2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備四次元の特別さ

寄り道：四次元でだけ起きること — 八つの事例を、ヤン–ミルズの側から読み直す

記事「四次元でだけ起きること」の出発点は、動ける方向は $n$ 個なのに回転できる平面は

個ある、という数え方でした。三次元では平面と垂直な軸が一対一に対応し、回転を軸で言えます。四次元では 6 枚の平面に垂直なのはまた平面で、この 6 が 3＋3 に割れることが多くの節の出発点です。割れ方は 02・03 節で、四元数の左右の掛け算として具体的に書きます。

記事の八つの事例がこの本で顔を出す場所を表にします。左の列は記事の見出しへ、右の列はこの章の節と本体の章へのリンクです。記事に無い話題（尺度と集中・無限遠の巻き数）は 04〜06 節で足します。表の左の番号は記事の事例の番号で、この章の節番号とは別です。この章そのものが寄り道なので、気になる行だけを拾って読んでもかまいません。

四次元の点を一つの数と読みます。四元数は実数に記号 $i,j,k$ を足した数で、規則は次の一行です。掛け算は結合的ですが可換ではありません（$ij=k$、$ji=-k$）。

長さ 1 の四元数は $S^3$ をなし、掛け算で SU(2) と同じ群になります（SU(2) が $S^3$ であることは 1-02 の 05 節）既知。長さ 1 の $q,p$ を左右から掛けると四次元の回転になり、どの回転もこの形に書けます。同じ回転を与えるのは $(q,p)$ と $(-q,-p)$ の組だけです 既知。三次元の $SO(3)\cong SU(2)/\{\pm1\}$（1-02）と違い、SU(2) が二つあります。

例。$q=\cos a+i\sin a$、$p=\cos b+i\sin b$ なら $(x_1,x_2)$ 面が角 $a-b$、$(x_3,x_4)$ 面が角 $a+b$ 回ります。事例 01 の二つのつまみ（xy 面と zw 面の速さ）は、左右の角の差と和です。無作為な 200 組で (3) が行列式 1 の直交行列であることを確かめました 計算。

場の強さ $F$ は各点で反対称な配列 $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$ で、独立な 6 成分が一枚ずつの平面に付いています。電磁場なら、この 6 成分は電場 $E$ の 3 つと磁場 $B$ の 3 つです（1-06 の (13)）。ヤン–ミルズでは各成分がリー環（1-03）の元になりますが、この節では実数とします。ホッジの星 $*$ は各平面を垂直な平面に移す操作で、$\varepsilon_{1234}=1$ の完全反対称な記号で

です。$n$ 次元の $*$ は二形式を $(n-2)$-形式に送るので、二形式に戻るのは $n=4$ だけです。$**=1$（1-06）なので $F^\pm=\frac12(F\pm *F)$ と分けられ（$|F|^2=\sum_{\mu\lt\nu}F_{\mu\nu}^2$）、作用の密度と位相の密度（06 節）が同じ二つで書けます。$F=\pm*F$ を自己双対・反自己双対と呼びます。

(4) を使うと $F^\pm$ の独立な成分は三つずつで、長さの二乗が $|F^\pm|^2$ になるように並べると次の形です。図 1 の三本の軸はこの順です。

要点は (3) との関係です。回転 $x\mapsto qx\bar p$ は $F^+$ の 3 成分を $q$ だけで、$F^-$ の 3 成分を $p$ だけで回し、二つを混ぜません 既知。

どちらが $F^+$ を回すかは規約で決まります。向きや四元数への座標の割り当てを変えると左右が入れ替わります。この本では (2) と $\varepsilon_{1234}=1$ に揃えます。この規約では、左から $i$ を掛ける行列は $dx_1\wedge dx_2+dx_3\wedge dx_4$ に比例して自己双対、右から掛ける行列は $dx_1\wedge dx_2-dx_3\wedge dx_4$ に比例して反自己双対です 計算。

