2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論無限体積極限

無限体積極限とクラスター展開 — 小さい β では塊の展開が箱によらず収束し、極限と格子の隙間が出る

格子ゲージ理論はまず一辺 $L$ の箱 $\Lambda_L$ で定義します。Wilson 作用（5-01）と Haar 測度の重みは、コンパクトな空間の上の普通の確率測度です。

質量ギャップは距離を無限に延ばしたときの言明（4-11 §02）なので、箱を大きくした極限を考えます。有限個のリンクで決まる連続関数を局所観測量と呼び、全格子の上の確率測度 $\mu$ が

を満たすとき、$\mu$ を無限体積極限と呼びます。測度の弱収束です。Chatterjee（2018）§3 は “a weak limit of the above probability measures as Λ ↑ Zⁿ” と書きます 既知。

例：二次元で自由境界なら、ゲージを木に沿って固定するとプラケット変数が独立になり、どの箱でも $\langle W_{R\times T}\rangle=u^{RT}$（5-02 §04）で、極限は自明です 既知。

存在はコンパクト性でほぼ無料です。$\langle F\rangle_L$ は有界な数列なので収束する部分列があり、局所観測量を近似する可算個の関数について対角線論法で同時に収束させられます 既知。

難しいのは一意性です。Chatterjee（2018）§3 は “The infinite volume limit may or may not be unique. Indeed, the uniqueness (or non-uniqueness) is in general unknown for lattice gauge theories in dimensions higher than two when β is large.” と書きます 既知。破れる例を二次元イジング模型（2-09）で見ます。$L\times L$ の箱の外周を $\pm1$ に固定し、中心のスピンの平均を測ります。

右は自発磁化の厳密な式です 既知。$\beta\gt\beta_c$ では境界条件ごとに異なる極限が現れます（相転移。2-08）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（列の転送行列）。JavaScript が無効なら表 1 が中身です。

中心と外周の距離は $(L+1)/2$ で、$\beta=0.2$ の $\ln(\langle\sigma_0\rangle_{13}/\langle\sigma_0\rangle_{15})=1.219$ は相関の減衰率 $2(K^*-K)=1.223$（2-09 §06）とほぼ同じです 計算。境界の影響は相関と同じ速さで消えます。ゲージ理論で相関の減衰を示す道具が §04 からの塊の展開です。

小さい $\beta$ では各プラケットの重みがほぼ定数です。重みを「定数×(1＋小さなずれ)」に分けて積を開きます。

ずれを拾うプラケットの集合 $X$ を、リンクを共有すればつながるという規則で連結な部分に分けます。リンクを共有しない部分の積分は独立なので、積に分かれます。

$|\mathcal P|$ は箱のプラケットの数です。これは 6-04 §03 のポリマー模型そのものです 既知。活量について二つの事実が効きます。

右は、そのリンクが一枚の $f(AU_\ell B)$ にしか現れず、Haar 測度の不変性で $\int f(AU_\ell B)\,dU_\ell=\int f=0$ となるからです。残るのは、どのリンクも二枚以上に囲まれた閉じた塊だけです。最小は単位立方体の表面（6 枚）です。

例：$\mathbb Z_2$ では $f=\tanh\beta\cdot U$ で立方体の活量は $\tanh^6\beta$。$SU(2)$ では各面を 5-02 の (3) で $f=\sum_{j\ne0}d_j\,u_j\,\chi_j$ と展開し、5-02 の (5) で積分すると、全部の面が同じ表現 $j$ を持つ項だけが残ります。閉じた面では、その寄与が $d_j^{\,F-E+V}u_j^{\,F}$ になるという規則が知られています（$F,E,V$ は面・辺・頂点の数、$F-E+V$ は面のオイラー標数で、立方体の表面は球なので $6-12+8=2$）既知。立方体なら次のように確かめられます。隣り合う面を (5) の右の式で 5 回貼ると（1 回ごとに $1/d_j$）、6 枚は一枚の円板になります。その縁を一周する積では、残る 7 本のリンクが $U_\ell\,U_\ell^{-1}$ と隣り合うものから順に打ち消し合い、単位行列が残ります。したがって $d_j^{\,6}\cdot d_j^{-5}\cdot\chi_j(1)=d_j^{\,2}$ です。

$\beta=1$ で $7.682\times10^{-4}$、Monte Carlo の直接積分は $7.63(8)\times10^{-4}$ です 計算。

言葉を四つ決めます（詳しくは 6-04 §03・§04）。(6) の $X$ をポリマー（塊）と呼びます。二つの塊がリンクを共有するとき相容れないと言います。相容れない関係で一つにつながった塊の列（同じ塊が何度出てもよい）をクラスターと呼びます。(6) の左辺の対数はクラスターごとの項の和に書き直せ、問題はその和が箱によらず絶対収束するかどうかです 既知。

