computo ergo sum

2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論反射正値性と転送行列

この本の全体　目次と読む順
  1. 第 0 部 入口 — この本の読み方
  2. 0-01 この本の読み方
  3. 0-02 一枚の絵
  4. 0-03 問題文を一語ずつ読む
  5. 0-04 数学の四次元と物理の四次元
  6. 第 1 部 数学の準備
  7. 1-01 ベクトル空間と線形写像
  8. 1-02 群とは何か
  9. 1-03 リー群とリー環
  10. 1-04 SU(2) と SU(3)
  11. 1-05 多様体と接空間
  12. 1-06 微分形式と外微分
  13. 1-07 ベクトル束と接続
  14. 1-08 確率と測度
  15. 1-09 無限次元の確率
  16. 1-10 ヒルベルト空間と自己共役作用素
  17. 1-11 フーリエ解析と分布
  18. 1-12 寄り道
  19. 第 2 部 物理の準備
  20. 2-01 ラグランジアンと作用
  21. 2-02 場という考え
  22. 2-03 電磁気学はゲージ理論である
  23. 2-04 特殊相対論と時空
  24. 2-05 量子力学の骨
  25. 2-06 調和振動子と生成消滅
  26. 2-07 経路積分の考え方
  27. 2-08 統計力学と相転移
  28. 2-09 寄り道
  29. 2-10 緩和の時間と動的指数 z
  30. 第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）
  31. 3-01 ゲージ原理
  32. 3-02 非可換ゲージ場
  33. 3-03 作用と方程式
  34. 3-04 幾何としてのゲージ理論
  35. 3-05 インスタントンと位相
  36. 3-06 寄り道
  37. 3-07 標準模型の中のヤン–ミルズ
  38. 第 4 部 量子化
  39. 4-01 正準量子化とハミルトニアン
  40. 4-02 経路積分とユークリッド化
  41. 4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム
  42. 4-04 発散と繰り込み
  43. 4-05 発散の代数
  44. 4-06 漸近自由
  45. 4-07 次元転移と Λ
  46. 4-08 ゲージ固定と Faddeev–Popov
  47. 4-09 場の量子論の公理
  48. 4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成
  49. 4-11 質量ギャップの定義
  50. 4-12 寄り道
  51. 第 5 部 格子ゲージ理論
  52. 5-01 Wilson の格子
  53. 5-02 強結合展開
  54. 5-03 反射正値性と転送行列
  55. 5-04 無限体積極限とクラスター展開
  56. 5-05 弱結合と連続極限
  57. 5-06 U(1) と非可換の違い
  58. 5-07 モンテカルロ法
  59. 5-08 グルーボールと弦張力の測定
  60. 5-09 何を固定して極限を取るか
  61. 5-10 有限群の格子ゲージ理論
  62. 5-11 寄り道
  63. 第 6 部 構成的場の理論
  64. 6-01 構成的場の理論とは
  65. 6-02 二次元の可解性とヤン–ミルズ測度
  66. 6-03 スカラー場の構成
  67. 6-04 クラスター展開
  68. 6-05 繰り込み群の段の列
  69. 6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性
  70. 6-07 四次元
  71. 6-08 四次元の φ⁴ の自明性
  72. 6-09 確率量子化と正則性構造
  73. 6-10 四次元で止まる場所
  74. 6-11 発散以外の障害
  75. 6-12 寄り道
  76. 第 7 部 物理の側から
  77. 7-01 物理はどう見ているか
  78. 7-02 閉じ込めの機構
  79. 7-03 弦の絵
  80. 7-04 大 N
  81. 7-05 ひも理論と余剰次元
  82. 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み
  83. 7-07 ゲージ場はどこから来るか
  84. 7-08 ホログラフィー
  85. 7-09 質量ギャップが幾何になる
  86. 7-10 四次元に戻す
  87. 7-11 超対称と Seiberg–Witten
  88. 7-12 等価原理に当たる一文
  89. 7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所
  90. 第 8 部 二つの言葉の辞書 — 物理の視点と数学の視点
  91. 8-01 辞書の読み方
  92. 8-02 辞書 A
  93. 8-03 辞書 B
  94. 8-04 辞書 C
  95. 8-05 私たちの仮定の物理側の対応
  96. 第 9 部 現在地と課題
  97. 9-01 世界はどこまで来ているか
  98. 9-02 二つの掘り方の切れ目
  99. 9-03 新しい概念の候補
  100. 9-04 課題の一覧
  101. 9-05 よくある誤解
  102. 第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討
  103. 10-00 第 10 部の入口 — 酔歩と定規と時計
  104. 10-01 理論の構成の筋
  105. 10-02 一段の記帳
  106. 10-03 仮定 H と三つの鎖
  107. 10-04 方向の地図
  108. 10-05 方向 12〜14
  109. 10-06 方向 15・15′
  110. 10-07 Lean で閉じた言明と既存の結果の対応表
  111. 10-08 壁の一覧
  112. 10-09 ひらめき帳から
  113. 10-10 主張しないこと
  114. 10-12 つじつま合わせ
  115. 10-11 定理までの距離
  116. 10-13 小さな問い — 卒業研究の大きさで決着のつく十〜二十問
  117. 付録
  118. A-01 記号表
  119. A-02 用語集
  120. A-03 文献案内
  121. A-04 Lean と機械検査
  122. A-05 この本の作り方
  123. A-06 仮定の索引

