2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）ゲージ原理

ゲージ原理 — 局所的な対称性を要求すると、比べる道具が要り、それが力を運ぶ

2-03 では、ポテンシャル $\mathbf A$ が先にあり、位相の取り替え (G') は後から見つかりました。この章は逆に、「位相を点ごとに勝手に回しても理論が変わらない」ことを要求して電磁場を導きます。この手続きがゲージ原理です。

出発点は複素数の値をとる場 $\psi(t,\mathbf x)$、電荷を持つ粒子のいちばん簡単な模型です。ラグランジアン密度（2-01・2-02）を

とします（例えば $V=M^2|\psi|^2$、$M$ は粒子の質量）。定数 $\alpha$ で $\psi\mapsto e^{i\alpha}\psi$ と回しても $\mathcal L_0$ は不変です（大域的な U(1) 対称性。U(1) は絶対値 1 の複素数の群、1-02）。Noether の定理（2-01）から、定数 $q$ を掛けて書いた保存則が出ます。

例。平面波 $\psi=e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf x-\omega t)}$（$\omega\gt0$）では $\rho=2q\omega$、$\mathbf J=2q\mathbf k$。$q$ は 05 節で電荷になります。大域的な対称性は「全点の位相の基準をいっせいにずらしても何も変わらない」と言っています。

回す角を点ごとに変え、$\psi\mapsto e^{i\alpha(t,\mathbf x)}\psi$ とします（局所的な変換）。$|\psi|^2$ は変わりませんが、微分に余分な項が付きます（$\partial_\mu$ は $\partial_t$ と $\nabla$ の成分、$\mu=0,1,2,3$）。

例。定数の場 $\psi=1$ の勾配のエネルギー $|\nabla\psi|^2$ は 0 ですが、$\alpha=kx$ で回すと $\psi=e^{ikx}$、$|\nabla\psi|^2=k^2$。基準を変えただけなのに、(1) は別の状態として数えます。

微分は隣り合う二点の差 $\psi(x+\varepsilon n)-\psi(x)$ を $\varepsilon$ で割った極限です（$n$ は向きの単位ベクトル）。二つの値が違う角だけ回されると、差に「場の変化」と「基準の変化」が混ざります。違う点の値は、そのままでは引き算できません。

なぜ局所的な変換を要求するのか。Yang と Mills（1954）の要旨は、アイソスピンの回転（06 節）での通常の不変性が局所的な場という考え方と相容れない、と述べます（要旨の中身は 3-02 §01）既知。これは要求（原理）で定理ではなく、自然が従うかは実験が決めます（07 節）。

違う点の値を比べるには、「点 $x$ の位相の基準は、点 $y$ ではどれに当たるか」という対応が要ります。これを比較器 $U(y,x)\in U(1)$ と呼び、$\psi(x)$ を $y$ へ運んだものを $U(y,x)\psi(x)$ とし、変換の下で

と約束します。逆向きに運ぶのは逆元で、$U(x,y)=U(y,x)^{-1}$ とします。すると差 $\psi(y)-U(y,x)\psi(x)$ には $e^{i\alpha(y)}$ が掛かるだけです。比べる前に運ぶ、が要点です。

近い二点では比較器は 1 に近く、そのずれの割合を場 $A_\mu$ と名付けます：$U(x+\varepsilon n,x)=\exp\bigl(iq\varepsilon\,n^\mu A_\mu(x)\bigr)+O(\varepsilon^2)$。逆向きはその逆元なので $U(x,x+\varepsilon n)=\exp\bigl(-iq\varepsilon\,n^\mu A_\mu(x)\bigr)+O(\varepsilon^2)$ です。$x+\varepsilon n$ の値をこれで $x$ へ運んでから引き、$n$ を $\mu$ の向きにとって差の商の極限をとると

