2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備外微分・Stokes・de Rham

微分形式と外微分 — 勾配・回転・発散を一つの d にまとめ、穴を数える

線積分の $P\,dx + Q\,dy$ は、積分記号の中の飾りに見えます。微分形式は、この「積分されるもの」を独立した対象にする言葉です。座標の取り替えでの変わり方が連鎖律で決まり、勾配・回転・発散が一つの演算 $d$ にまとまります。

「$dx$ を $x'(t)\,dt$ に置き換える」規則が、§02 で引き戻しと呼ぶものの最初の例です。例。逆向きにたどると (1) は符号が変わり、長さ $\int|\gamma'(t)|\,dt$ は変わりません。微分形式が測るのは向きのついた量です。(1) の被積分関数は、曲線の各点の速度 $(x'(t), y'(t))$ に数を返す規則になっています。この「接ベクトルに数を返す」という見方が §02 の出発点です。

この本では電磁場が $F = dA$（§09）、ゲージ場が行列値の 1-形式（1-07）、インスタントン数が 4-形式の積分（3-05）として現れます。

点 $p$ の接ベクトル（1-05）に数を返す線形の関数を余接ベクトル、それを各点に滑らかに与えたものを1-形式と呼びます。基本の例は関数の微分 $df$ で、$v$ に方向微分を返します（繰り返す添字は和）。

$dx^i$ は $\partial/\partial x^j$ の双対基底で、座標の取り替えでは連鎖律から $dx'^j = \frac{\partial x'^j}{\partial x^i}\,dx^i$。成分 $\alpha_i$ は、接ベクトルの成分を変える行列 $\partial x'^j/\partial x^i$ の逆行列の転置で変わるので、$\alpha(v) = \alpha_i v^i$ は座標に依りません。曲線 $\gamma$ での線積分は、引き戻し $\gamma^*\alpha = \alpha_i(\gamma(t))\,\dot\gamma^i(t)\,dt$ の一変数の積分 $\int_a^b\gamma^*\alpha$ です。

例 1。$\alpha = -y\,dx + x\,dy$ を単位円 $(\cos t, \sin t)$ で引き戻すと $\gamma^*\alpha = dt$、積分は $2\pi$。例 2。$\gamma^*df = \frac{d}{dt}f(\gamma(t))\,dt$ なので

で、閉曲線なら 0。よって例 1 の $\alpha$ はどんな $f$ の $df$ でもありません。ただし α は §07 で言う「閉」でもありません（§04 の (7) で $d\alpha = 2\,dx\wedge dy \ne 0$）。閉なのに $df$ の形でない例は §07 の $d\theta$ です。

曲線でなくても引き戻しの規則は同じです。写像 $\varphi : u\mapsto x = \varphi(u)$ に対して $\varphi^*\omega$ は、ω の中の $x$ を $\varphi(u)$ に、$dx^i$ を $\frac{\partial\varphi^i}{\partial u^j}\,du^j$ に置き換えたものです。曲線は $u = t$ が一変数の場合で、§03 以降の $L^*$・$\varphi^*$ はすべてこの意味です。

2-形式は二本の接ベクトルから数を返し、それぞれについて線形で、入れ替えると符号が変わるものです。比喩で言えば「向きを覚えた面積計」、正確には各点の接空間上の反対称な双線形形式を滑らかに並べたものです。

左が 1-形式の外積で、規則は $\alpha\wedge\beta = -\beta\wedge\alpha$、特に $\alpha\wedge\alpha = 0$。右は u, v の張る平行四辺形の向きつき面積で、v が u の時計回りの側に来ると負です（図 1）。n 次元の k-形式は $dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$（$i_1 \lt \cdots \lt i_k$）の関数係数の和で、成分は $\binom{n}{k}$ 個、k > n なら 0 です。k-形式と l-形式の外積は (k+l)-形式で、$\alpha\wedge\beta = (-1)^{kl}\,\beta\wedge\alpha$。

例。$\mathbb R^3$ では 1-形式も 2-形式も 3 成分です。$a = a_i\,dx^i$、$b = b_i\,dx^i$ の外積を $dy\wedge dz,\ dz\wedge dx,\ dx\wedge dy$ の係数で読むと、外積ベクトル $a\times b$ です（無作為な 10⁴ 組で一致 計算）。$\mathbb R^4$ の 2-形式は 6 成分で、電場 3 と磁場 3 がちょうど入ります（§09）。線形写像 $L$ で引き戻すと $L^*(dx\wedge dy) = (\det L)\,dx\wedge dy$ です。