反射正値性と転送行列 — 鏡に映した積分が正なら、格子の上にハミルトニアンが立つ

この章で分かること — Wilson 作用がサイト反射ではどの β\beta でも、リンク反射では β≥0\beta\ge0 で反射正値であること。そこから正の転送行列と格子のハミルトニアンが立ち、時間の刻みを 0 にすると Kogut–Susskind の形になること。

前提となる章 — 5-01・4-10。2-09（転送行列）と 6-02 §03（指標）も参考に。β\beta は 5-01 の格子の逆結合で、4-06 の β 関数 β(g)\beta(g) とは別の量です。

先に言うこと — 有限の格子の話です。有限の箱で隙間が正なのは自動的で、格子間隔を 0 に、体積を無限にしたとき隙間が残るかについて、この章は何も示していません。数値は空間 4×4 までの Z2\mathbb Z_2 などの計算です。

この章の順序
  1. この章の位置 — 積分から作用素へ
  2. 格子の上の時間反射 — 面は二通り（図 1）
  3. 一次元の鎖 — 二種類の「正」
  4. Wilson 作用の反射正値性 — 二つの証明
  5. 転送行列 — 格子のハミルトニアン
  6. 一本のリンク — 電場のエネルギー
  7. Kogut–Susskind のハミルトニアン — 時間の刻みを 0 に
  8. Z₂ ゲージ理論 — 正でない転送行列（図 2・表 1）
  9. 何が保たれ、何が残るか — 極限・改良した作用・言わないこと
01

この章の位置 — 鏡が一枚あれば量子力学が戻る

格子の上の理論（5-01）は次の確率測度で書かれます。

dμβ(U)=1Z e−SW(U)∏ℓdUℓ,SW=β∑P(1−1N Re tr UP),β=2Ng2(1)d\mu_\beta(U)=\frac1Z\,e^{-S_W(U)}\prod_\ell dU_\ell,\qquad S_W=\beta\sum_P\Bigl(1-\tfrac1N\,\mathrm{Re\,tr}\,U_P\Bigr),\qquad \beta=\frac{2N}{g^2} \tag{1}

dUdU は全体が 1 の Haar 測度、β\beta は作用の係数です（例：SU(2)SU(2)・g2=1g^2=1 で β=4\beta=4）。最後の座標 tt を虚時間と呼びます。ここには積分と期待値しかなく、Hilbert 空間もハミルトニアンもありません。質量ギャップはハミルトニアンのスペクトルの隙間なので（4-11）、まず作用素を取り戻します。道具は 4-10 の反射正値性で、格子では作用から証明できます。問題文 §6.5 は 'Reflection positivity holds for the Wilson approximation [36], a major advantage' と書きます（[36] は Osterwalder–Seiler 1978）既知。

02

格子の上の時間反射 — 面は二通り

鏡に映した格子がもとの格子に重なるには、面 t=t0t=t_0 の 2t02t_0 が整数でなければなりません。t0t_0 が整数なら面は格子点を通り（サイト反射）、半整数なら縦（時間方向）のリンクの中点を切ります（リンク反射）。

θ(x⃗,t)=(x⃗, 2t0−t),(θU)x→y=Uθx→θy,(ΘF)(U)=F(θU)(2)\theta(\vec x,t)=(\vec x,\,2t_0-t),\qquad (\theta U)_{x\to y}=U_{\theta x\to\theta y},\qquad (\Theta F)(U)=F(\theta U) \tag{2}

リンク変数は逆向きにたどると逆元です（Uy→x=Ux→y−1U_{y\to x}=U_{x\to y}^{-1}）。両端が t≥t0t\ge t_0（リンク反射では t>t0t\gt t_0）のリンクの集まりを Λ+\Lambda_+、その変数だけで決まる関数の全体を A+\mathcal A_+ とします。反射正値性は 4-10 の (4) と同じ形の

⟨ ΘF‾ F ⟩≥0(F∈A+)(3)\langle\,\overline{\Theta F}\,F\,\rangle\ge0\qquad(F\in\mathcal A_+) \tag{3}

です。θ\theta はプラケットをプラケットに写し（時間方向を含むものは向きが逆になる）、Re tr\mathrm{Re\,tr} は逆元で変わらないので SW(θU)=SW(U)S_W(\theta U)=S_W(U) です。

図 1　二通りの鏡 — つまみで面 t0t_0 を半目盛りずつ動かすと、サイト反射とリンク反射が交互に現れます。青は正の半分と FF（長方形の Wilson ループ）、茶はその写し。
t₀FΘF正の半分 Λ₊写し θΛ₊
t₀ = 1/2（リンク反射）

例（図 1）。t0=12t_0=\tfrac12 では面を横切る縦のリンクが向きの逆な自分自身に写って（(θU)b=Ub−1(\theta U)_b=U_b^{-1}）どちらの半分にも属さず、面を跨ぎます。それを辺に持つプラケットが上下をつなぎます。t0=0t_0=0 では t=0t=0 の横のリンクが自分自身に写り、跨ぐものはありません。

