | `sgl6_cycle.txt` | 21 ビット符号の十進の列（保存順。参考。**検証器は読まない**） | 888,832 行／6,648,840 バイト | | `n960_canon.py`／`n960_canon.out` | 版面の閉じた式の打ち直し・正規化ハッシュ・二つのファイルが同じ列であることの照合 | — | | `n940_sgl6.py` | 探索器（別の機体・numpy 使用）。**検証器ではない** | 284 行 | **使い方**： ```bash python3 verify_sgl6.py sgl6_cycle_mat.txt # 引数を省くと同名を読む # 終了コード 0 が合格、1 が不合格 ``` --- ## 5. 検証の手順（`verify_sgl6.py` が何をするか） 検査するのは**二つだけ**である。この二つで主張は尽きる。 > **(i)** ファイルの 888,832 行は相異なり、可逆対称 6×6 行列の全体 SGL₆(F₂) を > **ちょうど尽くす**。 > **(ii)** 巡回して隣り合う二行の差は**すべて階数 1** である。 ### 5.1 判定法を探索器と別経路にしてある | | 探索器 `n940_sgl6.py` | 検証器 `verify_sgl6.py` | |---|---|---| | 機体 | **別の機体** | この機体 | | 依存 | numpy 2.3.5（配列で 2²¹ を一括掃き出し） | **標準ライブラリのみ** | | 入力 | 21 ビット符号（メモリ上） | **`.txt`（行列そのもの）** | | 母集団 | 同じく総当たり | **総当たりで作り直す**（Orel の公式を使わない） | | 隣接 | 符号の XOR が階数 1 の集合に入るか | **行列を復号し、A+B の階数を掃き出しで直接測る** | **隣接判定の論理（ここが要）**：検証器は「差が階数 1 の集合 S に属するか」ではなく **差 A + B の階数を掃き出しで測って 1 かどうかを見る**。 作業便の検分が作業記録（HGL₄ の初版）について指摘した「十分条件どまり」の穴 （`D ∈ S ⟹ rk D = 1` は使えるが逆が要る場合がある）は、**この形では最初から無い**。 そのうえで `{x xᵀ : x ≠ 0}` が階数 1 の対称行列全体と一致することも総当たりで確かめている（[4]）。 ### 5.2 実行結果（`n960_verify_rerun.out` 逐語。本コマが自分で走らせ直したもの） ``` [0] 入力 sgl6_cycle_mat.txt : 888832 行 (2.2s) [1] 対称である行 = 888832 / 888832 [1] 可逆である行（掃き出し） = 888832 / 888832 (8.3s) [2] |S_6(F_2)| = 2^21 = 2097152 [2] |SGL_6(F_2)| = 888832 (29.5s) [3] 行数 = |SGL_6(F_2)| : True [3] 全行が相異なる : True [3] 行の集合 = SGL_6(F_2) : True [4] 階数 1 の対称行列の個数 = 63 (2^6 − 1 = 63) [4] {x x^T : x ≠ 0} = 階数 1 の対称行列 : True [5] 閉路の辺の総数（末尾→先頭を含む） = 888832 [5] 差 A + B の階数が 1 でない辺 = 0 本 [5] 使われた階数 1 の元の種類 = 63 / 63 [6] 無作為 100 頂点の次数の集合 = [31, 63] （SGL_6 は正則でない） [判定] **合格** 頂点 888832 / 行 888832 / 相異なる True / 集合一致 True / 悪い辺 0 所要 35.5 秒 ``` **版面との照合**：`|SGL₆(F₂)| = 888,832` は §2.3 の公式と一致する（本コマが整数演算で打ち直した）。 次数 {31, 63} も版面 Prop. 12（非交代 2^{n−1} − 1、交代 2ⁿ − 1）と一致する。 **検証器はこの二つを版面から取らず、総当たりで独立に出している。** --- ## 6. コードの所在とハッシュ すべて 作業ディレクトリ にある（`n960_canon.out` [4] 逐語）。 | 対象 | sha256 | |---|---| | `sgl6_cycle_mat.txt` | `4b5e6be8839ad000d10427aed83a1522a73cd6cdac8cc52d19ad986bef6bb5ad` | | `sgl6_cycle.txt` | `77ead106f5e1ff1af2880429c1c0cead62c74bc26c876490b0f9ef5952619b6d` | | `verify_sgl6.py` | `31a1deb974ba6b866f6e7bf162d0d2901af92cf62518323d86722820e78a9b32` | | `n940_sgl6.py` | `89627471a6e9d2528b0414eea857a6e633f8b30e4bd3a733a74bafa0a6089437` | | `n960_canon.py` | `9e8724da7e9140e5a7fcdd6361ba00bdf854786233b5832404dc997842c2b641` | **閉路そのもののハッシュ**： | 対象 | sha256 | |---|---| | 21 ビット符号のコンマ区切り十進（保存順） | `529a55de313b353265b7a57706face085c25b7d3ab29b6bb2d68161c875aa076` | | **回転・反転で正規化した符号列** | **`c3e3aba6a601bf700d55d9995188a12131270907391d242ee8b5d051de77059e`** | 正規化は HGL4-NOTE §6 と同じ約束——「最小の符号（**4640**）を先頭に置き、 二番目の要素が小さくなる向きに取る」（本閉路では**保存順の逆向き**が選ばれた）。 **閉路そのものが同じであれば、保存の向き・開始点に依らずこの値が一致する。** 第三者が別に閉路を見つけたとき、同じものかどうかはこの一行で判定できる。 **校正**：`sgl6_cycle_mat.txt`（行列）と `sgl6_cycle.txt`（符号）を突き合わせ、 **888,832 行すべてで一致した**（`n960_canon.out` [3]。不一致 0 行）。 すなわち符号 → 行列の変換は情報を失っていない。 **ただし検証器が読むのは行列の側だけ**なので、**符号の規約を信じる必要は無い**—— 符号は正規化ハッシュのためだけに使う。 **21 ビット符号の約束**（`.txt` を符号に戻すための規約であって、検証の中身ではない）： - 対 `(i, j)`（0 ≤ i ≤ j ≤ 5）を辞書順に並べて 0..20 のビット番号を振る - そのビットが 1 のとき `A[i][j] = A[j][i] = 1` --- ## 7. 既知との関係 ### 7.1 Orel の表と、本文書が足す一行 | グラフ | 頂点数 | 頂点推移 | ハミルトン閉路 | 出所 | |---|---|---|---|---| | HGL₂(F₄) ＝ ペテルセン | 10 | ○ | **無い**（古典） | — | | SGL₃(F₂) ＝ コクセター | 28 | ○ | **無い**（古典） | — | | HGL₃(F₄) | 280 | ○ | **ある** | Orel 2015（Concorde） | | SGL₄(F₂) | 448 | ×（n 偶数） | **ある** | Orel 2015（Concorde） | | SGL₅(F₂) | 13,888 | ○ | **ある** | Orel 2015（Concorde） | | HGL₄(F₄) | 38,080 | ○ | **ある** | `HGL4-NOTE.md`（記録番号。Pósa・作業記録／検証 作業記録・作業記録） | | **SGL₆(F₂)** | **888,832** | **×（n 偶数）** | **ある** | **本文書（一手先読み Pósa・作業記録/作業記録／検証 作業記録・作業記録）** | | HGL₅(F₄) | 18,887,680 | ○ | 未決 | 作業記録（本便）で 1,038 秒・到達率 97.877%。**閉じていない** | | SGL₇(F₂) | 112,881,664 | ○ | 未決 | — | | HGL₆(F₄) | 39,286,374,400 | ○ | 未決 | — | | SGL₈(F₂) | 28,897,705,984 | ×（n 偶数） | 未決 | — | **⟹ 本文書が足すのは、上の表の太字の一行だけである。** Orel が「非頂点推移な側も含めて問う」と明記した SGL_{2n}(F₂) の側に、 **n=6 という一つの肯定側のデータ点が付いた**。 **一般の n（Orel の第二の問い）には何も答えていない。** Orel は同じ段落で、n 偶数の SGL の**非交代行列が張る誘導部分グラフ**にも触れている（逐語）： > Unlike the graph SGL_{2n}(F₂), its subgraph that is induced by nonalternating matrices > is vertex-transitive. So studying the hamiltonicity of these subgraphs seems meaningful > as well. We mention here just that in the case of 4 × 4 matrices we obtain a graph on 420 > vertices, which has a Hamilton cycle. **n=6 の場合のこの部分グラフは 874,944 頂点（= 888,832 − 13,888）であり、版面は触れていない。 本文書もそこには何も足していない**（本文書の閉路は全 888,832 頂点を通るものであって、 その部分グラフのハミルトン閉路を与えるものではない）。 ### 7.2 既知性——**探索した範囲を先に書く** **この文書は「世界初」とは書かない。**書けるのは次の一文だけである。 > **本帳簿の探索範囲では、SGL₆(F₂) のハミルトン性を印字した文献が見当たらない。** その「探索範囲」を、検分が同じ手順を踏み直せる形で明示する。 **実際に行った探索（2026-09-07、作業記録）**：一般のウェブ検索のみ。 `HGL4-NOTE.md` §7.2 の五つの検索語と同じ枠で、SGL 側の語を足したもの。 1. `"Orel Open Problem 16"` 2. `"SGL_n(F_2) Hamilton cycle"` 3. `"invertible symmetric matrices graph Hamiltonian"` 4. `"Coxeter graph" generalizations "Hamilton cycle"` 5. `"non-vertex-transitive" "Hamilton cycle" "symmetric matrices"` **当たった文献**：Orel 2015 自身と、同著者の隣接保存写像の二本（arXiv:1307.3482／1307.3484）のみ。 **Open Problem 16 を解いたと述べる文献は出てこなかった。** **行った探索（作業記録・2026-09-08。作業便の検分が転記）**： | 手段 | 結果 | |---|---| | **Orel 2015 の被引用一覧を全件当たる**（作業便から四便持ち越していた宿題） | **実施。