2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備緩和と動的指数

緩和の時間と動的指数 z — 平衡へ向かう速さは、相関長の何乗で遅くなるか

2-08 と 2-09 で扱ったのは平衡の分布、つまり「どの配位がどれだけの確率で現れるか」でした。そこには時間がありません。ところが計算機で平衡の分布から見本を引くとき、あるいは物理の系が熱浴に触れて平衡に向かうとき、配位は時間とともに動きます。この章は、その動きの速さを測ります。

比喩で言うと、平衡の分布は一枚の写真で、力学はそれを作る機械です。同じ写真を作る機械は速いものも遅いものもあります。正確には、一つの確率測度 $\mu$ を不変にするマルコフ過程（先の動きが今の配位だけで決まる確率的な動き）は一つに決まらず、選び方で平衡への近づき方が変わります。

この章の時間 $s$ は、2-09 の虚時間とは別物です（対照は 8-03 §05）。

主題は関係 $\tau\approx\xi^{z}$ で、$z$ を動的指数と呼びます。後の部の仮定（10-03 の H）は $z=2$ を冪の水準で置く型をしています。その型が成り立つ例と破れる例を、ここで先に並べます。

一つの実数 $X$ が、確率密度 $e^{-V(x)}/Z$ に従うようにしたいとします。坂 $V$ を下る向きに動かし、同時に乱数で揺らすと、二つの効果が釣り合ったところで分布が止まります。これが Langevin の力学です。

$W$ はブラウン運動（1-09 §06）で、$dW$ は時間 $ds$ のあいだの平均 0・分散 $ds$ のガウスの増分です。係数 $\sqrt2$ は、止まる分布がちょうど $e^{-V}$ になるように選んだものです。

関数 $f$ の期待値の時間変化を生む作用素を生成作用素と呼び、$\mathcal L$ と書きます。$f(X+dX)$ を二次まで展開すると、$dX$ の一次の項からは坂の向きの $-V'f'\,ds$ が、二次の項からは $dW^2$ の平均が $ds$ なので $\tfrac12f''\cdot2\,ds$ が残ります（$ds$ より高い次数は落とす）。こうして (1) では

です（$\mu=e^{-V}dx/Z$。最後の等式は部分積分）。最後の等式から $-\mathcal L$ は $L^2(\mu)$ で対称で、0 以上です。0 になるのは定数だけで、その次の固有値（隙間）を $\mathrm{gap}(\mathcal L)$ と書きます。

隙間の逆数が Poincaré 定数です（1-10 §07）。

平衡から走らせたとき、どの観測量の自己相関も $e^{-s/C_P}$ より速く減り、ちょうどこの速さで減る観測量があります。つまり最も遅い緩和の時間 $\tau_{\exp}$ は $C_P$ に等しくなります 既知。この等号は連続時間で可逆な力学の性質で、離散時間の連鎖では三つの量に割れます（8-03 §06）。

例。$V=x^2/(2\sigma^2)$ なら (1) は Ornstein–Uhlenbeck 過程で、$f=x$ が固有関数、$\mathcal Lx=-x/\sigma^2$ です。よって $C_P=\sigma^2$：分散が大きい（裾が広い）ほど緩和は遅くなります。変数が多いときは、各点の場 $\phi_x$ ごとに (1) を立てて

とし（$W_x$ は点ごとに独立）、(3) の $|f'|^2$ を勾配の長さの二乗 $|\nabla f|^2$ に替えます。止まる分布は $e^{-S}/Z$ です。場の理論ではこれを確率量子化と呼びます（6-09）。

イジング模型のスピンは $\pm1$ なので、坂を連続に下ることができません。代わりに、各スピンが独立な時計を持ち、時計が鳴るとスピンを条件つき分布から引き直します。これを熱浴の規則と呼び、連続時間でこれを行う力学を Glauber の力学と呼びます（Glauber 1963 は一次元の閉じた鎖でこの型の過程を詳しく解析した）既知。