03

一次元の鎖で見る — 二種類の「正」

スピン st=±1s_t=\pm1 の鎖に重み ∏teKstst+1\prod_te^{Ks_ts_{t+1}} を置きます（2-09 の一次元イジング模型で外場 0。K<0K\lt0 も許す）。転送行列は

T=(eKe−Ke−KeK),λ0=2cosh⁡K,λ1=2sinh⁡K(4)T=\begin{pmatrix}e^{K}&e^{-K}\\ e^{-K}&e^{K}\end{pmatrix},\qquad \lambda_0=2\cosh K,\quad \lambda_1=2\sinh K \tag{4}

です。サイト反射（t0=0t_0=0）では、s0s_0 を止めると上半分の和 φ(s0)\varphi(s_0) と下半分の和が互いに複素共役になり、KK の符号によらず ⟨ΘF‾F⟩∝∑s0∣φ(s0)∣2≥0\langle\overline{\Theta F}F\rangle\propto\sum_{s_0}|\varphi(s_0)|^2\ge0 です。リンク反射（t0=12t_0=\tfrac12）では跨ぐ結合が一つ残り、

⟨ΘF‾F⟩ ∝ ∑s0,s1φ(s0)‾  Ts0s1  φ(s1)(5)\langle\overline{\Theta F}F\rangle\ \propto\ \sum_{s_0,s_1}\overline{\varphi(s_0)}\;T_{s_0s_1}\;\varphi(s_1) \tag{5}

という TT の二次形式になります。すべての φ\varphi で 0 以上なのは T≥0T\ge0、つまり K≥0K\ge0 のときだけです。例。F=s1F=s_1 なら、リンク反射で ⟨s0s1⟩=tanh⁡K\langle s_0s_1\rangle=\tanh K が K=−12K=-\tfrac12 で −0.4621-0.4621 となり (3) が破れ、サイト反射では ⟨s−1s1⟩=tanh⁡2K=0.2136≥0\langle s_{-1}s_1\rangle=\tanh^2K=0.2136\ge0 です 計算。

「正」は二種類あります。一つは成分が正であること。成分がすべて正の行列では、最大の固有値は重複せず、他の固有値の絶対値より大きい（Perron–Frobenius の定理）既知。(4) の TT の成分は KK の符号によらず正なので λ0>∣λ1∣\lambda_0\gt|\lambda_1| となり、相関 (tanh⁡K)t(\tanh K)^t は指数関数的に減ります。もう一つは作用素として正であること。T≥0T\ge0 なのは K≥0K\ge0 のときだけで、K>0K\gt0 なら T=e−HT=e^{-H} と実の HH で書けます。K<0K\lt0 では相関が符号を変えながら減り、−log⁡λ1-\log\lambda_1 は実数になりません。サイト反射の正値性は T2≥0T^2\ge0 に、リンク反射のは T≥0T\ge0 に当たります 既知。

04

Wilson 作用の反射正値性 — 二つの証明

主張：Wilson 作用の格子で (3) が、サイト反射ではすべての実数 β\beta で、リンク反射では β≥0\beta\ge0 で成り立つ。格子ゲージ理論の反射正値性と、正の自己共役な転送行列の存在は Osterwalder–Seiler 1978 によります。その要旨は物理的正値性を確かめたと述べ、'This implies the existence of a positive self-adjoint transfer matrix' と続けます 既知。反射の種類ごとの β\beta の条件は、以下の (6)〜(8) の証明によります 紙。β<0\beta\lt0 でリンク反射が実際に破れる例は 08 節です 計算。以下が証明の筋です（周期的な時間では面が二枚になるが同じ）。

サイト反射 — 面の上の変数を止める

跨ぐプラケットはありません。面の上のプラケットの作用を半分ずつ上下に配ると SW=S++S−S_W=S_++S_-、S−(U)=S+(θU)S_-(U)=S_+(\theta U) です。面の上の変数 U0U_0 を止めると、下の積分は U<=θU>U_\lt=\theta U_\gt の置き換え（Haar 測度は逆元で不変）で上の積分の複素共役になり

⟨ΘF‾F⟩=1Z∫dU0∣∫dU> F e−S+∣2≥0(6)\langle\overline{\Theta F}F\rangle=\frac1Z\int dU_0\Bigl|\int dU_\gt\,F\,e^{-S_+}\Bigr|^2\ge0 \tag{6}