$f \mapsto df$ を、k-形式から (k+1)-形式への操作に延ばします（今の形の外微分は É. Cartan（1899）に始まるとされます）。規則は「係数を微分し、出てきた $dx^j$ を左から外積で掛ける」だけです。

$d$ は線形で、k-形式 α について $d(\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge d\beta$。そして

理由：$d(df) = \partial_i\partial_j f\,dx^i\wedge dx^j$ で、係数は i, j について対称（偏微分の順序交換）、$dx^i\wedge dx^j$ は反対称なので和が消えます。k-形式でも、係数の二階微分の対称性と外積の反対称性で同じように消えます。例。平面では $dx\wedge dx = 0$ と $dy\wedge dx = -dx\wedge dy$ だけを使って

既知$\mathbb R^3$ では 0-形式の $d$ が勾配、1-形式 $a_i\,dx^i$ の $d$ が回転（$(\partial_y a_z - \partial_z a_y)\,dy\wedge dz + \cdots$）、2-形式 $b_x\,dy\wedge dz + \cdots$ の $d$ が発散 $(\nabla\cdot\mathbf b)\,dx\wedge dy\wedge dz$ です。(6) は $\nabla\times\nabla f = 0$ と $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf a) = 0$ を一度に言っていて、2-03 §02 がポテンシャルを導入したときの恒等式です。

§02 の引き戻しと $d$ は入れ替えられる（$\varphi^*d\omega = d\varphi^*\omega$）既知ので、$d$ は座標に依らず、計量なしに多様体の上で定義されます。極座標の $df = \partial_r f\,dr + \partial_\theta f\,d\theta$ には勾配の公式の $1/r$ が無く、$1/r$ は計量から入ります。

k-形式は向きのついた k 次元の部分の上で積分します。部分を $\varphi : D\subset\mathbb R^k \to M$ で表し、引き戻して普通の多重積分にします：$\int_\varphi\omega = \int_D\varphi^*\omega$。(4) から次が出ます。

変数変換の公式の $|\det|$ の代わりに符号つきの $\det$ が出て、向きを反転すると符号が変わります。多様体全体では地図ごとに計算して貼り合わせるので、全体で向きを揃えられること（向き付け可能）が要ります（メビウスの帯は不可）既知。

例。極座標では $dx\wedge dy = (\cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta)\wedge(\sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta) = r\,dr\wedge d\theta$。面積要素の $r$ は外積から出ます。

例（曲面）。上半球面を外向きに向け、球座標 $\psi(\vartheta, \varphi) = (\sin\vartheta\cos\varphi, \sin\vartheta\sin\varphi, \cos\vartheta)$（$0 \le \vartheta \le \pi/2$）で表します。$(\vartheta, \varphi)$ の順は外向きの向きに合います。(8) の $\det$（$x, y$ の二成分についての 2×2）を計算すると $\psi^*(dx\wedge dy) = \cos\vartheta\sin\vartheta\,d\vartheta\wedge d\varphi$ なので

です（数値積分と向きの確認 計算）。値は半球体の体積と同じです。偶然ではなく、次の §06 の Stokes の定理の一例です：$d(z\,dx\wedge dy) = dx\wedge dy\wedge dz$ で、半球体の縁のうち底の円板では $z = 0$ です。

「内側での微分の総和は、縁での値の総和」。(3) を全次元にまとめた形です。M をコンパクトで向きのついた n 次元の多様体（縁 $\partial M$ があってよい）、ω を (n−1)-形式とすると

$\partial M$ の向きは、外向きの法線を先頭に置くと M の向きになるように取ります。区間なら (3)、平面の領域なら (7) による Green の定理、$\mathbb R^3$ の曲面なら回転の Stokes の定理、立体なら Gauss の発散定理です 既知。

証明の筋。長方形 $[a, b]\times[c, d]$ で $\omega = Q\,dy$ なら $\iint\partial_x Q\,dx\,dy = \int_c^d(Q(b, y) - Q(a, y))\,dy$ で、右の辺（上向き）と左の辺（下向き）の線積分の和です。一般の領域は小さな正方形に分けます。隣り合う正方形は共通の辺を逆向きにたどるので内側の辺は打ち消し合い、外周だけが残ります。一方、小さな正方形の周回は「中心の $d\omega$ × 面積」に近づきます。

計算表 1　図 2 の ω で、各小正方形の周回を四辺の線積分の和として求めたもの（面積分は使わない）。

総和はどの N でも外周の $\oint\omega = 6$ と一致し（差 3×10⁻¹⁵ 以下）、ずれはちょうど $1/N^2$ で減ります（一辺 $h = 2/N$ の正方形で $3y^2$ の平均が中心の値より $h^2/4$ 大きい）。単位円板でも両辺は $5\pi/4$ で一致 計算。