例。$q=\cos a+i\sin a$ は $F^+$ を第 1 軸のまわりに角 $2a$ 回し、$a=180^\circ$（$q=-1$）で元に戻ります。1-02 の二重被覆が $F^+$ の上に見えます。無作為な 200 個で、(5) が成り立つこと、二つを混ぜる成分が $2.2\times10^{-16}$ 以下であること、左の掛け算で $F^-$ が不動で鏡 $x_4\mapsto-x_4$ では二つが入れ替わることを確かめました 計算。

計算始めの場は $F=dx_1\wedge dx_2+0.6\,dx_1\wedge dx_4+0.3\,dx_2\wedge dx_3$。図は (2)(4) をその場で計算し、python3 の値と一致（鏡ありの行を含む）。点線は軌道。

鏡とミンコフスキーの符号

鏡は (5) の右辺の符号を変えます（事例 04）。インスタントンの鏡像は反インスタントンで、θ 項（(5) の右辺の積分に係数 $\theta$ を掛けて作用に足す項）が鏡で符号を変えるのもこのためです（3-05）既知。ミンコフスキーの符号では $**=-1$ で実の自己双対な場は無く（符号が一つ違う）、虚時間で考える理由の一つです（4-02）。

場の形を保って大きさだけ $1/\lambda$ 倍にすると $A_\lambda(x)=\lambda A(\lambda x)$、$F_\lambda(x)=\lambda^2F(\lambda x)$ です（ゲージ場は長さの逆数の次元）。$y=\lambda x$ と置き換えると

で、四次元だけ作用が大きさによりません。古典の理論に好みの長さが無いということで、2-04 の $[g^2]=4-d$ の別の顔です 既知。問題文の 'the mass gap is not classically visible'（Jaffe–Witten §6.6）もこれと関係します（4-07）。

帰結の一つ。作用有限の解（停留点）なら、大きさの変形でも作用は一次で変わりません。

よって $d\ne4$ なら $F=0$ で、作用有限で自明でない解は四次元にしかありません（変形が許されるだけの減衰を仮定。同種の議論は Derrick 1964 とされます）既知。

例。格子で見ても同じです。格子間隔 $\epsilon$ の $n$ 次元格子では、格子の各小正方形（プラケット）に付く量の和が作用の役をし、それに逆結合 $\beta$（作用の前に掛かる係数で、$1/g^2$ に当たります。定数倍は規格化により、Wilson の規約では $\beta=2N/g^2$）を掛けます（5-01）。プラケットの和は $\frac{\epsilon^{4-n}}{4}S_{\mathrm{YM}}(A)$ で近似されます（$S_{\mathrm{YM}}$ は (7) の作用から $1/2g^2$ を外した積分）。そこで $\beta$ は古典的には、和が $\epsilon^{4-n}$ で縮む分を補うように $\beta\,\epsilon^{4-n}$ を一定に保てばよく（$\beta\propto\epsilon^{n-4}$）、$n=4$ では動きません。三次元なら $\beta\propto1/\epsilon$ で、$[g^2]=1$ と合います。物理では四次元の $\beta$ は $\log(1/\epsilon)$ のように動くと信じられていますが、疑いもあり数学では未解決です（Chatterjee, arXiv:1803.01950 §3）物理。この走りが漸近自由です（4-06）。

計算左は (9)、右は (7) の $\rho^{d-4}$（$\rho=1/\lambda$）をその場で計算（python3 の積分比と一致）。$d\ne4$ は同じ形を縮めたときの比で、解ではありません。

ここからは値がリー環の場を扱うので、$|F|^2$ を決めておきます。1-04 の $T_a$ に $-i$ を掛けた $t_a=-iT_a$（$\operatorname{tr}(t_at_b)=-\tfrac12\delta_{ab}$）で $F_{\mu\nu}=\sum_aF^a_{\mu\nu}t_a$ と書き、

とします。$t_a$ が反エルミートなので $\operatorname{tr}F^2$ は負で、負号が付きます。(5) も各 $a$ について足したものと読みます。