これが共変微分です。(3) を $y=x+\varepsilon n$ で展開すると $A_\mu$ の変わり方が決まります。

例。$A_0=-\phi$、$(A_1,A_2,A_3)=\mathbf A$（2-04 の書き方）、$\alpha=q\chi$ と置くと、(5) は $\mathbf A\mapsto\mathbf A+\nabla\chi$、$\phi\mapsto\phi-\partial_t\chi$、$\psi\mapsto e^{iq\chi}\psi$。2-03 の (G)(G') です。要求から電磁ポテンシャルとそのゲージ変換に行き着きました。道に沿って比較器を掛け重ねたものが 2-03 §05 の位相因子、幾何の言葉では平行移動（1-07 §03）です。

鎖で見る

空間を点の列 $j=0,1,2,\dots$ に刻むと、比較器は辺ごとの $U_j=U(j{+}1,j)=e^{i\theta_j}$（2-03 §08、5-01 のリンク変数）になり、微分の代わりに比べ直した差を使います。(3) は $\theta_j\mapsto\theta_j+\alpha_{j+1}-\alpha_j$ で、

絶対値の二乗の和は変わらず、素朴な差 $\psi_{j+1}-\psi_j$ の和は変わります。

計算図の数値はその場で計算。点ごと・接続ありで $s$ を 0 から 0.25 刻みで 1 まで動かすと、素朴な差の和は 1.317・8.070・19.536・22.541・17.700、比べ直した差の和は 1.317 のまま（接続なしでは両方とも前者、全体で同じなら両方とも 1.317）。

計算表 1　12 点の輪（でたらめな場と比較器）を変換した前後。$W$ は一周する比較器の積（SU(2) は 06 節）、$W'$ は変換した後の値です。「$W'-W$ の成分の最大」は、差の行列の成分の絶対値の最大をとったものです。

比べ直した差の和の変化はどれも $3\times10^{-14}$ 以内（丸め誤差）。U(1) を全体で同じだけ回すと、どの列も変わりません。

$A_\mu$ を自分の方程式に従う場にするには、$A$ の微分を含み (5) で変わらない項を作用に足します。材料は閉じた道の比較器で、(3) から $\alpha$ が全部打ち消し合います。$x$ から $\mu$ の向きへ、次に $\nu$ の向きへ進んで一辺 $\varepsilon$ の正方形を一周し、$x$ に戻ると

同じ量は $[D_\mu,D_\nu]\psi=-iqF_{\mu\nu}\psi$ にも現れます。比較器は 1-07 の平行移動と同じく始点から終点へ運ぶ向きで、幾何の書き方 $A_{\text{幾何}}=-iqA$、$F_{\text{幾何}}=-iqF$ に直すと (6) は $\exp(-\varepsilon^2F_{\text{幾何}})$ となり、1-07 の (10) と $U_p\approx\exp(-a^2F_{\mu\nu})$ に符号まで一致します（格子のリンクを逆向きに読む 5-01 では指数の符号が逆になります）。例。成分は $F_{0i}=-E_i$、$F_{ij}=\varepsilon_{ijk}B_k$（2-04）で、$F$ は電場と磁場そのもの。電場と磁場は比較器の曲率（小さな輪を回ったときのずれ、1-07 §05）でした。不変な項のうち微分の次数が最も低いものを並べると

最後の項は $-\tfrac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$（2-04 の (8)）です。(1) の $\partial$ を $D$ に替えるだけの結び付け方を最小結合と呼びます。

置けない項。$A$ に質量を与える項 $-\tfrac12m^2A_\mu A^\mu=\tfrac12m^2(\phi^2-|\mathbf A|^2)$ は、(5) で $-\tfrac{m^2}{q}\bigl(\phi\,\partial_t\alpha+\mathbf A\cdot\nabla\alpha\bigr)$ と $\alpha$ の二次の項だけ変わります。ゲージ原理から出る場には質量項を書けません（2-03 §04 と同じ）既知。これが 05 節で力の届く距離に効き、06 節で難点になります。

