2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 8 部 二つの言葉の辞書辞書の読み方

辞書の読み方 — 格を二列で付け、「同じ」の判定者を名指す

物理の「経路積分」「真空」「グルーボール」は、数学ではそれぞれ「確率測度」「再構成した Hilbert 空間（1-10）の単位ベクトル」「質量作用素 $M=\sqrt{H^2-P^2}$（エネルギー $H$ と運動量 $P$ から静止質量を読む作用素）の孤立固有値」に当てられます。出所の違う語が同じものを指すかどうか、その対応がどこまで確かかは行ごとに違い、行ごとに確かめるしかありません。それがこの章の主題です。

答えは三通りです。定理で同じと言える、仮定の下でだけ言える、言えない。しかも四次元では、数学の側の対象がまだ作られていないことが多い（0-03 §04）。そこで一行を次の形にします。

$\longleftrightarrow$ は対として並べるだけで、同じかどうかは二つの格で言います。例：「インスタントン $\longleftrightarrow$ 反自己双対接続」は (a) 確定・(b) 構成済み（古典）。古典の場には Wu–Yang（1975）の先例があります（要旨 'identification with the mathematical concept of connections'、1-07）。このサイトの記録の仮定を物理の言葉で読む試みは 8-05 です。

欄は九つです：概念、物理の語と出所、数学の語と出所、列 (a)、列 (b)、列 (c)、判定者、条件（同一視に要る仮定と残る隙間）、章。

見本は Feynman–Kac 公式です。$H=-\tfrac12\Delta+V$（$\Delta$ はラプラシアンで、質量ギャップの $\Delta$ とは別）の虚時間の発展は、$x$ から出る Brown 運動 $B_s$（独立なガウスの小さな変位を積み重ねた、でたらめな道。1-08）の期待値で書けます 既知。

欄を埋めると：概念は「$e^{-tH}$ を道の上の積分で書く」、物理の語は経路積分（Feynman 1948）、数学の語は Feynman–Kac 公式（Kac 1949）、(a) 確定、(b) 対象外（有限自由度の量子力学の行なので問わない。§04）、判定者は定理、条件は「$V$ が下に有界など。実時間の $e^{iS}$ は測度にならない」、章 2-07。条件の欄には二種類のものが入ります。「$V$ が下に有界など」は定理の仮定で、「実時間の $e^{iS}$ は測度にならない」は同一視しても残る隙間です。矢印は $\Longleftrightarrow$ が両向きの定理、$\Longrightarrow$ が片向きの定理で、$\longleftrightarrow$ は (1) と同じく対として並べるだけです。

列 (c)：有限の測定で届く向き。(a)・(b) のほかに、もう一つ格を付けます。数学の側の量について、有限個の観測量・有限の時間 $t$・有限個の格子で測った数から、厳密な不等式としてどちら向きが出るか、です。値は四つで、上界まで・下界まで・両方・届かない（極限・一様性・すべての観測量についての言明で、有限の測定ではどちら向きにも決着しない）です。量を名指さない行（定義や定理の対応だけの行）は「—」とします。判定の根拠は §08 の (8)・(9) です。重み $w_n\ge0$ の指数関数の和は対数凸なので、有効質量 $m_{\mathrm{eff}}(t)$ は $t$ について減りながら $\mu_O$ に上から近づき、どの有限の $t$ でも $m\le\mu_O\le m_{\mathrm{eff}}(t)$ です 既知（4-11 の (3)）。だから隙間とその仲間（固有値の位置・減衰率）は「上界まで」、その逆数にあたる長さと時間（相関長 $\xi$・Poincaré 定数 $C_P$）は「下界まで」に落ちます。1-10 の囲み「上界と下界の非対称」を辞書の欄にしたものです。見本の Feynman–Kac 公式の行は「—」です。

