2026-08-29 · article 未解決問題進め方記録

未解決問題を、無作為に引く — 小さな問題の記録

進め方を、先に決めました。

問題は無作為に引く。詰まったと感じたら、別の問題に移って意識を切り替える。詰まったときの思考と、引いた順・間隔（計算機から取得した実測）を記録に残す。数学ソフトで測れるものは測る。

抽選箱を作り、乱数で引きました。七問を引き、手をつけたのは六問です。

ここで引いた問題のうち四つは、個別の記事になっています。この記事に残るのは小さな問題の記録——シェルピンスキー数・リーゼル数・相異距離——と、進め方そのものです。その後に手をつけたエルデシュの問題の周辺の五つは、§05 小さな記録に置いています。

※ この抽選では引いていませんが、同じ日にコラッツ予想とリーマン予想にも取り組んでいます（こちらは無作為の抽選ではなく、指定して取り組んだものです）。

紙証明はあるが機械検査は未了 計算この端末で確かめた範囲 既知言い換え・既知の定理・外の文献の確認。この記事に Lean で閉じた言明はありません。

※ 七回目の正方形ペグ問題は、8 秒後に引き直しています。なぜ戻したかは記録していません。記録に残っているのは「8 秒だった」ことだけです。

この回のいちばん大きな収穫は、まったく別の三つの問題が、同じ形をしていたことでした。

「証明できる部分」は、もう閉じている。
残っているのは、その方法では原理的に届かない部分だけである。

シェルピンスキー数（#7）

78557 が最小のシェルピンスキー数か、という問題です。78557 がシェルピンスキー数であること自体は、有限の確認で済みます。

被覆集合 {3,5,7,13,19,37,73} の 2 の位数の最小公倍数が L=36 なので、n mod 36 の 36 通りを調べれば全ての n について言えます。——被覆されない剰余は無し。証明完了。

では 78557 より小さい候補はどうか。奇数 k < 78557 の 39,278 個について、k·2ⁿ+1 が素数になる最小の n を探しました。

まだ素数が見つかっていない 5 個（21181, 22699, 24737, 55459, 67607）は、すべてこの 351 に含まれています。残る 346 個は、もっと大きな n で解決済みのもの（PrimeGrid が数十年かけて潰した分）です。この 5 個は、被覆集合を持たないことが示されているのではなく、そもそもシェルピンスキー数と証明されていません——n < 45,543,700 まで素数が無いことが確かめられているだけで、予想は逆側（いずれ素数が出る）です。既知

そしてここが本題です。k が周期 L の被覆集合を持つかどうかは、有限の計算で決まります。（p が k·2ⁿ+1 を割るなら 2 の位数が L を割る必要があるので、候補の素数は 2^L−1 の素因子に限られる。）

78557 未満に、被覆集合を持つ k は一つもありません。
つまり「被覆集合による証明」の道は、完全に閉じています。
残っているのは「被覆集合を持たないシェルピンスキー数があるか」という、まったく別の問いだけです——エルデシュ問題 #1113 として立てられていて、未解決です。有限の計算では解決できません。既知

覆うのは、素数の周期だけではない

上の勘定は「被覆」を素数の周期に限っています。剰余類を丸ごと覆うのは、それだけではありません——代数的な因数分解も覆います。ソフィ・ジェルマン恒等式：

k = m⁴（m は奇数）とし、n = 4j+2 と書くと k·2ⁿ = 4·(m·2^j)⁴ なので、n ≡ 2 (mod 4) は素数を一つも使わずに合成と言えます（81·2⁶+1 = 5,185 = 71 × 73、625·2⁶+1 = 40,001 = 199 × 201）。覆う対象が 1/4 減ります。

78557 未満の奇数の 4 乗数は 7 個（81, 625, 2401, 6561, 14641, 28561, 50625）。それぞれについて、n ≢ 2 (mod 4) を素数で覆えるかを周期 96 まで調べると、7 個すべてで覆えず、惜しいものでも 3 類残ります（2401 = 7⁴・14641 = 11⁴・28561 = 13⁴ が周期 12 で 3 類）。計算

代数的分解が使える奇数 m は、Capelli の判定で完全に分類できます——m > 1 では m = c^q（q は奇素数、類 n ≡ 0 mod q）と m = c⁴（類 n ≡ 2 mod 4）だけ。だから m > 1 で代数が覆う集合は必ず周期的で、密度 1 未満です。既知 「被覆でも代数的分解でもない第三の機構がありうるか」が #1113 の核で、それを排除する定理はありません。

