2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論グルーボールと弦張力

グルーボールと弦張力の測定 — 相関の減り方から質量を読み、比 $m/\sqrt\sigma$ を作る

格子で時間を一段進めることは、転送行列 $T=e^{-aH}$ を一回掛けることです（5-03）。$H$ の固有値は、一つの時間片 $t$ の上の量で作った演算子 $O(t)$ の相関の減り方から読みます。$O$ は空間で和を取って運動量を 0 にし、真空の期待値を引きます（格子単位 $a=1$）。

$|\Omega\rangle$ は真空、$E_n$ は真空から測った固有値です。重み $|\langle n|O|\Omega\rangle|^2$ は絶対値の二乗なので 0 以上です。固有値 $e^{-E_n}$ が正の実数なのは、リンク反射の正値性（$\beta\ge0$）から $T\ge0$ となり、$\beta\gt0$ なら $T$ が 0 を固有値に持たないことによります（5-03 §鎖・§転送行列）。0 以上の重みを持つ正の指数の和は対数凸（Cauchy–Schwarz で $C(t)^2\le C(t-1)C(t+1)$）なので、有効質量 $m_{\rm eff}(t)$ は $t$ について単調に減り、$O$ が触れる最も軽い状態のエネルギーに上から近づきます 既知。有限の $t$ で読んだ値は上界で、下界は出ません（有限の窓の例は 4-11 §窓）。時間方向が周期的（長さ $N_t$）な格子では、各項に逆向きの $e^{-E_n(N_t-t)}$ が付きます。§07 の $N_t=32$、$t\le7$ では無視できる大きさです。

例。$C(t)=0.8\,e^{-0.77t}+0.2\,e^{-1.8t}$ では、$m_{\rm eff}$ は $t=0,\dots,5$ で 0.908、0.824、0.790、0.777、0.773、0.771 と下ります 計算。

ゲージ不変な状態をグルーボールと呼び、スピン $J$・空間反転 $P$・荷電共役 $C$ で分類します。$P$ は空間の座標を反転 $\vec x\to-\vec x$ する操作（リンクもそれに合わせて写す）、$C$ はリンクを複素共役 $U\to U^*$ に写す操作です。ループの跡では $\operatorname{tr}U^*=\overline{\operatorname{tr}U}$ で、これは向きを逆にしたループの跡なので、$C$ はループの向きの反転です。最も軽いと考えられているのが $0^{++}$、次が $2^{++}$ です 物理。

立方体の回転群と指標

格子に残る回転は立方体を自分に重ねる 24 個だけで、この群 $O$ の既約表現は $A_1,A_2,E,T_1,T_2$（次元 1, 1, 2, 3, 3）です。「名札」は比喩で、正確には、状態が属する $O$ の既約表現と、$P$・$C$ の固有値（$\pm1$）の組です。

スピン $J$ の表現は格子の上でこれらの和に割れます。割れ方を決めるのが指標です。表現の指標 $\chi(g)$ は、元 $g$ を表す行列の跡です。$O$ の 24 個の元は、指標が同じ値を取る五つの組（共役類）に分かれます：恒等（1 個）、面の中心を通る軸の 90° 回転（6 個）、同じ軸の 180° 回転（3 個）、対角線の軸の 120° 回転（8 個）、辺の中点を通る軸の 180° 回転（6 個）。表現 $\Gamma$ が現れる回数は次の和で、これは有限群の指標の直交性という定理から出ます（ここでは使い方だけ）既知。

$\theta$ は $g$ の回転角です。例えば $J=2$ では $\chi_2=(5,-1,1,-1,1)$ で、$n_E=\frac1{24}(5\cdot2+3\cdot1\cdot2+8\cdot(-1)\cdot(-1))=1$ です。

既知$O$ の指標　列は上の五つの共役類（個数）。

計算既知表 1　スピン $J$ の表現の、立方体の回転群 $O$ への分かれ方（五つの共役類の指標から計算。次元の和が $2J+1$ になることを確かめた）。

$0^{++}$ は $A_1^{++}$ で測りますが、$A_1$ には $J=4$ も入ります。Lucini–Teper 2001 は、励起 $0^{++*}$ が最も軽い $4^{++}$ である可能性を自ら挙げています。$2^{++}$ は $E^{++}$ と $T_2^{++}$ に現れ、二つが揃うことが回転対称性の回復の目安です（Athenodorou–Teper 2021 の $SU(\infty)$ で 4.582(14) と 4.578(11)） 物理。

