2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備イジング模型と転送行列

寄り道：イジング模型で見るギャップと相関長 — 転送行列の固有値の比が、相関の届く長さを決める

質量ギャップはハミルトニアンの最低の二つの固有値の差（2-05）、相関長は離れた二点の連動が消える長さ（2-08）でした。二つが一つの数であることを、最も簡単な模型で確かめます。

鍵は転送行列です。格子を一列ずつ進む行列 $T$ の固有値を $\lambda_0\gt\lambda_1\ge\cdots$、$E_n=-\log\lambda_n$ とすると

です（条件は 04 節）。左辺は統計の量、右辺は「ハミルトニアン」$H=-\log T$ のギャップで、一目盛りを虚時間の一刻みと読めば、2-05 の (8) が言う「減衰の速さはギャップ」と同じ内容です。

例。二次元の幅 $L$ の帯では、$E_1-E_0$ は高温側で正の値に落ち着き、臨界点で $1/L$ に比例して、低温側で指数関数的に閉じます（05〜08 節）。

$N$ 個のスピン $\sigma_i=\pm1$ を輪に並べ（$\sigma_{N+1}=\sigma_1$）、隣どうしを結合します。$K=\beta J$、$B=\beta h$ とし、外場の項を隣の二点に半分ずつ配ると、重みは隣の対ごとの因子の積です。

一つの因子は $\sigma_i$ と $\sigma_{i+1}$ だけで決まるので $2\times2$ の行列になり（行が $\sigma_i$、列が $\sigma_{i+1}$、$+1$ が一行目）、和は輪を一周して戻るのでトレースです。

$T$ は実対称なので固有値は実で（1-01）、

です。$N$ が大きいと $Z_N\approx\lambda_0^N$ です。分配関数を行列の最大固有値で求める方法は Kramers–Wannier 1941 が一次元の鎖で実行し、二次元へ進めたものです 既知。

例。計算$N=14$、$K=0.7$、$B=0.2$ で $2^{14}$ 個の配置を全部足した $Z_N$ と相関は、(3) のトレースの式と丸め誤差の範囲（相関の差 $10^{-13}$ 未満）で一致しました。

$T$ の正規直交な固有ベクトルを $v_0,v_1$、スピンを $S=\operatorname{diag}(1,-1)$ で表します。$N\to\infty$ では輪の残りが $\lambda_0^{N-r}v_0v_0^{\mathsf T}$ に置き換わり、間の $T^r$ を固有値で展開すると距離 $r$ の相関が出ます。

最後の等号は $v_0=(\cos\varphi,\sin\varphi)$、$v_1=(-\sin\varphi,\cos\varphi)$ とおくと $m=\cos2\varphi$、$v_0^{\mathsf T}Sv_1=-\sin2\varphi$ となることから出ます。相関長は (1) の通りです。$B=0$ なら $\lambda_0=2\cosh K$、$\lambda_1=2\sinh K$ で

計算表 1　$B=0$ の固有値と相関長。

どの $K\lt\infty$ でも $\lambda_0\gt\lambda_1$ なので $\xi$ は有限で、外場を切ると $m=\sinh B/\sqrt{\sinh^2B+e^{-4K}}\to0$ です。(4) の根号の中は正なので $\lambda_0$ は $\lambda_1$ と重ならず、一点あたりの自由エネルギー $f$ は $\beta f=-\lim_{N\to\infty}\frac1N\log Z_N=-\log\lambda_0$ で、$K$ と $B$ の解析的な関数です。これが一次元に相転移が無いこと（Ising 1925。相転移の定義は 2-08 の 04 節）の、転送行列での理由です 既知。成分がすべて正の一般の正方行列でも最大固有値は重ならず、これを Perron–Frobenius の定理と呼びます（ここでは名前だけ）。直観では、隣が食い違う割合（壁の割合）$p=\frac{1-\tanh K}{2}\approx e^{-2K}$ がどれほど低温でも 0 にならず、相関は壁を越えるごとに符号を変えるので $\xi\approx1/(2p)$ です。

計算$G(r)$ と準位は (4)(5) をその場で計算、鎖は $v_0$ から作るマルコフ連鎖の見本（種を固定した乱数）。読み出しは python3 と一致（$K=1$、$B=0.1$ で $\xi=2.9563$）。

$B=0$ の $T$ は $e^K$ 倍の単位行列と $e^{-K}$ 倍の $\sigma^x=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$（1-04）の和です。$e^{K^*\sigma^x}=\cosh K^*+\sigma^x\sinh K^*$ と比べると

と書けます。$K^*$ を双対結合と呼びます（Kramers–Wannier の双対性の量）。$T=e^{-H}$、$H=-K^*\sigma^x+\text{定数}$ は横向きの磁場の中の一つのスピン、つまり二準位系（2-05）で、ギャップは $E_1-E_0=2K^*=\log\coth K=1/\xi$ です。鎖の方向が虚時間、一目盛りが刻み 1 です（2-07）。結合が強い（低温）ほど $K^*$ は小さく、二準位は寄り、相関は長く続きます。