です。β\beta の符号はどこにも使っていません。

リンク反射 — 跨ぐプラケットを二乗の和に開く

跨ぐ縦のリンクは上の端点が別々なので、その点でのゲージ変換で 1 にできます（6-02 §02）。そのために、一般の FF は先に、面のすぐ上の層（t=1t=1）の点でのゲージ変換で平均した F~\widetilde F に置き換えておきます。ΘF\Theta F は t≤0t\le0 の変数だけで決まり、その層の点に触れません。そこでその層のゲージ変換 gg で積分の変数を U→UgU\to U^g と替えると（作用も Haar 測度も変わらない）⟨ΘF‾F⟩=⟨ΘF‾Fg⟩\langle\overline{\Theta F}F\rangle=\langle\overline{\Theta F}F^g\rangle、gg で平均して ⟨ΘF‾F~⟩\langle\overline{\Theta F}\widetilde F\rangle です。鏡の層（t=0t=0）で同じことをすれば、(3) の左辺は ⟨ΘF~‾ F~⟩\langle\overline{\Theta\widetilde F}\,\widetilde F\rangle に等しくなります。跨ぐプラケットは上の横のリンク ℓ\ell とその写しだけの Re tr(UθℓUℓ†)\mathrm{Re\,tr}(U_{\theta\ell}U_\ell^\dagger) になり、成分 hij=(Uℓ)ij∈A+h_{ij}=(U_\ell)_{ij}\in\mathcal A_+（Θhij=(Uθℓ)ij\Theta h_{ij}=(U_{\theta\ell})_{ij}）で

Re tr(UθℓUℓ†)=12∑i,j(Θhij‾ hij+Θhij‾‾  hij‾)(7)\mathrm{Re\,tr}\bigl(U_{\theta\ell}U_\ell^{\dagger}\bigr)=\frac12\sum_{i,j}\Bigl(\overline{\Theta h_{ij}}\,h_{ij}+\overline{\Theta\overline{h_{ij}}}\;\overline{h_{ij}}\Bigr) \tag{7}

と書けます。跨ぐプラケットの重み exp⁡(β2N∑kΘhk‾hk)\exp\bigl(\tfrac{\beta}{2N}\sum_k\overline{\Theta h_k}h_k\bigr)（hkh_k はすべての hijh_{ij} と hij‾\overline{h_{ij}}。定数倍は除く）を級数に開くと、hkh_k の積 HαH_\alpha で ∑αcαΘHα‾Hα\sum_\alpha c_\alpha\overline{\Theta H_\alpha}H_\alpha の形になり、β≥0\beta\ge0 なら cα≥0c_\alpha\ge0 です。上下はもう変数を共有しないので

⟨ΘF‾F⟩∝∑αcα∣∫dU> F Hα e−S+∣2≥0(8)\langle\overline{\Theta F}F\rangle\propto\sum_\alpha c_\alpha\Bigl|\int dU_\gt\,F\,H_\alpha\,e^{-S_+}\Bigr|^2\ge0 \tag{8}

です。鎖の (5) で T≥0T\ge0 が要ったのと同じく、ここで β≥0\beta\ge0 が要ります。実際に破れる例は 08 節です。

05

転送行列 — 格子のハミルトニアン

反射正値性があれば 4-10 の再構成で Hilbert 空間と時間を一目盛り進める作用素が作れ、格子ではこの作用素（転送行列）を直接書けます。時間を周期的（長さ LtL_t）にし、縦のリンクをゲージ変換でできるだけ 1 にそろえると（時間ゲージ）、各空間点 xx の時間の輪に一本ずつリンク VxV_x が残ります。残った VxV_x で積分することは、一時刻の全リンクにゲージ変換 gx=Vxg_x=V_x を施して平均することと同じで、その平均がゲージ不変な状態への射影 P0P_0 です。状態の空間は一時刻の空間方向のリンク EsE_s の関数の空間 H=L2(GEs,dU)\mathcal H=L^2(G^{E_s},dU) で、TT は核

T(U,U′)=e−12Ss(U)∏ℓ∈Ese−β(1−1NRe tr UℓUℓ′†) e−12Ss(U′)(9)T(U,U')=e^{-\frac12S_s(U)}\prod_{\ell\in E_s}e^{-\beta\left(1-\frac1N\mathrm{Re\,tr}\,U_\ell U_\ell'^{\dagger}\right)}\,e^{-\frac12S_s(U')} \tag{9}

の積分作用素です（SsS_s は一時刻の空間のプラケットの作用、真ん中の積は縦のプラケットから）。すると

Z=Tr⁡(P0TLt),⟨O(t)O(0)⟩−⟨O⟩2 →Lt→∞ ∑n≥1∣⟨Ω∣O∣n⟩∣2(λnλ0)t(10)Z=\operatorname{Tr}\bigl(P_0T^{L_t}\bigr),\qquad \langle O(t)O(0)\rangle-\langle O\rangle^2\ \xrightarrow{L_t\to\infty}\ \sum_{n\ge1}|\langle\Omega|O|n\rangle|^2\Bigl(\frac{\lambda_n}{\lambda_0}\Bigr)^{t} \tag{10}

です（OO はゲージ不変な実の観測量、λn\lambda_n・∣n⟩|n\rangle は P0TP_0T の固有値と固有ベクトル、Ω=∣0⟩\Omega=|0\rangle。2-09 の (8) と同じ計算）。