逆温度を結合に含めた $K$（2-09 と同じ）で $\mu(\sigma)\propto\exp(K\sum_{\langle xy\rangle}\sigma_x\sigma_y)$ とします。スピン $j$ を裏返した配位を $\sigma^j$、隣の和を $h_j=\sum_{y\sim j}\sigma_y$ とすると、熱浴の反転の率は

です。右の式は詳細釣り合いで、「$\sigma$ から $\sigma^j$ へ流れる確率」と逆向きの流れが等しいことを言います。これから $\mu$ が止まる分布で、力学は可逆です。揃っているスピン（$\sigma_jh_j\gt0$）ほど裏返りにくくなります。生成作用素は $(\mathcal Lf)(\sigma)=\sum_jw_j(\sigma)\bigl(f(\sigma^j)-f(\sigma)\bigr)$、(3) の右辺の $\int|f'|^2$ は $\tfrac12\sum_\sigma\mu(\sigma)\sum_jw_j(\sigma)\bigl(f(\sigma^j)-f(\sigma)\bigr)^2$ に替わり、$C_P=1/\mathrm{gap}(\mathcal L)$ は同じです。

一次元の鎖は解ける

一次元では $h_j\in\{-2,0,2\}$ なので $w_j=\tfrac12\bigl(1-\tfrac g2\sigma_j(\sigma_{j-1}+\sigma_{j+1})\bigr)$、$g=\tanh2K$ と書けます。スピンの期待値は一回の反転で $2$ だけ変わるので $\frac{d}{ds}\langle\sigma_j\rangle=-2\langle\sigma_jw_j\rangle$ で、

と閉じます。全体の磁化 $M=\sum_j\sigma_j$ の平均は $e^{-(1-g)s}$ で減ります。一方、静的な相関は $\langle\sigma_0\sigma_r\rangle=(\tanh K)^r$ で（2-09 §03）、

です。極限は $1-\tanh2K\approx2e^{-4K}$、$-\log\tanh K\approx2e^{-2K}$ から出ます。冷やすほど相関は長くなり、緩和はその二乗で遅くなります：この力学では $z=2$ です。

計算表 1　一次元の Glauber 力学。$N=8,\ 10$ 点の輪の生成作用素を全状態（$2^N$ 個）で対角化し、隙間が $K=0.25,\ 0.5,\ 1,\ 1.5$ のすべてで $1-\tanh2K$ と 10 桁一致することを確かめた。この二つの輪では磁化の減衰が最も遅い緩和です。一般の $N$ では、磁化の減衰率 $1-\tanh2K$ が隙間の上界を与えます（磁化が $\mathcal L$ の固有関数なので）。

2-08 の (7) のガウス鎖（あちらの $H(\phi)$。ここでは作用として $S$ と書く）$S=\tfrac12\sum_x[(\phi_{x+1}-\phi_x)^2+m^2\phi_x^2]$ に (4) を使います。$\partial S/\partial\phi_x=(2+m^2)\phi_x-\phi_{x+1}-\phi_{x-1}$ は一次式なので、波数 $q$ のフーリエ成分 $\hat\phi_q=\sum_xe^{-iqx}\phi_x$（1-11）ごとに方程式が分かれます。

どの成分も (1) の Ornstein–Uhlenbeck 過程で、減る速さは $\omega_q$ です。最も遅いのは一様な成分 $q=0$ で、速さは $m^2$ です。したがって $C_P=1/m^2$ です（1-10 §09 の「ガウス測度の $C_P$ は共分散の最大固有値」と同じ数）既知。

相関長は 2-08 の (8) で $\cosh(1/\xi)=1+m^2/2$ でした。$\cosh u-1=2\sinh^2(u/2)$ を使うと、二つは一つの式でつながります。

これは厳密な等式で、格子の上では $C_P$ は $\xi^2$ より少しだけ小さく、連続極限（$\xi\to\infty$）で $C_P/\xi^2\to1$ になります。連続の自由場では $C_P=\xi^2$ がちょうど成り立ちます 既知（初等的な導出。表 2 の数値は 計算）。

