2026-08-29 · article コラッツ予想臨界性大偏差連分数

3n+1 だけが、ちょうど臨界だった — 臨界性の全体、跳ね上がりの分布、数えられる境目、巡回の下界

Lean機械検査済み（Lean 4 + mathlib、標準三公理以下、sorryAx・native_decide なし。定理名を添える） 紙証明はあるが機械検査は未了 計算この端末で確かめた範囲。外に出す主張にはしない 既知言い換え・既知の定理・外の文献の確認

「なぜ 3n+1 なのか」への答えは、ふつう「3/4 < 1 だから縮む」と説明されます。対数の側の話です。ここでは別の側から答えます。

コラッツを、もっと広い族の中に置き直します。素数 p、gcd(q,p)=1、p ∤ r として

T(n) = (q·n + r) / p^(v_p(q n + r))　　（n は p と互いに素）

p=2, q=3, r=1 がコラッツです。この族で v = v_p(qn+r) の分布を出すと——q にも r にも依らず、p だけで決まります。

qn+r ≡ 0 (mod p) となる n は、p と互いに素な p−1 個の剰余のうちちょうど一つ。だから P(v≥1) = 1/(p−1)。さらに割れる確率は毎回 1/p。まとめると

（p = 2, 3, 5, 7 について実測で確かめてあります。）比の期待値は q·E[p⁻ᵛ] なので、これが 1 になる乗数は——

q_crit(p) = (p² − 1) / (p² − p − 1)

p = 2 で 3。そこから急に落ちて、p ≥ 3 では常に 1 と 2 のあいだ。だから整数の乗数は q=1（劣臨界）か q=2（超臨界）しかなく、臨界に乗れません。

定理。q_crit(p) が整数になるのは p = 2 のときだけで、そのとき q = 3。

証明。(p²−p−1) | (p²−1) ⟺ (p²−p−1) | p（差が p だから）。p ≥ 3 では p²−p−1 ≥ 5 > p なので割り切れない。p = 2 では p²−p−1 = 1 で、1 | 2。∎

LeanShiori.qcrit_eq_three・Shiori.qcrit_not_int_of_three_le（Lean 検証一式の台帳）。

「なぜ 3n+1 なのか」の答えは、離散性そのものにあります。臨界の乗数はどの p でも存在しますが、それが整数として実現されるのは p = 2 のときだけです。3n+1 は、連続的な臨界曲線が整数の格子と交わる、たった一つの点です。

p = 2 に戻ります。v の分布は仮定ではなく定理です——Terras (1976) により、n を 2 の冪で割った剰余で見ると P(v = j) = 2⁻ʲ がちょうど成り立ちます。平均は 2。

ここで、一歩あたりの「比」の期待値を計算します。奇数 n は (3n+1)/2ᵛ に移るので、比はだいたい 3/2ᵛ です。

計算すると E[2⁻ᵛ] = Σ 2⁻ʲ·2⁻ʲ = Σ 4⁻ʲ = 1/3。だから——

E[比] = q/3 が 1 になるのは、q = 3 のときだけです。そして同時に、対数の期待値 log(q/4) が負になるのは q < 4 のとき。3 は、比では臨界のちょうど上に乗り、対数では安全側に入っている——その一点だけにいます。

+1 まで正確に入れると、さらに気持ちの悪い形になります。

E[n_k+1 | n_k] = (3n_k+1)·(1/3) = n_k + 1/3

期待値は、一歩ごとにきっちり 1/3 ずつ増え続けます。それでいて、対数の期待値は一歩ごとに 0.288 ずつ減り続ける。平均は無限に増えるのに、典型的な軌道は 0.75 倍ずつ縮んでいく。この矛盾は、稀に起きる巨大な跳ね上がりが埋めています。

奇数 100 億個、総ステップ 349 億回の実測。計算

軌道が出発点 n をいったん下回るまでに、どこまで高く跳ね上がるか。その比を R と呼びます。有名な例では n = 27 が 9232 まで上がるので R = 342 です。

対数を取ると、これは負のドリフトを持つランダムウォークの最大値です。一歩の変化は X = log3 − v·log2。こういう場合、最大値の裾は P(max > t) ≈ C·e^(−θ*t) となり、θ* は E[e^(θX)] = 1 の非自明な根です。計算すると——

E[e^(θX)] = 3^θ / (2^(1+θ) − 1) = 1　すなわち　3^θ = 2^(1+θ) − 1
θ = 1 を入れると 3 = 4 − 1。ちょうど根です。

一般の族で書くと E[e^(θX)] = q^θ · E[p^(−θv)] で、θ = 1 を入れた条件は q · E[p^(−v)] = 1——乗法的臨界性そのものです。