最も簡単な自己双対な解（BPST のインスタントン、3-05）は、作用の密度が原点に丸く集まった形です。$1/g^2$ を単位にした作用の密度 $s=\tfrac12|F|^2$ と、半径 $R$ の内側の作用の割合は、大きさ $\rho$ の解で次の通りです（$d^4x=2\pi^2r^3dr$、$2\pi^2$ は単位の $S^3$ の面積）既知。$s$ の形は上の規格化で BPST の接続から計算し直しました 計算。

計算表 1　(9) の数値積分。全体は $\rho$ によらず、半径 $\rho$ の内側にいつも半分が入ります。

例。$\rho\to0$ で、作用を $8\pi^2/g^2$ に保ったまま密度が一点に潰れます。三次元以下なら縮めると作用が増える（図 2）ので集中は止まりますが、四次元では止まりません。この集中の扱いが四次元の古典ヤン–ミルズの解析の要であることは、Uhlenbeck の 1982 年の仕事以来知られているとされます 既知。問題文 §2 は 'Asymptotic freedom ensures a decisive regularity in the case when classical Sobolev inequalities are borderline.' と書き、漸近自由が決定的な正則性を「保証する（ensures）」と言い切っています。この章はそれを、(7) と表 1 で見た古典の境目（四次元で評価がちょうど足りなくなること）を漸近自由が補う、という意味に読みます（解釈）。

$\mathbb R^d$ の遠方は大きな球面 $S^{d-1}$ です。作用が有限で減り方が十分なら、遠方で $A$ はゲージ変換だけで書ける形（純ゲージ。1-07）に近づき、ゲージ変換の写像が残ります（1-07 の単極子と同じ仕組み）。結合定数 $g$ と区別するため、この節ではその写像を $h$ と書きます。連続な変形で移り合う写像を同じと見た類がホモトピー群 $\pi_{d-1}$ です。

四次元では遠方も SU(2) も $S^3$ で、同じ次元の球面の間の写像には「何回かぶせたか」という整数（写像度）があります。正確には、行き先の $S^3$ の一般の点を一つ選び、その逆像の各点に、そこで $h$ が向きを保つなら $+1$、反転するなら $-1$ を付けて足した和です（どの点を選んでも同じ値）。これがインスタントン数 $k$ です。

不等式は (5) から出ます。05 節の規格化で $k=\frac{1}{16\pi^2}\int(|F^+|^2-|F^-|^2)\,d^4x$ と書けるので、$S=\frac{1}{2g^2}\int(|F^+|^2+|F^-|^2)\,d^4x\ge\frac{8\pi^2}{g^2}|k|$ で、等号は自己双対か反自己双対のときです。BPST の解は $k=1$ です（3-05）既知。

例。ホモトピー群の表によれば、SU(2)＝$S^3$ への類 $\pi_{d-1}(S^3)$ は $d=2,3,4,5$ で $0,0,\mathbb Z,\mathbb Z/2$、U(1)＝$S^1$ への類は $d=2$ だけ $\mathbb Z$（渦の数。1-07 の単極子と同じ仕組み）です。コンパクトな単純リー群なら $\pi_3$ はいつも $\mathbb Z$ で、SU(3) にも $k$ があります 既知。

事例 05 のとおり、四次元の二枚の平面は普通は一点で交わります。閉じた四次元多様体の中の二つの閉曲面も有限個の点で交わり、向きを込めた $\pm1$ の和は曲面を動かしても変わりません。これが交叉形式（整数の対称行列）です。

例。$\mathbb{CP}^2$ の交叉形式は $(1)$、$S^2\times S^2$ は $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ です 既知。Donaldson は反自己双対な接続（(6) で $F^+=0$。向きを逆にすれば自己双対な接続と同じで、一次資料の流儀は 3-06）の解の空間を道具に、「向きの付いた閉じた滑らかな四次元多様体の定値な交叉形式は対角化できる」という定理に至りました。1983 年に単連結の場合を示し、のちに単連結の仮定を外した形に広げたとされます（細部は 3-06）。Freedman の位相的な定理と対比すると、$\mathbb R^4$ と同相だが微分同相でない空間（エキゾチック $\mathbb R^4$）が現れ、それが連続体濃度だけあることは Taubes が最初に示したとされます 既知。本体は 3-06。

