2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備リー群とリー環

リー群とリー環 — 曲がった群を、単位元での接線の空間で読む

1-02 の SO(3) や SU(2) は、元が実数のパラメータで連続に動く群です。空間としては曲がっている（SU(2) は三次元の球面）ので、単位元のごく近くだけを一次近似します。比喩で言えば、曲がった地表でも足元の地図は平面で描けます。正確には、$g(0)=I$ となる群の中の曲線 $g(t)$ の速度 $g'(0)$ を全部集めた平らなベクトル空間がリー環です。

平面の回転 SO(2) のリー環は $J$ の実数倍です（1-01 §08）。掛け算の順序は二次の項に残り（§04）、その情報だけで単位元の近くの掛け算が復元できます（§07）。ヤン–ミルズ理論ではゲージ変換が群に、ゲージ場がリー環に値をとります（3-02）。

定義　$\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$（可逆な複素 $n\times n$ 行列の群）の部分群 $G$ で閉じているもの（元の列が可逆な行列に収束すれば極限も $G$ の元）を行列リー群と呼びます 既知。そのリー環は

で、$X\mapsto e^X$ を指数写像と呼びます。単位元から出る曲線 $e^{tX}$ の速度が $X$ です（1-01 §08 の (a)）。条件は「すべての $t$ で」で、$e^X\in G$ だけでは足りません。例えば単位元だけの群 $G=\{I\}$ と $X=2\pi J$ では $e^X=I\in G$ ですが、$t=\tfrac14$ の $e^{tX}$ は 90° の回転で $G$ に入りません。

例：U(n)。条件 $e^{tX^\dagger}e^{tX}=I$ を $t=0$ で微分すると $X^\dagger=-X$。逆にこのとき $e^{tX}$ はユニタリです（1-01 §09）。$\det e^{tX}=e^{t\operatorname{tr}X}$ から、行列式 1 の条件は $\operatorname{tr}X=0$ になります。

リー環は実ベクトル空間で（$i$ 倍するとエルミートになって外れる）、その次元を群の次元と呼びます（1-02 の表の「実パラメータ」の個数）。同じ計算で次の表になります 既知。

単位元の近くでは、指数写像は一対一で逆も連続です 既知。逆写像は対数の級数 $\log(I+A)=A-\tfrac{A^2}{2}+\tfrac{A^3}{3}-\cdots$（$\lVert A\rVert\lt 1$）で、近くの元は小さい $X$ でただ一通りに $e^X$ と書けます（指数座標）。

遠くでは、SU(2) は 1-02 の $U(\theta,n)=\exp(-\tfrac{i\theta}{2}\,n\cdot\sigma)$ ですべての元に届き（全射）、θ を 4π ずらしても同じ元なので一対一ではありません。コンパクトでつながった群では指数写像は全射です 既知。

寄り道：SL(2, ℝ) には指数関数で届かない元がある

$e^{tX}=I+tX+\tfrac{t^2}{2}X^2+O(t^3)$ を四つ掛けると、一次の項は消えて二次が残ります。

左辺を群の交換子、$[X,Y]$ を交換子と呼びます。$[X,Y]\ne0$ なら、四手で一周するはずの道が $t^2$ の程度だけ閉じません。

例：縦列駐車。平面上の「向きをもつ点」（位置 $(x,y)$・向き $\alpha$）の群 SE(2) を 3×3 行列で書きます。

$J$ は左上に §01 の $J$ を置いた回転、$P$・$P_\perp$ は (1, 3)・(2, 3) 成分だけが 1 の並進の行列です。右から $e^{tP}$ を掛けると「向いた方へ $t$ 進む」、$e^{tJ}$ は「その場で左へ $t$ 回る」。比喩で言えば、その場で回れるが横には動けない台車です。正確には、(1) から「前進 → 左に回る → 後退 → 右に回る」は $e^{t^2[P,J]}=e^{-t^2P_\perp}$（右へ $t^2$ の並進）に三次まで等しく、厳密なずれは $(t(1-\cos t),\,-t\sin t)$ です。

1-02 の θ² の理由。1-02 §04 の、x 軸と y 軸の回転を逆順に施した食い違いは、角が θ² に近く軸はほぼ −z でした。生成子 $(L_a)_{bc}=-\varepsilon_{abc}$（$\varepsilon_{123}=1$ の完全反対称記号）で $R_x=e^{\theta L_1}$、$R_y=e^{\theta L_2}$、$[L_1,L_2]=L_3$。食い違い $D=R_yR_xR_y^{-1}R_x^{-1}$ は (1) の形なので $D=I-\theta^2L_3+O(\theta^3)$、−z 軸まわりの角 θ² の回転です。計算$\log D/\theta^2$ と $-L_3$ の差は θ = 10° で 0.12、1° で 0.012 でした。

