2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）接続の空間と軌道空間

幾何としてのゲージ理論 — まっすぐな空間を軌道で割ると、代表を連続には選べなくなる

力学では粒子の位置の全体を一つの空間（配位空間）と見ました（2-01）。場でも接続 $A$ 一つを一点と見なし、その全体を $\mathcal A$ と書きます（無限次元）。ゲージ変換で移り合う配位は同じ物理を表すので（3-01）、本当の配位空間は移り合うものを束ねた集まりです。束ねた一つを軌道、その全体を軌道空間 $\mathcal A/\mathcal G$ と呼びます。ゲージ変換は 1-07 の式 (4) と、その格子版（1-07 の式 (7)）です。

(1) の $U_\ell$ は、辺 $\ell$ に沿って $x$ から $y$ へ運ぶ平行移動です（1-07 の式 (7)）。5-01 の $U_{x,\mu}$ は $x+a\hat\mu$ から $x$ へ運ぶ向きに読むので、この章の記号では $U_\ell$（$\ell:x+a\hat\mu\to x$）に当たります（$U_\ell=U_{x,\mu}$、逆向きの辺では逆元）。

例（格子）。辺に群の元を置く格子（5-01）では、配位は辺の数 $E$ 個の組 $G^{E}$、ゲージ変換は頂点の数 $V$ 個の組 $G^{V}$ で、有限次元です。問いは二つです。軌道空間はどんな形か。軌道ごとに代表を一つ、連続に選べるか（§07）。

約束。1-07 と同じく $G=SU(N)$、$\mathfrak g$ は反エルミートで跡 0 の行列、接続は $\mathfrak g$ 値の 1-形式 $A=\sum_\mu A_\mu\,dx^\mu$ です（3-02 の表の $\mathcal A=-igA$ をこの章では $A$ と書き、$\mathcal A$ は接続の全体に使います）。底空間 $M$ は $\mathbb R^4$・$S^4$・$S^3$・円周です。二つの接続の差は $\mathfrak g$ 値の 1-形式で、接続に 1-形式を足せばまた接続です（1-07 §03）。だから $\mathcal A$ は原点の決まっていないベクトル空間（アフィン空間）です。

右の式は、(1) の $-(dg)g^{-1}$ が重み $(1-t)+t=1$ で一度だけ出ることから従います。$t$ を 1 から 0 へ動かすと $\mathcal A$ 全体が一点 $A_0$ に連続に縮みます。これを可縮と呼び、§07 の出発点です。接線の向き $a,b$ には内積を入れます。

反エルミートなら $-\operatorname{tr}(a_\mu a_\mu)\ge0$ で、ゲージ変換 $a\mapsto gag^{-1}$ はこの内積を保ちます。例。格子の $U(1)^E$ はトーラスで、縮められない輪を持つので可縮ではありません（格子の配位の空間が可縮でないことは §08 で効きます）。

ゲージ変換の全体 $\mathcal G$（滑らかな $g:M\to G$、積は点ごと）は無限次元の群です。軌道の接線は $g=e^{t\xi}$（$\xi:M\to\mathfrak g$）を (1) に入れて微分すると出ます。

$D_A$ は随伴表現の共変微分です（3-02 §03）。(3) で部分積分すると（$\xi$ どうしの内積は $-\int\operatorname{tr}(\xi\eta)\,d^dx$、境界の項は落とす）、随伴 $D_A^*$ が決まります。

向き $a$ が軌道に直交することは $D_A^*a=0$ と同じで、$A=0$ では Landau の条件 $\partial_\mu a_\mu=0$ です 既知。止める元。$g\cdot A=A$ に右から $g$ を掛けると $gA-dg=Ag$、つまり

で、平行移動の方程式です（1-07 §04）。$g$ は一点 $m$ での値で決まり、$g(m)$ は $A$ のホロノミーと可換でなければなりません（Singer 1978 §2）既知。だから基点つきのゲージ群 $\mathcal G_m=\{g:g(m)=1\}$ はどの接続も動かし（自由に働き）、ホロノミーが共通の不変部分空間を持たない既約な接続を止めるのは中心 $\mathbb Z_N$（1-04）だけです。$A=0$ のような可約な接続は大きな群（定数の $G$ 全体）で止まり、軌道が細くなって軌道空間の角になります。