(7) を $q$ について展開すると、01 節の量がそのまま現れます。

ゲージ場は、大域的な対称性の保存量 (2) に、変換に現れたのと同じ $q$ で結び付きます。2-03 の (L) の形そのものです。

(8) を $\phi$ で変分すると Gauss の法則が出ます。

右辺は (2) の $\rho$ そのものではなく、その $\partial_t$ を $D_t$ に替えたものです（$\phi$ を含む項が加わります）。原点に止まった点電荷 $Q$ では、この右辺を $Q\,\delta^3(\mathbf x)$ と置きます。静的なら $\mathbf E=-\nabla\phi$ で、$-\nabla^2\phi=Q\,\delta^3(\mathbf x)$ から $\phi=Q\,G_0(r)$。距離 $r$ の電荷 $Q'$ のエネルギーは

例。$m=0$ では同符号の電荷は反発し、力は $1/r^2$ で遠くまで届きます。局所的な対称性を要求しただけで、離れた電荷の間に力が生じました。(7) の理論（$V$ の最小が $\psi=0$ のとき）では、禁じた質量項を仮に足すと $(-\nabla^2+m^2)\phi=\rho$ になり、$G_m$（湯川型）はおよそ $1/m$ より遠くに届きません。足さなければ Coulomb 型で遠くまで届きます。

ただし、ゲージ不変性は力が遠くまで届くことを保証しません。古典論でも Higgs 場があれば、ゲージ不変性を保ったまま届く距離は有限になります（3-07）既知。(8) で見ると、$V$ の最小が $|\psi|^2=v^2\gt0$ にあって $|\psi|^2$ がそこに留まるとき、項 $q^2(\phi^2-|\mathbf A|^2)|\psi|^2$ は $m^2=2q^2v^2$ の質量項 $\tfrac12m^2(\phi^2-|\mathbf A|^2)$ と同じ形になります（3-07 の (9) は場の大きさの最小を $v/\sqrt2$ に置くので、同じ質量が $m=qv$ と書かれます）。

図 2 は立方格子（間隔 1）で $(-\Delta_{\mathrm{lat}}+m^2)G_m=\delta$ を数値で求めたものです（$\Delta_{\mathrm{lat}}f$ は隣の六点の値の和から $6f$ を引いたもの）。

計算点はこの端末の計算、実線はその場で計算。静止した値：$r=1,\,4,\,12$ で格子の $4\pi r\,G_0$ は 1.082・1.020・1.002 で、格子の間隔の数倍より遠くで Coulomb に近づきます。$4\pi r\,G_{0.5}$ は 0.670・0.147・0.0027（連続の $e^{-0.5r}$ は 0.607・0.135・0.0025）で、格子の軸方向の減衰の速さは $\cosh\mu=1+m^2/2$ から $\mu=0.4949$ です。

陽子と中性子は質量がほぼ等しく、核力もほぼ同じように感じます。二つを二成分の場 $\psi=(\psi_1,\psi_2)$ にまとめるのがアイソスピンの見方で、混ぜる回転 $\psi\mapsto\Omega\psi$（$\Omega\in SU(2)$、1-04。(1) の $V$ と区別して、行列は 3-02 と同じく $\Omega$ と書きます）で (1) の形の理論は変わりません。Yang–Mills（1954）は、この対称性に 02 節の要求を課しました。

比較器を SU(2) の行列にして $U(y,x)\mapsto\Omega(y)\,U(y,x)\,\Omega(x)^{-1}$ とし、近い二点で $U(x+\varepsilon n,x)=\exp(ig\varepsilon\,n^\mu A_\mu)+O(\varepsilon^2)$、$A_\mu=A^a_\mu T^a$（$T^a=\sigma^a/2$。1-07 の幾何の書き方とは $A_{\text{幾何}}=-igA=-i\hat A$。$\hat A=gA$ は 3-02 §02 の「結合を吸収」した書き方）とすると

例。$\Omega=e^{i\alpha}$（$1\times1$）なら (5) に戻り（$g$ が $q$ の役）、幾何の書き方では 1-07 §07 の $A\mapsto\Omega A\Omega^{-1}-(d\Omega)\Omega^{-1}$ です（1-07 は変換の行列を $g$ と書きますが、ここでは $g$ は結合定数です）。U(1) との違いは三つあります。