$\mathfrak{g}$ が交換子で閉じたベクトル空間であることの筋 既知。和：Lie の積公式 $e^{t(X+Y)}=\lim_{m\to\infty}(e^{tX/m}e^{tY/m})^m$（§07）の右辺は $G$ の元の列で、$G$ は閉じている。交換子：$ge^{sY}g^{-1}=e^{s\,gYg^{-1}}$ から $e^{tX}Ye^{-tX}\in\mathfrak{g}$、これを $t=0$ で微分すると $XY-YX$。

行列を忘れた定義では、リー環とは、実ベクトル空間と双線形な演算 $[\cdot,\cdot]$ の組で、次を満たすもの（二つ目が Jacobi 恒等式）です。

三次元の外積もリー環で、$L(v)=\sum_av_aL_a$ は $L(v)w=v\times w$、$[L(a),L(b)]=L(a\times b)$ を満たします。

リー環は局所しか見ない。1-02 の二重被覆 $\rho:\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ を単位元で微分すると、交換子を保つ一対一の線形写像 $\mathfrak{su}(2)\to\mathfrak{so}(3)$ になります（§06 で構造定数が一致することを見ます）。核 $\{\pm I\}$ は離れた二点で単位元の近くに現れず、720° か 360° かの違いは大域的で、リー環には映りません。

随伴。群はリー環に $\operatorname{Ad}_gX=gXg^{-1}$ で働き、その微分が $\operatorname{ad}_XY=[X,Y]$ です。$\operatorname{Ad}_{e^X}=e^{\operatorname{ad}_X}$ が成り立ちます 既知。ゲージ場はゲージ変換で Ad を通して変わります（3-02）。表現としては 1-04 で扱います。

基底 $X_1,\dots,X_d$ を選ぶと $[X_a,X_b]=\sum_cf_{ab}{}^{c}X_c$ と書け、係数 $f$ を構造定数と呼びます。反対称性と Jacobi 恒等式が $f$ の条件になります 既知。

• $\mathfrak{so}(3)$：$[L_a,L_b]=\sum_c\varepsilon_{abc}L_c$。
• $\mathfrak{su}(2)$：$X_a=-\tfrac{i}{2}\sigma_a$（パウリ行列、1-02 §05）で $[X_a,X_b]=\sum_c\varepsilon_{abc}X_c$ 計算。同じ定数なので $X_a\mapsto L_a$ が §05 の同型で、1-02 の $U(\theta,n)$ は $\exp(\theta\sum_an_aX_a)$ です。

物理の流儀（$e^{-itT}$ と書く）では、エルミートな $T^a$ で $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$ と書き、繰り返す添字 $c$ の和の記号を省きます。$X_a=-iT^a$ と置けば $[X_a,X_b]=f^{abc}X_c$ で、実数の $f$ は二つの流儀で同じです。$\mathfrak{su}(N)$ で $\operatorname{tr}(T^aT^b)=\tfrac12\delta^{ab}$ と規格化すると、$f^{abc}$ は完全反対称（どの二つの添字を入れ替えても符号が変わる）です。交換子の式に $T^c$ を掛けてトレースをとると $\operatorname{tr}([T^a,T^b]T^c)=\tfrac{i}{2}f^{abc}$ なので

トレースは巡回的（$\operatorname{tr}(PQ)=\operatorname{tr}(QP)$ から $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)$）なので、右辺は添字の巡回 $a\to b\to c\to a$ で変わらず、$a$ と $b$ の入れ替えで符号を変えます。巡回と一つの入れ替えを組み合わせればどの入れ替えも作れるので、完全反対称です。$\mathfrak{su}(3)$ の $f^{abc}$ は 1-04 で出します。

1-01 §08 で見た $e^Ae^B\ne e^{A+B}$ の差を、交換子で書く式です。$X,Y$ が十分小さいとき $e^Xe^Y=e^Z$ で

三次までの項は Hall と Kirillov にあります 既知。四次の項は Casas と Murua の論文に $\tfrac1{24}[X,[Y,[Y,X]]]$ の形で載っていて、Jacobi 恒等式で (2) の形と等しくなります 既知。四次の係数はこの端末の数値でも確かめました（下の図 3 と表）計算。

$X+Y$ より先はすべて交換子の入れ子で、係数は群によりません 既知。だから単位元の近くの掛け算はリー環で決まります。つながった群は単位元の近くの元の積で生成されるので、群が空間として分かっていれば演算も決まります 既知。ただし、リー環だけから群そのものは決まりません。SU(2) と SO(3) はリー環が同じで、群としては違います。違いは §05 で見た大域的な部分（核 $\{\pm I\}$）にあります。

$\mathfrak{so}(3)$ の $X=L(1,0,0.3)$、$Y=L(0.5,1,0)$ を $t$ 倍し、(2) を $k$ 次で打ち切った誤差を測りました。式が正しければ誤差は $t^{k+1}$ に比例します。

最後の行の 0.5274・0.1017・0.0220 は次に来る項（$\tfrac12[X,Y]$・三次・四次の項）の大きさと一致し、$t$ の多項式であてはめた係数も (2) と $5\times10^{-9}$ 以内で合いました 計算。