列 (a) は「もし両方の対象が在るとしたら、同じか」を問います。在るかどうかは列 (b) の仕事です。

確定でも矢印には向きがあります。見本は Osterwalder–Schrader（OS）の再構成定理です（4-10）。実時間の場の量子論の公理を Wightman の公理（4-09）、虚時間の相関（Schwinger 関数）に課す五つの条件を (E0)〜(E4) と呼びます。(E0) 正則性・(E1) ユークリッド共変性・(E2) 反射正値性（時間の鏡に写した量との相関が負にならないこと）・(E3) 対称性・(E4) クラスター性です。(E0′) は (E0) を強めた線形増大の条件で、$n$ 点関数の評価が $n$ について階乗程度に収まることを求めます（4-10 §03）既知。

行きでは、Wightman の理論の相関をエネルギーが正であることを使って虚時間へ解析接続すると、(E0)〜(E4) を満たします。帰りには (E0′) が要り、Wightman の理論から (E0′) が出るかは知られていません（Summers §3、4-10 §03）。行きと帰りで条件が違うので、(a) は確定でも矢印は $\Longrightarrow$ の二本で書き、$\Longleftrightarrow$ にはしません。

条件つきの見本は質量ギャップと相関の減衰です。問題文 §5 は 'An important consequence of the existence of a mass gap is clustering' と片向きに書きます。逆向きには、稠密な観測量の族が一様な率で減ることが要ります（§08）。

未確定には三つの型があります。(i) 数学の側に定義が無い：四次元の $\Lambda$。(ii) 定義は両側にあるが、同じとする定理が探した範囲で見当たらない：中心対称性（Chatterjee は、数理物理の文献に厳密な定義が無いと書いたうえで、格子での定義を Polyakov ループによる物理の定義から着想したと書く）。(iii) 予想や類比の中の対応：ホログラフィーの動径と繰り込みの尺度（7-08）。

二つに分けて読むなら、「確定」が指していると確定している対、「条件つき」と「未確定」が数学の厳密性からは言い切れていない対です。辞書 B（8-03 §01）は、別の量だと分かっている対に四つ目の段「対応しない」を足します。表 2 の 9 行目（偽の友、§06 の寄り道）は、8-03 の B3 ではこの段で付けています。

列 (b) は、数学の語が指す対象が四次元で作られているかを水準つきで書きます。水準は古典（滑らかな接続）、形式的冪級数（摂動の各次数）、格子（間隔 $a$ を固定）、連続の量子論（$\mathbb R^4$ の上の測度と Hilbert 空間）の四つで、問題文は最後を求めます（0-03 §03）。

格はこの三つです。四次元ヤン–ミルズの対象でない行（有限自由度の量子力学、余剰次元など）では (b) を問わず、「対象外」と書きます（§02 の見本）。

最後の規則が要です。格の名の「無い」は「未構成」の意味で、存在しないことが示されたのではありません。問題はまさにその存在を問うています。有限の格子の測度はどの $\beta$（格子の作用の結合の係数）でも在りますが（5-01）、連続の測度はその極限で、四次元の非可換群ではまだ構成されていません 既知。

$U_\ell$ はリンク変数、$S_W$ は Wilson の作用です。例：インスタントンは古典で構成済み（ADHM 1978）、転送行列（格子で虚時間を一刻み進める作用素、§08）は格子で構成済み（Lüscher 1977）。表 2 の 10 と 11 は同じ幾何を指しますが、10 は古典の水準、11 は格子の水準を名指します。滑らかな接続の第二 Chern 数は古典で在るので、11 の (b) が条件つきなのは、格子の場に整数を割り当てるのに許容条件（各プラケットで $U_p$ が 1 に近いこと）が要るためです。強結合の格子では孤立した一粒子状態も示されていますが（Schor 1984）、格子の水準で、しかも連続極限の反対側です（5-09）。

一列で格を付けると、「定義として同じか」と「四次元で在るか」が一つの格に混ざり、どちらで付けたかが行ごとに変わります。

例：表 2 の 4 と 5 は同じ対なのに、定義を問えば条件つき、四次元の実例を問えば未確定。6 と 7 も同じで、1（経路積分）は定義として確定なのに一列では条件つき。二列ではこれらが同じ枡に落ちます。「弱い方を取る」一列にすると、連続の量子論の行がほぼ「無い」に揃い、定義の対応が見えなくなります。