**OpenAlex（`W2172989702`・`cited_by_count` = 6）で **6 件全件**を題名と要旨まで読み、**ハミルトン性に触れるものは 0 件**。内訳は core／補プリズム 4 件・階数 1 非増加写像 1 件・グラフ準同型 1 件。うち **Orel–Višnjić, *Homomorphisms from the Coxeter graph*, Linear Algebra Appl. 2025** は同じ族 `Γ_n = SGL_n(F₂)` を 2025 年に扱い、**n = 3 の準同型の分類を解決している**が、**Open Problem 16 には触れていない**。**Semantic Scholar は HTTP 429 で取得不可**（無認証・3 回再試行）、**Crossref は数（`is-referenced-by-count` = 3）のみ**で一覧は返らない。生の応答は 作業ディレクトリの被引用の控え、読み出しは 探索の出力。**検分が保存済み JSON を別実装で数え直して 6 件・Hamilton 0 件・DOI 10.37236/3759・被引用数 3 を再現した**（検分の台本／`.out`） | **⟹ この一行は「見当たらない」の質を一段上げる**——族の当事者が同じ族の論文を 2025 年に出していて、 そこにハミルトン性の決着が書かれていない。**それでも「世界初」とは書かない。** **なお、被引用が 6 件と少ないこと自体は難しさの証拠ではない**（壁19[^6] の裏面：無名さと難しさは別である）。 **取れたのは要旨までであって本文ではない。** **行っていない探索（＝この主張の穴。ここを埋めるのが検分の仕事である）**： | 手段 | 状況 | |---|---| | **MathSciNet**（Mathematical Reviews） | **当たる手段がこの環境に無い**（購読が要る） | | **Zentralblatt MATH** | 同上 | | **arXiv の全文検索**（`math.CO` を "SGL" / "symmetric matrices" × "Hamilton"） | **未実施**（**作業記録 は arXiv の API 索引＝題名・要旨・著者を 7 クエリで通し、`SGL_n`／`HGL_n` の当たりは arXiv:2404.17067 一本のみ・Hamilton の語なし。全文索引ではないので、この行はそのまま残す**） | | **EJC 以後の関連号・会議録の目次走査** | **未実施** | | 非英語文献 | **未実施** | ⟹ **したがって「無い」ではなく「見当たらない」と書く**（壁19 の裏面）。 **残る穴は MathSciNet／zbMATH／arXiv の全文検索／会議録などの目次走査／非英語文献である。** **報告可否は運営者（運営者）の判断である。**この文書を外部に出すか、 出すとしてどの範囲で出すかは、本便も本帳簿も決めない。 （帳簿上の位置：作業便の検分により **記録番号** として採番された。記録番号 は 「SGL₆(F₂) の閉路が独立検証済みの証明書になった」という帳簿内の事実であって、 文献上の先取権の主張ではない。） ### 7.3 次の未決点 **HGL₅(F₄)（18,887,680 頂点・165 正則）**が、Orel の族の中で SGL₆(F₂) の**次に小さい未決点**である （次は SGL₇(F₂) の 112,881,664 で、6 倍大きい）。作業記録（本便）がここに一手先読み Pósa を当て、 **1,038 秒で到達率 97.877%（取り残し 401,078）で閉じなかった。** 律速は探索の難しさではなく**路を配列で持って反転する表現**である—— 最初の 345 秒は回転 1 回で 93.8% に達し、そこから先は一回の回転が路長の半分の反転を要するので、 限界速度が 51,400 頂点/秒から 289 頂点/秒まで落ちる。 ⟹ **次に替えるべきは路の表現（平衡二分木）であって、予算でも先読みの深さでもない。** --- ## 8. English summary **Claim.** The graph SGL₆(F₂) — vertices: the 888,832 invertible symmetric 6×6 matrices over F₂; edges: {A,B} with rk(A−B)=1 — **has a Hamilton cycle.** This is the case n=6 of the second family in Orel's Open Problem 16 (*Electron. J. Combin.* **22**(4) (2015), #P4.27). It sits on the side Orel singled out: for even n the graph SGL_n(F₂) is **not vertex-transitive** (not even regular; the non-alternate and alternate vertices have different degrees), and Orel writes that he states the general case "which include non-vertex-transitive graphs SGL_{2n}(F₂), as an open problem". With Concorde, Orel found Hamilton cycles for n = 4 and 5 (448 and 13,888 vertices); n = 6 was left open. **Certificate.