2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 0 部 入口全体の地図

一枚の絵 — 短い距離で道具が最も進み、長い距離で手が離れている

クレイ数学研究所は 2000 年 5 月 24 日、パリで七つの懸賞問題を発表しました。この問題の公式の問題文は Jaffe と Witten が書いています。ヤン–ミルズ理論は非可換な群を使うゲージ理論で、強い力と弱い力の記述の骨組みです（3-02）。核の一文はこうです。既知

任意のコンパクト単純ゲージ群 G について、$\mathbb R^4$ 上に非自明な量子ヤン–ミルズ理論が存在し、質量ギャップ $\Delta>0$ を持つことを証明せよ（§4）。

「非自明」は、理論が自由場（相互作用の無い場。その確率の重みは、正規分布を無限個の変数に広げたガウス型）に帰着しないことです（0-03）。

仕事は二つです。作ること——「存在」には、場の量子論の公理（Wightman の公理、Osterwalder–Schrader の公理）と少なくとも同じ強さの性質の確立が含まれます。公理は、場の量子論が満たすべき条件を数学の言葉で並べた一覧です。Wightman のものは時空（ミンコフスキー空間）の側で、Osterwalder–Schrader のものは時間を虚数にした側（ユークリッド空間）で書かれています（4-09・4-10）。示すこと——エネルギーの作用素 $H$（ハミルトニアン）について

です。$\sigma(H)$ はスペクトルで、取りうるエネルギーの値の集まりと思ってかまいません（1-10）。$0$ は真空のエネルギーで、式 (1) は、どの励起も $\Delta$ 以上のエネルギーを持つと言っています。

例。調和振動子のエネルギーは真空から測って $0,\hbar\omega,2\hbar\omega,\dots$ で隙間 $\hbar\omega$ があり、直線上の自由な粒子の $p^2/2m$ はいくらでも $0$ に近づくので隙間がありません。相対論では静止した粒子のエネルギーが質量（$E=mc^2$）なので、隙間は最も軽い励起の質量に当たります。既知 正確には、問題文の隙間はスペクトルで定義され、粒子では定義されていません。対象はクォークを含まない純ヤン–ミルズ理論で、閉じ込め（色の電荷を持つものが単独では取り出せないこと）は拡張問題です（0-03）。

問題文によれば、古典的なヤン–ミルズ方程式は光速で進む質量の無い波を記述し（§1）、四次元では質量ギャップは古典的に見えません（§6.6）。既知 作用に入る定数は次元の無い結合 $g$ だけで、古典論からは質量が作れないのです。それでも量子論では尺度が一つ生まれる、と物理では考えます（次元転移）。一ループの近似では

です（$\mu$ は基準の尺度、$g^2(\mu)$ はそこでの結合、$N$ は $SU(N)$ の $N$）。隙間は $\Delta=c\Lambda$（$c$ は数）と期待されますが、定理ではありません。物理

関数 $e^{-c/x}$（$c>0$）は $x\to0$ でどの冪よりも速く消えます。

だから $x=0$ での Taylor 係数はすべて $0$ で、$g^2$ の冪級数で展開する摂動論はどの次数でも $\Lambda$ を $0$ と見ます。既知 欠けているのは無限大の値ではなく、級数に載らない量です（表 1）。

20 乗で割った比は $g^2=0.3$ で 1 を超えますが、$g^2\to0$ では $0$ に向かいます。続きは 4-07・6-11・4-12。

横軸に長さ $\ell$（対数）、縦軸にその長さでの結合の強さを取ります。四次元のヤン–ミルズでは短い距離ほど結合が弱くなります（漸近自由。Gross–Wilczek、Politzer、1973 年）。既知 一ループでは $\alpha=g^2/4\pi$ について

です（$g^2$ で書くと式 (2)）。物理 $\ell\to0$ で $\alpha$ は対数の速さでしか消えません。二・三次元では $g^2$ が質量の $4-d$ 乗の次元を持ち、無次元の強さ $g^2\ell^{4-d}$ が冪の速さで消えるので、四次元が境目です（0-04）。

同じ $4-d$ を本の他の量と並べて一本のつまみで動かす図は 1-12 §10 図 4（d = 4 で開く）。

長い側の目印は相関長 $\xi$ です。離れた二点の相関が距離 $r$ について $e^{-r/\xi}$ の速さで減るときの長さで、隙間とは $\xi=1/\Delta$ の関係にあります（$\hbar=c=1$ の単位。4-11）。

理論を作るには、短い側を格子間隔 $a$、長い側を一辺 $L$ の箱で切り、$a\to0$（紫外極限）と $L\to\infty$（無限体積極限）を取ります。長さ 2 倍を一段と数えます（繰り込み群の一段。6-05）。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（式 (4)・$N=3$）。目安 $\alpha_*=0.2$ と $\xi\Lambda=1$ は説明のための選択です。JavaScript が無効なら表 2。