一般に、$T$ が正の対称行列（無限次元なら正の自己共役作用素）で固有ベクトルが $|n\rangle$ なら、観測量 $A$ の相関は同じ計算で

です 既知。例。係数 $\langle0|A|n\rangle$ が対称性で 0 になる準位は、その $A$ の相関に現れません。ギャップは「どの観測量にも効く最も遅い減り方」で、個々の相関はそれ以上の速さで減ります（2-05 表 2 の後の注）。格子ゲージ理論で転送行列が正の自己共役になることは反射正値性から出ます 既知（Osterwalder–Seiler 1978 とされる。詳しくは 5-03）。

正方格子の二次元イジング模型（$B=0$、縦横とも $K$）を幅 $L$ の帯に置きます。幅の方向は周期的につなぎ（円筒）、長さの方向を虚時間と読みます。一列の状態は $2^L$ 通りで、列の中の結合を対角行列 $V_1=\exp(K\sum_j\sigma_j\sigma_{j+1})$、隣の列との結合を $V_2$ とすると、(7) を各点に使って

です。ここで $\sigma^x_j$ は $j$ 番目のスピンだけを裏返す $2^L$ 次の行列、$\sigma^z_j$ は $j$ 番目のスピンの符号 $\pm1$ を掛ける対角行列で、どちらも他のスピンには何もしません。$V_1$ の指数は $\sigma^z_j\sigma^z_{j+1}$ の和、$V_2$ の指数は $\sigma^x_j$ の和です。$V_1$ を半分ずつ両側に置くと $T$ が対称行列になり、04 節の (8) が使えます。$T$ は一列の量子スピンの系（横磁場イジング鎖）の虚時間の一刻みの形です。二次元の古典統計力学が一次元の量子系になりました。

$T$ は全反転 $\sigma\to-\sigma$ と交換するので固有ベクトルは偶と奇に分かれ、偶の最大が $\lambda_0$、奇の最大が $\lambda_1$、帯の相関長は $\xi_L=1/(E_1-E_0)$ です（de Queiroz 2011 の式 (1)）。臨界点 $\sinh2K_c=1$（2-08 の (9)）は、(7) から $K^*=K$ となる自己双対の点です。

計算表 2　幅 $L$ の帯の準位の差（$E_2$ は三番目の準位）。最下段は $L\to\infty$ の式の値（06〜08 節）。

$L=20$（$2^{20}\approx10^6$ 次）も、行列を作らず $V_1$ と $V_2$ を順に掛ける作用だけで求めました。三つの温度で振る舞いがまったく違います。

$T\gt T_c$（$K\lt K^*$）では $L$ を広げても $E_1-E_0$ は正の値に落ち着きます。帯の固有値には閉じた形があり（Onsager 1944。まとめは Domb 1960 の総説、式の形は de Queiroz 2011 の式 (6)〜(8)）、その部品が次の $\gamma(\omega)$ です。右の形は $\sinh2K\sinh2K^*=1$ から出ます。

$\gamma(0)=2|K^*-K|$ で、表 2 の $E_1-E_0$ は $2(K^*-K)$ に近づきます 計算（$T/T_c=1.5$、$L=16$ で差 $4\times10^{-6}$）。$\gamma(\omega)$ は運動量 $\omega$ の一つの粒子のエネルギーと読めます（自由フェルミオンの見方。Schultz–Mattis–Lieb 1964）。帯の上では運動量が $2\pi n/L$ に量子化され、奇の二番目の準位は $\gamma(2\pi/L)$ に近く、$T_c$ から離れるほどよく合います（$L=16$ で、$T/T_c=1.5$ なら 0.763461 と 0.763457、1.2 なら 0.495433 と 0.494596）計算。$L\to\infty$ でこれらが $\gamma(0)$ まで降り、ギャップの上は連続した帯になります（2-05 の 06 節の実例）。

例。臨界点の近くで $\gamma,\omega$ が小さいと、(10) の右の形を二次まで展開して

で、相対論の $E^2=m^2+p^2$（光速 1、2-04）の形です。正確には、(11) は $\gamma(0)$ と $\omega$ が小さいときだけの近似です（$T/T_c=1.05$、$\omega=0.1$ で左辺 0.017234、右辺 0.017263）計算。

$T=T_c$ では $\gamma(0)=0$ で、無限に広い帯のギャップは 0 です。有限の帯では $\xi_L$ が $L$ に比例して伸び、比例定数は模型の細部に依らない普遍量です。次の (12) の最初の式（一般の関係）は、共形不変性（臨界点で、角度を保つ変換にも形を変えない、という性質。ここでは名前だけ）からの予言です 物理（Cardy 1984。形は de Queiroz 2011 の式 (3)(5)）。二次元イジングでは、06 節の帯の固有値の閉じた形から同じ値 $4/\pi$ が出ます 既知。