例。三つの向きの空間プラケットの和 $P_{12}+P_{23}+P_{31}$ は $A_1^{++}$、差 $P_{12}-P_{23}$ は $E^{++}$ です。$SU(2)$ では $U^*=gUg^{-1}$（$g=i\sigma_2\in SU(2)$、$\sigma_2$ は 1-04 のパウリ行列）なので、$C$ はすべての点で同じゲージ変換をすることと同じです。そのためゲージ不変な状態はすべて $C=+$ です。

$C(t)$ は $N$ 個の配位の平均で推定します（配位の作り方と誤差は 5-07）。誤差を決める積 $O(t)O(0)$ の分散は、$t$ が大きくなると $\langle O^2\rangle^2$ ほどの一定値に近づき、減りません。信号は $e^{-E_{\min}t}$ で減るので

です。この議論は格子分光の標準で、Parisi 1984 に遡るとされます 既知。グルーボールは $E_{\min}$ が大きく、$0^{++}$ は真空の引き算も要るので、特に強く効きます。

例。§07 の実演（$E_{\min}\approx0.77$、約 35,000 配位）で、プラケットの $C(t)$ の相対誤差は $t=0,\dots,7$ で 0.004、0.011、0.025、0.050、0.121、0.214、0.379、0.657 でした 計算。一段ごとの倍率 1.8〜2.9 は $e^{0.77}\approx2.2$ と同じ程度です。

プラケットの大きさは $a$ ですが、物理の長さ $1/\sqrt\sigma$ は $SU(2)$・$\beta=2.60$ で約 $7.5a$ です（表 2）。そこで演算子を「太らせ」ます。正確には、リンクを近くの経路の平均で置き換え、演算子が広がった状態に大きく重なるようにします。

$i,j$ は空間の向きだけを走り、$\operatorname{Proj}$ は和を群に戻す操作です。長さ $2a$ のリンクを作るブロック化もあります。Lucini–Teper 2001 は、これらを標準の方法として Teper 1987 と Albanese ほか 1987（APE の平滑化）を引いています 既知。空間だけで平均するのが要で、演算子が一つの時間片に載ったままなので (1) の正の重みと「上から近づく」が保たれます。

良さは基底状態の重みの割合 $c_0^2$ で測ります。Lucini–Teper 2001 の最良の演算子では、$0^{++}$ で、粗い格子で約 0.95（$SU(2)$）から約 0.90（$SU(5)$）、細かい格子で約 0.92 から約 0.85 でした。周期的な弦ではどちらの格子でも約 0.90 から約 0.75 です。$N$ が大きいほど重なりが悪くなります 物理。

§07 の三次元 $\mathbb Z_2$ では、割合の目安 $C(2)e^{2m}/C(0)$（$m=1/1.296$。大きめに出る）がプラケットで 0.57、$3\times3$ のループで 0.85 でした。$\operatorname{Proj}$ をリンクと二本のステープルの多数決にした平滑化では、0.59 が 1 回で 0.66 に上がりました 計算。

候補 $O_1,\dots,O_N$ を並べ、最良の一次結合を相関そのものに選ばせます。相関行列 $C_{ij}(t)=\langle O_i(t)O_j(0)\rangle-\langle O_i\rangle\langle O_j\rangle$ について

を解きます。変分の考えは Wilson の 1981 年の講演に始まり、グルーボールには Berg 1982・Michael–Teasdale 1983 が使ったとされます。$t_0$ を入れた一般化固有値問題の形と補正の評価は Lüscher–Wolff 1990 とされます（Blossier ほか 2009 の序による）既知。Blossier ほか 2009 は、$t_0\ge t/2$ に取れば補正が $\exp\bigl(-(E_{N+1}-E_n)t\bigr)$ で消えることを示しています。図 1 の $t_0=0$ はこの条件の外で、式 (5) の上界の意味だけで使っています。

$t_0=0$、$t=1$ では Rayleigh–Ritz の変分原理そのものです（1-10、2-05）。$\psi=\sum_iv_iO_i|\Omega\rangle$（真空成分は引いたもの）について

なので、$-\ln\lambda_{\max}$ は候補の張る空間の中で最良の上界です 既知。変分法は上界を良くしますが、上界であることは変えません。

計算この図の数値はこの端末で計算した。

計算図 1 の数値（ジャックナイフ誤差、39 ビン。変分は $1\times1$・$1\times2+2\times1$・$2\times2$・$3\times3$、$t_0=0$）。