$a$ を 10 分の 1 にするたびに段は約 3.3 増え、増えるのはすべて弱結合の段です。強結合の段は $a$ に依らず約 4.1 です（目安を 0.1・0.3 にすると 8.2・2.7 で、やはり $a$ に依らない）。$L$ を大きくすると $\xi$ より長い側が $\log_2(L\Lambda)$ 段増えます。計算

帯の幅は $\xi$ と $\alpha_*$ の置き方で変わります。物理の数値では、純 $SU(3)$ の最も軽いグルーボール（グルーオン、つまりヤン–ミルズ場の粒子だけでできた束縛状態）の質量 $m$ は $r_0m\approx4.21$（Morningstar–Peardon 1999）、同じ理論の $\Lambda$ は $\overline{\mathrm{MS}}$ という定義で $r_0\Lambda\approx0.602$（Capitani–Lüscher–Sommer–Wittig 1999）と見積もられています。$r_0$ は静的なクォークの間の力から決める長さの物差しです。$\xi=1/m$ と置けば $\xi\Lambda\approx0.14$ で、$\xi$ は $1/\Lambda$ より短い側に来ると見込まれます。物理 式 (4) の $\Lambda$ とは定義が違うので目安ですが、この値なら強結合の帯は $\alpha_*=0.2$ で約 1.3 段、$\alpha_*=0.3$ ではほぼ 0 段です。計算 帯の幅の数値は物理の量ではありません。この絵で頑健なのは、幅が $a$ に依らないことのほうです。

弱結合の帯は展開の足場がある側で、数学が最も進んでいるのもここです（Bałaban。完結はしていません。§06・6-07）。強結合の帯には小さな径数が無く、$a\to0$ でも消えません。$\xi$ より長い帯では、相関の指数減衰を、物理の単位で箱に一様に示すことが鍵になります（§04）。問題の本体は、三つの帯を両方の極限で崩れない評価でつなぐことです。正確には、式 (4) は摂動論の式で、この絵は物理の水準の描像です。物理

問題文が求めているのは $\mathbb R^4$ 上の理論の隙間です。出題者はそこへの道筋として有限の体積の近似を考え、今の方法では方向が見えない場所として「体積に一様な（uniform in the volume）質量ギャップ」と「無限体積の極限 $T^4\to\mathbb R^4$」を挙げます（§6。$T^4$ は四次元の箱の対面を貼ったもの）。前者には新しい考えが要り、それが得られれば $T^4\to\mathbb R^4$ の研究が可能になるだろう、と書いています（§5 末・§6.5）。既知

格子間隔 $a$ と箱の一辺 $L$ を固定すれば、格子の隙間が正であることは易しい側です（7-13 の寄り道）。出題者が鍵と見ているのは、連続の理論（$a\to0$ の後、または $a$ にも一様に）の隙間が、箱の大きさに依らず下から抑えられること

です（§5・§6.5）。$\Delta_{\text{物理}}(L)$ は一辺 $L$ の箱での隙間を $\Lambda$ のような物理の尺度で測った値で、格子の目盛り $1/a$ で測った値ではありません。この区別が大事です。$a$ を固定して格子の目盛りで測るなら、強結合の側では無限体積での指数減衰がすでに示されています（表 4）。要るのは、物理の単位で測った隙間が $a\to0$ と $L\to\infty$ の両方に一様であることです（5-09）。

相互作用の無い場（自由場）で違いを見ます。長さ $L$、両端で場が $0$ の箱の一粒子の準位は

で、隙間は $\omega_1$ です（$\hbar=c=1$）。$m=0$ なら隙間 $\pi/L$ はどの箱にもあるのに $L\to\infty$ で潰れ、$m>0$ なら常に $m$ より大きく、式 (5) の形の一様な下界を満たします。既知

計算この図の数値はこの端末で計算しました（式 (6)）。JavaScript が無効なら表 3。

$m=1$ では $L^2(\omega_1-1)\to\pi^2/2$、$m=0$ では $E\lt1$ の準位が $L/\pi$ の割合で増えます。計算 正確には、この $m$ は手で入れたもので、ヤン–ミルズの隙間は相互作用から生まれなければなりません。隙間のもう一つの顔は相関の減衰で、問題文 §5 の式 (2) は、真空期待値が 0 の局所的な量について、$\Delta$ より小さい任意の正の $C$ で、十分遠方の相関が $e^{-Cr}$ で抑えられることを述べます（0-04・2-09）。

作る仕事は六つの段に分けられます（6-01）。①正則化（格子などで短い距離を切ること）、②有限体積の測度 $\mu_{a,L}$（場の配位への確率の重み。1-08）、③$a\to0$、④$L\to\infty$、⑤公理、⑥隙間。①〜④は

を作ることで、⑤⑥は $\mu$ の性質です。

表 4 の語：「紫外安定性」は、格子間隔を小さくしても量が暴れず、収束する部分列が取れること（極限の一意性は含まない）。「ガウス」は §01 の自由場の型。「公理」は §01 の Wightman・Osterwalder–Schrader の公理。

