2026-08-29 · article コラッツ予想未解決問題臨界

コラッツ予想 — 3n+1 は、この形の写像のうち唯一の「ちょうど臨界」

正整数から始めて、偶数なら 2 で割り、奇数なら 3 倍して 1 を足す。必ず 1 に着くか——1937 年から解けていません。この記事はコラッツ予想の四本の入口です。問題と世界の到達点を置き、ここで示すのは二つ——3n+1 がこの形の写像のうち唯一の「ちょうど臨界」であること（機械検査済み）と、停止時間の裾の漸近式（紙）です。臨界性の全体・符号・定数は、三本の深い記事にあります。

Lean機械検査済み（Lean 4 + mathlib、標準三公理以下、sorryAx・native_decide なし。定理名を添える）紙証明はあるが機械検査は未了計算この端末で確かめた範囲。外に出す主張にはしない既知言い換え・既知の定理・外の文献の確認

この記事の順序

この問題は何か
世界はどこまで来ているか
やったこと ①：3n+1 は、この形の唯一の「ちょうど臨界」
やったこと ②：停止時間の裾の定理
三本の深い記事
残ったこと
出典と再現

この問題は何か

コラッツ予想：正整数 n から始めて、偶数なら 2 で割り、奇数なら 3 倍して 1 を足す。この操作を繰り返すと、必ず 1 に着くか。

小学生に説明できる問題です。そして 1937 年から解けていません。エルデシュは「数学はこの種の問題に対してまだ準備ができていない」と言いました。

予想は二つの半分からできています。この区別が、四本の記事の全体を貫きます。

半分その一発散しないか無限に大きくなっていく軌道が無いこと。反例に有限の証拠が無い

半分その二巡回しないか1 以外の閉じた輪が無いこと。反例には有限の証拠がある

この二つは別の道具発散は確率論、巡回はディオファントス近似

世界はどこまで来ているか

結果	誰が・いつ	中身
v の分布は厳密に分かる	Terras 1976	奇数 n について v = v₂(3n+1) と置くと P(v=j) = 2⁻ʲ が厳密に成り立つ（近似ではない）既知
ほとんどすべての軌道は小さくなる	Tao 2019	ほとんどすべての n について、軌道はいずれ n の任意に遅い関数より下に来る。「ほとんどすべて」で止まっている既知
巡回の長さの下界	Eliahou 1993	検証が 2⁴⁰ だった当時、非自明な巡回の周期は 17,087,915 以上既知
検証	Barina 2025 と報じられているもの	2⁷¹ まで反例なし
近傍は全部壊れている	—	3n−1 には巡回が三つあり、5n+1 は発散する。コラッツはこの族の唯一の生存者既知

※ 検証記録 2⁷¹ は報じられているもので、一次資料は未確認です。巡回の下界（臨界性の記事）はこの数字に依存しています。

やったこと ① — 3n+1 は、この形の唯一の「ちょうど臨界」

コラッツ写像を、より広い族の中に置きます。

T(n) = (q·n + r) / p^v_p(qn+r)

p で割れるだけ割る、という形です。コラッツは (p,q,r) = (2,3,1)。この族の中で「比の期待値がちょうど 1」になる乗数を求めます。

Terras の定理を p 進に一般化すると P(v=j) = (p−1)/p^j なので——

E[p^−v] = (p²−p−1)/(p²−1) ⇒ q_crit(p) = (p²−1)/(p²−p−1)

これが整数になるのはいつか。(p²−p−1) | (p²−1) ⟺ (p²−p−1) | p。ところが p ≥ 3 では p²−p−1 ≥ 5 > p なので割り切れません。

整数になるのは p = 2 のときだけ。そのとき q_crit = 3。
コラッツ写像は、この形の写像のうち唯一の「ちょうど臨界」なものです。

LeanShiori.qcrit_eq_three・Shiori.qcrit_not_int_of_three_le — 臨界の乗数 (p²−1)/(p²−p−1) が整数になるのは p = 2 のときだけで、そのとき 3。配布物と公理の台帳は Lean 検証一式。