なぜ二乗か

なぜ二乗か。(8) の雑音を除いた平均の動きは質量の付いた熱方程式 $\frac{d}{ds}\phi=\Delta_{\rm lat}\phi-m^2\phi$ です。拡散は長さ $\ell$ のでこぼこを均すのに $\ell^2$ 程度の時間をかけ（酔歩と同じ）、質量の項は $\xi$ より長い波を一律の速さ $m^2$ で消します。だから時間は $\xi^2$ です。正確には、(8) の $\omega_q$ が小さい $q$ で $m^2+q^2$ に近づき、$q\lesssim1/\xi$ では $m^2$ で底を打つことが、この説明の中身です。

計算図の曲線は (8) の厳密な解 $\hat\phi_q(s)=e^{-\omega_qs}\hat\phi_q(0)$ をその場で計算したもの（初期の形は種を固定した乱数で作った）。雑音を除いた平均の動きで、揺らぎの見本ではない。

計算表 2　ガウス鎖の $\xi$・$C_P$。最後の二列は 08 節の熱浴の下界（線形の関数の上の減り方から決まる）

転送行列のギャップと並べた表は 8-03 の表 1、市松模様の熱浴で測った表は 5-07 §07 にあります。

相互作用があると、式は閉じません。そこで二次元イジング模型の $L\times L$ の箱（周期境界）で、Glauber の力学 (5) の生成作用素を数値で対角化し、$C_P$ を求めます。状態は $2^{L^2}$ 個で、$L=5$ では約 3,400 万個です。最も遅い緩和は磁化の向き（並進で不変、全反転で符号が変わる部分空間）にあると期待されます。$L=3,\ 4$ では全空間の隙間とこの部分空間の隙間が、下の七つの温度のすべてで 8 桁一致しました 計算。$L=5$ では全空間を扱えないので、この部分空間（671,104 次元）に絞って隙間を求めました。その値は全空間の隙間以上なので、$L=5$ の $C_P$ は真の $C_P$ の下界です。

臨界点 $K_c=\tfrac12\log(1+\sqrt2)$（2-08 §04）では無限の系の $\xi$ は無限大で、箱の中の相関の届く長さは箱の大きさ $L$ で頭打ちになります（2-09 §07）。そこで $\xi$ の代わりに $L$ を物差しにします。$\tau\approx\xi^z$ が正しければ

です。$z_{\rm eff}$ は隣り合う大きさから読む有効な指数で、$L\to\infty$ で $z$ に近づくと期待されます。

計算表 3　二次元イジング・連続時間の熱浴（各スピンが率 1 で引き直す）・$L\times L$ 周期境界の $C_P=1/\mathrm{gap}$。時間の単位は「一スピンあたり一回の試み」

三つの振る舞い

三つの振る舞いが読めます。高温側（$K/K_c=0.6$）では $C_P$ は 6 あたりで頭打ちになり、$z_{\rm eff}$ は 0 に向かいます：$\xi$ が有限なら緩和時間も有限です。低温側（$K/K_c=1.5$）では $\log C_P$ が $L$ とともにほぼ一定の差で増え（差は 2.07、1.97）、冪よりも指数関数に近い伸び方をします。「ほぼ全部 $+$」から「ほぼ全部 $-$」へ移るには箱を横切る壁を作る必要があり、その重みが壁の長さに比例する指数 $e^{-cL}$ で小さくなるためと考えられます 物理。周期境界の箱では壁が二枚要るので、$c$ は界面張力 $\sigma$ の 2 倍程度と期待されます。ただし $K/K_c=1.5$ の $2\sigma\approx1.55$ と $L\le5$ の差 2 前後はまだ合わず、この箱で言えるのは「指数関数で伸びる傾向」までです。似た構図は 2-09 §08 の閉じる隙間にあります。

臨界点では $C_P/L^2$ が $4.77,\ 5.18,\ 5.50$ と増え続け、$z_{\rm eff}$ は $2.29,\ 2.27$ です。2 より大きい側にあります。より大きな箱（$15\times15$ まで）の数値で知られている値は $z=2.1665(12)$（Nightingale–Blöte 1996、熱浴）で 物理、この端末の小さな箱の値はその上から近づいていくようにも読めますが、二点では判断できません。言えるのは「$L\le5$ の範囲で $C_P/L^2$ は一定に落ち着かない」までです。