位置は表 2 の格（この本の読み）。JavaScript が無効でも静止図と表で読めます。

表 2　十四の見本（詳細は 8-02〜8-04）。「一列」は二つの問いを分けずに付けた格。(c) は §02 の列 (c)（有限の測定で届く向き）。

表 2 の語の注。11 は格子の水準を名指す行です（§04）。12 の判定者の「定理」は、スカラー場では Hepp 1966、ゲージ理論では Becchi–Rouet–Stora 1976（半単純な群で、すべての場に質量が入るゲージの取り方のとき、ゲージ対称性の恒等式を摂動の全次数で示す）、質量の無い $SU(2)$ の純ヤン–ミルズでは Efremov–Guida–Kopper 2017（繰り込み群の流れの方程式による）です。一般のコンパクト群の純ヤン–ミルズの出典は未確認です。13 の $\Lambda$ は理論が自分で生む質量の尺度（4-07）、$C_P$ は Poincaré 定数（確率的な勾配の流れ＝Langevin 力学で配位が平衡に戻る遅さ。1-10・8-03）、$\xi$ は相関長（相関が $e^{-r/\xi}$ で減る長さで、格子単位のギャップの逆数）、仮定 H はこの端末の記録が置いた仮定 $C_P\asymp\xi^2$（両者が定数倍の範囲で比例すること。10-03）です。14 の Fefferman–Graham 展開は、境界からの深さの冪で内部の計量を展開する式です（8-04）。

辞書は、多くの読み手が先に知る物理の語から引けるように並べ、格は数学の言明に訳してから判定します（7-13 §01）。物理の語が二つの意味を持つときは行を割ります。割るかどうかの基準は、二つの意味で列 (a) の格が違うかどうかです。同じなら一行にまとめ、違えば割ります。見本は「ユニタリ性」です 既知。

正ノルム性は、状態の内積が正定値であること（負のノルムの状態が無いこと）です。漸近完全性は、遠い過去と遠い未来の自由な粒子の状態（漸近状態）で Hilbert 空間が尽きることです（8-02 §05）。上の行は OS と Wightman の対応の中での言明で、反射正値性から正定値の Hilbert 空間と $H\ge0$ が出ます（再構成）。逆は (3) の行きの向きで、Wightman の理論の正値性が Schwinger 関数の反射正値性になります（4-10）。下の行は、孤立した一粒子の質量殻を仮定して漸近状態を作る Haag–Ruelle の散乱理論の下での言明です。

一行にまとめると、確定の格が S 行列まで及ぶように読めてしまいます。「閉じ込め」も行を割る例です。三つの基準は、$V(R)\to\infty$（$V(R)$ は重いクォーク対を距離 $R$ に置いたエネルギーで、Wilson ループの減り方から読む）、面積則 $\sigma\gt0$（$\sigma=\lim_{R\to\infty}V(R)/R$ が弦張力）、中心対称性が破れない（群の中心による変換で不変なこと。物理では有限温度の Polyakov ループの期待値が 0）です。物理ではほぼ同じ意味ですが、数学の定理は格子の上の片向きのものです。Chatterjee の定理 2.2 は、格子 $\mathbb Z^d$ の上で結合を固定して「中心対称性が破れない $\Rightarrow V(R)\to\infty$」を示します（中心に非自明に作用する表現の Wilson ループで。8-03 §03）。