読み方。$t=0$ では変分が最も低く（式 (5)）、どの列も $t=2,3$ で 0.80〜0.85 に下り、参照値 0.772 に上から寄ります。$t\ge4$ は誤差が 0.1 を超えます（図 1）。右端は割合の目安（§04）。

弦張力 $\sigma$ は、離した二つの静的な電荷のエネルギー $V(R)$ の傾きです。$R\times T$ の Wilson ループ（5-01）は $e^{-V(R)T}$ のように減り、長い距離では次の形が使われます（7-03）物理。

$d$ は時空の次元です。Creutz 比 $\chi$（Creutz 1980 とされる）では周長と角の寄与が消えます。式 (6) の形を仮定し、有限の $T$ の補正を無視すれば、$\chi(R,R)\approx V'(R-\tfrac12)=\sigma+\pi(d-2)/\bigl(24(R-\tfrac12)^2\bigr)$ は $\sigma$ に上から近づきます 物理。

周期的な弦

もう一つは、空間の周期 $L$ を一周する閉じた電束（周期的な弦）の質量 $m_l$ を §01 と同じ方法で読むことです。Lucini–Teper 2001 は四次元で次の式から $\sigma$ を取り出しました（補正は一般に $\pi(d-2)/(6L)$。三次元では $\pi/(6L)$。7-03 §閉じた弦 の式 (7)）。

著者は 'in using eqn(4) we are assuming that we have linear confinement ... Nambu-Gotto universality class' と書き（Nambu–Goto は、弦を面積に比例する作用の膜として扱う近似。7-03）、二つの $L$ では 'we cannot claim to have evidence for both the 1/L functional form and for its coefficient' と断っています。使うのは $aL\sqrt\sigma\ge3$ の格子だけです。弦の補正そのものを調べるには、周期的な弦のほうが Wilson ループよりずっと良いと著者は書いています。補正の係数が大きく（$\pi/3$ 対 $\pi/12$）、静的な電荷の Coulomb 項（同じ $1/r$ の形で短い距離を支配する）が混ざらないからです。

周期的な弦がグルーボールと混ざらないのは中心対称性によります。空間の向き $i$ の面 $x_i=c$ を横切る $i$ 向きのリンクすべて（すべての時刻で）に、群の中心の元（すべての元と可換な元。$SU(2)$ なら $-1$。1-04）を掛けます。どのプラケットもこのリンクを含まないか、行きと帰りの組で含むので、作用は変わりません。$i$ 向きに一周する輪は面を一度横切るので中心の元が一つ掛かり（$SU(2)$ なら符号が変わり）、縮められる閉じた輪は変わりません。閉じ込め相ではこの対称性が破れていないので、両者の相関は 0 です 既知。

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (7)）。

計算表 2　Lucini–Teper 2001 の表 1（$SU(2)$）の $a m_l$ から式 (7) で出し直した $a\sqrt\sigma$。六点の $\beta$ と質量の正本は 9-02 表 3。

読み方。同論文の $a\sqrt\sigma$ は式 (7) から丸めの範囲で再現されます（最終桁の誤差で 1 以内）。$L\,a\sqrt\sigma$ はどの $\beta$ でも 3.1〜3.4 で、箱は物理の長さでほぼ一定です。補正は $\sigma L$ の約 10% で、入れなければ $\sqrt\sigma$ を約 5% 小さく見積もります 計算。

同じ測り方を、最も簡単なゲージ理論で確かめます。リンクに $\pm1$ を置き、Wilson 作用 $S=-\beta\sum_pU_p$ を使う三次元の $\mathbb Z_2$ ゲージ理論です。双対性で三次元のイジング模型に移ることが知られています（Wegner 1971 とされる。対応の使い方は Agostini ほか 1997）。$0^+$ の質量はイジング模型の相関長の逆数に、弦張力は界面張力（上向きと下向きの領域の境目が単位面積あたりに持つ自由エネルギー。2-09 §低温）に対応します 既知。

Agostini ほか 1997 は $\beta=0.72484$ で $\xi_{0^+}=1.296(3)$（$N_s\ge16$ で安定、同論文の表 2）、$\sigma=0.05558(10)$、$\sigma\xi^2=0.0934(6)$（表 6、界面張力の文献から）を与え、$m/\sqrt\sigma=3.27$ です 物理。

この端末では $16^2\times32$ の格子で熱浴法の更新を約 35,000 回（独立な三本の列）行い、§04・§05 の演算子と周期的な弦を毎回、Wilson ループを 5 回に一度測りました（多数決の平滑化は別の二本の列）。