計算この図の数値はこの端末で計算した（表 3 の値を埋め込み）。L = 2 は隣が重なる特殊な箱なので除いた。

物理では、$\xi$ が伸びるとき緩和時間が $\xi$ の冪で伸びるという仮説を置きます。動的スケーリングの仮説と呼び、静的なスケーリング（2-08 §06）を時間を含む相関に広げたものとされます（Ferrell ほか 1967、Halperin–Hohenberg 1967、詳しい展開は 1969）物理。可逆な連続時間の力学について数学の言葉にすると

です。$A\asymp B$ は、比 $A/B$ が上下とも正の定数で挟まれることを表します。この本では $\eta_{\rm dyn}$ をこの式で定めます。名前の由来は、自由場の $C_P\approx\xi^2$ からのずれを冪で測る量だという点にあります。

2-08 の (13) の $\eta$ とは別の量です。あちらは臨界点の静的な相関 $G(x)\sim|x|^{-(d-2+\eta)}$ の冪のずれで、動的な量と区別するときは $\eta_s$ と書きます。二つが一致するのは「緩和時間は帯磁率に比例する」とする従来の理論（van Hove の名で呼ばれる）の中だけで、二次元イジングでは $\eta_s=1/4\gt0$ なのに $\eta_{\rm dyn}\approx-0.17\lt0$ と符号まで違います（8-03 §07 の表 2）。

後の部の仮定 H（10-03 §02）は、格子ヤン–ミルズの Langevin 力学について、この左の型を冪の水準で置いた文 $\lim\ln C_P/\ln\xi=2$（$C_P=\xi^{2+o(1)}$、$\eta_{\rm dyn}=0$）です。帯の文 $C_P\asymp\xi^2$ は 10-03 で $\text{H}_{\rm band}$ と呼び、H とは別に扱います（10-03 の名前の約束）。それが成り立つかは証明されていない仮定で、物理の側の対応は 8-05 §03 で問いの形で並べます。この章で確認したいのは、型そのものは自明でなく、力学を一つ替えれば破れる、ということです。その例が次の節です。

表 4 は、$C_P\asymp\xi^2$ の型が破れる既知の例です。破れ方は三つの道に分かれます。

相互作用で冪がずれる。二次元・三次元のイジングの Glauber 力学では、数値で $z$ が 2 をわずかに超えます。局所的な規則のままでも、相互作用が冪を動かします。数学では、二次元の臨界イジングの Glauber 力学で隙間の逆数が $L$ の多項式で押さえられることが示されています（Lubetzky–Sly）既知。下からは、周期境界の臨界点（と低温側）で熱浴の隙間が $C(\log L/L)^2$ 以下であること、つまり $z\ge2$ が示されています（Masaoka–Soejima–Watanabe 2025。局所的で可逆な一スピン反転の力学に広がる）既知。二次元の臨界点では $(L/\log L)^2\lesssim C_P(L)\le\mathrm{poly}(L)$ が定理で、§06 の「速すぎる側」は局所的なイジングの力学では起きません。冪の値 $z$ そのものを決めた定理は見当たりません。

保存量で遅くなる。磁化の総和を変えない（隣どうしのスピンを交換する）力学では、一様な成分は動けず、長い波は拡散で運ばれるのでさらに遅くなります。物理の予言は $z=4-\eta_s$ とされます（Hohenberg–Halperin の分類で model B）物理。

更新の仕方で速くなる。Swendsen–Wang のクラスター法は塊ごと裏返す非局所な力学で、要旨は動的な普遍性を破り 'unusually small values of the dynamical critical exponent' を与えると書きます 物理。同じ平衡の分布でも、機械を替えれば $z$ が替わります。