寄り道：偽の友

定理：両向きか片向きの定理がある（(2)・(3)・(6)）。定義：数学の側が物理の語の意味として対象を定めた。経路積分を可算加法的な確率測度とする定め方がそうです。Jaffe の総説 §4 は、経路積分に 'a true integral, given by a countably-additive Borel measure' としての定義が無かったことを、当時の「問題」として挙げています。この定め方は、別の計算との一致までは含みません。慣習：同じ名で呼ぶ習慣。格子で通路ごとに測る最低状態を「グルーボール」と呼ぶこと、格子単位の一様な指数減衰を 'strictly positive mass gap' と呼ぶこと（Shen–Zhu–Zhu）。予想：動径と尺度の対応では、物理の側も 'what cutoff on the field theory corresponds to a radial cutoff in the bulk?' は 'left unanswered' と書きます（Heemskerk–Polchinski）。類比：形の類似の指摘。「尺度は一つ」と仮定 H（7-12）。

例：表 2 の 5 は「定理＋条件・慣習」。孤立固有値との対応は条件つきの定理（1-10）、最低状態を「粒子」と呼ぶのは慣習です。同居するときは両方を書き、列 (a) は強い方で付けます。

条件の欄は定理の仮定の置き場所です。表 2 の 8 を小さな模型で読みます。転送行列は、格子で虚時間を一刻み進める作用素 $T=e^{-H}$ です（刻みを 1 とする。4-10・5-03）。その準位を $0=E_0\lt E_1\lt E_2\lt\cdots$ とし、$E_0=0$ の状態 $\Omega$ が真空です。虚時間 $t$ 離れた相関は、準位と、観測量 $O$ の各準位への重なり $w_n\ge0$ で書けます（準位が離散なら）既知。

ギャップは $m=E_1$。相関の減る速さは $w_n\gt0$ となる最初の準位で決まります。

一つの相関から言えるのは上界 $m\le\mu_O$ だけです。上界には一つの観測量で足り、等号には $w_1\gt0$ が要ります。下界 $m\ge c$ には、真空と直交する部分で稠密な観測量の族のすべてが率 $c$ 以上で減ること（一様性）が要ります。どの観測量が $E_1$ に重なるかは前もって分からないので、族が要ります。これが 8 の条件の中身です（4-11 §02・8-03。上からは易しく下からは難しいのは変分原理と同じ形：1-10 の囲み「上界と下界の非対称」）。辞書の列 (c)（§02）はこの非対称を各行に付けたものです。

例：$E=(0.5,0.9,1.4)$、$w_2=1$、$w_3=0.5$、$w_1=10^{-3}$ なら $m_{\mathrm{eff}}(8)=0.892$ でギャップの 1.78 倍、5% 以内に入るのは $t=24$ からです 計算。$t\le8$ では $w_1=10^{-3}$ と $w_1=0$ の差が 1.3% 以下で 計算、有限の $t$ では重なりが小さいことと無いことを区別できません。

計算この図の数値はこの端末で計算した（(8)・(9) をその場で計算）。

計算表 3　$m_{\mathrm{eff}}(t)$（上と同じ $E$・$w_2$・$w_3$）。右端は $m_{\mathrm{eff}}\le1.05E_1$ となる最初の整数 $t$。

問題が求めるのは、連続の量子論の水準で列 (b) を「無い」から「構成済み」に動かすことです。ここでの「無い」は §04 の定義どおり、無いと示されたのではなく、まだ作られていないという意味です。そのとき何がついてくるかは列 (a) が示します。

表 2 で列 (b) が「無い」のは 9 行、「構成済み」の 3・10・12 も連続の量子論より低い水準です。(3) の帰りの条件 $(\mathrm{E0}')$〜$(\mathrm{E4})$ を満たす四次元の測度が仮に作られれば、確定の 1・2 はそのまま使え、再構成定理が Hilbert 空間とハミルトニアンと真空を与えます。条件つきの 4・5 には上の隙間（問題文 §5 は 'an upper gap, in addition to the mass gap' を拡張に数える）、8 には一様な減衰率、つまりギャップそのものを別に確かめます。未確定の 13・14 と偽の友の 9 は、測度ができても決着しません。この本の読みでは、存在とギャップが問題文で一文に並ぶ理由もここにあります（0-03 §01）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：8-02 辞書 A：理論そのもの。

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