「E[比] = 1」と「裾の指数 θ* = 1」は、二つの発見ではなく、同じ一つの主張です。だから §01 の定理は、こう言い換えられます——裾の指数がちょうど 1 になる整数の写像は、コラッツ写像ただ一つ。裾の指数 1 そのものは Lagarias–Weiss (1992) の ρ_RW = 1 として既出です既知。

だから P(R > λ) ≍ C/λ。指数がちょうど 1。log₂ の目盛りで見れば、1 進むごとに個数がちょうど半分になるはずです。実測（奇数 100 億個）を最小二乗で見ると θ* = 1.0028——ずれ 0.28%。

E[R] = ∞。ただし対数的に、ぎりぎりで。一方 E[log R] は有限（実測 0.760）。

つまり「平均してどこまで跳ね上がるか」という問いには、答えがありません。期待値で考えると発散し、対数で考えると収束する。そして指数がちょうど 1 なので、どちらの直感も等しく正しい。

別の道からも、同じ 1 が出る

この計算には、まったく別の書き方があります。a = log₂3、Vk = Σvᵢ として

e_k := V_k − ⌊k·a⌋　と置くと　軌道が出発点以上に留まるのは e_k ≤ 0 のあいだ、そのときの高さは {k·a} − e_k（log₂ で）。

e は整数値で、一歩ごとに e → e + v − g（g = ⌊(k+1)a⌋−⌊ka⌋ ∈ {1,2}）と動きます。ドリフトは E[v] − a = +0.415 で正。だから問題はこうなります——e が正へ抜ける前に、どこまで負へ潜れるか。

深さ d まで潜る確率は ρᵈ で減り、ρ は E[ρ^(v−a)] = 1 の根です。整理すると ρ^(a−1)·(2−ρ) = 1。ここに ρ = 1/2 を入れると——

2^(1−a) · (3/2) = (2/3) · (3/2) = 1　ちょうど根です。ρ = 1/2。

ρ = 1/2 は「log₂ で 1 進むごとに半分」、つまり指数ちょうど 1。別の道から、同じ 1 に着きます。この e の歩みは 符号の記事の ±1 語の模型と同じものです。

そして、指数だけでなく分布まるごとが合う

この e の書き方の利点は、裾の指数だけでなく、分布そのものを厳密に計算できることです。状態が整数の e と時刻 k だけなので、有限の畳み込みで済みます。

7 桁の幅にわたって、5 桁一致しています。これは「指数が合う」よりずっと強い主張です。整数の世界の実際の挙動が、2 進の乱数模型で説明できているということになります。計算

コラッツ予想は、独立な二つに割れます。①発散する軌道が無い ②自明でない巡回が無い。

上でやった確率的な議論は、①には効きます。負のドリフトが log(3/4) = −0.288 と十分に離れているので、発散するには「v の平均が log₂3 = 1.585 を永久に下回り続ける」という無限に続く大偏差が要ります。その率を厳密に計算すると I = 0.05498、つまり k 歩耐える確率は 0.9465ᵏ です。

ところが、②にはまったく効きません。3n−1 を同じ方法で測ると——

統計はまったく同じです。それでいて、片方には巡回があり、片方には無い。

確率的な議論は、3n+1 と 3n−1 を区別できません。だから巡回については、原理的に何も言えない。巡回はディオファントス近似の問題であって、統計の問題ではないからです。

この沈黙は、筋そのものを閉じます。ns の期待値が ns と等しくなる条件は 3s = 21+s − 1——θ* を決めたのと同じ式で、根は s = 0 と s = 1。つまり「θ* = 1」は「n そのものが漸近的に調和関数である」ことの言い換えです。もし n_k が本当にマルチンゲールなら、正のマルチンゲールは概収束し、整数値なので最終的に一定になり、巡回に入る——予想の（発散しない側の）結論そのものです。実際には E[nk+1|nk] = nk + 1/3 の劣マルチンゲールで、収束定理は使えません。3n−1 では符号が逆で形の上では優マルチンゲール——正の優マルチンゲールは概収束して不動点に落ちるはずですが、3n−1 には長さ 2 と 7 の巡回があり、5, 7, 5, 7, … は収束しません。

巡回の存在そのものが、この過程が優マルチンゲールでないことの証明です。E[2⁻ᵛ] = 1/3 は初期値についての平均で、軌道の上の条件付き期待値ではない——5 から始まれば v は毎回 1 と 2 に決まっていて、平均する余地がありません。コラッツを結論する確率的議論は、同じ計算で 3n−1 について偽を結論します。紙