$L$ 本の辺が輪になった格子では、ゲージで変わらない量は一周のホロノミー $U=U_{L-1}\cdots U_0$ の共役類だけです（1-07 §06）。$U(1)$ なら角 $\Phi$（$U=e^{i\Phi}$）で、軌道空間は円周です。$SU(2)$ なら固有値 $e^{\pm i\theta}$（$0\le\theta\le\pi$）で決まり、軌道空間は線分 $[0,\pi]$、端の $U=\pm1$ は止める元が $SU(2)$ 全体に跳ね上がる角です。$SU(2)\cong S^3$（単位四元数、1-12）と見ると、角 $\theta$ の共役類は半径 $\sin\theta$ の球面で、端で一点に潰れます。群の上の、掛け算で変わらない重さ 1 の測度を Haar 測度と呼びます。$SU(2)$ では $S^3$ の一様分布です（1-08 §03）。これを軌道空間に落とすと、軌道の面積（分子）を $S^3$ の体積（分母）で割った重みが付きます（Weyl の積分公式）既知。

計算表 1　4 本の辺をそれぞれ $SU(2)$ の Haar 測度で無作為に選んだ環の、ホロノミーの角 $\theta$ の分布（200 万標本、標本誤差は 0.0004 以下）。

(7) に一致し、辺 1 本でも同じです（Haar 測度の元の積はまた Haar 測度に従う）。角の近くの軌道は小さく、そこに来る確率も小さい。この重みは、ゲージを固定するときに掛ける Faddeev–Popov の行列式（§05 の式 (9) の $M$ の行列式）と同じ役をします。正確には、有限次元の群で共役を対角形に固定すると、Faddeev–Popov の行列式が $\sin^2\theta$ の定数倍（Weyl の因子）になります。無限次元のゲージ固定での行列式は、その形式的な類比です（4-08 §02）。

寄り道：軌道空間とギャップ

ゲージを固定するとは、各軌道から代表を一つずつ選ぶ写像 $s:\mathcal A/\mathcal G\to\mathcal A$（切り口）を選ぶことです。よく使うのは、軌道の上で原点にいちばん近い点を選ぶ規則です。(4)(5) から

で、これがすべての $\xi$ で 0 になるのは $\partial_\mu A_\mu=0$、Landau ゲージです。Singer は $A$ を通り軌道に直交する面 $\mathcal S_A=\{A+\tau:D_A^*\tau=0\}$ を一般化された Coulomb ゲージと呼び、$A$ の近くでは面が軌道とちょうど一度ずつ交わる（局所的な切り口）ことを述べます 既知。遠くでは面が軌道に接します。$A+\tau$ での軌道の接線 $D_{A+\tau}\xi$ が面に入るのは、次の作用素が 0 でない解を持つときです。

そこでは Faddeev–Popov の行列式（$M(\tau)$ の行列式）が 0 になります。$A=0$ なら $M(\tau)=-\partial_\mu D_{\tau,\mu}$ です。$M$ が正の範囲を Gribov 領域、その境目を horizon、軌道と面の交点の一つひとつを Gribov のコピーと呼びます。Singer の Theorem 8 は、面のどの向きにも十分遠くで軌道に接する点があることを示します。Gribov（1978）は $\mathbb R^4$ の $SU(2)$ で、Coulomb ゲージが原点の軌道と遠くでもう一度交わることを見つけました（Singer の紹介による）既知。量子論での数え方は 4-08 §05・§06。

例（図 1）。$U(1)$ の $L$ 本の辺の環。基点で $g_0=1$、残りを $g_x=e^{i\alpha_x}$ とすると、(1) で変換した辺の角は $\psi_\ell=\theta_\ell+\alpha_{\ell+1}-\alpha_\ell$（添字は $L$ で一周）です。原点からの離れ方を Mehta ら（2014）と同じ関数で測ります。

$\psi$ が小さいと $E\approx\tfrac12\sum_\ell\psi_\ell^2$ で、(8) の格子版です。止まる点ではすべての $\sin\psi_\ell$ が等しく、一様な点 $\psi_\ell=\varphi$ と、一部の辺だけ $\pi-\varphi$ の点があります。一様な点は次の $L$ 個です。

そこでの二階微分の行列（格子の Faddeev–Popov 行列）は輪のラプラシアンの $\cos\varphi_k$ 倍なので、$\cos\varphi_k>0$ なら極小（Gribov 領域の中のコピー）、負なら極大です。非一様な点は極小になりません（$L=3$〜$9$）計算。

$\Phi$ が 90° と 270° の間でだけ、$\cos\varphi_0>0$ と $\cos\varphi_2>0$ が両立し、Gribov 領域の中にコピーが二つあります。$\Phi$ が増える向きに 90° を越えるとき、$k=2$ の点と三つの鞍点が一点に重なり、二階微分が 0 になります。これより先で $k=2$ は極小になります。これが horizon です。$\Phi=180°$ では二つの極小の $E$ が等しく、最も近い点だけを集めた領域（基本モジュラー領域）の境界がここです。臨界点の符号つきの和が 0 になること（Neuberger の 0/0）は 6-11 §05 にあります。