計算表 3　三次元 $\mathbb Z_2$、$\beta=0.72484$ の実演と参照値。$\sigma$ は周期的な弦の $m_{\rm eff}(2)$ を $m_l=\sigma L-\pi/(6L)$ に入れたもの。Creutz 比の目安は $\chi\approx V'(R-\tfrac12)$ の粗い近似で、有限の $T$（ループが正方形であること）の補正を含まない。

読み方。質量も弦張力も誤差の内で参照値と合います。質量の中心値は参照値より上にありますが、差は誤差の約 0.5 倍で、区別できません。上界なのは厳密な期待値 $C(t)$ についての性質で、有限の配位数の推定値は雑音で下にも出ます（図 1 の $t\ge4$）。$t_0=0$ の $t=3$ の値は二つの最大固有値の比で、式 (5) のような厳密な上界でもありません。Creutz 比は $R=5,6$ でも $\sigma$ より 16〜19% 大きく、目安よりも少し上です。周期的な弦は $L=16$ の一点から 4% の精度で $\sigma$ を与えました。

比は理論ごとに違います。Agostini ほか 1997 の連続極限の値は $m_{0^+}/\sqrt\sigma=3.08(3)$、同論文の表 9 が別の文献から引く三次元 $SU(2)$ の値は 4.763(31) です 物理。

四次元の純粋なヤン–ミルズ理論の、一次資料の連続極限の値です（外挿の手順は 5-09 §比）。

物理計算表 4　$m/\sqrt\sigma$ の連続極限と、この端末で割った $2^{++}/0^{++}$（誤差は独立として合成。Meyer の行だけは出典の表の比で、この端末で割ると 1.47(4)）。LT = Lucini–Teper 2001、AT = Athenodorou–Teper 2020（$SU(3)$）・2021（$SU(2)$、$SU(\infty)$、$2^{++}$ は $E^{++}$）。$SU(\infty)$ は $1/N^2$ の外挿。

Morningstar–Peardon 1999 と Chen ほか 2006 は $SU(3)$ を Sommer の尺度 $r_0$（静的な電荷のあいだの力 $F$ が $r_0^2F(r_0)=1.65$ を満たす距離）の単位で $r_0m(0^{++})=4.21(11)(4)$、$4.16(11)(4)$ と報告しており、AT 2020 の $r_0\sqrt\sigma=1.160(6)$ で割ると 3.63(10)、3.59(10) です 計算。出典の違う数を組んだ換算で、目安にとどまります。

読み方。$0^{++}$ の比は $N$ とともに下がり、$2^{++}/0^{++}$ はどの $N$ でも 1.4〜1.5 です。同じ群でも出典でずれ、$SU(2)$ の LT と AT の差 0.063 は合成誤差の約 1 倍、$SU(3)$ の差 0.20 は約 2.3 倍です 計算。差の原因をこの章では特定しません。GeV への換算は 5-09 §寄り道、大 $N$ は 7-04 で扱います。

表 4 は、正の隙間が $\sqrt\sigma$ の 3〜4 倍ほどある、という物理の見方を支える数値です。数学の言明にするには四つが残ります。

1. 上界。各 $\beta$ の $a\,m$ は有限の $t$ の上界か、平坦域への当てはめです（§01・§05）。有限の窓から下界は出ません（4-11 §窓）。
2. 箱と量子数。有限の箱では二つのグルーボールや一対の周期的な弦も同じ量子数に現れます（Morningstar–Peardon 1999 は要旨でそれらを区別したと述べます）。スピンは立方体の表現を通して同定します（§02）。
3. 外挿。連続極限の値は $a^2$ の補正の形を仮定した外挿です（5-09、5-05）。極限が在ることは示されていません。
4. 弦の仮定。$\sigma$ は線形の閉じ込めと Nambu–Goto 型の補正を仮定して取り出しています（§06）。四次元の非可換群で大きい $\beta$ の閉じ込めは証明されていないので、この $\sigma$ を閉じ込めの証拠に使うと循環します（7-03）。

質量ギャップの問題（4-11）が求めるのは連続極限の理論と隙間の下界で、この章の方法はどれも上から近づきます。何を固定して極限を取るかは 5-09 で扱います。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-09 何を固定して極限を取るか（格子単位の数を物理の量に直し、何を止めて $\beta\to\infty$ に行くか）。

← 5-07 モンテカルロ法目次5-09 何を固定して極限を取るか →