Lie の積公式。(2) から $(e^{X/m}e^{Y/m})^m=\exp\bigl(X+Y+\tfrac1{2m}[X,Y]+O(m^{-2})\bigr)$ で、誤差はおよそ $1/m$ で減ります。計算上の $X,Y$ で $m$ = 10・100・1000 の誤差は 4.57×10⁻²・4.57×10⁻³・4.57×10⁻⁴ でした（$m$ 倍するといずれも約 0.457）。この公式には、$X,Y$ が非有界な作用素（無限次元のヒルベルト空間の上、1-10）の場合への拡張があり、Trotter の積公式と呼ばれます 既知。経路積分で時間を細かく刻む操作がこの形になることは 2-07 で見ます。

ヤン–ミルズの作用には、$\operatorname{Ad}_g$ で変わらない「長さの二乗」がリー環の上に要ります（§09）。リー環だけから作れる候補が Killing 形式です。

$B$ は対称で、$B(\operatorname{Ad}_gX,\operatorname{Ad}_gY)=B(X,Y)$、$B([Z,X],Y)+B(X,[Z,Y])=0$ の意味で不変です 既知。$\mathfrak{su}(2)$ では $\operatorname{ad}_{X_a}=L_a$ なので $B(X_a,X_b)=\operatorname{tr}(L_aL_b)=-2\delta_{ab}$、負の定値です。

部分空間 $\mathfrak{i}$ がイデアルとは $[\mathfrak{g},\mathfrak{i}]\subset\mathfrak{i}$ のこと。単純とは可換でなくイデアルが 0 と $\mathfrak{g}$ だけのこと、半単純とは単純なものの直和です（標準の定義は別の形で、それと同値であることが知られています：Kirillov 定義 6.19・系 6.43）。次が知られています 既知。(i) Cartan の判定法：半単純 ⇔ $B$ が非退化。(ii) コンパクトな群のリー環では $B$ は負の半定値で、退化する向きはちょうど中心（すべてと可換な元）。逆に、半単純で $B$ が負の定値なら、コンパクトな群のリー環です。

計算構造定数から ad の行列を作って $B$ の固有値の符号を数え、$B=2n\operatorname{tr}(XY)$（$\mathfrak{su}(2)$〜$\mathfrak{su}(4)$）と $B=(n-2)\operatorname{tr}(XY)$（$\mathfrak{so}(3)$〜$\mathfrak{so}(5)$）を確認しました。不変性のずれは 1.3×10⁻¹² 以下。$\mathfrak{so}(4)$ が単純でないことは符号からは読めません。

記号の $d$（外微分）・$\wedge$（外積）・$*$（ホッジ双対）と形式の積分は 1-06 で定義します。ここでは Tr がどこに現れるかだけを見ます。

Jaffe と Witten の問題説明は、U(1) をコンパクトな群 G に置き換えて曲率を $F=dA+A\wedge A$ とし、Lagrangian と呼ぶ式 $L=\tfrac{1}{4g^2}\int\operatorname{Tr}F\wedge{*F}$（時空で積分してあるので、本書の言葉では作用、2-01）の Tr を “an invariant quadratic form on the Lie algebra of G”（G のリー環の上の不変な二次形式）と書いています。この章の言葉では：

• 場の値：ゲージ場は各点・各方向に $A_\mu=\sum_aA_\mu^aX_a\in\mathfrak{g}$ を持ちます（$\mu=0,1,2,3$ は時空の方向の番号）。$A\wedge A$ の成分は交換子 $[A_\mu,A_\nu]$ で書け、U(1) では消えます。前に付く係数は成分の約束（$F=\tfrac12F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu$ など）によるので、正確な形は 3-02 に委ねます。
• 不変：ゲージ変換は Ad で働くので、作用には §08 の意味で不変な形式が要ります。
• コンパクト：$\mathfrak{su}(N)$ では $X\ne0$ なら $-\operatorname{tr}X^2=\sum_{ij}|X_{ij}|^2\gt 0$。エネルギーが二乗の和で下に有界になり、符号が混じると負のエネルギーの向きが現れます 物理（3-03）。
• 単純：コンパクトな単純リー環（$\mathfrak{su}(N)$ など）の上では、不変な対称双線形形式は定数倍を除いて一つです 既知。複素化（実数の係数を複素数に広げる。$\mathfrak{su}(N)$ なら $\mathfrak{sl}(N,\mathbb{C})$）しても単純なままで、複素単純リー環の上では Schur の補題から一意になるからです。「単純」だけでは足りません。$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ を実リー環と見ると単純ですが、Killing 形式の実部と虚部が別々の不変な形式になります。一意な形式の定数は結合定数 $g$ に吸収されます（Tr の規格化の違いも同じ）。$G_1\times G_2$ なら定数は因子ごとに入り、標準模型 SU(3)×SU(2)×U(1) の結合定数は三つです（3-07）。

次は 1-04 SU(2) と SU(3)：パウリ行列と Gell-Mann 行列、随伴表現、コンパクト単純群の一覧。

この章が言えている範囲

出典と再現

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