2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備平行移動・曲率・ホロノミー

ベクトル束と接続 — 点ごとに別々の空間を、道に沿って比べる規則

場 $\psi$ が各点で $\mathbb C^N$ に値をとるとします（クォークの色なら $N = 3$）。ゲージ理論では、各点の $\mathbb C^N$ の基底（どの向きを「一番目の色」と呼ぶか）を点ごとに選び直してよいと考えます（3-01）。すると $\psi(x+h) - \psi(x)$ は別々の基底で書いた成分の差で、選び直すと値が変わります。球面の接ベクトルも同じで、北極と赤道の接平面は別物です。そこで、一方の空間を道に沿って他方へ運ぶ規則 $P$ を用意し、運んでから引きます（$e_i$ は座標方向）。

運ぶ規則を接続、各点の空間を束ねたものをベクトル束と呼びます。例。電磁気学では $N = 1$ で、運ぶ規則は位相因子 $e^{\frac{iq}{\hbar}\int\mathbf A\cdot d\mathbf l}$ でした（2-03）。この章はそれを行列に広げ、1-06 §08 の「二枚の貼り合わせ」も同じ言葉で扱います。

ベクトル束 $E\to M$ は、多様体 M（1-05）の各点 x に N 次元の空間 $E_x$（ファイバー）を付け、小さな開集合 $U_\alpha$ の上では $U_\alpha\times\mathbb C^N$ と同一視できるようにしたものです。N を階数、$N = 1$ のものを直線束と呼びます。ファイバーを $\mathbb R^N$ にしても同じように定義でき、これを実ベクトル束と呼びます。同一視を与える基底が局所的な枠で、重なりでは二つの枠の成分が行列で結ばれます。

$g_{\alpha\beta}$ を変換関数、三つが重なる所での右の式をコサイクル条件と呼び、変換関数が群 G（U(1)・SU(N) など）に値をとるとき G を構造群と呼びます。(2) を満たす変換関数があれば貼り合わせで束が作れます 既知。各点で $E_x$ の元を滑らかに選んだものが切断で、場 $\psi$ は切断です。

自明な束とねじれた束

全体で $M\times\mathbb C^N$（実なら $M\times\mathbb R^N$）と同一視できる束を自明と呼びます。次の三つは自明ではありません 既知：メビウスの帯（ファイバー $\mathbb R$ の実直線束。円を二つの弧で覆うと、重なりの一方で変換関数 +1、他方で −1）、接束 $TS^2$（実の階数 2 の束）、§08 の単極子の束（$n\ne 0$）。自明なら 0 にならない切断があるはずです。メビウスの帯では、切断を枠で書いた値が一周で符号を変えるので、中間値の定理でどこかが 0 になります。$TS^2$ では毛玉の定理（1-05）がそれを禁じます。

ファイバーを複素数にすると、同じ変換関数でもねじれが解けます。$-1 = e^{i\pi}$ は U(1) の中で $e^{it}$（t を π から 0 へ）と 1 まで連続に動かせ、変換関数を連続に動かしても束は同型のままなので 既知、重なりで +1 と −1 を変換関数とする複素直線束は自明です。円の上では、ねじれが残るかは、変換関数が値をとる群の中でそれを 1 まで連続に動かせるかで決まります。$\{\pm1\}$ の中では動かせず、U(1) の中では動かせます。§08 では U(1) の中の巻き数が、この動かせなさを担います。$\mathbb R^4$ の上の束は自明ですが 既知、無限遠を一点と見なした $S^4$ や周期的な格子では自明でない束が現れます（3-05）。

枠を決めると、(1) の $P$ の一次の項が行列値の 1-形式 $A = A_i\,dx^i$ になります。$A_i(x)$ は構造群のリー環 $\mathfrak g$ の元で（1-03）、U(N)・SU(N) なら反エルミート行列です。

(1) で $P_{x+he_i\to x} = 1 + hA_i + O(h^2)$ と置いたものです。枠を $\psi' = g\psi$（$g(x)\in G$）と取り替えても $D'\psi' = g\,D\psi$ となるには、$(d + A')(g\psi) = dg\,\psi + g\,d\psi + A'g\psi$ が $g(d\psi + A\psi)$ に等しいことから

が要ります。これがゲージ変換です。重なりの $A_\alpha$ と $A_\beta$ も $g = g_{\alpha\beta}$ として (4) で結ばれ、貼り合わせとゲージ変換は同じ式です。

