2026-10-09 · article BSD予想p 進 L 関数岩澤主予想楕円曲線

p 進 BSD — 異常素点の L 関数の一つの係数から、階数と Ш の p 部分を曲線ごとに読む

BSD 予想（バーチ・スウィンナートン=ダイヤー予想）は、クレイ数学研究所が 2000 年に掲げた七つのミレニアム懸賞問題の一つです（公式の問題ページ）。楕円曲線の有理点の多さ（階数）と、テイト–シャファレヴィッチ群 Ш という測りにくい群の位数が、L 関数という解析的な量から読める、と予想します。この記事は、その p 進版——Mazur・Tate・Teitelbaum が 1986 年に定式化した予想——を、一つの奇素数 p の側から見た記録です。既知の定理を組み合わせると、ある仮定の下で、p 進 L 関数の係数を一つ計算するだけで、その曲線の階数と Ш の p 部分が決まる場合があります。その組み立てと、予想の数値での照合を並べます。BSD 予想そのものは、どの形でも扱っていません。

Lean機械検査済み（Lean 4 + mathlib、sorry 0・native_decide 不使用、公理は propext・Classical.choice・Quot.sound の部分集合。定理名を添える） 紙証明はあるが機械検査は未了 計算この端末で確かめた範囲。外に出す主張にはしない 既知既知の定理・言い換え・外の文献の確認

このページの曲線ごとの結論は、既知の定理の組み合わせに、計算した一つの係数を入力したものです。定理の言明と仮定は原論文で確かめましたが、組み合わせの全体は機械検査されていません。BSD 予想については何も主張しません。記事の間の約束（札の意味・「新しい」と呼ぶ基準）は 方法 にあります。

E/Q を楕円曲線、N をその導手、r = rank E(Q) とします。複素の BSD 予想は、L(E, s) の s = 1 での零の位数が r に等しく、主係数が

で与えられる、と予想します（cℓ は玉河数、Reg∞ は Néron–Tate の高さの行列式）。解析的階数が 0 か 1 の曲線では階数の部分は定理で、Ш が有限であることも分かっています。階数 2 以上では、Ш が有限であることすら一般には知られていません。既知

p 進版では、L 関数を p 進の側に置き換えます。p を良通常の素数（p ∤ N で ap が p 進単数）とし、α を x2 − apx + p の単数根とします。Mazur–Tate–Teitelbaum の p 進 L 関数を、1 + T = (1 + p)s の変数で

と書きます。予想（Stein–Wuthrich の形、Néron 周期で正規化）は、零の位数が r で、主係数が

となる、というものです。Regp は円分 p 進高さ対（Mazur–Tate の σ 関数で作るもの）の行列式です。予想は単数倍まででなく等式で、原典（Mazur–Tate–Teitelbaum 1986, II §10）でもそう書かれています。既知

この記事が見るのは 異常素点——ap ≡ 1 (mod p)（p ≥ 7 では #E(Fp) = p と同じ）——です。ここでは εp の付値がちょうど 2 になり、Regp は p 整とは限りません（負の付値を持ちえます）。Regp の付値が還元のどんな局所的な条件で決まるかは、論文の本体（§3）の主題です（論文の紹介）。この記事はその外側、L 関数の側を扱います。

階数 2・ap = 1・自明な捩れの曲線では、予想は割らずに書くと

という Qp の中の等式になります（Ω+ は PARI/GP の周期 E.omega[1]）。紙（予想の言明からの換算）

予想は予想のままですが、岩澤理論の二つの大きな定理——Kato の割り切り（2004）と Skinner–Urban の主予想（2014）——を組み合わせると、個々の曲線について、c2 を一つ計算するだけで結論が出る場合があります。手順の型は Stein–Wuthrich（Math. Comp. 2013）の算法 11.1 にあり、ここではそれを異常素点で使います。手順に新しいところはありません。既知

条件

曲線ごとの結論

(G)(I)(H)(P2)(T) の下で ap = 1 とする。計算した c2 が c2 ≢ 0 (mod p) なら、rank E(Q) = 2、Ш(E/Q)[p∞] = 0、p 進高さ対は非退化で、vp(Regp) = 0。
また (H) の下で ordT Lp = 2 なら

v_p(c₂) = Σ_ℓ v_p(c_ℓ) + v_p(#Ш(E/Q)[p^∞]) + v_p(Reg_p)