$x$ はスピンの尺度次元で、臨界点で $G(r)\sim r^{-2x}$、二次元では 2-08 の $\eta=1/4$ の半分です。例。計算$L=18,\ 20$ の $\xi_L/L$ から、差が $c/L^2$ で消えると仮定して外挿すると 1.273248 で、$4/\pi$ との差は $8\times10^{-6}$ です。

計算図の数値はこの端末で計算しました（$L=4$〜14、$T/T_c=0.72$〜1.5 を刻み 0.04（最後だけ 0.02）。python3 の値を有効数字 4 桁で埋め込み）。右の破線と点線は (10)(13) の値をその場で計算。

左の線は幅が違っても $T_c$ でほぼ一点に集まり、高温側では $L$ が大きいほど下へ、低温側では上へ開きます。

$T\lt T_c$ では $E_1-E_0$ が $L$ とともに指数関数的に小さくなります。帯の上には「ほぼ全部 $+$」と「ほぼ全部 $-$」の二つの状態があり、偶と奇の最大固有ベクトルはその和と差です。一方から他方へ移るには帯を横切る長さ $L$ の壁が要り、その重みは $e^{-\sigma L}$ 程度です。$\sigma$ は壁の単位長さあたりの自由エネルギー（界面張力）で、二次元イジングでは

とされます（反対向きの秩序の境界の自由エネルギーは Onsager 1944 が求めた）。(13) は $T_c$（$K=K^*$ の自己双対点）で 0 になり、$K\to\infty$ では、壁の単位長さあたり食い違う結合一本ぶんの $2K$（重み $e^K$ が $e^{-K}$ になる）に近づきます。(7) の関係は $K$ と $K^*$ を入れ替えても成り立つ（$\tanh K=e^{-2K^*}$）ので、等価な形は $\sigma=2K+\log\tanh K$ です。2-05 の 07 節の二重井戸と同じ構図です。正確には、山の高さに当たるのが壁の自由エネルギー $\sigma L$ で、幅に比例して高くなります。

一方、三番目の準位との差 $E_2-E_0$ は閉じず、(10) の粒子二つ分 $2\gamma(0)=4(K-K^*)$ に近づくとされ、表 3 の外挿はそれと矛盾しません 物理。二つ分になるのは、幅の方向を周期的につないだ一列の中では、向きの食い違いが一周すると元に戻るので偶数個しか入らず、食い違い一つが (10) の粒子一つに当たるからです。

計算表 3　$T/T_c=0.8$。傾きは $\frac12\log\frac{(E_1-E_0)_{L-2}}{(E_1-E_0)_L}$、補正は前因子を $L^{-1/2}$ と仮定したもの、外挿は $L-2$ と $L$ の $E_2-E_0$（表 2）から、差が $c/L^2$ で消えると仮定したもの。

傾きは $\sigma$ へ、外挿は $4(K-K^*)$ へ向かって動きます。前因子と補正の形は仮定なので、(13) と矛盾しないという水準の確認です。逆に $\sigma$ を (13) の値に固定し、前因子を $L^{-p}$ として隣の二つの $L$ から $p$ を逆算すると、$L=12,\ 16,\ 20$ で 0.587、0.564、0.551 と $1/2$ に近づいていきます 計算。有限の帯（円筒）での一次転移の有限サイズ効果は Privman–Fisher 1983 が論じたとされます。図 2 の右で $T/T_c$ を 1 より下げると、● が傾き $\sigma$ の点線に平行に並んでいくのが見えます。

大事な読み方です。幅 $L$ が有限なら $T$ の成分はすべて正なので（$V_2$ の成分は $e^{\pm K}$ の積）、03 節で名前を挙げた Perron–Frobenius の定理により $\lambda_0\gt\lambda_1$、つまり $E_1-E_0\gt0$ です（03 節と同じく相転移はありません）。$E_1-E_0\to0$ は、幅 $L$ を無限に広げた極限で秩序状態が $+$ と $-$ の二つになる印で、それぞれの上には正のギャップ（上の $E_2-E_0$ の極限）が残るとされます 物理。閉じる隙間は「真空が二つある」印で、「質量ギャップが無い」印ではありません。質量ギャップを論じるときは、真空が一つであることを別に確かめます（4-11）。

この章の対応を並べます。どれも物理の水準の読み替えで、ヤン–ミルズについて何かを示すものではありません 物理。表と下の段落の $\beta$ は格子ゲージ理論の作用に掛かる定数（$g^2$ の逆に比例。2-08 §08）で、この章の逆温度の $\beta$ とは別の量です。

違いもあります。四次元の非可換ゲージ理論の臨界点は $\beta=\infty$ にあると信じられ、そこへの近づき方を漸近自由が決めます（4-06）。二次元イジングのような閉じた形の解もありません。

寄り道：Z₂ ゲージ理論とイジング模型

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-01 ゲージ原理。ギャップの定義の本体は 4-11、格子の転送行列は 5-03。

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