2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論モンテカルロ法

モンテカルロ法 — 重みに従う配位を作り、相関を数えて誤差を出す

この章の $\beta$ は Wilson 作用の結合（5-01）で、逆温度ではありません。

格子の期待値は全リンクについての積分です（5-01 §06。$dU_\ell$ は Haar 測度）。

一辺 6 の四次元格子のリンクは 5,184 本、$SU(2)$ は一本 3 次元なので 15,552 次元の積分です 計算。そこで重み $e^{-S_W}/Z$ に従う配位 $U^{(n)}$ を作り、標本平均を取ります。

誤差は次元に依らず $1/\sqrt N$ で減ります（1-08）既知。一様に引く手は使えません。$\beta=2.3$・$6^4$ でプラケット 7,776 枚の平均は平衡で 0.6026、一様な配位では 0 の周りに標準偏差 0.00567 で散らばり、平衡の値は 106 標準偏差先です 計算。

配位を一歩ずつ変える確率的な規則（マルコフ連鎖、遷移確率 $P(x,y)$）を作り、長い時間の後に重み $\pi$ に従わせます。一歩で分布が変わらないこと（定常）の十分条件が詳細釣り合いです。

右を $x$ で足すと左です。右を満たす連鎖を可逆と呼びます。さらにどこからどこへも行ける（既約）なら、有限状態の連鎖の時間平均は期待値に収束します（エルゴード定理）。周期も無ければ（非周期）、分布そのものが $\pi$ に近づきます（収束定理）既知。連続な状態空間でも、遷移に密度があって正であるなどの条件の下で、同じ形の大数の法則と中心極限定理があります（Tierney 1994）既知。

Metropolis 法（Metropolis ほか 1953。最初の応用は二次元の剛体球の状態方程式）は対称な提案 $q(x,y)=q(y,x)$ で候補 $y$ を出し、次の確率で受理し、棄却なら留まります。

$\pi(y)\le\pi(x)$ なら $\pi(x)q\cdot\pi(y)/\pi(x)=\pi(y)q\cdot1$ で (3) が成り立ち、$Z$ は要りません。例：二状態、$\pi=(0.2,0.8)$、提案「もう一方へ」で $P=\begin{pmatrix}0&1\\0.25&0.75\end{pmatrix}$、固有値は $1,-0.25$ で、状態 0 からの分布は 5 歩で $(0.1992,0.8008)$ です 計算。ずれは 1 以外で絶対値が最大の固有値（ここでは $-0.25$）の冪で減り、これが §05 の自己相関時間の源です。

リンク $U_\ell$ を含むプラケットは四次元で 6 枚で、作用の $U_\ell$ に依る部分は次の形です。

ステープルはプラケットから $U_\ell$ を除いた三辺の積です（5-01 §03）。全リンクを一巡する単位を一掃と呼びます。

メトロポリスの提案は今の値の近くです。歩幅 $\delta$ が大きいと棄却が増え、小さいと少ししか動きません。$U(1)$ のリンク一本（重み $e^{\kappa\cos\theta}$）で見ます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（読み値は表 1。図の連鎖はその場で走らせた例）。

$\delta$ を 0.1 から 2.5 に広げると、受理率は半分に、$\tau_{\rm int}$（§05）は約 120 分の 1 になります。受理率の高さは効率を示しません。$\delta=0.1$ の平均は厳密値から 2.9 標準偏差ずれ、遅い連鎖では誤差の見積もりも不確かです。

熱浴法はリンク一本を、残りを止めた条件つき分布 $\propto e^{\frac{\beta}{2}\mathrm{tr}(U_\ell A_\ell)}$ から直接に引き直します。$SU(2)$ の行列の和は $SU(2)$ の行列の実数倍なので（1-04 の四元数）$A_\ell=kV$（$V\in SU(2)$）と書け、$X=U_\ell V$ も Haar 測度で動き、重みは $e^{\beta kx_0}$（$x_0=\tfrac12\mathrm{tr}X$）です。$SU(2)$ は三次元球面 $x_0^2+|\vec x|^2=1$ で、Haar 測度はその上の一様な測度です。$x_0$ を止めた切り口は半径 $\sqrt{1-x_0^2}$ の二次元球面で、面積は $1-x_0^2$ に比例します。$x_0$ を $dx_0$ だけ動かしたときの三次元球面の上の幅（弧の長さ）は $dx_0/\sqrt{1-x_0^2}$ です。積が $\sqrt{1-x_0^2}\,dx_0$ なので

から $x_0$ を引き、残りの向きを一様に選び、$U_\ell=XV^{-1}$ とします 既知。Creutz（1980）の $SU(2)$ の計算で使われたとされる方法です。Kennedy–Pendleton（1985）は (6) を速く引く改良、Cabibbo–Marinari（1982）は $SU(N)$ を $SU(2)$ の部分群ごとに更新する方法です。