で、≥ の向きには Kato の割り切りだけで足りる。

既知（定理の組み合わせ。各定理の言明と仮定は原論文で確認）計算（c2 の値。浮動小数・区間演算なし）。

条件 (T) の p ∤ ∏cℓ は、vp(Regp) ≥ 0 を保証するために要ります。異常素点では高さを有限指数の部分群の上で作って線形に延ばすので、p | ∏cℓ なら Regp は負の付値を持ちえます（§05 に v3(Reg3) = −2 の箱があります）。そのとき c2 ≢ 0 でも vp(Regp) = 0 は従いません。紙（Mazur–Tate–Teitelbaum II §2・§4 の定義から）

対偶の側も使えます。E(Qp) に位数 p の点がある（分裂の）箱で、還元の二つの準同型 χ, γ の行列式が det(χ, γ) ≡ 0 (mod p) なら、論文 §3 の系から vp(Regp) ≥ 1 で、したがって c2 ≡ 0 (mod p) です（この向きは論文本体の p ≥ 5 の定理を使います）。紙

連鎖の段

fE を円分 Zp 拡大の上の Selmer 群の特性冪級数とします。主予想は (fE) = (Lp) を言い、その片側（fE が Lp を割る）が Kato、等号が Skinner–Urban です。

段 5 と段 8 の組み合わせ、段 6 で二つの正規化を同一視すること、段 9 の (dist) が自動であることは紙。それ以外の各段は原論文の言明と仮定を読んで確かめました既知。Skinner–Urban の原論文だけでは等号は Λ ⊗ Qp の中（p の冪を除いて）で、Λ の中の等号は Skinner §2.5 と合わせて出ます。

仮定 H が、Galois 像の仮定の代わりをする仕組み

Kato の整の割り切り（Thm 17.4(3)）は、そのままの言明では「Galois 像が SL2(Zp) を含む」ことを仮定します。Kato の本文を追うと、この仮定が効くのは Thm 12.5(4) だけで（§17.13）、その証明（§13.14）は三つのことを使います。仮定 H はそれを一つずつ別の形で与えます。既知（言明は原典）紙（読み合わせ）

Kato の §13 は虚数乗法を持たない曲線を仮定しますが、q ∥ N では j が q で整でないので自動です。つまり仮定 H は SL2(Zp) の像そのものを与えるのではなく、SL2 が担っていた三つの役を別々に与えます。

c2 をどう計算するか

ap ≡ 1 (mod p) かつ L(E, 1) = 0 のとき、c2 を p で割った余りは、分母 p2 のモジュラー・シンボルの有限和

で決まります（ω は Teichmüller 指標、C(j, 2) は二項係数）。紙（Hecke の関係式から）。実際の計算は、導手 p2・p3 の指標で捻った L 値から行い、PARI/GP の mspadicseries と 14 組の (E, p) で一致を確かめました。p を法とする上の桁（c2 mod p2、mod p3）は、もう一段深い層の和から同じように取ります。計算（浮動小数・区間演算なし）

当てた結果

分裂の箱（Cremona の表の導手 200,000 以下の曲線と、係数の小さい短い Weierstrass 方程式の族の導手 3·10⁷ 以下の曲線。階数 2・p ∈ {5, …, 19}・#E(Fp) = p・(T)・有理点が E(Fp) に全射・(H) を満たすもの 4,643 箱）で、事前に決めた規則のとおりに数えました。

• det(χ, γ) ≢ 0 の 4,343 箱では c2 ≡ 0 が 0 箱。したがって、この 4,343 の (曲線, 素数) の組で、箱ごとに rank E(Q) = 2・Ш(E/Q)[p∞] = 0・vp(Regp) = 0 が従います。既知（定理の組み合わせ）計算（c2）
• 対偶の側の陽性対照：det(χ, γ) ≡ 0 の 300 箱で c2 ≡ 0 が 300/300。計算
• c2 ≡ 0 (mod p) の箱については何も言いません。

Ш の p 部分を読む照合（§05）は、計算が一番軽い p = 3 で行いました。連鎖の入力の原典を一つずつ開き、言明の p の範囲を確かめました。既知

どれも p ≥ 5 を仮定していません。ほかに二つの注があります。

• 判別式の模型。最小でない模型では ordq(Δ) が 12 の倍数だけずれるので、p ≥ 5 では (H) の判定が模型で変わりえます。p = 3 では 12 が 3 の倍数なので変わりません。照合のすべての箱（11,694 箱）で (H) は最小模型の判別式で判定してあり、判定が変わった箱はありません。紙計算
• Galois 像。p ≥ 5 なら、既約性と (H) から像が SL2(Zp) を含むことが古典的な持ち上げの補題で出て、Kato の言明がそのまま使えます。p = 3 ではその補題が使えないので、Skinner §2.5 の道が実際に要ります。（持ち上げの補題とその番号は記憶によるもので、原典では確かめていません。）