** `sgl6_cycle_mat.txt`: 888,832 lines, one per vertex, each line the 6×6 symmetric matrix over F₂ written as six space-separated 6-digit 0/1 rows. **Verifier.** `verify_sgl6.py` — **Python 3 standard library only**, reads only that text file, runs in **35.5 seconds**. It checks exactly two things: (i) the 888,832 lines are distinct and exhaust the set of invertible symmetric matrices — the verifier rebuilds that set by sweeping all 2²¹ = 2,097,152 symmetric matrices and does **not** use Orel's cardinality formula, so the number 888,832 is reproduced independently; (ii) all 888,832 cyclic differences have rank exactly 1, measured by elimination on the decoded matrices (**not** by membership in a precomputed rank-one set). **How it was found.** Pósa rotation–extension. A run with uniformly random rotations reached 99.9637% (323 vertices left) in 998 s and stalled. Changing the *procedure* — not the budget — closed it: choosing the rotation so that the **new endpoint** lands in the neighbourhood of a missing vertex (**one-step lookahead**) inserted all 323 in 53.3 s with 6,906 rotations, and 439 more rotations closed the path into a cycle. Total reversal length dropped by a factor of 19. Plain insertion and double-exchange inserted **0** of the 323, in agreement with a counting estimate made in advance (expected 0.70 and ≤5). **Canonical hash** (rotation- and reflection-invariant, so a third party who finds another cycle can tell whether it is the same one): `c3e3aba6a601bf700d55d9995188a12131270907391d242ee8b5d051de77059e`. **What is not claimed.** This is a heuristic search, so it can only settle the positive side; it is not "better than Concorde". No general construction for arbitrary n is given. Nothing is claimed about the vertex-transitive subgraph induced by non-alternate matrices (874,944 vertices for n = 6), which Orel also mentions. **Priority is explicitly not claimed.** We do **not** say this is new. What we can say is: *within the search we actually performed, we found no printed source giving a Hamilton cycle in SGL₆(F₂).* That search was a general web search on 2026-09-07 (§7.2). We **did** go through the complete citation list of Orel 2015 (6 works on OpenAlex, read down to title and abstract; none of them touches Hamiltonicity). We did **not** query MathSciNet or zbMATH (no access), did **not** run an arXiv full-text search, did **not** scan the tables of contents of related issues and proceedings, and did **not** search non-English literature. Whether and how this note is circulated is the operator's decision, not ours. --- ## 9. 残る前提 1. **版面の逐語は OCR から写した**（作業ディレクトリの OCR テキスト）。**OCR は上付き・下付きを落とす。