収束は塊の数の増え方と重み $\varepsilon^n$ の勝負です。根のプラケットを含むリンクでつながった $n$ 枚の集合の数を $c_n$ とします。一枚のプラケットには 4 本のリンクがあり、一本のリンクは $2(d-1)$ 枚に含まれるので、リンクを共有する相手は $D=4(2(d-1)-1)=4(2d-3)$ 枚（四次元で 20）です。Borgs–Chayes–Kahn–Lovász（2010）の補題 2.1(c) の上界があります 既知。

比は $n=6$ で約 26、上界の増え方 53 はその倍ほどです。閉じた塊は $n\le5$ に無く、$n=6$ の 4 個は四つの立方体です 計算。この数え方で収束を保証するには、$\varepsilon$ が塊の増え方の逆数（表 2 の比から $1/26$ より小さく、(9) から $1/53$ より大きいと見込まれる値）より小さいことが要ります。

比喩で言えば、一枚ごとに $\ln(1/\varepsilon)$ の費用と $\ln 26$ ほどの選び方の得の勝負です。正確には、得が勝っても展開が使えなくなるだけで、相転移が起きるとは限りません（6-04 §10）。

勝負を定理にするのが Kotecký–Preiss の条件です（6-04 §06）。定理の形では、ある $a\gt0$ があって、すべての塊 $X$ で (10) の左の不等式が成り立てば、(6) の対数のクラスターの和は箱によらず絶対収束します 既知。各塊に予算 $a|X|$ を配り、相容れない相手の重み（$e^{a|X'|}$ を掛けたもの）の合計が予算に収まる、という読み方です。

右は、$X$ のリンクが高々 $4|X|$ 本、一本のリンクを含む塊はその $2(d-1)$ 枚のどれかを含む、という勘定です。$c'_n$ は閉じた塊の数（$n\le6$ は表 2、$n\ge7$ は (9)）です。$\varepsilon=x\,e^{-8(d-1)G(x)}$ を $x=\varepsilon e^a$ について最大化すると保証の上限 $\varepsilon_{\max}$ が出て、$\varepsilon(\beta)=\varepsilon_{\max}$ を解けば $\beta$ の範囲です。

計算この図の数値はこの端末で計算した。JavaScript が無効なら表 3 が中身です。

保証されるのは $\beta\lt0.016$ 程度で、$\varepsilon\approx\beta$ なので群にほぼ依りません。5-02 表 2 で強結合の式が数値と合った $\beta\le1$ より二桁狭く、出所は上限ノルム（$SU(2)$・$\beta=0.1$ で $\varepsilon=0.104$、$u=0.025$）、(9) の粗さ、打ち消し合いの無視です 計算。表 3 は「展開が止まる場所」ではありません。

(10) が箱によらず成り立つと、6-04 §08 から次が出ます 既知。

(a) 解析性。一枚あたりの $\ln Z_L$ の極限は $\beta$ の解析関数（複素の $\beta$ まで広げても収束する）で、その範囲に相転移はありません。(b) 極限の存在。$\langle F\rangle_L$ は部分列を取らずに収束します（境界の影響は表 1 と同じく指数で消える）。言えるのはその境界条件の列での極限の存在で、境界条件によらない一意性は §08 の道によります。(c) 指数的なクラスター性。二つの局所観測量の連結相関には両方の台に触れるクラスターだけが残り、距離 $r$ を結ぶには $r$ 枚程度以上が要ります。

例：二枚のプラケットを結ぶ最小の塊は、その二枚を両端とする側面 $4t$ 枚の管（両端と合わせて閉じた面）で、主項は $m_0=-4\ln u$（5-02 §05）。(11) はそれを箱によらず正当化します。

(d) 格子の隙間。転送行列 $T$（5-03 §05）を、真空 $\Omega$ の固有値が 1 になるよう規格化します。ゲージ不変な局所観測量 $F$ が作る状態 $F\Omega$ から真空の成分を引いたものについて、時間の向きの (11) は $\langle F\Omega,T^tF\Omega\rangle$ がどの $F$ でも $e^{-mt}$ の速さで減ることを言います。こうした状態は真空に直交するゲージ不変な状態の全体で稠密なので、スペクトル定理から、そこでの $T$ のスペクトルは $[0,e^{-m}]$ に収まります（4-11 §02）。つまり真空に直交するゲージ不変な状態の上で $\|T\|\le e^{-m}$ で、$-\ln T$ の隙間は $m$ 以上です。