σ 関数の正規化

p 進高さは Mazur–Tate の σ 関数で作ります。その定数 e を、原典（Mazur–Tate–Teitelbaum II §2）は「σ2 の係数が p 進整になる唯一の値」として定め、PARI/GP の文書は s2 = ellpadics2(E, p, n) を「σ が tZp[[t]] に入る唯一の定数」として定めます。二つの微分方程式を並べると e = b2 − 12·s2 で、p = 3 でも p ≥ 5 と同じ正規化です。紙（二つの定義の照合。原典の一意性の証明は先行文献の引用で、追っていません）。曲線 26a1（a3 = 1）で、PARI の高さを使わずに c = s2 から σ を組み立てると t20 まで係数が 3 進整で、s2 + 1/3 や s2 + 3k（k ≤ 3）では整になりません。s2 を 34 を法として定義に当てたことになります。計算（一曲線）

§02 の結論は定理の組み合わせから出るもので、予想は使いません。一方、予想が等式であることは、定理の側からは単数倍までしか見えません。そこで、予想が言う値を p 進の桁ごとに数値と突き合わせました。どの照合も、数える前に規則を固定してから数えています。#Ш の代わりには、複素 BSD 予想が予言する位数

を使います（階数 2・自明な捩れ）。Шan は予言値であって、Ш の位数そのものではありません。

最初の桁 (MTT₁) と平方類 (Q)

階数 2・ap = 1・c2 ≢ 0 (mod p) では、εp/p2 ≡ 1・logp(1 + p)/p ≡ 1 (mod p) なので、予想は

を言います。分裂の箱では論文の定理 K から Regp ≡ −B02 · det(χ, γ)2 (mod p)、#Ш は（有限なら）平方数（Cassels）なので、(MTT₁) から

が従います（左辺は Legendre 記号）。紙（予想からの換算）。(Q) には Ш もレギュレーターも現れません。予想の下で、c2 の平方剰余の類が玉河数の積と判別式の符号だけで決まる、という形です。

帰無仮説（c2 の平方類が n・ω と無関係）の下で全箱一致の確率は 2−5180 で、p と判別式の符号で分けた 12 層のどれでも片側二項検定が棄却します。対照は式の言うとおりに振る舞いました：c2 を無作為な単数に替えると一致は 0.49、因子 −1 を落とすと p ≡ 3 (mod 4) の箱で一致 0、ω を落とすと判別式が負の箱だけが残る（p ≡ ±3 (mod 8)）、n を落とすと (n/p) = +1 の箱だけが残る。関数等式が Sj に課す線形の制約だけでは c2 の平方類は決まらず、制約を満たす無作為な整数ベクトルで平方になるのは 0.49〜0.58 でした。計算（浮動小数・区間演算なし）

二桁目 (MTT₂)

det(χ, γ) ≡ 0 の分裂の箱では最初の桁が 0 ≡ 0 になるので、一桁深く見ます。U ≡ 1 + 5p (mod p2) から、予想は

を言い、vp(Regp) ≥ 2 なら c2 ≡ 0 (mod p2) を言います。紙

偶然の一致は一箱あたり 1/p で、p の六つの類のどれでも棄却されます。ただしどの箱でも Шan = 1 で、この照合は予想を「#Ш を 1 に置き換えた弱い形」から区別しません。逆向きに読むと、398 箱では Kato の割り切りだけから rank E(Q) = 2・Ш[p∞] = 0・vp(Regp) = 1 が箱ごとに従います。既知（組み合わせ）計算（c2）

Mazur–Tate 1987 の精密化予想との関係：その第一頁は、層 p の予想が p − 1 の約数を法とする合同式を言い、p 進 L 関数の予想からは従わない、と述べています。(MTT₁)(MTT₂) が見ているのは野生分岐の側（p 部分）の桁なので、Mazur–Tate 1987 の予想の検査ではありません。（その論文の本文は読めておらず、予想 4 の言明は写しで読んでいます。）

§04 の照合はすべて Шan = 1 の箱で、予想の Ш の因子は試されていません。Ш の p 部分が効く箱を探しました。

表の中には、階数 2 の箱が無い

Cremona の表（導手 500,000 未満、階数 2 の曲線 348,672 本）では、階数 2 の曲線の Шan は 1 か 4 だけです（4 が 42 本）。奇素数 p で p | Шan となる階数 2 の曲線は表の中にありません。PARI/GP の値と表の値は抜き取りで一致しました。計算