臨界の乗数 q_crit(p) = (p²−1)/(p²−p−1)整数格子に乗るのは p=2 だけ

臨界であることの、二つの顔

P(v=j) = 2⁻ʲ から E[2⁻ᵛ] = Σ4⁻ʲ = 1/3。だから——

E[比] = q · (1/3) = q/3 （q = 3 のときだけ、厳密に 1）
E[log 比] = log(q/4) （q < 4 で負）

乗数 q ごとの E[比] と E[log 比]3 は「比では臨界のちょうど上、対数では安全側」の一点

3 は、比では臨界のちょうど上に乗り、対数では安全側にいる——その一点だけにいます。
+1 まで入れると E[n_k+1 | n_k] = n_k + 1/3。期待値は一歩ごとに増え続けます。

奇数 100 億個・349 億ステップの実測で E[比] = 1.0000015。計算裾の指数がちょうど 1 になること（Lagarias–Weiss 1992 の ρ_RW = 1）と「E[比] = 1」は同じ一つの主張の二つの書き方です既知。唯一性の三行の証明は初等的で、文献には探した範囲で見当たりませんが、専門家には既知でありうる種類の言明です。

やったこと ② — 停止時間の裾の定理

奇数 n が出発点を初めて下回るまでの歩数が停止時間です。E(k) を「2^k を法とする剰余類のうち、停止時間が k を超えるものの個数」（OEIS A076227）とし、u_k = E(k)/2^k と置きます。u_k は「k 歩のあいだ出発点を下回らない確率」です。

記号：a = log₃2 = 0.6309297536、r = (1−a)/a = 0.5849625007、β = ln(1/r) = 0.5362075351、H = H₂(a) = 0.9499555272（二値エントロピー）、ρ = 2^−(1−H) = 0.9659065532、σ² = a(1−a)、θ_k = ⌈ak⌉ − ak。

u_k · ρ^−k · k^3/2 = A(θ_k) + o(1), A(θ) = (σ√(2π))⁻¹ Σ_j≥0 r^j+θ 𝓗(j+θ)

紙ここで 𝓗 は、傾けた歩み（v が確率 a で 1 を取る）の狭義上昇ラダー高さの再生関数です。A は周期 1 の関数で、平均 10.892710、相対振幅 βe^−S = 7.59%。フーリエ係数にも閉じた形があります——Â(m) = 1/(σ√(2π)(β − 2πim)(1 − χ̂(β − 2πim)))、χ̂ は上昇ラダー高さのラプラス変換。

減衰率 ρ0.96590655322^−(1−H)。Cramér の傾けの ψ(β)

冪k^−3/2負のドリフトの乱歩が正に留まる確率の標準形

前因子 A(θ)周期 1平均 10.892710・振幅 7.59%。定数に収束しない

証明の骨子と、既知の部分

Terras の全単射で u_k は「i.i.d. の歩み X_i = v_i − a（v_i ∈ {0,1} 一様）が k 歩のあいだ正に留まる確率」になります。平均は 1/2 − a = −0.1309 で負。歩みの台は (1−a) + ℤ に入るので、格子でも非格子でもない非中心格子です。Cramér の傾け（λ* = β、ψ(β) = ρ）でドリフト 0・分散 σ² の歩みに移し、Vatutin–Wachtel 2009（arXiv:0711.1302）の Theorem 6——非中心格子の条件つき局所極限定理——を δ_k = k^−1/4 で当て、切った先を Σ_y>Y r^y ≤ r^Y/(1−r) で捨てます。定数は Sparre Andersen と Baxter–Spitzer の恒等式で閉じます。

既知非中心格子で前因子が定数にならず振動すること自体は、Vatutin–Wachtel 2009（Theorem 1・2）と Mogulski–Rogozin 2005 が一般論として述べています。この定理で加わるのは閉じた形（Â(m)・振幅 βe^−S）と、A076227——コラッツの停止時間——への適用です。