(a) 核が実対称なので TT は自己共役（サイト反射の内容）。(b) T=VKVT=VKV（VV は e−Ss/2e^{-S_s/2} を掛ける作用素、KK は真ん中の積）で、β≥0\beta\ge0 なら K≥0K\ge0（06 節）なので T≥0T\ge0（リンク反射の内容）。(c) β>0\beta\gt0 では、VV は正の関数を掛ける作用素なので逆を持ち、06 節の λr\lambda_r がすべて正なので KK も 0 を固有値に持たず、TT は 0 を固有値に持たない 紙。Lüscher 1977 はこの性質を題で 'strictly positive' と呼びます。(d) 有限の箱では P0TP_0T の核は連続で正、ゲージ軌道の空間はコンパクトなので、連続で正の核を持つコンパクト空間上の積分作用素についての Jentzsch の定理の一般化（Krein–Rutman 型。Perron–Frobenius の定理の積分作用素版）で λ0\lambda_0 は重複しない 既知（一般化は Schaefer 1974。出典の表）。

以下 β>0\beta\gt0 とします。(b)(c) から固有値はすべて正なので、λ0\lambda_0 が重複しないことから λ1<λ0\lambda_1\lt\lambda_0 です。こうして P0HP_0\mathcal H の上に

Ha=−1alog⁡Tλ0 ≥ 0,mL(β)=log⁡λ0λ1 > 0(11)H_a=-\frac1a\log\frac{T}{\lambda_0}\ \ge\ 0,\qquad m_L(\beta)=\log\frac{\lambda_0}{\lambda_1}\ \gt\ 0 \tag{11}

が立ちます（aa は格子間隔）。例。物理の単位の隙間は Δ=mL/a\Delta=m_L/a です。箱ごとの mL>0m_L\gt0（β>0\beta\gt0）は (d) から自動的で、問われるのは L→∞L\to\infty・a→0a\to0 で Δ\Delta が正に残るかです（4-11 §08・5-09）。

06

一本のリンクの転送行列 — 電場のエネルギーが現れる

KK はリンクごとの作用素 kk の積です。一本のリンクでは (kf)(U)=∫GeβNRe tr UU′−1−βf(U′) dU′(kf)(U)=\int_Ge^{\frac\beta N\mathrm{Re\,tr}\,UU'^{-1}-\beta}f(U')\,dU' で、核は W=UU′−1W=UU'^{-1} の共役 W→hWh−1W\to hWh^{-1} で変わらない関数（類関数）です。これを対角にするには、表現の言葉が二つ要ります。

詳しくは 6-02 §03 の (3.1)。表現 rr での固有値は

λr=1dr∫GeβNRe tr W−β χr(W)‾ dW(12)\lambda_r=\frac1{d_r}\int_G e^{\frac\beta N\mathrm{Re\,tr}\,W-\beta}\,\overline{\chi_r(W)}\,dW \tag{12}

です。指数関数を tr W\mathrm{tr}\,W と tr W‾\overline{\mathrm{tr}\,W} のべきに開くと各べきはテンソル積表現の指標で、既約表現の重複度は 0 以上なので、β≥0\beta\ge0 なら λr≥0\lambda_r\ge0、つまり K≥0K\ge0 です。β>0\beta\gt0 なら展開の係数はすべて正で、どの既約表現も基本表現とその複素共役のテンソル積のどれかに現れるので 既知、λr>0\lambda_r\gt0 です。SU(2)SU(2) では、WW の固有値を e±iθe^{\pm i\theta}（0≤θ≤π0\le\theta\le\pi）として tr W=2cos⁡θ\mathrm{tr}\,W=2\cos\theta、χj=sin⁡((2j+1)θ)/sin⁡θ\chi_j=\sin((2j+1)\theta)/\sin\theta です。類関数を積分するときの Haar 測度は 2πsin⁡2θ dθ\tfrac2\pi\sin^2\theta\,d\theta で、これは 5-01 の S3S^3 の一様分布を北極からの角 θ\theta で見た密度です（Weyl の積分公式の最も簡単な場合）。これらから 既知

λj=e−β 2β I2j+1(β),j=0,12,1,…(13)\lambda_j=e^{-\beta}\,\frac2\beta\,I_{2j+1}(\beta),\qquad j=0,\tfrac12,1,\dots \tag{13}

です（In(β)=1π∫0πeβcos⁡θcos⁡nθ dθI_n(\beta)=\frac1\pi\int_0^\pi e^{\beta\cos\theta}\cos n\theta\,d\theta は変形ベッセル関数。数値積分と相対誤差 10−1010^{-10} 未満で一致 計算。比 λj/λ0\lambda_j/\lambda_0 は 5-02 の (4) の uju_j）。β<0\beta\lt0 では半整数の jj で負です。大きい β\beta の漸近形 Iν(β)≈eβ2πβ(1−4ν2−18β)I_\nu(\beta)\approx\frac{e^\beta}{\sqrt{2\pi\beta}}\bigl(1-\frac{4\nu^2-1}{8\beta}\bigr)（DLMF 10.40.1）から、一段あたりのエネルギーは

Ej=−log⁡λjλ0 ≈ 2j(j+1)β=g22 j(j+1)(14)E_j=-\log\frac{\lambda_j}{\lambda_0}\ \approx\ \frac{2j(j+1)}{\beta}=\frac{g^2}{2}\,j(j+1) \tag{14}