例（U(1)）。$A = -\frac{iq}{\hbar}\,\mathbf A\cdot d\mathbf x$、$g = e^{iq\chi/\hbar}$ と置くと、(3) は 2-03 の共変微分、(4) は $\mathbf A\mapsto\mathbf A + \nabla\chi$ です。物理の本はエルミートな $T_a$（1-04）で $A = -i\,A^a_\mu T_a\,dx^\mu$ と書き、実数の $A^a_\mu$ をゲージ場と呼びます（結合定数の置き方は 3-02）。二つの接続の差は $g(A_1 - A_2)g^{-1}$ と変わり（$dg$ の項が消える）、足し引きできる量です。接続の全体はそこでアフィン空間——原点は決まっていないが、二点の差がベクトル空間の元になる集合——になります。基準の接続 $A_0$ を一つ選べば、どの接続も $A_0$ ＋（$\mathfrak g$ 値の 1-形式）と書けます（3-04）。

道 $\gamma : [0, 1]\to M$ に沿って、共変微分が 0 になるように v を運びます。

解はただ一つで、$P_\gamma$ を平行移動と呼びます。A が反エルミートなら $\frac{d}{dt}|v|^2 = -v^*(A + A^*)v = 0$ で $P_\gamma$ はユニタリです。各時刻の $A(\dot\gamma)$ が可換でないので $\exp(-\int A)$ とは書けず、短い区間の解を時刻の順に掛けます。

$A_k = A(\dot\gamma(t_k))$ で、後の時刻を左に置く経路順序積です。道をつなげば $P_{\gamma_2\gamma_1} = P_{\gamma_2}P_{\gamma_1}$、ゲージ変換では両端の枠の取り替えだけを受けます。

例：球面の一周

球面の中から見て曲がらないように接ベクトルを運ぶのが Levi-Civita の平行移動で、単位球面では $\dot v = -(v\cdot\dot\gamma)\,\gamma$（法線方向の変化だけを許す）です。自分の速度ベクトル $\dot\gamma$ をこの平行移動で保つ曲線を測地線と呼び、球面では大円です。余緯度 $\theta_0$ の緯線を東へ回ると、南向き・東向きの枠 $(e_\theta, e_\varphi)$ に対する角は $\alpha(\varphi) = \alpha_0 - \varphi\cos\theta_0$ で変わり、一周では

右辺は緯線が囲む球冠の面積です。赤道以外の緯線は大円でない（測地線でない）ので、ベクトルは枠に対して回ります。(8) は「曲率 1 の面では一周の回転角が囲む面積に等しい」という Gauss–Bonnet の定理の特別な場合です 既知。三辺が測地線の測地三角形でも回転角は面積に等しく、表 1 の最下行がその例です。

寄り道：フーコーの振り子

平行移動が道に依るかは、小さな輪を回ったときのずれで測れます。共変微分の順序を入れ替えた差では $\psi$ の微分が消え、行列の掛け算だけが残ります。

形式でまとめると $F = dA + A\wedge A$ です。$dA$ は成分ごとの外微分で、行列値の形式どうしの外積は、成分の行列を掛けて $dx$ の外積を取ります。

二つ目の等号は、i と j の名前を入れ替えた式（$dx^j\wedge dx^i = -dx^i\wedge dx^j$）と平均したものです。スカラーの 1-形式 α なら $\alpha\wedge\alpha = 0$ ですが（1-06）、行列は可換でないので 0 になりません。$F = \sum_{i\lt j}F_{ij}\,dx^i\wedge dx^j$ の係数が (9) の $F_{ij}$ で、Jaffe–Witten の問題説明の式そのものです（1-03）。F を曲率、物理では場の強さと呼びます。

小さな輪で確かめる

点 p から x・y 方向に一辺 ε の正方形を反時計回りに一周すると、

(4) を (9) に入れると $F' = gFg^{-1}$ です。U(1) では F はゲージで変わらず、（係数 $-iq/\hbar$ を除いて）電場と磁場そのもの（1-06 §09）ですが、非可換では F が枠とともに回り、変わらないのは $\operatorname{tr}(F_{ij}F_{kl})$ のような組み合わせです（3-03 の作用）。

計算表 2　$\mathfrak{su}(2)$ 値の滑らかな接続で (5) を RK4 で積分し、(10) と比べる（作用素ノルム、$|F_{xy}| = 0.369$）。