文献では、Shen–Zhu–Zhu（2023）§1 が Osterwalder–Seiler（1978）の内容を “the existence of a mass gap (exponential clustering) follows from convergence of the cluster expansion, so do existence of the infinite volume limit and analyticity of Schwinger functions in the inverse coupling.” とまとめ、一意性は “should also follow” と弱く書きます。Chatterjee（2018）§6 は “quark confinement and the existence of a positive self-adjoint transfer matrix” が示されたと書きます 既知。原論文の要旨も “We then prove existence and analyticity of the infinite volume limit of strongly coupled Yang-Mills theories on the lattice and we verify Wilson's confinement bound.” と述べます（本文は読んでいません）。

塊を数えずに届く道もあります。言葉を三つ用意します。

三つの言葉 — Langevin 力学・Ricci 曲率・ヘッセ行列

Langevin 力学は、リンク変数を $dQ=-\nabla S_W(Q)\,dt+\sqrt2\,dB$ の形で確率的に動かす力学です。$\nabla$ はリンク変数の群の上の勾配、$B$ は群の上のブラウン運動（各リンクに独立な揺らぎ）です。坂を下る力と揺らぎの釣り合いで、測度 (1) を変えない（不変測度に持つ）ように作ってあります（6-09）。Ricci 曲率は、群を曲がった面と見たときの曲がり具合です。球面のように正に曲がっていると、近くから出た測地線が寄り集まります。$SU(N)$ では至る所で同じ正の定数（Shen–Zhu–Zhu の内積の規格で $N/2$）です。ヘッセ行列は、作用 $S_W$ の二階微分を群の上で取ったものです。

Poincaré 不等式と Bakry–Émery の判定法

鍵は Poincaré 不等式（1-10）です。

$C_P$ が箱によらないことが「一様な評価」に当たります。1-10 の (9) では、一次元で $V''\ge\kappa\gt0$ なら $C_P\le1/\kappa$ でした。群の上では曲率がこの $\kappa$ に加わり、Bakry–Émery の判定法は次の形になります 既知。

Shen–Zhu–Zhu の仮定 1.1 は、$SU(N)$ で $K_S=N/2-8N|\beta_{\mathrm{SZZ}}|(d-1)\gt0$ です。右の項は、ヘッセ行列が $-8N|\beta_{\mathrm{SZZ}}|(d-1)$ より下がらないという評価から来ます。ヘッセ行列が $|\beta|N$ の程度に収まることが要です（一本のリンクの例は 5-11）。比喩で言えば、丸い器の底へ戻す力が作用の凸凹より強い状態です。正確には、比べるのは曲率 $N/2$ と、ヘッセ行列が負になりうる大きさ $8N|\beta_{\mathrm{SZZ}}|(d-1)$ です。

Shen–Zhu–Zhu の定理

Shen–Zhu–Zhu（2023）は $SU(N)$ で $|\beta_{\mathrm{SZZ}}|\lt1/(16(d-1))$（$\beta=N^2\beta_{\mathrm{SZZ}}$。換算は 5-01 表 4）の下で、要旨に “The finite volume Yang–Mills measures converge to this unique invariant measure in the infinite volume limit”、“the infinite volume measure has a strictly positive mass gap” と書きます。定理 1.2 は、Langevin 力学の不変測度が一つしかないこと (1) と、周期境界の箱の測度の極限が部分列によらずそれに一致すること (2) を示します。群がコンパクトなので箱の測度の列はいつも緊密（tight）で、(2) の “every tight limit” は §02 の意味の部分列の極限と読んでよいものです。注意 1.3 は、周期境界を Dirichlet などの境界条件に替えても極限は同じ不変測度だと述べます。強結合の範囲での §02 の問いへの一つの答えです 既知。四次元 $SU(2)$ なら $\beta\lt1/12$ です。

表の上と下で「無限体積極限」の意味が変わります。この章の極限は格子間隔を固定したものです。連続極限では $a\to0$ と同時に格子単位の箱も無限大になり、隙間は格子単位で $m(\beta)\to0$ と閉じるはずです（5-09）物理。要るのは物理の単位で一様な隙間で、そこに小さな $\varepsilon$ はありません。問題文 §6 は “no present ideas point the direction to establish the existence of a mass gap that is uniform in the volume. Nor do present methods suggest how to obtain the existence of the infinite volume limit T⁴ → R⁴.” と書きます 既知。

また、解析性は (10) が保証する複素 $\beta$ の小さい円板の外を語りません。四次元の $U(1)$ では大きい $\beta$ で面積則が破れ（Guth 1980。Chatterjee（2018）§4 によれば完全に厳密な証明は Fröhlich–Spencer 1982。5-06）、非可換群では有限の $\beta$ に臨界点が無い（相関長は $\beta\to\infty$ でだけ発散する）ことは Chatterjee（2018）§5 の “It is believed that … many of the non-Abelian lattice models of interest have βc = ∞.” の水準です 物理（6-10）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-05 弱結合と連続極限（反対の岸）。一般論は 6-04。

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