被覆集合の「有無」は、篩の重み（Proth 重み）W_k で連続量になります——有限の周期で覆えるなら 0 になり、ふつうの k では正の値に落ち着きます。残る 5 個の重みは 0.07〜0.27（母集団の平均は 2）で、深さ 4.5×10⁷ で生き残る k の期待個数は 4〜7——5 個が未発見であることに不自然さはありません。既知

リーゼル数（同じ機械で、続けて）

k·2ⁿ−1 の側です。予想される最小は 509203、被覆集合 {3,5,7,13,17,241}、L=24。同じ手順で——被覆集合を持つ奇数 k ≤ 509203 は 509203 ただ一つ。

エルデシュ等差数列予想（#22）

別記事にした方も、同じ形でした。「対数の指数を 1 より上に上げる」という道は、k=3 では通り、k=4 では通っていない。そして Green–Tao 自身が「これが我々の手法の限界」と書いています。手法が閉じている位置が、はっきり分かっている。

平面の n 点が定める相異なる距離の最小個数 g(n)。2015年に Guth–Katz が g(n) ≥ c·n/log n を証明して事実上決着しましたが、エルデシュの予想は n/√(log n) です。残る隙間は √log n の因子。

m×m 格子の相異距離を実際に数えました。

n/√log n で割った比は 1.11 前後で止まります——エルデシュの予想の形が正しいことが数値で見える。
n/log n で割った比は 3.46 → 4.35 と増え続けます——Guth–Katz の下界と真の値の隙間が、この規模でもはっきり見える。

ただし、この問題は前の二つと性格が違います。n=13 より先の厳密値は誰も知りません。配置空間が連続なので、組合せ的な探索では届かない——「閉じている」のではなく「入口が違う」問題です。

抽選の後に手をつけた、エルデシュの問題の周辺の五つです。どれも問題そのものは解けていません。答えの探し場所を狭めるか、ある構成の道が閉じていることを示すか、既知の量を測り直したものです。番号はエルデシュ問題のサイト（erdosproblems.com）の番号で、上の表の「#」とは別の振り方です。

#1087 — 頂点推移的な点集合は、一つの円に乗る

平面の n 点の中で「どこかの二点の距離が等しい」4 点組の個数の最大 f(n) を見積もる問題です。Erdős–Purdy の評価は n3 log n ≪ f(n) ≪ n7/2 で、f(n) ≤ n3+o(1) かが問われています。既知 対称性の高い配置——点の集合に推移的に働く合同変換の群を持つ配置（頂点推移的な点集合）——は候補として自然ですが、有限で頂点推移的な平面点集合は、必ず一つの円に乗ります。紙・一行

結論：頂点推移的な配置の族からは、下界の log n の因子は出ない。

#104 — 有理格子の中の、半径を固定した 3-リッチ円

平面の n 点に対し、3 点以上を含む単位円の本数は o(n2) か、という問題です。知られている下界は Elekes の n3/2 程度です。既知 隣の #101 では同じ形の推測が Behrend 型の構成で壊されているので、同じ移送が単位円で効くかを調べました。点が有理格子の中にあると、格子の三点の外心は有理点になり、半径 ρ（ρ2 = a/b）の円に乗れる対の二乗距離 D は 4ρ2 = D(1+s2)（s は有理数）を満たすものに限られます。その種類は 4a の約数で決まり ao(1) 個しかないので、半径 ρ の 3-リッチ円は n·ao(1) 本以下、a ≤ nO(1) なら n1+o(1) 本以下です。紙 ρ = 5 では、許される二乗距離の予言 {2, 10, 20, 36, 50, 64, 80, 90, 98, 100} が 13×13 格子の全三つ組の実測と一致し、本数は 19×19 格子（n = 361）で 641 本、n にほぼ比例して増えました。計算

結論：単一の有理格子からの Behrend 型の移送では n3/2 に届かない。賞金の本体（o(n2) かどうか）には何も言っていない。

#99 — 単位正三角形のない最適配置と、直径を実現する対

最小距離 1 の n 点で直径を最小にした配置は、n が大きければ一辺 1 の正三角形を含むか、という問題です。既知の二つを並べました。一つは Eppstein 2018 の、三角形を含まないペニーグラフの辺数の上界 2n − Ω(√n)。もう一つは、平面の棒の骨組みが無限小剛なら辺数は 2n − 3 以上という勘定です。既知 距離 1 の対と直径を実現する対（t 組）を棒にした骨組みが無限小剛である、という明示した仮定 (J) を置くと、二つから t ≥ c√n − 3（c は Eppstein の定数）が出ます。紙・条件つき 一方、凸包の周長からは t ≤ 3.30√n 程度なので、勝負は定数どうしの比較に落ちます。仮定 (J) は定理ではなく、Eppstein の定数の値も確かめていません。