ε を半分にすると誤差も半分（$O(\varepsilon)$）。交換子を落とした $dA$ では誤差が $|[A_x, A_y]| = 0.298$ に近づいて消えません。でたらめな g で (7) は差 $1.5\times10^{-12}$、$F' = gFg^{-1}$ は差 $3\times10^{-7}$（差分の誤差）計算。

定数でも曲がる接続

非可換では A が定数でも F は 0 になりません。群を SO(3)（SU(2) の随伴表現、1-04）、ファイバーを $\mathbb R^3$（§02 の実ベクトル束）とします。ここでの $L_x, L_y, L_z$ は実の反対称行列 $(L_a)_{bc} = -\varepsilon_{abc}$ で、1-04 §02 のエルミートな $L_a$ に $-i$ を掛けたものです。$L_a v = e_a\times v$、$[L_x, L_y] = L_z$ を満たし、$e^{tL_z}$ は z 軸まわりの角 t の回転です（1-04 の $e^{-itL_3}$ と同じ）。$A_x = aL_x$、$A_y = aL_y$ と置くと、$dA = 0$ なのに $F_{xy} = a^2L_z$ です。U(1) の定数の A は $g = e^{A_xx + A_yy}$ で消せますが（純ゲージ）、こちらは $F' = gFg^{-1}\ne 0$ なので、どんな g でも消せません。

θ/s² は s → 0 で 1 に近づき、軸はほぼ −z で、(10) の $1 - s^2L_z$（−z まわりの正の回転）と合います。「ゲージ場が自分自身と相互作用する」ことの幾何の顔です（3-02）。

点 $x_0$ から出て戻る道 γ の平行移動をホロノミー $\mathrm{Hol}_\gamma$ と呼びます。(7) で両端が同じ点なので、ゲージ変換では共役で変わり、トレースは変わりません。

ゲージ不変な $W(\gamma)$ を Wilson ループと呼びます。

• 平坦でも残る。$F = 0$ なら、ホロノミーは輪の連続変形で変わりません 既知。穴のある空間では縮められない輪のホロノミーが 1 でないことがあり、それが Aharonov–Bohm 効果です（2-03）。
• 曲率はホロノミーの無限小版。M が連結なら、$x_0$ の輪のホロノミー全体（部分群）のリー環は、すべての点 y の曲率 $F_{ij}(y)$ を、y と $x_0$ を結ぶあらゆる道で $x_0$ まで運んだもので張られます（Ambrose–Singer 1953）既知。
• 格子。辺に平行移動 $U_\ell\in G$ を置き、プラケットの積 $U_p$ を曲率の代わりにするのが Wilson の格子です（5-01）。(10) から間隔 a で $U_p\approx\exp(-a^2F_{\mu\nu})$、よって $\operatorname{Re}\operatorname{tr}(1 - U_p)\approx -\tfrac{a^4}{2}\operatorname{tr}F_{\mu\nu}^2 \ge 0$ です（μ, ν は固定で和を取らない。$F_{\mu\nu}$ が反エルミートなので $F_{\mu\nu}^2 = -F_{\mu\nu}^*F_{\mu\nu}\le 0$）既知。

ゲージ変換は滑らかな写像 $g : M\to G$ で、切断を $g\psi$、接続を (4)、曲率を $gFg^{-1}$ に動かします。全体 $\mathcal G$ は無限次元の群です。比喩で言えば各点のものさしの向きの選び直しで、正確には枠の取り替え（受動的）とも、束の自己同型——各ファイバーを線形に同型写像し、底の点は動かさない束の写像——（能動的）とも読め、式はどちらも (4) です。物理で意味を持つのは $\mathcal G$ で変わらない量です：Wilson ループ、作用の $\operatorname{tr}(F\wedge *F)$、位相の量 $\operatorname{tr}(F\wedge F)$（3-05）。

曲率にはゲージに依らない恒等式があります。$A\wedge F$ と $F\wedge A$ も §05 と同じ規則（成分の行列を掛けて $dx$ の外積を取る）で定まり、行列の順序が効きます。

Bianchi 恒等式です。$F = dA + A\wedge A$ を入れると、$d(A\wedge A) = dA\wedge A - A\wedge dA$、$d^2 = 0$、外積の結合法則だけで消えます。U(1) では $dF = 0$（Maxwell 方程式の源の無い二本）。三次元の $\mathfrak{su}(2)$ 値の接続で、左辺は差分の誤差 $3.5\times10^{-7}$ 以内、交換子を落とすと 0.553 計算。