$d\omega = 0$ なら閉、$\omega = d\eta$ となる η があれば完全といいます。(6) から完全なら閉。逆は空間の形に依ります。原点を除いた平面で：

(7) で $\partial_x\frac{x}{r^2} + \partial_y\frac{y}{r^2} = \frac{2r^2 - 2x^2 - 2y^2}{r^4} = 0$ なので閉。単位円では例 1 と同じく $\oint d\theta = 2\pi$ なので、(3) から完全ではありません。偏角 θ は一周で 2π 増えるので、切れ目（例えば負の x 軸）を入れた領域でだけ関数です。dθ は切れ目なしに定義されます。

Poincaré の補題。星形の領域（ある点と各点を結ぶ線分を含む）では閉形式はすべて完全です 既知。原点に関して星形なら、閉じた 1-形式 α に対し

が $d\eta = \alpha$ を満たします（$d(\sin x\,e^y + x^3y)$ で確認。基点を (1, 0) に移すと右半平面の dθ から θ が戻る 計算）。

巻き数。$\frac{1}{2\pi}\oint_\gamma d\theta$ は閉曲線 γ が原点の周りを回る回数で、原点をまたがない変形では変わりません（変形の軌跡の帯で dθ は閉なので、(9) から差は 0）。θ は負の x 軸を上から下へ横切るたびに π から −π へ跳ぶので、巻き数は切れ目を横切った向きつきの回数でもあります。

計算表 2　$\frac{1}{2\pi}\oint d\theta$。2×10⁵ 点で二通りに計算し、整数との差は 10⁻⁹ 未満。

1-05 の寄り道（毛玉の定理）の零点の指数もこの巻き数です。2-03 §06 のソレノイドの外では $A = \frac{\Phi}{2\pi}\,d\theta$ で、$dA = 0$ なのに周回は Φ。Aharonov–Bohm 効果は、閉で完全でない形式の物理です。

閉形式のうち完全なものを 0 と見なし、残りを数えます。

$b_k$ を Betti 数と呼びます。例。$H^0$ は連結成分ごとに定数の関数なので、$b_0$ は連結成分の数。$H^1(\mathbb R^2\setminus\{0\})$ は [dθ] が張る一次元です（閉形式 ω から $c\,d\theta$ を引いて単位円での周回を 0 にすると完全になります。どの閉曲線も原点をまたがずに「単位円を何周かする曲線」へ変形でき、変形で周回は変わらない（§07 の議論）ので周回はすべて 0。すると基点からの線積分が道に依らず関数を定めるからです 既知）。球面の面積形式 σ は閉で $\int_{S^2}\sigma = 4\pi$ ですが、$\sigma = d\eta$ なら縁の無い $S^2$ で (9) から積分は 0 のはず。よって完全ではありません。

de Rham（1931）の定理を今日の言葉で言うと、$H^k$ は形式を使わず位相だけで定義されるコホモロジー（実係数）と一致します 既知。例：$\mathbb R^n$ は (1, 0, 0, …)、$\mathbb R^3\setminus\{0\}$ は (1, 0, 1, 0)、$S^4$ は (1, 0, 0, 0, 1)（3-05 の舞台）。

点磁荷。$\mathbb R^3\setminus\{0\}$ の 2-形式 $\beta = (x\,dy\wedge dz + y\,dz\wedge dx + z\,dx\wedge dy)/r^3$ は磁場 $\hat{\mathbf r}/r^2$ で、$d\beta = 0$ ですが原点を囲む閉曲面での積分は 4π（球面・ずらした立方体で差 10⁻⁹ 未満、囲まない球面で 0 計算）です。よって全体で $dA = \beta$ となる A はありません。負の z 軸の外では $A_N = (1 - \cos\vartheta)\,d\varphi$、正の z 軸の外では $A_S = -(1 + \cos\vartheta)\,d\varphi$（球座標）が使え、差 $2\,d\varphi$ は多価の関数 2φ によるゲージ変換です 計算。北と南の二つの領域でポテンシャルを別々に取り、重なりでゲージ変換により貼り合わせる扱いは Wu–Yang（1975）の §III にあります。この貼り合わせの言葉が束と接続です（1-07）。

全磁束を Φ とすると差は $\frac{\Phi}{2\pi}\,d\varphi$（ここでは Φ = 4π）です。電荷 q の粒子の位相因子 $e^{iq\chi/\hbar}$（2-03）が $\chi = \frac{\Phi}{2\pi}\varphi$ で一価になるのは、$q\Phi/h$ が整数のときです。点磁荷の量子化は Dirac（1931）によるもので、束の言葉での読みは 1-07 §08 にあります。