階数 1 の 41 箱

そこで階数を一つ下げました。階数 1 で生成元を P とすると、予想は vp(c1) = 1 + vp(hp(P)) + vp(#Ш) と、その最初の桁を言います（符号は Stein–Wuthrich の形。Mazur–Tate–Teitelbaum の印字どおりの高さとは奇数階数で符号が逆）。紙。表の階数 1・p2 | Шan・p ≥ 3・ap = 1・(H) の箱は全部で 41（p = 3 で Шan = 9 が 40、p = 5 で Шan = 25 が 1）でした。

• 付値 41/41、最初の桁 41/41。Ш を 1 に置き換えた予言の付値は 0/41。偶然の一致は一箱あたり p−3。計算
• 逆向きに読むと、この 41 曲線で #Ш(E/Q)[p∞] = p2。既知（Kato・Skinner–Urban・代数側の主係数）計算（c1）
• ただし階数 1 では、この一致の大部分が既知の定理で強いられます。照合は主に、計算の手順・高さ・正規化の検査です。

階数 2・p = 3・Шan = 9 の三つの例

表の外で、階数 0 や階数 1 の曲線の二次捻り E(d)（χd(3) = a3(E) で a3 = 1、根数 +1、導手 2.9·10⁹ 以下）を走査しました。解析的階数 2（2-降下の上界 2）の捻りが 1,988、そのうち独立な二点が見つかって Шan が読めたのが 1,726、Шan = 9 が三つです。三つとも捻りの上で (H)・捩れ自明・3 ∤ ∏cℓ を満たし、Шan = 9 は 64 ビットと 128 ビットの精度で同じ値でした。

三つとも、付値 v3(c2) = 2 と最初の桁が予言どおりでした。Ш を 1 に置き換えると予言の付値は 0 で、外れます。c2 mod 27 は一段深い層 P4 から、L 級数の約 950 万項で取り、446d1・p = 5 での較正を毎回繰り返しました。v3(Reg3) は PARI の高さ・自前の σ 関数・PARI の ellpadicregulator で一致しています（三つは PARI の s2 を共有）。計算（浮動小数・区間演算なし、Шan は予言値）

逆向きに読むと、c2 ≢ 0 (mod 27) から Kato の割り切りで rank E(Q) = 2、Skinner–Urban の等号（Λ の中では Skinner §2.5）で 三曲線とも #Ш(E/Q)[3∞] = 9 です。既知（定理の組み合わせ。p = 3 の前提は §03 の表のとおり）計算（c2）。複素 BSD 予想の 3 部分は、この三曲線でも予想のままです。階数 2 では、それを曲線ごとに与える定理が複素の側にありません。

読めた割合と、読めなかった捻り

1,726 のうち Шan = 9 が 3 で、割合は 0.0017 です。Bhargava–Kane–Lenstra–Poonen–Rains の模型（高さ順の全曲線）で、階数 2・p = 3 で 3 | #Ш となる確率は約 0.0046 です。族・順序・選び方（読めた捻りだけ）が違うので、これは桁の目安にすぎません。既知（模型の式は原典で確認）計算

読めなかった捻り（第二の点が見つからなかったもの）のうち 74 については、既知の一点を手がかりに第二の点を二通りに探し、18 が読めて Шan は 18/18 で 1 でした。残る 56 について、もし Шan = 9 ならレギュレーターは計算した積 Шan·Reg の 1/9 で、二次元格子の Minkowski の上界から、50 のうち 48 で第二の点の標準高さは 60 以下になるはずです。60 は、試験の 20 例で第二の点が見つかった範囲です。そこに見つからないので、読めなかった捻りは Ш が小さい側に寄っていると読めます。ただしこれは発見法であって除外ではありません。探索は完全でなく、既知の点が最短とは限りません（一つの捻りでは 3 で割り切れていました）。後の走査の 206 の未読は、第二の点を探していません。計算（発見法）

Ш が 1 の 18 箱が試したもの

上の 18 箱（導手 2.3·10⁷〜2.7·10⁹、a3 = 1、(H)）では、予言 v3(c2) = v3(Reg3) + v3(∏cℓ) と最初の桁が 18/18 で一致しました。v3(Reg3) = 3 の箱（c2 ≡ 54 (mod 81)）、9 | ∏cℓ が付値 2 を担う箱、v3(Reg3) = −2 を 9 | ∏cℓ が打ち消す箱を含みます。最後の箱は、最初の計算で捻り L 値が有理数に戻らず、一度目の比較を見た後で打ち切り誤差を小さくして計算し直しました。これらは Шan = 1 なので、Ш の因子ではなく、レギュレーター・玉河数・ω・捩れの因子を試しています。計算