接続の全体 $\mathcal A$ を $\mathcal G$ で割った $\mathcal A/\mathcal G$ が物理で区別できる配位の空間で、各軌道から代表を連続的に選ぶ（大域的なゲージ固定）ことは一般にできません（Singer、3-04・4-08）。Wu–Yang（1975）の対訳表では、ゲージポテンシャル＝接続、位相因子＝平行移動、場の強さ＝曲率と並び、源の欄だけが「？」です。

1-06 §08 で、点磁荷 $\hat{\mathbf r}/r^2$ のポテンシャルは北と南の二枚でしか書けず、重なりでの差は $2\,d\varphi$ でした。磁荷を $g_m$ 倍して磁場 $g_m\hat{\mathbf r}/r^2$（全磁束 $\Phi = 4\pi g_m$）にすると差は $2g_m\,d\varphi$ で、§03 の例のとおり $-iq/\hbar$ を掛けて接続にすると

です。一方、可換な場合の (4) は $A_N - A_S = -g_{NS}^{-1}dg_{NS}$ なので、赤道の変換関数は $g_{NS} = e^{in\varphi}$、$n = 2qg_m/\hbar$ です。束の言葉では、北と南の二枚を赤道でこの $g_{NS}$ により貼り合わせた U(1) 束です。$g_{NS}$ は赤道を一周して元に戻らなければならないので、n は整数です。

位相因子で見る

n の意味は位相因子で見ると測れる形になります。閉じた道 C の位相因子は、(6) で $A = -\frac{iq}{\hbar}\,\mathbf A\cdot d\mathbf x$ とおいた平行移動（C のホロノミー、§06）です。U(1) では経路順序が要らず、Stokes の定理（1-06）から

です（$\Phi_C$ は C が囲む磁束、q > 0 とします。詳しくは 2-03）。$\Phi_0$ を磁束の単位と呼び、$f = \Phi/\Phi_0$ と書くと $n = 2qg_m/\hbar = q\Phi/(2\pi\hbar) = f$ です。以後 n と f は同じ量で、f と書くときは整数とは限らない値も考えます。

余緯度 ϑ の緯線 C の位相因子を、北の球冠の上で使える $A_N$ で計算すると、囲む磁束は $\Phi(1-\cos\vartheta)/2$ で $e^{i\pi f(1-\cos\vartheta)}$。南の球冠の上で使える $A_S$ で計算すると、C は南の球冠の縁を逆向きに回るので $e^{-i\pi f(1+\cos\vartheta)}$ です。比は $e^{2\pi i f}$ で、一致するのは f が整数のときだけ。二枚の記述が一つの束の接続になる条件で、Dirac（1931）の量子化条件の、束の言葉での読みです。

曲率から読む

整数は曲率からも読めます。北と南の球冠で Stokes の定理を使い、赤道で (4)（可換なので $A_N - A_S = -g^{-1}dg$）を使うと

左辺は $\frac{i}{2\pi}\cdot\bigl(-\frac{iq}{\hbar}\bigr)\Phi = f$、右辺は変換関数の巻き数（1-06 §07）で、上で見た n = f がここでも出ます。$c_1$ を第一 Chern 数と呼びます。接続を連続的に変えても整数は飛べないので、束だけで決まります 既知。

四次元では

$S^4$ の上の SU(2) 束は整数 $c_2 = \frac{1}{8\pi^2}\int\operatorname{tr}(F\wedge F)$（符号は本による）で分類されます 既知。$\mathbb R^4$ の上でも、作用が有限なヤン–ミルズ方程式の解は遠方で純ゲージ $-(dg)g^{-1}$（$g : S^3\to SU(2)$）に近づき、g の巻き数がインスタントン数です 既知。これは無条件の事実ではありません。正確には、そうした解が無限遠の一点を足した $S^4$ の上の束の接続に延びるという定理（Uhlenbeck の除去可能特異点定理）に基づき、方程式の解でない一般の場では遠方での適当な減衰を仮定して同じことを言います。詳しくは 3-05・1-12・四次元の記事。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-08 確率と測度。この章の続きは 3-01〜3-04。

← 1-06 微分形式と外微分目次1-08 確率と測度 →