表 4 の読み方です。四次元のヤン–ミルズの行で ③ に当たる部分は、仮定と概略の水準にとどまり、④⑤⑥ は手つかずです。強結合の行は ④ と ⑥ に似たことを示していますが、$a$ を固定した格子の話で ③ を通っていないので、§04 の式 (5) とは別の命題です。$\varphi^4$ の行は、四次元では極限が自由場になってしまう理論があることを示します。ヤン–ミルズでは非自明な極限が期待されますが、示されてはいません（表 5 の 3）。

問題文は、四次元で公理を満たす非自明な相対論的場の理論を一つも知らないと書きます。Douglas 2004 の報告は到達点を Bałaban と MRS に置き、Chatterjee 2018 の総説は、二次元より上で Wilson ループ（閉じた道に沿ってゲージ場による回転を掛け合わせ、そのトレースを取った量。5-01）が非自明に振る舞う連続極限の構成はまだ無いと書きます。既知 「二・三次元はできる」は非可換のヤン–ミルズでは不正確で、三次元は有限体積（$T^3$）でも連続の測度が構成されていません（6-02・6-06・9-01）。

「無限大の処理を数学が許さないから難しい」は一面です。発散の処理は図 1 の左の帯の話で、最も進んでいます（未完。Bałaban の主定理は有効結合が小さいという仮定つきで、外す定理は未公刊。6-07）。出題者が新しい考えを求めたのは、§04 の発散ではない場所です。既知

表 5 の語：「軌道空間」は、ゲージ変換で移り合う場を同じものと見なして作る空間。「反射正値性」は、ユークリッド空間の測度から量子力学のヒルベルト空間を取り戻すための正値性の条件（4-10）。「相互作用表示」は、自由場の状態空間をそのまま使い、そこに相互作用を足して時間発展を書く書き方（4-09）。

表 5 の読み方です。1 と 2 は図 1 の中央と右の帯、つまり結合が小さくない側の話です。3 は、作った極限が自由場に潰れていないことを示す仕事です。4〜6 は、ゲージ理論と無限自由度という枠組みそのものが持つ構造です。どれも「無限大をどう処理するか」とは別の問題で、発散の処理だけでは片付きません。既知

「非可換だから」も正確には、三次元以上の連続な非可換群で無限体積の指数減衰が示されたのは強結合の側だけで、弱結合の結果は有限群に限られます（Adhikari–Cao。5-06・5-10）。

寄り道：無限大に記号を与えれば

数学の側は「理論はまだ無い」から始め、存在 → 公理 → 隙間の順に作ります（第 5・6 部）。物理の側は「理論は在る」から始め、グルーボール（§03）の質量や弦張力を測ります（第 7 部）。比喩で言えば両側から掘るトンネルで、まだ通じていません。正確には、物理の数値は存在を仮定したときの整合性の確認です（7-01・9-02）。

表 6 の語：「岸」は比喩で、正確には、定理か制御された近似が得られている径数の範囲のこと。$\lambda=g^2N$ は 't Hooft 結合。「幾何に化ける」も比喩で、正確には、ホログラフィーでは隙間が余剰次元を含む幾何の上の波の方程式の固有値として計算される（$1/N$ の主項。物理の水準。7-09）。

表 6 の読み方です。七つはどれも、物理では当たり前とされている一歩が、数学では証明の要る命題になる場所です。1 と 4 は数値計算と極限の関係、2 と 6 は何を「質量」と呼ぶか、3 と 7 は計算できる模型と問題文の理論との距離、5 は時空とユークリッド空間の間の翻訳にかかわります。右端の列は、それぞれを詳しく扱う章です。

この端末の記録が手を付けたのは 2 の周りだけで、「尺度は一つ」を仮定 H として切り出しましたが、証明はしていません（10-03。等価原理との対応は類比。7-12）。残りの六つは名指しまでです。

この本は、この章の絵の各部分を順に詳しくしていきます。第 0 部の残りの二章は、問題文の語（0-03）と二つの四次元（0-04）を読みます。第 1・2 部は数学と物理の準備で、式 (1)・(7) と §04 を読む道具（スペクトル・測度・経路積分・統計力学）を用意します。第 3 部は古典のヤン–ミルズ理論で §02 を、第 4 部は量子化で式 (2)・(4) と公理を扱います。

第 5 部は格子ゲージ理論で、図 1 の $a$ と強結合の側を、第 6 部は構成的場の理論で表 4・表 5 を扱います。第 7 部は物理の側から図 1 の中央と右を見ます。第 8 部は物理の言葉と数学の言葉の対応を並べた辞書（8-01〜）、第 9 部は §05 と表 6 の現在地と課題をまとめ（9-01〜）、第 10 部はこの端末の記録の検討（表 6 の 2 の周り。10-01〜）です。付録は記号表・用語集・文献案内・Lean の案内です。「寄り道」の付いた章と節は飛ばしてかまいません。読む順の提案は 0-01 にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：0-03 問題文を一語ずつ読む。

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