異常素点 3 で v3(Reg3) が負になるのは定義の範囲内です。高さは、p で単位元に、悪い素点で単位成分に落ちる点の部分群の上で 3Z3 に値を取り、そこから線形に延ばすので、v3(Reg3) ≥ r − 2·v3(指数) です。階数 2 で 3 ∤ ∏cℓ なら v3(Reg3) ≥ 0 で、負の値には 3 | ∏cℓ が要ります。予想は良還元の異常素点を例外に数えず、(1 − 1/α)2 の付値 2 は単数 U の側に吸われます。紙（Mazur–Tate–Teitelbaum II §2・§4・§10 の定義から）

連鎖が使う定理の言明（Kato の Thm 13.4(3)・17.4、Skinner–Urban の等号、Mazur–Tate–Teitelbaum の予想の形）は原論文で確かめました。その先に、確かめられていないものが残っています。どれも、上に書いた結論に新しい仮定を足すものではありません——結論は「Kato と Skinner–Urban が述べたとおりの言明」と「Mazur–Tate–Teitelbaum が述べたとおりの予想」に依っていて、それ以上には依っていません。

この記事の曲線ごとの結論は、機械検査されていません。Kato・Skinner–Urban・Perrin-Riou・Schneider・Greenberg の定理は mathlib に無く、p 進 L 関数・σ 関数・p 進高さそのものも mathlib に無いからです。c2・Regp・Шan の数値は PARI/GP と自前の手順で計算したもので、これも機械検査の外です。

機械検査したのは、論文の本体（異常素点での Regp の付値）の算術の骨組みです。Lean 4 + mathlib のファイル 31 本——PadicHeightValuation.lean〜PadicHeightValuation29.lean・PadicHeightValuationCanonical.lean・AnomalousEulerFactor.lean——で、どれも import Mathlib だけから検査が通り、sorry は 0、native_decide は使っていません。各ファイルの末尾に #print axioms があり、全行が propext・Classical.choice・Quot.sound の部分集合です。31 本は別の計算機で建て直して、同じ結果を確かめてあります。Lean

この記事の連鎖に関わるのは、そのうち次のものです。定理名には、その定理が仮定として受け取るものを添えます。

何を機械に任せ、何を外に置いたか。機械が検査したのは、整数・行列・有限和・p 進の合同式についての言明だけです。高さ行列が整であることは、Lean の側では仮定であって結論ではありません。それを生む幾何（σ 関数・分割多項式・Vélu の公式・Tate 曲線）と、この記事の連鎖（岩澤理論の定理）と、数値（PARI/GP）は、すべて機械検査の外にあります。論文の主定理の等級も［紙］です。どのファイルに何があるかは論文 §6 と言明の一覧（statements-v15.md）に対応表があります。

配布の束：principia-padic-regulator-valuation-2026-10-09b.tar.gz（sha256 f12364292c008567ddab7e21f97b92679e3cfd4b9bdcb3e7986bdf97f946e017・.sha256）、公理ログ axioms-padic-regulator-valuation-2026-10-09.txt。建て方と一覧は 機械検査の一覧。

数値はすべて浮動小数で、区間演算は使っていません。c2 は捻り L 値の和から取り、モジュラー・シンボルの経路と照合した範囲は本文に書いたとおりです。条件の注：(H) の Δ は最小判別式（p ≥ 5 で最小でないと判定が変わりうる）。四つの Lp の正規化は (I) の下で Zp の単数倍。階数 1 の符号は Stein–Wuthrich の形で、Mazur–Tate–Teitelbaum の印字の高さとは奇数階数で逆です。

この記事の内容は、論文 Integrality of the p-adic height pairing at an anomalous prime is equivalent to a point of order p in E(Q_p)（Kiichi, Shiori and Rin、草稿 v15、2026-10-08、97 頁、未投稿）の §6 の後半にあります。論文の本体（§3〜§5）は異常素点での Regp の付値の局所的な仕組みで、BSD 予想には及びません。

PDF padic-regulator-valuation.pdf　·　論文の紹介 論文の一覧

使った定理と文献

計算の道具は PARI/GP（lfuntwist・mspadicseries・ellpadicheight・ellpadics2・ellrank・ell2cover）と自前の和です。同じ BSD 予想について、複素の側で Ш の位数を逆算した記録は BSD 予想 — 有限であることすら証明されていない群の位数を、逆算する にあります。動いた宿題の現在地は 残っていること、各主張の札は 主張の台帳 にあります。