寄り道：結び目とウィルソンループ

24-cell の頂点（座標の二つが $\pm1$、二つが 0）に $(1+i)/\sqrt2$ を左から掛け $1/\sqrt2$ 倍すると、次の 24 個の単位四元数になります 計算。掛け算で閉じた SU(2) の有限部分群（二項四面体群。SO(3) への像は正四面体の 12 個の回転）です 既知。

正六百胞体の 120 頂点も同じく二項二十面体群 $\bar I$ をなします。

例。格子ゲージ理論（5-01）ではリンクに有限群の元を置けます。Petcher–Weingarten 1980 は $\bar T$・$\bar O$・$\bar I$ で計算し、要旨によれば $\bar I$ のプラケットの平均・ウィルソンループ・弦張力の推定は広い結合の範囲で SU(2) と一致しました。十分弱い結合では、元の間の隙間のため SU(2) と違う振る舞いになるとされます 物理（出典と詳しい話は 5-10）。

計算表 2　三つとも積で閉じることを確認。「最も遠い点までの角」は $S^3$ 上の無作為な 20 万点から最も近い元までの角の最大（推定）。

事例 08 の球の体積は単位球面の面積の式から出ます。この式は $d$ が整数でなくても意味を持ち、摂動論（4-03）で最初に出会う形の積分も $d$ の関数になります。

$\Gamma$ はガンマ関数で、階乗を実数に延ばしたものです（$\Gamma(n)=(n-1)!$、$\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$、$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$）。被積分関数は遠くで $k^{-4}$、体積は $k^{d-1}dk$ なので収束は $d\lt4$ だけで、四次元は発散が対数で始まる境目です。結合が無次元になる次元で、発散もちょうど対数になります（4-04）。$d=4-\epsilon$ で計算する方法（次元正則化、't Hooft–Veltman 1972・Bollini–Giambiagi 1972）と運動量を $K$ で切る方法では

となり、$1/\epsilon$ と $\ln K$ が同じ係数 $2\pi^2=|S^3|$ で対応します。

計算表 3　(13) の公式と数値積分。

例。最後の列は $2\pi^2=19.739209$ に近づき、切断のほうは $K=10^4$ で $I_K-2\pi^2\ln K=-9.869604$（$-\pi^2$）でした。記事の球の体積（$V_5=5.2638$ など）も同じ式で一致します 計算。

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ を使うと $(4-d)\,I(d)=2\pi^{d/2}\Gamma(3-\tfrac d2)$ で、右辺は $d=4$ をまたいで滑らかです。発散は $1/(4-d)$ の因子にだけあり、残りの係数は $d=4$ で $2\pi^2\Gamma(1)=2\pi^2$ です。切断のほうでは $I_K=\pi^2\bigl(\ln(1+K^2)+\frac{1}{1+K^2}-1\bigr)$ で、$\ln K$ が 1 増えるごとの増え方 $2\pi^2K^4/(K^2+1)^2$ が同じ $2\pi^2$ に近づきます。図 3 はこの二つを並べます。

計算左は $I(d)=\pi^{d/2}\Gamma(2-\tfrac d2)$ と $(4-d)I(d)=2\pi^{d/2}\Gamma(3-\tfrac d2)$、右は $2\pi^2K^4/(K^2+1)^2$ と $I_K$ をその場で計算（ガンマ関数は Lanczos の近似式。python3 の値と一致）。左のつまみは $4-d=10^{-u}$ の $u$ を動かします。

本に散る $d$ 依存を一本のつまみで並べます。各行は冪 $p(d)$ の符号で分かれ、$p=0$ の境目では冪が消えて対数か不変が残ります。時空の四の六行は同じ $d=4$ で境目に来ます。残る四行は四でない所か、別の理由で切り替わります。既知 正確には、六行が揃うのは同じ次元の勘定（伝播関数 $1/k^2$ の 2 が二回）のためで、四次元の構成が不可能だという意味ではありません。

計算境目はこの端末で計算、文は各章の写し。JavaScript が無効なら表 4。

表 4　図 4 の行。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-01 ラグランジアンと作用。続きは 3-05・3-06・4-07・6-10。

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