です。j(j+1)j(j+1) は Casimir EaEaE^aE^a の値です（1-04 の J2J^2）。比喩で言えば、一本のリンクは SU(2)SU(2)（三次元の球面）の上を回るこまで、EaE^a はその角運動量です。正確には、大きい β\beta で kk が群の上の熱核 e−g22EaEae^{-\frac{g^2}2E^aE^a} に近づくということです（6-02 §04）。

例 計算。E1/2E_{1/2} は β=16\beta=16（g2=14g^2=\tfrac14）で 0.0967（(14) は 0.0938）、β=64\beta=64 で 0.0236（0.0234）です。比 E1/2/(14)E_{1/2}/(14) のずれ（相対誤差）は 1.032 から 1.008 へと、ほぼ 1/β1/\beta で縮みます（差そのものは 0.00295 から 0.00018 へ、1/β21/\beta^2 で縮む）。強結合の β=1\beta=1 では E1=3.24E_1=3.24 が近似の 4 から外れます。比 E1/E1/2→8/3E_1/E_{1/2}\to8/3 は 6-02 §07。

07

Kogut–Susskind のハミルトニアン — 時間の刻みを 0 にする

(11) の HaH_a は積分作用素の対数で、形が見えません。局所的な形は、時間方向の間隔 ata_t だけを空間の間隔 aa より細かくすると見えます。四次元で、時間方向を含むプラケットと空間だけのプラケットに別々の係数

βt=2Ng2 aat,βs=2Ng2 ata(15)\beta_t=\frac{2N}{g^2}\,\frac{a}{a_t},\qquad \beta_s=\frac{2N}{g^2}\,\frac{a_t}{a} \tag{15}

を付けます。体積あたりのプラケットの数 1/(a3at)1/(a^3a_t) と 5-01 の (7) から、古典的な連続極限はどちらの向きでも 5-01 の (8) の作用になります。at→0a_t\to0 では βt→∞\beta_t\to\infty なので、時間方向の一段には (14) の一般形 −log⁡(λr/λ0)≈NβtC2(r)=atg22aC2(r)-\log(\lambda_r/\lambda_0)\approx\frac N{\beta_t}C_2(r)=a_t\frac{g^2}{2a}C_2(r) が使えます（C2C_2 は Casimir の値、規格化は tr TaTb=12δab\mathrm{tr}\,T^aT^b=\tfrac12\delta^{ab}）。W=eiXaTaW=e^{iX^aT^a} の近くで βNRe tr W≈β−β4NXaXa\frac\beta N\mathrm{Re\,tr}\,W\approx\beta-\frac\beta{4N}X^aX^a となり、kk が時刻 N/βN/\beta の熱核に近いからです（SU(3)SU(3) の基本表現で β=640\beta=640 のとき比 1.003 計算）。空間の部分 V2=e−SsV^2=e^{-S_s} は βs∝at\beta_s\propto a_t なので、はじめから e−at(⋯ )e^{-a_t(\cdots)} の形です。合わせて T=e−atHKS+O(at2)T=e^{-a_tH_{\mathrm{KS}}+O(a_t^2)}、

HKS=g22a∑ℓEℓaEℓa+2Ng2a∑p(1−1NRe tr Up)(16)H_{\mathrm{KS}}=\frac{g^2}{2a}\sum_{\ell}E^a_\ell E^a_\ell+\frac{2N}{g^2a}\sum_p\Bigl(1-\frac1N\mathrm{Re\,tr}\,U_p\Bigr) \tag{16}

です。第一項が電場（各リンクのこまの回転）、第二項が磁場のエネルギーで、状態は Gauss の法則を満たすもの（P0HP_0\mathcal H）に限ります。この形は Kogut–Susskind 1975 が与え、Creutz 1977 の要旨は 'Taking the timelike lattice spacing to zero, we extract the Kogut-Susskind Hamiltonian from the transfer matrix in the gauge A0 = 0' と書きます 既知。(15)(16) の係数はこの章の規約での計算で、極限は固有値ごとの近似です。正準量子化からは 4-01。

例。g2g^2 が大きいと第一項が支配し、最初の励起は一枚のプラケットの縁を基本表現の電場が一周する状態で、エネルギーは g22a⋅4⋅C2(基本)\frac{g^2}{2a}\cdot4\cdot C_2(\text{基本}) です。SU(N)SU(N) では C2(基本)=N2−12NC_2(\text{基本})=\frac{N^2-1}{2N} で、SU(2)SU(2)（j=12j=\tfrac12、C2=34C_2=\tfrac34）では 3g22a\frac{3g^2}{2a} です。電場の線のエネルギーは長さに比例します（5-02）。

08

Z2\mathbb Z_2 ゲージ理論で全部を見る — 正でない転送行列

群を Z2={±1}\mathbb Z_2=\{\pm1\}（2-09 の寄り道・5-10）、時空を三次元（空間は L×LL\times L の周期格子）とし、作用を β∑P(1−UP)\beta\sum_P(1-U_P) とします。一本のリンクの因子は (4) で KK を β\beta に替えた行列の e−βe^{-\beta} 倍で、固有値の比は tanh⁡β\tanh\beta です。β<0\beta\lt0 では負になります。