3n+1 と 3n−1 を分けている符号が何を決めていて何を決めていないかは、1/3 の符号が決めているものにあります。

巡回があると仮定します。奇数の項を n₁ → n₂ → … → nₐ → n₁ とし、halving の合計を b とすると、関係式を全部かけあわせて——

2ᵇ / 3ᵃ = ∏ (1 + 1/(3nᵢ))

すべての nᵢ が最小元 m 以上なので、b/a は log₂3 = 1.5849625… の極めて良い有理近似でなければなりません。具体的には 0 < b/a − log₂3 ≤ log₂(1 + 1/(3m))。

だから問題はこうなります。「区間 (log₂3, log₂3 + ε] に入る分数のうち、分母が最小のものは何か」——これは Stern–Brocot 木の古典的な問題で、厳密に解けます。検証記録が 2⁴⁰ だった時代の値を入れると b = 17,087,915 が出ます。Eliahou (1993) の下界そのものです既知。

数え方を決めておきます。「巡回の長さ」には二つの規約があり、混ぜると桁が変わります。

現在の検証記録は 2⁷¹（Barina, 2025 と報じられているもの）。入れ直すと——

この下界には階段という性質があります。連分数の近似が良くなる場所は飛び飛びなので、検証が伸びても下界はしばらく動かず、ある一点で跳ねます。

検証記録を 2⁶⁸ にしても 2⁷¹ にしても、下界は同じ 186,265,759,595 のままです。いまの下界が有効なのは検証が 2^71.88 に届くまでで、そこを超えた瞬間、下界は 355,504,839,929 項に跳びます——必要な検証の伸びは 1.85 倍、得られる下界の伸びは 1.91 倍。これは数学ではなく計算資源の問題です。

Terras の定理により、奇数 n の最初の k 歩の v ベクトルは n mod 2^(Σv) で決まり、各パターンがちょうど一つの剰余類に対応します。だから——

「奇数 n < 2⁷¹ のうち、44 歩のあいだ出発点を下回らないものの個数」は、厳密な整数として数えられます。答えは 2,483,007,077,973,438,304 個。乱数も近似も使っていません。計算

ただし 44 歩までです。⌊70 / log₂3⌋ = 44。それ以上の歩数では Σv が 70 を超え、n mod 2⁷¹ だけでは v ベクトルが決まらなくなります。

44 歩の向こうでも、確率の厳密な計算は続けられます（上の図は 1200 歩まで）。一歩あたりの減衰率は理論値 e⁻ᴵ = 0.946505 に収束していきます。この裾の前因子が周期 1 の関数に漸近すること（停止時間の裾の定理）は入口の記事にあります。けれど「n < 2⁷¹ のうち何個が耐えるか」という個数の主張は、44 歩で切れます。

ここが、この問題で確率的手法が止まる場所です。「耐える個数の期待値が 1 を下回る」ことは計算できます。しかしそれは存在しないことの証明ではありません。測度ゼロの集合は、どんな解析的手法からも見えない。Tao の 2019 年の結果が「ほとんどすべて」で止まっているのも、同じ壁です。

既知 §06 の壁には名前がつきます。「ほとんどすべての軌道がほぼ有界な値を取る」（Tao 2019）は正の割合の軌道についての主張で、平均を取る道具が届く場所にあります。「巡回が無い」「発散する軌道が無い」は零割合の欠陥の不在についての主張です。仮に反例があっても密度 0 でありえて、密度 0 のものはどの相関にも、どのモーメントにも、どの漸近公式にも写りません。すべての尺度で軌道が完全に規則的だと分かっても、予想は出ません。

リーマン予想に同じ形があります。Λ ≥ 0（Rodgers–Tao 2018）は「零点は局所平均で等間隔ではない」という正の割合の主張で、証明されています。Λ ≤ 0（リーマン予想）は「臨界線の外に零点が一つも無い」という零割合の欠陥の不在で、未解決です。両方を証明したのも証明していないのも同じ道具で、片側だけ証明できたのは、片側だけが混んでいる側の主張だからです。五つの問題を並べた形は 臨界にだけ、問題は残るにあります。

動いた宿題の現在地は 残っていること にある。ここには現時点の未決だけを置く。

出典と再現

この記事のほとんどは新しくありません。裾の指数 1 は Lagarias–Weiss、巡回の下界は Eliahou の方法そのもので、新しいのは代入した数字だけです。唯一性の三行の証明は文献で見つけられませんでしたが、「探した範囲で見当たらない」までしか書きません。既出をご存じでしたら、掲示板から教えてください。