図 1 で $\Phi$ を一周させると、(11) の一様な代表は $\varphi=\Phi/L$ から $(\Phi+2\pi)/L$ へ連続に動き、$k=1$ の代表に着きます。軌道は元に戻ったのに、選んだ代表は別のコピーです。図 1 の $L=3$ では途中の $\Phi=270°$ で horizon を越え、着いた先は極大（Gribov 領域の外のコピー）です。領域の中にとどまったまま別のコピーに着くのは $L\ge5$ です（表 3）。二つのコピーは、点 $x$ で角 $\alpha_x=2\pi x/L$ だけ回すゲージ変換（連続の円の巻き数 1 の変換を格子に写したもの）で移り合います（最後の辺でも $\alpha_0-\alpha_{L-1}\equiv2\pi/L$）。

代表を連続に選び続けると一周で食い違う——連続な大域的ゲージ固定を妨げる仕組みの、いちばん小さな姿です。たどる途中で horizon（$\cos\varphi=0$、つまり $\Phi=\pi L/2$）に当たるかどうかは $L$ で変わります。

計算表 3　$\Phi=0$ の極小を $\Phi$ に沿って一周たどった結果と、Gribov 領域の中のコピーの数（$\Phi$ を 4000 通り動かした最小〜最大）。

$L\ge5$ では代表は一周の間 Gribov 領域の中にとどまって $k=1$ のコピーに着き、$L\le4$ では途中か端で horizon に当たります。どちらでも元の代表には戻りません 計算。

例（連続の円）。長さ $\ell$ の円周の $U(1)$ 接続 $A=i\,a\,dx$ では、Landau の条件は $a$ を定数にし、巻き数 $n$ のゲージ変換 $e^{2\pi inx/\ell}$ は $a$ を $a-2\pi n/\ell$ に移すので、コピーは無限個です。ゲージで変わらないのは $a\ell\bmod2\pi$ だけで、代表を連続に選ぶことは角から実数を連続に選ぶ（連続な対数を取る）ことですが、一周で $2\pi$ ずれるので不可能です 既知。

Singer（1978）は底空間を $S^4$（$\mathbb R^4$ に無限遠の一点を足したもの。遠方でゲージ変換が一定の値に近づく条件に当たる）か $S^3$（ある時刻の空間）とし、コンパクトで連結な半単純群（リー環が単純なものの直和になる群。論文では簡単のため $SU(N)$、$N>1$）について、要旨で “It is shown that no continuous choice of exactly one connection on each orbit can be made.” と述べ、“No gauge fixing is possible.” と結びます 既知。正確には「連続な大域的ゲージ固定は無い」で、局所的な切り口や不連続な選び方は禁じられません。

ホモトピー群。$\pi_k(X)$ は、$k$ 次元の球面から $X$ への基点つきの連続写像を、連続変形で移り合うものごとにまとめた類です。$\pi_0$ はつながった成分、$\pi_1$ は輪の類、$\pi_3(SU(2))$ は 1-12 の写像度で、$\pi_k(X\times Y)=\pi_k(X)\times\pi_k(Y)$ です。証明は四段です（Singer 1978 §2）。

1. $\mathcal A$ は可縮（§02）。可約な接続の集合 $C$ を除いた $\mathcal A^*$ も、すべての $\pi_j(\mathcal A^*)=0$（Theorem 2）。除いた集合 $C$ はどの点でも、それに直交する無限次元ぶんの向きを残すので、球面の像を $C$ から押し出せるからです。
2. $\hat{\mathcal G}=\mathcal G/\mathbb Z_N$（中心 $\mathbb Z_N$ はどの接続も止めるので割っておく）は $\mathcal A^*$ に自由に働き、$\mathcal A^*\to\mathcal N^*=\mathcal A^*/\hat{\mathcal G}$ は $\hat{\mathcal G}$ をファイバーとする主束（Theorem 1）。主束とは、底（ここでは $\mathcal N^*$）の各点の上に群 $\hat{\mathcal G}$ の写し（ファイバー。ここでは一つの軌道）が乗り、$\hat{\mathcal G}$ がそれぞれの写しの中で自由かつ推移的に（1 以外の元はどの点も動かし、どの点もどの点へも移せるように）働く束です。切り口があれば、全体は底と群の積になります。
3. 連続なゲージがあれば、それが主束の切り口になって束は積 $\mathcal A^*\cong\mathcal N^*\times\hat{\mathcal G}$ になり、$\pi_j(\mathcal A^*)=0$ と積の公式から、すべての $j$ で $\pi_j(\hat{\mathcal G})=0$ が従う。
4. ところが $\hat{\mathcal G}$ のどれかの $\pi_j$ は 0 でない（Theorem 3）。矛盾（Corollary 4）。