各リンクの因子の固有ベクトル（電場の基底）では、各リンクを電場の線が通るか否かが決まります。Gauss の法則は各点に集まる線が偶数本であることで、ゲージ不変な状態は閉じた線の集まり ee で番号付けられ、KK は線の総延長 ∣e∣|e| だけで決まる対角行列です。

K(e) ∝ (tanh⁡β)∣e∣(17)K(e)\ \propto\ (\tanh\beta)^{|e|} \tag{17}

閉じた線は xx・yy 方向に巻き付く回数の偶奇で四つの類に分かれ、VV（プラケットの縁の線を足し引きする）は類を保ちます。縁を足しても長さの偶奇は変わらないので、類 (1,0)(1,0) の線の長さは LL と偶奇が同じです。よって β<0\beta\lt0 で LL が奇数なら、類 (1,0)(1,0)・(0,1)(0,1) で K≤0K\le0、T=VKV≤0T=VKV\le0 です。LL が偶数なら比 λ/λ0\lambda/\lambda_0 は β\beta と −β-\beta で同じです。一つおきの行の xx 向きのリンクの符号を反転すると Up→−UpU_p\to-U_p となり、V(−β)V(-\beta) は V(β)V(\beta) の定数倍と相似になります。LL が偶数なら閉じた線の長さはすべて偶数なので、(17) の KK も定数倍しか変わりません 紙（L=2L=2 の全固有値、L=4L=4 の上位で一致 計算）。

各類は 2L2−12^{L^2-1} 次元で、L≤3L\le3 は対角化、L=4L=4 は Lanczos 法（大きな対称行列の端の固有値だけを反復で求める方法）です（L=3L=3 で両者が印字した 8〜11 桁で一致 計算）。F=W(1)F=W(1) を、時刻 1 で xx 方向に一周する Wilson 線とします。リンク反射（t0=12t_0=\tfrac12）の (3) の左辺は ⟨W(0)W(1)⟩=∑n∣⟨0∣W∣n⟩∣2λn/λ0\langle W(0)W(1)\rangle=\sum_n|\langle0|W|n\rangle|^2\lambda_n/\lambda_0（nn は類 (1,0)(1,0)）で、L=3L=3、β=−0.5\beta=-0.5 では −0.1306-0.1306 と負です。サイト反射（t0=1t_0=1、F=W(2)F=W(2)）では ⟨W(0)W(2)⟩=+0.0183\langle W(0)W(2)\rangle=+0.0183 です。転送行列を使わないモンテカルロ（3×3×183\times3\times18）でも −0.1305(18)-0.1305(18)・+0.0189(11)+0.0189(11) で、誤差の範囲で合います 計算。

図 2　Z2\mathbb Z_2 の転送行列の固有値（空間 3×33\times3） — つまみで β\beta（−1〜2）を動かすと、縦線が固有値の比 λ/λ0\lambda/\lambda_0 の位置に動きます（黒：零の類の λ0\lambda_0・λ1\lambda_1、茶：類 (1,0)(1,0)・(0,1)(0,1) で絶対値が最大のもの）。
表 1 を参照。
β = 0.5：零の類 λ₁/λ₀ = 0.0663（m = 2.71）、類 (1,0) の最大 λ/λ₀ = 0.190。固有値はすべて正。

計算この図の数値はこの端末で計算した。

計算表 1　零の類（巻き付く線の無い状態）の隙間 m=log⁡(λ0/λ1)m=\log(\lambda_0/\lambda_1) と、類 (1,0)(1,0) の最低のエネルギー Ew=log⁡(λ0/λ0(1,0))E_w=\log(\lambda_0/\lambda_0^{(1,0)})（格子単位）。

βm（L=3）m（L=4）−4 log tanh βE_w（L=3）E_w（L=4）
0.109.2339.2339.2246.9159.223
0.751.5871.1531.8160.18600.1443
1.002.9912.8401.0890.02000.00459

読み方。(i) β>0\beta\gt0 では固有値はすべて正で m>0m\gt0（05 節の (d)）。(ii) 小さい β\beta では m≈−4log⁡tanh⁡βm\approx-4\log\tanh\beta（長さ 4 の線。5-02 の m0m_0）、Ew≈−Llog⁡tanh⁡βE_w\approx-L\log\tanh\beta（巻き付く線の長さに比例。閉じ込めの形）。(iii) 大きい β\beta では EwE_w は LL とともに急に小さくなります。(iv) β=0.75\beta=0.75 の近くでは mm が LL で大きく動きます。三次元の Z2\mathbb Z_2 ゲージ理論は三次元イジング模型と双対で相転移があるとされ（Wegner 1971）既知、有限の箱の mm だけでは無限体積の隙間は決まりません。(v) β<0\beta\lt0・L=3L=3 では類 (1,0)(1,0)・(0,1)(0,1) の 512 個の固有値がすべて 0 以下で（β=−1\beta=-1 で最小 −0.788λ0-0.788\lambda_0）、⟨W(0)W(t)⟩\langle W(0)W(t)\rangle は tt の偶奇で符号を変えます（β=−0.5\beta=-0.5、t=3t=3 で −0.0027-0.0027）計算。