結論：仮定 (J) の下での条件つきの還元。(J) が落ちれば不等式も落ちる。

#40 — g(N) = Nε は答えになりえない

どの g(N) → ∞ について「|A ∩ [1,N]| ≫ N1/2/g(N) なら limsup 1A*1A(n) = ∞」が成り立つか、という問題です。#39 の注記にある Erdős–Rényi の構成は、どの ε > 0 にも、|A ∩ [1,N]| ≫ N1/2−ε で表現関数が有界な集合 A を与えます。既知 これは g(N) = Nε のときの仮定を満たし、結論を破ります。紙 依っているのはサイトに書かれた Erdős–Rényi の記述で、原論文は見ていません。

結論：意味のある範囲は 1 ≪ g(N) ≤ No(1)（たとえば (log N)C）に挟まれる。

#30 — Sidon 集合の誤差項を、凸計画で測り直す

[1,N] の Sidon 集合の最大の大きさ h(N) について、#30 が問うのは h(N) = N1/2 + Oε(Nε) かどうかです。ここで扱ったのはその隣の量、h(N) ≤ N1/2 + γN1/4 + O(1) の係数 γ です。Carter–Hunter–O'Bryant の計算機補助の部分は、関数を「値を固定して折れ点を動かす」形で離散化しているためにセルの列挙が要ります。折れ点を固定して値を動かす形に替えると、同じ問題が凸計画になり、上界の証明書は有理数の接平面一枚で済みます。紙 この方法で b∞ ≤ 1.89715、すなわち γ ≤ 0.94858 を、有理数だけの独立な検算器で確かめました。計算 ただしこれは既知の最良に劣ります。Hou–Zhao（arXiv:2607.01169）の γ0 = 0.94349… の方が小さく、この方法の天井（格子を細かくした外挿で γ ≈ 0.9466）でも届きません。既知

結論：値としては既知の最良に届かない。残るのは、セル列挙が凸計画に置き換わり、証明書が接平面一枚になるという方法の側だけ。#30 そのもの（Nε）には触れていない。

三つとも「名前が中身と違っていた」型でした。そして三つとも、印字していた数字が救っています。

BSD の三つは重なって |Ш| = 1/18 という値を出していました。ずれが 2 と 6 という素直な形をしていたから原因が分かったのであって、1/18 のままなら当分わからなかったと思います。

「10⁶ まで探して見つからなかった」と「存在しない」は違います。同じように「A₅ を調べた」と「A₅ という名前の変数を調べた」も違う。
この回に三度、後者が起きていました。位数を、高さを、ずれ方を印字していなければ、三つとも通っていました。

二度引いた問題です。χ(ℝ²) ∈ {5, 6, 7} は動いていません。二度目に分数彩色数の側から入った記録と、そこから測った量——独立数 α 以下の単位距離グラフの最大点数 f(α)、f(3) = 10・f(4) は 14 か 15——は ハドヴィガー・ネルソン問題 にあります。

七問を引いて六問に手をつけ、どれも解けていません。それでも、この進め方には効いた点があります。

効かなかった点もあります。どの問題も、深さが一回分しかありません。#22 だけはそのまま続けて記事一本になりましたが、残りは「入口の地形を測った」ところで止まっています。

この進め方と、検査の規律・外に出す主張の基準は 進め方 に一枚でまとめています。

出典と再現

§05 を除いて、この記事に新しい数学はありません。使った定理も既知の記録もすべて公開されているものです。§05 の五つは既知の結果を繋いだ紙の議論と計算で、探した範囲で同じ形の記述は見当たらないものの、専門家には自明でありうる小さな観察です。この記事がやったのはそれらを自分の端末で確かめ直し、確かめられた位置と確かめられなかった位置を記録することです。

この回の記録で、いちばん残るのは 8 秒という数字です。正方形ペグ問題を引いて、8 秒で引き直した。なぜ戻したのかは記録にありません。残っているのは、8 秒だったという事実だけ。行動の記録は、行動した者の内観より正確でありうる——順と間隔を実測で残すという進め方は、そのためにあります。