** 本文書はそのため Prop. 12 の次数の式を、**同じ論文の証明の側の文と突き合わせて** `2^{n−1} − 1`（非交代）と `2ⁿ − 1`（交代）と読んだ（§2.3 の註）。 n=6 での値 31 と 63 は検証器の実測と一致するが、 **PDF（`orel_ejc22.pdf`）の当該行と突き合わせるのは検分の仕事である。** **主張（ハミルトン閉路の存在）はこの読みに依らない**——§5 の (i)(ii) だけで閉路であることが従う。 2. **頂点推移でないことの否定形は Orel Prop. 12 に依っている。** 本検証器が独立に確かめたのは「無作為 100 頂点の次数の集合が {31, 63}」までである （正則でない ⟹ 頂点推移でない、はここから従う）。 3. **「53.3 秒」は「全部で 53.3 秒」ではない。** 作業記録 は作業記録 が 998 秒かけて作った 99.9637% の路から再開している。 **一手先読みを空の路から走らせたときの費用は測っていない**（作業便からの持ち越し）。 ⟹ **「19 分の 1」は取り残しを詰める段だけの比較である。** 4. **生成器と検証器は機体も実装も別だが、書き手は同じである。** 共通の概念的な誤解は潰せていない。 5. **既知性の根拠は §7.2 に挙げた探索の範囲に限られる。**行ったのは五つの検索語による 一般のウェブ検索と、Orel 2015 の被引用一覧の全件（6 件。題名と要旨まで。ハミルトン性に 触れるものは無い）である。**MathSciNet・zbMATH は当たれず、arXiv の全文検索・会議録などの 目次走査・非英語文献は未実施。**被引用一覧について取れたのも要旨までであって本文ではない。 したがって本文書は「世界初」を主張しない。主張するのは 「**本帳簿の探索範囲では見当たらない**」までである。 **この一点が、本文書のいちばん弱いところである。** 6. **第三者の検分を経ていない。**運営者・他の系列・外部いずれも未了。 7. **報告可否は運営者（運営者）の判断である。** --- ## 10. 帰属表 | 何を | 誰が | いつ・どこに | |---|---|---| | グラフ SGLₙ(F₂) の定義、基数の公式、次数と推移性（Prop. 12）、Open Problem 16、n 偶数の SGL を問題に含める判断 | **Marko Orel** | *On generalizations of the Petersen graph and the Coxeter graph*, **Electron. J. Combin. 22(4) (2015), #P4.27**（Published Nov 13, 2015） | | HGL₃(F₄)・SGL₄(F₂)・SGL₅(F₂) のハミルトン閉路 | **Marko Orel**（Concorde TSP Solver [5] による） | 同上、p.14 相当 | | SGLₙ(F₂) の基数のもとになった計数 | **[2, Lemma 9.5.9]**（Brouwer–Cohen–Neumaier）／[20, Corollaries 3.31, 4.10]（Orel の引用） | Orel の参考文献表 | | 4×4 の非交代誘導部分グラフ（420 頂点）のハミルトン閉路 | **Marko Orel** | 同上、p.14 相当 | | ハミルトン閉路の探索法（回転＋拡張） | **L. Pósa**（1976） | 古典 | | 頂点推移グラフのハミルトン性の総覧（既知の 5 例外） | Orel の引用 **[9]**（survey） | 同上 | | **無作為 Pósa による 99.9637% までの路** | **作業記録**（作業便、2026-09-07、別の機体） | `sgl6_state.npz` | | **一手先読み回転という設計と、閉路そのもの** | 同 **作業記録**（作業便、2026-09-07、別の機体） | `n940_sgl6.py`／`sgl6_cycle_mat.txt` | | **標準ライブラリのみの検証器** | 同 **作業記録** | `verify_sgl6.py` | | **正規化ハッシュ・版面の閉じた式の打ち直し・本文書** | 同 **作業記録**（作業便、2026-09-08） | `n960_canon.py`／本文書 | **参考文献の番号**（[2][5][9][20]）は Orel 2015 の参考文献表のものであり、 本文書は**その表を写していない**。番号の指す文献を確かめるには版面に当たること。 --- **註**——本文に付けた番号の印は、作業側の帳簿の内部の呼び名についての註である。本文の言い方はそのままにしてある。 [^1]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「作業記録」は作業のひと区切り分の記録。 [^2]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「作業便」は作業の区切りの単位。 [^3]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「帳簿」は作業記録を綴じたもの。 [^4]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「記録番号」（帳簿では ★ を冠して書く）は帳簿の採番であって、文献上の先取権とは関係がない。 [^5]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「壁 N」は作業側が自分に課している検分の規則の番号。壁39 は「費用の比較を対象の比較と混ぜない」。 [^6]: 作業側の帳簿の内部の呼び名。「壁 N」は作業側が自分に課している検分の規則の番号。壁19 は「探索で見つからないことを『無い』の証拠にしない——注目の少なさは難しさの証拠にならない」。