物理表 4　$z$ の値の例（数値・予言の値は一次資料の要旨から。$\eta_{\rm dyn}=2-z$ はこの端末で計算）

最後の行は格子ゲージ理論の計算で実際に現れる遅さです。HMC（ハイブリッド・モンテカルロ。仮の運動量を足して決定論的に動かす更新法。5-07 §08）は Langevin と別の力学で（次節）、同じ遅さが Langevin でも起きるかは 10-03 §07 で扱います。

寄り道：保存する力学では $z=4$

「緩和時間」は、どの力学の時間かを言わないと決まりません。熱浴と Langevin は同じ分布に対して別の生成作用素を持ちます。

ガウス鎖で比べます。連続時間の熱浴（各点が率 1 で、隣を固定した条件つき分布 $\mathcal N\bigl((\phi_{x-1}+\phi_{x+1})/(2+m^2),\,1/(2+m^2)\bigr)$ から引き直す）では、場の値の平均は

で動きます。線形の関数はこの生成作用素の固有関数で、一様な成分の減る速さは $m^2/(2+m^2)$ です。したがって熱浴の $C_P$ は $(2+m^2)/m^2$ 以上です 計算（64 点の輪の行列で確認）。この下界は $\xi^2$ の 2 倍ほどなので、熱浴では $z\ge2$ です。表 2 の右の二列のとおり、下界と Langevin の $C_P$ の比は $\xi\to\infty$ で 2 に近づきます。冪が同じだとしても、定数は違います。

定数のほかの違い

違いは定数だけではありません。

• 変数の取り方。熱浴は各点の変数を付け替えても（$\psi_x=c\,\phi_x$ など）同じ過程です。条件つき分布から引くという操作が座標に依らないからです。Langevin の $C_P$ は勾配の長さで測るので、$\psi=c\,\phi$ で測れば $c^2$ 倍になります。格子ゲージ理論で「リンクの角度 $\vartheta$ で測るか、場 $A=\sqrt\beta\,\vartheta$ で測るか」で $C_P$ が $\beta$ 倍変わるのはこのためです。$\beta\sim\ln\xi$ なので冪の文 H は変わりませんが、帯の文は変わります（1-10 §09・10-03 §01）。
• 時間の単位。熱浴の時間は「一点あたりの試みの回数」、Langevin の時間は (1) の $s$ です。離散時間で一掃ずつ進める熱浴（5-07 §07）はさらに別の量で、$C_P$・緩和時間・$\tau_{\exp}$ が割れます（8-03 §06）。
• 指数。保存量が同じ（どちらも model A 型：磁化を保存しない）局所的で可逆な二つの力学は同じ $z$ を持つ、と物理では期待されます（同じ動的普遍類）物理。§07 の保存する力学は保存量が違う（model B）ので、この期待の反例ではありません。ガウス鎖では Langevin が $z=2$、熱浴は線形の関数からの下界で $z\ge2$ までが式で言えます。熱浴の隙間が線形の関数で決まり等号になることは、この章では示していません。一般に二つの力学の $z$ が等しいことを示した定理を、この章は持っていません。

この本で $C_P$ と書くときは、断りのない限り Langevin (4) の生成作用素の隙間の逆数で、どの変数の勾配で測ったかを添えます。熱浴や HMC の数値を Langevin の $C_P$ に読み替えるのは、仮定です。

格子ヤン–ミルズでも、(4) の Langevin 力学は立てられます。変数がリンクの群の元なので、勾配は群の上の微分（1-03）で取ります。連続の場で同じことを行うのが確率量子化（6-09）、計算機で同じ分布から見本を引くのがモンテカルロ法（5-07）です。

強結合（$\beta$ が小さい側）では、格子ヤン–ミルズの Poincaré 不等式と log-Sobolev 不等式（(3) より強い不等式で、エントロピーの減り方を押さえる）が示されています（Shen–Zhu–Zhu 2023）既知。これは $\xi$ が有限の側の結果です。四次元で $C_P$ の $\xi\to\infty$ での冪を決めた定理はありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-01 ゲージ原理。この章の続きは 5-07 §07（モンテカルロ法の臨界減速）、8-03 §05〜§07（二つの時間の辞書）、10-03（仮定 H）。

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