過緩和は作用を変えずに大きく動く一手で、$SU(2)$ では $U_\ell\mapsto V^{-1}U_\ell^{-1}V^{-1}$ です。$X'=X^{-1}$ で作用は変わらず、二回で元に戻り Haar 測度を保つので詳細釣り合いを満たします。単独ではエルゴード的でないので熱浴と混ぜます（Adler 1981・Creutz 1987・Brown–Woch 1987）。なお、順に並べた一掃は一般に可逆でなく（時間を逆向きに見た連鎖は、逆の順に更新したものになる）、定常性だけが残ります 既知。

連鎖は全リンクを単位行列にした冷たい出発点か、一様に引いた熱い出発点から始め、初めの区間を捨てます（熱化）。$6^4$・$\beta=2.3$ のプラケット（平衡 0.6026、表 2 の熱浴）は、熱浴なら両側から 20 掃で平衡の帯に入り、メトロポリスの熱い側は 20 掃で 0.482、150 掃で 0.593 と遅れます 計算。二つの出発点の一致は必要条件にすぎません（5-06 §04。数学の対応物は 8-03 §06 の混合時間）。

平衡でも配位は独立でありません。時系列の $t$ 歩離れた相関を分散で割った自己相関関数と、積分自己相関時間を

とします（$\delta O=O-\langle O\rangle$、$N\gg\tau_{\rm int}$）。実効的に独立な標本は $N/(2\tau_{\rm int})$ 個です（Wolff 2004 の式 (23)(25)）既知。表 2 の熱浴では $9{,}500/(2\cdot5.08)\approx935$ 個です。最も遅い減衰の時間 $\tau_{\exp}$ は、遷移の固有値のうち 1 以外で絶対値が最大のもの $\lambda_\star$ で決まり、$\tau_{\exp}=-1/\log\lambda_\star$ です（§02 の例では $\lambda_\star=0.25$）。

数学の側では、遅さを Poincaré 定数 $C_P$ で測ります。$C_P$ は、すべての関数 $f$ について $\mathrm{Var}\,f\le C_P\,\mathbb E|\nabla f|^2$ を満たす最小の定数です（1-10 §07。離散の連鎖では右辺を一歩での変化の二乗平均の半分 $\tfrac12\sum_{x,y}\pi(x)P(x,y)(f(y)-f(x))^2$ に置き換えます）。Langevin 力学は、作用の勾配に沿って下る動きに雑音を加えた連続時間の力学で、そこでは $\tau_{\exp}=C_P$ が等号で成り立ちます。離散時間の連鎖では、次の三つが別の量になります 既知（Levin–Peres–Wilmer §12.2、8-03 §06）。

• $C_P=1/\gamma$：$\gamma=1-\lambda_2$ は 1 と二番目に大きい固有値 $\lambda_2$ との隙間。
• 緩和時間 $t_{\rm rel}=1/\gamma_\star$：$\gamma_\star=1-\lambda_\star$ は絶対ギャップ。
• $\tau_{\exp}=-1/\log\lambda_\star$。

$\gamma_\star$ が小さいとき、後の二つの比は $1+O(\gamma_\star)$ です。表 2 の最後の列の Polyakov ループは、各空間点で時間方向に一周するリンクの積のトレースを取り、空間で平均した量です（ここではその絶対値を見ます）。格子全体に広がる、遅く動く量の例です。

標本数は 9,500・9,500・4,500 です。同じ標本数でメトロポリスの誤差は熱浴の 2.7 倍で、$\sqrt{42/5.1}\approx2.9$ と整合します。費用を掛けた $\tau$ で比べると、過緩和はプラケットでは 8.3 対 5.1 と損をし、Polyakov ループでは 3.5 対 6.0 と得をします。得をするのは遅い大域的な量です 計算。$SU(3)$ でも、過緩和で Polyakov ループの大きさの $\tau$ が 28 掃から 9 掃に縮んだと報告されており（Brown–Woch 1987）、傾向は一致します 物理。

$\tau_{\rm int}$ はデータから見積もります。ビン分けは時系列を長さ $B$ の区間に切り、区間平均を独立とみなします。$B\gg\tau_{\rm int}$ で誤差が頭打ちになる所を読みます（Flyvbjerg–Petersen 1989）。ジャックナイフは区間を一つずつ除いた平均 $\bar b_{(i)}$ から非線形な量 $f$ の誤差を出します。

Creutz 比や質量（5-02 §06・5-08）で使います。表 2 の熱浴のプラケットでは、（ビンの誤差／素朴な誤差）² が $B=1,5,20,100$ で 1.00・2.85・6.23・10.19 と伸び、Γ 法の $2\tau_{\rm int}=10.2$ に届きます。$B=200$〜$1000$（47〜9 区間）では 7.4〜7.7 と下に揺れます。区間が少ないと誤差の誤差が効きます（比の二乗では相対誤差 約 $\sqrt{2/(n-1)}$）計算。