09

何が保たれ、何が残るか

極限で保たれる。(3) は不等式なので、格子の列で期待値が収束し、鏡の面がどの段でも格子の面に乗っていれば、極限の測度も反射正値です（6-01 §07）既知。ただし四次元の非可換な場合、その連続極限の存在が示されていません（6-10）。

作用を替えると失われうる。次元 6 の項を足す改良（5-05 の Symanzik の改良）では、Lüscher–Weisz 1984 の要旨が 'physical positivity is lost in general' と書き、転送行列に複素数の固有値が現れうること（減衰振動する相関）と、二点関数のスペクトル分解に負の重みが必ず出ることを述べます 既知。08 節の β<0\beta\lt0 は、転送行列が正でなくなる最も簡単な例です（固有値は実で負）。連続の正則化は 4-10 §08。

言わないこと。mL>0m_L\gt0 が L→∞L\to\infty（強結合側は 5-04）・a→0a\to0 で残るかに、この章の道具は答えません。回転対称性の回復も極限の側の課題です。

この章が言えている範囲

内容状態
格子ゲージ理論の反射正値性と正の自己共役な転送行列既知（Osterwalder–Seiler 1978 の要旨）
(3) の β\beta の条件：サイト反射はすべての β\beta、リンク反射は β≥0\beta\ge0紙（この章の (6)〜(8)）
β<0\beta\lt0 でリンク反射が破れる例計算（08 節の Z2\mathbb Z_2、L=3L=3）
TT の自己共役・β≥0\beta\ge0 で正既知（Osterwalder–Seiler 1978、Lüscher 1977）
β>0\beta\gt0 で TT が 0 を固有値に持たない紙（05 節の (c)、06 節の λr>0\lambda_r\gt0）
λ0\lambda_0 の単純性、箱ごとの mL>0m_L\gt0（β>0\beta\gt0）既知（Jentzsch の定理の一般化。Schaefer 1974）
(12)〜(16)式は 既知、06 節の数値と SU(3)SU(3) の一般形の確認は 計算。(15)(16) の係数はこの章の規約、at→0a_t\to0 は固有値ごとの近似
Z2\mathbb Z_2（L≤4L\le4）の表 1・図 2計算（対角化と独立なモンテカルロ）
質量ギャップ・連続極限何も示していない

出典と再現

もの種別出典・道具
表 1・図 2・本文の数値計算python3（NumPy、SciPy）：table1.py・one_link.py・z2_transfer.py・check_lanczos.py・even_L_check.py・winding_corr.py・mc_check.py・fig_data.py・su3_casimir.py。⟨W(0)W(t)⟩\langle W(0)W(t)\rangle はスペクトル表示とモンテカルロの二通り
問題文 §6.5既知A. Jaffe, E. Witten, "Quantum Yang–Mills Theory" (2000)。本文を確認
反射正値性・転送行列既知K. Osterwalder, E. Seiler, "Gauge field theories on a lattice", Ann. Phys. 110 (1978) 440–471（要旨を確認、本文は未確認）／M. Lüscher, Commun. Math. Phys. 54 (1977) 283–292（題と要旨を確認）
(16)・改良した作用既知J. Kogut, L. Susskind, Phys. Rev. D 11 (1975) 395–408／M. Creutz, Phys. Rev. D 15 (1977) 1128–1136／M. Lüscher, P. Weisz, Nucl. Phys. B 240 (1984) 349–361。いずれも要旨を確認
Perron–Frobenius・Jentzsch既知O. Perron, Math. Ann. 64 (1907) 248–263／R. Jentzsch, "Über Integralgleichungen mit positivem Kern", J. reine angew. Math. 141 (1912) 235–244。いずれも書誌を Crossref で確認、本文は書誌のみ（Jentzsch の主張〔正方形の上の連続で正の核では、スペクトル半径が正の固有関数をもつ単純な固有値〕は二次資料 arXiv:1910.01120 で確認）。コンパクト空間上の核への一般化：H. H. Schaefer, Banach Lattices and Positive Operators, Springer (1974) p. 337 の定理（核 N≥0N\ge0 の積分作用素で、ある冪がコンパクト、かつ正の測度の集合 SS とその補集合をつなぐ核の積分が正なら、スペクトル半径はほとんど至る所正の固有関数をもつ単純な固有値。N>0N\gt0 ならほかの固有値の絶対値はそれより小さい）。書誌のみ（主張は arXiv:1910.01120・arXiv:1501.06011 の引用で確認。有限の箱の連続で正の核は Hilbert–Schmidt なのでこの仮定を満たす）。M. G. Krein, M. A. Rutman, Uspekhi Mat. Nauk 3:1(23) (1948) 3–95（英訳 Amer. Math. Soc. Translation 26, 1950）。書誌を Math-Net.Ru で確認、本文は書誌のみ
IνI_\nu の漸近形既知NIST DLMF 10.40.1・10.17.1。式を確認
Z2\mathbb Z_2 とイジングの双対既知F. J. Wegner, J. Math. Phys. 12 (1971) 2259–2272。書誌のみ

次に読む章：5-04 無限体積極限とクラスター展開。

← 5-02 強結合展開目次5-04 無限体積極限とクラスター展開 →

改訂 2026-10-01：初版。