計算 E(1..24) は整数計算で A076227 と一致。VW の局所極限定理の直接検定は y ∈ (0,1) の 41 点で比 0.99977 ± 0.00019。k ∈ [2000, 12000] で残差 y_k − A(θ_k) は −456.8/k に乗り、定数のずれはありません。Sparre Andersen の恒等式は有理数で k ≤ 60 一致。

この定理は予想に触れません。u_k の漸近をどれだけ精密にしても、発散も巡回も排除しません。

三本の深い記事

記事	そこにあるもの
3n+1 だけが、ちょうど臨界だった	臨界性の全体、跳ね上がりの分布（模型の厳密計算と奇数 100 億個の実測が 7 桁の幅で 5 桁一致）、厳密に数えられる境目（44 歩）、巡回の長さの下界（1.86×10¹¹ 項）、そして確率的議論が 3n−1 の巡回で閉じること
1/3 の符号が決めているもの	符号は巡回が log₂3 のどちら側から近づくかを決め、席の広さは決めない。非対称の符号は 2 進側の模型で 3³ < 2⁵ から出て、禁止語 DDD も同じ不等式から出る（Lean）
その定数は、まだ定数になっていない	跳ね上がり比の裾の定数 C には閉じた式 0.4215205965 があり、各深さの値には無い。振動は log₂3 の収束分母で添字づけた鋸歯で、転送作用素の最大固有値はちょうど 1/2、ギャップ無し

残ったこと

動いた宿題の現在地は残っていることにある。ここには現時点の未決だけを置く。

	内容
言えた	コラッツは (qn+r)/p^v の族の唯一の「ちょうど臨界」Lean
言えた	停止時間の裾 u_k ρ^−k k^3/2 は周期 1 の前因子 A(θ_k) に漸近する紙
言えた	跳ね上がりの分布・44 歩の境目・巡回の下界・非対称の符号・定数 C の閉じた式（三本の記事）
言えない	予想そのもの。四本のどの結果も、予想を証明も反証もしていない
言えない	確率的な議論は 3n+1 と 3n−1 を区別できない。巡回については原理的に何も言えない
言えない	裾の定理の誤差の位。定理は o(1)、実測は O(1/k)（係数 −457）。上昇ラダー高さの平均 μ₁ = 0.2884300 の閉じた形も無い。Lean は未着手

出典と再現

もの	種別	出典・道具
P(v=j) = 2⁻ʲ	定理	Terras (1976)
ほとんどすべての軌道が小さくなる	定理	Tao (2019), arXiv:1909.03562
巡回長の下界の方法	定理	Eliahou (1993)
検証 2⁷¹	報じられているもの	Barina (2025)。一次資料は読んでいない
裾の指数 θ* = 1	既知	Lagarias–Weiss (1992), ρ_RW = 1
q_crit(p) の唯一性	機械検査	`Shiori.qcrit_eq_three`・`qcrit_not_int_of_three_le`。Lean 検証一式
停止時間の裾の定理	紙	Vatutin–Wachtel, Probab. Theory Related Fields 143 (2009), arXiv:0711.1302, Theorem 6／Cramér の傾け／Sparre Andersen／Baxter–Spitzer（Feller II §XII.7, §XVIII.3）
非中心格子で前因子が振動すること	既知	Vatutin–Wachtel 2009 Thm 1–2、Mogulski–Rogozin 2005。Doney arXiv:1006.5316 はこの場合を除外している
E(k) = A076227	既知	OEIS A076227
E(1..24)・局所極限定理の検定・残差 −456.8/k	この端末で計算	整数の DP、120 ビット固定小数の ⌈ak⌉、FFT 畳み込み
奇数 100 億個・349 億ステップの実測	この端末で計算	C 言語、4 並列

使った道具はすべて標準的です。新しさは「探した範囲で見当たらない」までしか書きません——q_crit の唯一性は初等的で、裾の定理の一般形は既知で、加わったのは閉じた形とこの数列への適用です。

改訂 2026-09-17：全面改訂。