四段目の道具が (13)（Theorem 5）です。$\mathcal G_m$ は $\mathcal A$ 全体に自由に働き、(13) からそのホモトピー群のどれかは 0 でないので、$\mathcal A\to\mathcal A/\mathcal G_m$ にも切り口が無い、と Singer は注意します。

既知表 4　(13) で読む $\pi_j(\mathcal G_m)$（$M=S^r$）。非可換の欄は Singer の本文（Toda の表を引く）による。

注：$U(1)$ の列は、基点つきの写像の空間のホモトピー群 $\pi_j(\mathcal G_m)=\pi_{j+r}(U(1))$ から読んだもので（$U(1)$ の $\pi_k$ は $k\ge2$ で 0）、Singer の Theorem 5 は $SU(N)$ の言明です。

$S^3$ では、巻き数の違うゲージ変換がつながらないことだけで矛盾が出ます（§06 の円周は $\pi_0(\mathcal G_m)=\pi_1(U(1))=\mathbb Z$ による可換版）。$U(1)$ の高いホモトピー群は 0 なので $S^3$・$S^4$ では四段目が働かず、Singer も可換なら “An integral submanifold provides the gauge for quantum electrodynamics.” と書きます。障害は、非可換性と遠方の条件が作る位相から来ています 既知。

Faddeev–Popov の手順（4-08 §03）は局所的な切り口の上では正しく、大域的にはそのまま使えません。Singer は局所的な切り口の効く領域で軌道空間を覆い、1 の分割（覆いの各片に、足すと至る所で 1 になる重みを割り振ること）で足し合わせる道を挙げ、“This partition of unity argument would be useful if the covering used could be made explicit.” と書きました。以後の仕事は三つの道で障害をよけています。

• 格子。Wilson の格子は Haar 測度で積分するので、ゲージを固定せずに有限です（4-02・5-01）既知。全頂点を結ぶ木（最大木）の辺をすべて 1 にするゲージは、基点つきのゲージ群について大域的で連続な切り口です 既知。根の頂点で $g=1$ とし、木に沿って隣の頂点へ進みながら、その辺が 1 になるように $g$ を順に決めます（辺 $\ell:x\to y$ で $g_x$ が決まっていれば $g_y=g_xU_\ell^{-1}$）。$g$ は辺の元の積と逆元でただ一通りに決まり、$U$ に連続に依存します。基点つきのゲージ群が木の辺の配位に自由かつ推移的に働くので、各軌道に代表がちょうど一つあり、それを連続に選べるわけです。$SU(N)^E$ は可縮でない（$\pi_3(SU(N))=\mathbb Z$。$SU(2)$ では 1-12 の写像度）ので、Singer の定理と矛盾しません。代わりに格子の対称性が壊れます。共変なゲージを BRST 対称に（固定した後にも形式的な対称性が残るように）固定すると 0/0 が現れます（6-11・4-08 §08。BRST は 4-08 §04）。
• 局所的なゲージ。三次元の周期格子での Bałaban の繰り込み群について、問題の解説は “One defines these gauges in phase cells: The choices vary locally in space-time, as well as on different length scales.” と書きます（Jaffe–Witten §6.5）既知。場所と尺度ごとに切り口を取り替える方法です（6-06 §05・6-05 §05）。四次元の Bałaban の仕事も同じ考え方を使うとされます（6-07 §07。四次元の論文での具体的な選び方は本文で確かめていない）。
• 軌道空間そのもの。確率量子化はゲージを固定せず、軌道空間を状態空間に取ります。総説は “The space O is a non-linear space if G is non-Abelian, which makes non-trivial even the construction of the state space” と書き（Chevyrev 2022）、Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen は二次元トーラスの上で、分布（1-11）としての接続の軌道の空間を状態空間に取り、その上の確率的な力学を構成しました（要旨）既知（6-09）。

6-11 §05 は、これを発散とは別の障害の一つ（障害 4）として扱い、格子で片づく部分と、弱結合の解析でゲージ固定が要るときに残る 0/0 に分けています。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-05 インスタントンと位相（$S^4$ の束を分ける整数と、作用が最小の軌道）。ゲージ固定の量子論は 4-08。

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