1. 場の数。リー環の次元だけ要ります：U(1) は 1（光子）、SU(2) は 3（$A^1,A^2,A^3$）、SU(3) は 8（グルーオン）、SU(N) は $N^2-1$。
2. ゲージ場自身が回される。(10) の $\Omega A\Omega^{-1}$ は $\Omega$ が定数でも $A$ を回します（随伴表現、1-04 §06）。光子と違い、自分が結び付く「電荷」を自分でも持つわけです。表 1 で SU(2) の $W$ が全体の回転でも $\Omega_0W\Omega_0^{-1}$ と変わり、$\mathrm{tr}\,W$ だけが残るのはこのためで、ここから自己相互作用が出ます（3-02）。
3. 結合定数は一つ。U(1) では場ごとに別の $q$ を自由に置けます。単純な非可換群（1-03 §08）では結合定数は一つの $g$ だけで、各物質場との結合の強さは $g$ と、その場の表現の生成子 $T^a$ で決まります（二成分の場なら $\sigma^a/2$、随伴表現の三成分の場なら $(T^a)_{bc}=-i\varepsilon_{abc}$）既知。理由の筋は、場の強さの非線形の項 $-ig[A_\mu,A_\nu]$（09 節・3-02）が $A$ の規格化を $g$ と結び付けて固定し、群が単純なら運動の項の不変な形も定数倍を除いて一つしかないことです（2-04 §07・1-03）。

質量の問題。SU(2) でもゲージ場に質量項は書けません。Yang の回想では、1954 年 2 月下旬の Princeton のセミナーで Pauli が「この場の質量は何か」と尋ねました（経緯は 3-02 の寄り道）。核力は短距離の力で、05 節の Coulomb 型の届き方と合いません。Jaffe–Witten の問題文 §1 も、古典の波に質量が無いことが深刻な障害だったと書き 既知、弱い力では Higgs 場を足して（3-07）、強い力では量子論そのものの性質（漸近自由、4-06）で越えられたとします 物理。後者で期待される質量ギャップ（4-11）を数学として示すのが問題文の課題です。

ゲージ原理は強い制約ですが、理論を一つに決めはしません（表 2）。

表の二行目の例。群が円なら、どの場の電荷も一つの単位の整数倍になります。群が直線 $\mathbb R$ なら電荷の比は任意の実数でよく、原理だけからは電荷が一つの単位の整数倍に揃う理由は出ません。三行目の例。$F^4$ のような項は $F^2$ より場の次数が高く、四次元では係数が長さの四乗の次元を持つので、長い距離ほど効きが小さくなると考えられています（2-04 §08・4-04 §06）物理。

局所的な「対称性」は普通の対称性と違い、拘束（Gauss の法則）と書き方の重複を生みます（2-01 §08）。重複をどう割るかは 3-04・4-08 の主題です。

もう一つ、普通の対称性との違いがあります。対称性が自発的に破れるとは、作用（統計力学ならエネルギー）は対称なのに、平衡状態（期待値）が対称でなくなることです。例は 2-08 §04 の自発磁化です。Elitzur（1975）は、ゲージを固定しない格子ゲージ理論では局所的な対称性が自発的に破れない（ゲージ不変でない量の期待値は 0 になる）と論じ、可換な格子の簡単な系で具体的に示しました 既知。

3-02 では (6) の正方形を SU(N) で回します。比較器が掛ける順で変わるため、場の強さに交換子が加わり、自己相互作用が出ます。

Gauss の法則を量子論で課すのは 4-01。5-01 の格子では比較器 $U_j$ を変数にし、(6) の正方形の積（プラケット）で作用を作ります。四次元で $g$ が無次元になることは 2-04 §08 と 四次元の記事。

まとめると、局所的な対称性の要求がゲージ場を呼び込み、その場は保存する電荷と結び付いて力を運び、古典論ではその質量項を手で書けません（Higgs 場を足すと事情が変わります。3-07）。四次元の非可換の場合に、量子論ではそれでも質量の隙間が生じることを示せ、というのが問題文です（0-03）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-02 非可換ゲージ場。

← 2-10 緩和の時間と動的指数 z目次3-02 非可換ゲージ場 →