寄り道：格子の上の微分形式

ここまで計量を使っていません。ホッジ双対には計量が要るので、この節で使う分だけをその場で定義します。計量は、座標の方向どうしの内積 $\eta_{ij}$ の表で与えます（ここでは対角で、成分は ±1）。ミンコフスキー時空（2-04）では座標 $(t, x, y, z)$ について $\eta = \operatorname{diag}(-1, 1, 1, 1)$（符号 $(-,+,+,+)$、$c = \varepsilon_0 = \mu_0 = 1$）、ユークリッドの $\mathbb R^4$ では $\eta = \operatorname{diag}(1, 1, 1, 1)$ です。

• 体積形式：$\mathrm{vol} = dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$（ユークリッドでは $dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3\wedge dx^4$）。
• 形式どうしの内積：基底について $\langle dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k},\ dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\rangle = \eta_{i_1i_1}\cdots\eta_{i_ki_k}$、添字の組が違う基底どうしは 0。一般の形式には係数について双線形に延ばします。
• ホッジ双対：k-形式 β を (n−k)-形式 $*\beta$ に移す線形写像で、すべての k-形式 α について $\alpha\wedge *\beta = \langle\alpha, \beta\rangle\,\mathrm{vol}$ となるもの。

例。ミンコフスキーで $\langle dt\wedge dx, dt\wedge dx\rangle = \eta_{tt}\eta_{xx} = -1$ と $dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz = \mathrm{vol}$ から $*(dt\wedge dx) = -dy\wedge dz$。$\langle dy\wedge dz, dy\wedge dz\rangle = +1$ と $dy\wedge dz\wedge dt\wedge dx = \mathrm{vol}$ から $*(dy\wedge dz) = dt\wedge dx$ です（2-形式の基底 6 個すべてで確認 計算）。時間を含む基底にだけ −1 が入り、これが (14) の符号と下の $**$ の符号に効きます。

電磁場に使います。ポテンシャルを 1-形式にまとめると

（$\mathbf E = -\nabla\phi - \partial_t\mathbf A$、$\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$）。Maxwell 方程式の四本は二つになります。

$dF = 0$ は (6) から自動的で 2-03 の (M2) の二本、$d{*F} = {*j}$ が (M1) の二本です（無作為なポテンシャルで確認 計算）。ゲージ変換 $A \mapsto A + d\chi$ で F が変わらないのも (6) です（2-03 の (G)）。作用に入るのは $F\wedge *F = (|\mathbf B|^2 - |\mathbf E|^2)\,\mathrm{vol}$、また $F\wedge F = -2(\mathbf E\cdot\mathbf B)\,\mathrm{vol}$ です 計算。

四次元でだけ起きること

$*F$ は (n−2)-形式で、F と同じ次数になるのは n = 4 だけです。2-形式の上の $**$ はユークリッドの $\mathbb R^4$ で +1（$*$ の固有値 ±1 が 3 個ずつ）、ミンコフスキーで −1（固有値 $\pm i$）です（公式 $(-1)^{k(n-k)+s}$、s は負の符号の数、とすべての k で一致 計算）。ユークリッドでは $F = F^+ + F^-$（自己双対・反自己双対）と分かれ、$|F|^2 = |F^+|^2 + |F^-|^2 \ge \bigl||F^+|^2 - |F^-|^2\bigr| = |\langle F, *F\rangle|$。積分すると $\int F\wedge *F \ge |\int F\wedge F|$、等号は $F = \pm *F$ で、インスタントンの不等式の骨格です（3-05）。

ミンコフスキーでは 2-形式の上で $** = -1$ なので、$*F = \lambda F$ なら $-F = \lambda^2F$ となり、$*F = \pm F$ を満たす実の F は 0 だけです。物理では、インスタントンを虚時間（2-04・4-02）で考えます。U(1) では $F\wedge F = d(A\wedge F)$ と完全なので、その積分は境界（無限遠）の項だけで決まります。非可換の場合に、これが整数値の位相的な量になります（3-05）。

四次元の記事・1-12 も参照。非可換では $F = dA + A\wedge A$（$A$ は反エルミートな行列に値をとる幾何の書き方。物理の書き方との翻訳は 3-02）で、$dF = 0$ の代わりに $dF + A\wedge F - F\wedge A = 0$（Bianchi）です（1-07・3-03）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-07 ベクトル束と接続（§08 の貼り合わせ）。

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