Γ 法は (7) の和を窓 $W$ で切って直接に見積もります。

右は Wolff（2004）の式 (42) です。Madras–Sokal（1988）が与えた窓の和の誤差の近似式（Wolff の式 (40)）から、誤差伝播で導かれています 既知。$W$ が短いと偏り、長いと雑音が効きます。この章の $\tau_{\rm int}$ は Wolff（2004）の自動の窓（$S=1.5$）によります。Wolff は $\tau_{\rm int}(W)$ が平らなことを “verify by eye” するよう求めます。図 2（§07）の下段で、縦線の窓 $W$ のまわりが平らなことを目で確かめられます。

連続極限に近づくと相関長 $\xi$（格子単位）が伸び（5-05 §01）、局所的な更新の $\tau$ も伸びます。物理は $\tau\propto\xi^{z}$ と書き、$z$ を動的指数と呼びます（Hohenberg–Halperin 1977 の総説、8-03 §07）物理。式で確かめられるのが格子の自由場（1-08 §07）です。

市松の熱浴で偶の点の和を $M_e$、奇を $M_o$ とすると、奇の点は $2d$ 個の偶の点の隣なので $M_e'=rM_o+$（雑音）、$r=2d/(2d+m^2)$ です。零運動量 $M=M_e+M_o$ について

$\cosh(1/\xi)=1+m^2/2$ から $\xi\approx1/m$ で、$\tau\approx d\,\xi^2$、この力学では $z=2$ です 計算。直観は酔歩で、局所の更新は距離 $\xi$ を伝えるのに $\xi^2$ 歩かかります。正確には、(11) の $r=1-m^2/(2d+m^2)$ が $m\to0$ で 1 に近づくので、一掃で縮む割合が $1-O(\xi^{-2})$ になります。

計算この図の数値はこの端末で計算した（曲線は (11) をその場で計算。JavaScript が無効なら表 3）。

$\xi$ を倍にするごとに $\tau_{\rm int}(M)$ は約 4 倍です。同じ精度の計算は $\xi^{d+z}$ 程度で増えると見積もられます（5-05）物理。Langevin 力学（§05）では緩和時間が $1/m^2=C_P$ です（8-03。場の値 $\phi_x$ そのものを座標にして勾配を測る自由場の正規化で、座標の取り方を変えると $C_P$ は定数倍だけ変わります）。どちらも $m^{-2}$（$\propto\xi^2$）に比例します。熱浴の $\tau$ は掃、Langevin の $\tau$ は Langevin の時間で測るので、係数は比べません。

HMC（ハイブリッド・モンテカルロ、Duane ほか 1987）は全リンクを一度に動かします。運動量 $P_\ell$（エルミートでトレース 0 の行列。1-03 の $T^a$ の実係数の組み合わせ）を正規分布で与え、

の古典力学をリープフロッグ法で動かし、確率 $\min(1,e^{-\Delta H})$ で受理します。リープフロッグ法は時間を戻せて相空間の体積を保つので、刻みの誤差があっても $e^{-S_W}$ が正確に定常分布です 既知。HMC の自己相関時間を Langevin の $C_P$ で見積もるのは仮定です（生成作用素が違います）。

連続極限に近づくと、場は位相電荷 $Q$（連続の場では整数値をとる、場のねじれ方の数。格子での定義は 3-05 §08）の区画に分かれ、小さな一歩では移りにくくなります。Schaefer–Sommer–Virotta（2011）は、純ゲージの HMC で $Q^2$ の “effective dynamical critical exponent of about 5” を報告し、Wilson ループはこの遅いモードから切り離せるとしました 物理。Lüscher–Schaefer（2011）は時間方向に開いた境界条件で位相電荷を出入りさせる方法を示しました 物理。比喩なら谷の多い地形の峠越えです。正確には、区画の境界付近の測度が小さいと Poincaré 定数が大きくなります（8-03 §08）既知が、それが凍結の原因かは確かめられていません。

有限の格子で (1) はコンパクトな空間の上の確率測度です（5-01 §06）。定理として言えるのは、エルゴード定理による時間平均の収束（連続な状態空間では §02 の条件の下で）と、中心極限定理です。可逆な連鎖では、漸近分散が有限なら (7) の形の中心極限定理が成り立ちます（Kipnis–Varadhan 1986）既知。観察にとどまるのは誤差棒です。有限の $N$ では見えない遅いモードがあれば誤差棒は小さく出ます（表 1 の $\delta=0.1$、§08）。有限体積と有限の $a$ からの外挿（5-05 §07・5-09）も別の仮定を要します。

5-08 のグルーボールの質量や弦張力は、その外挿による物理の結果で 物理、問題文の存在と隙間の証明（4-11）ではありません。一方、$C_P$ は数学の対象で、強結合では格子ヤン–ミルズの Poincaré 不等式が示されています（Shen–Zhu–Zhu 2023、5-04）既知。$\xi\to\infty$ の側で $C_P$ の $\xi$ 依存を決めた定理は、四次元のヤン–ミルズにはありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-08 グルーボールと弦張力の測定（この章の方法で作った配位から質量と弦張力を読む）。

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