2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 0 部 入口ユークリッドと時空

数学の四次元と物理の四次元 — 同じ R⁴ に物差しが二つあり、問題は両方で通じる理論を求めている

問題文（Jaffe–Witten によるクレイ数学研究所の記述）は、任意のコンパクト単純群 $G$ について「$\mathbb R^4$ の上に」非自明な量子ヤン–ミルズ理論が存在し質量ギャップ $\Delta\gt0$ を持つことを示せ、と求めます（一語ずつの読みは 0-03）。この $\mathbb R^4$ には長さの測り方が書かれていません。

測り方は前後の節に出てきます。§3 は公理を 'Gårding and Wightman gave mathematically precise axioms for quantum field theories on R4 with a Minkowski signature' と紹介し、§6 は '(Equivalently in the Euclidean formulation one replaces Euclidean space-time R4 by R2 or R3.)' と添えます。存在は 'axiomatic properties at least as strong as those cited in [45, 35]' を含み、[45] は Streater–Wightman（時空の側の公理）、[35] は Osterwalder–Schrader（ユークリッドの側の公理）です 既知。同じ $\mathbb R^4$ に物差しが二つある、と言えます。正確には、点の集まりは同じで、違うのは長さの二乗を測る二次形式です（$c=1$）。

例。点 $(1,0,0,1)$ の最後の座標を時間と読むと、$Q_{\mathrm E}=2$ ですが $Q_{\mathrm M}=0$ で、原点と光でちょうど結ばれます。$(0,0,0,1)$ は $Q_{\mathrm E}=1$、$Q_{\mathrm M}=-1$（時間的）です。符号を $(+,-,-,-)$ と書く流儀もあり、中身は同じです。

物差しを決めると、それを保つ変換の群が決まります。$SO(4)$ は $Q_{\mathrm E}$ を、$SO(3,1)$ は $Q_{\mathrm M}$ を変えない、行列式 1 の $4\times4$ 実行列の群です。前者が四次元の回転群、後者がローレンツ群で、平行移動を合わせるとユークリッド群とポアンカレ群です。どちらも座標平面 $\binom42=6$ 枚ごとに一つの向きを持ちます（四次元でだけ起きること）。違いは時間を含む 3 枚で、そこでの回転が時空では押し出しに変わります（2-04）。

$\cos(i\varphi)=\cosh\varphi$、$\sin(i\varphi)=i\sinh\varphi$ だからです 既知。この $\varphi$ を急速度（ラピディティ）と呼びます。(2) の下の式で $x'=0$ となる点は $x=t\tanh\varphi$ を動くので、押し出しの速度は $v=\tanh\varphi$ です。例。$\varphi=0.7$、$(t,x)=(0.4,\,1.3)$ を左に入れると $t'=-0.484091,\ x'=1.328286$ で、右と一致します 計算。回転の角は $2\pi$ で一周しますが、急速度には上限がありません（$\varphi\to\infty$ で $v$ は 1 に近づくだけです）。二次形式で言い直すと、$SO(4)$ は点を $Q_{\mathrm E}$ が一定の球面の上でしか動かせませんが、$SO(3,1)$ は $Q_{\mathrm M}=-1$ の双曲面の上でいくらでも遠くへ運べます。$SO(4)$ がコンパクトで $SO(3,1)$ が非コンパクトなのは、この違いの表れです（符号が一つ違う §01）。

記事 四次元でだけ起きること はユークリッドの $\mathbb R^4$ とその位相を、符号が一つ違う は時空を見ていました。事例のすべてが問題に効くわけではありません。ユークリッドの側で最もよく効くのは、6 枚の平面が「垂直な平面」と 3 組の対になり、場の強さ $F$ が二つに割れることです（1-12）。場の強さは、電磁気学の電場と磁場をまとめた $F_{\mu\nu}$（2-03）をヤン–ミルズに一般化したもので（3-02）、座標平面ごとに一つの成分を持ちます。電磁気学なら、電場の 3 成分が時間を含む 3 枚、磁場の 3 成分が空間だけの 3 枚に当たります。各平面の成分を垂直な平面へ移す操作をホッジの星 $*$ と書くと、平面の分け方がそのまま $F$ の分け方になります。

例として、事例が問題でどう顔を出すかを並べます。

表の読み方。上の三行（E）は、第 3 部（古典のヤン–ミルズ）と第 5 部（格子）で道具や模型として効きます。四行目（E・M）は、この章の 04〜07 節で二つの四次元を結ぶために使います。M の行のうち光円錐は第 4 部の公理（4-09）に入り、重力の行は問題の外です。

問題で効く「四」は、エキゾチック構造のような四次元に特有の現象ではなく、結合定数の次元が消える四です（08 節）。ただしエキゾチック $\mathbb R^4$ の存在の証明には、Freedman の位相的な定理と合わせて、同じヤン–ミルズの方程式（その反自己双対な解の空間）が使われています（1-12・3-06）。古典論は方程式の解を位相を見る道具に、量子論は作用を確率の重みに使います。

二つの四次元を行き来する最初の道具は、時間 $t$ を虚数に置き換えることです（Wick 回転。名は Wick 1954 にちなむとされます。場の作用での形は 4-02 §02 が正本）。(1) に $t=-i\tau$ を入れると $Q_{\mathrm M}$ が $Q_{\mathrm E}$ になります。何が変わるかは量子力学の時間発展で見えます。

状態は Hilbert 空間（内積をもち、極限について閉じた複素ベクトル空間。1-10）の長さ 1 のベクトルで、エネルギーの作用素 $H$（ハミルトニアン）の固有ベクトル $\psi_n$（固有値 $E_n$）で展開できるとします。エネルギー $E_n$ の成分は位相 $e^{-iE_nt}$ で回ります（$\hbar=1$）。いちばん低い状態を真空 $\Omega$（エネルギー 0）とし、観測量 $O$ を当てたベクトルを $O\Omega=\sum_nc_n\psi_n$ と書くと、時間 $t$ を隔てた相関は

です。$\vartheta$ は時間を複素平面で回す角で、$\vartheta=0$ が実時間、$\vartheta=90^\circ$ が虚時間です。すべての $E_n$ が 0 以上なら、$t$ を下半平面に回しても各項は 1 を超えず、$\vartheta=90^\circ$ で振動が減衰 $e^{-E_n\tau}$ に変わります。負の $E_n$ があればその項は増え、和が意味を失います。問題文 §3 は 'Wightman used positive energy to establish analytic continuation of expectations of Minkowski field theories to Euclidean space.' と書きます 既知。

例。真空の項を除いた連結部分 $C_{\mathrm{conn}}$ を、$E_n=1,\,1.7,\,2.6$、重み $0.6,\,0.3,\,0.1$ の模型で描きます。ギャップは $\Delta=1$ です。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（(4) の和をブラウザで計算。表 2 は python3）。「負のエネルギー」は $E=-0.3$、重み 0.03 の項です。

実時間では $\tau=8$ でも 0.94 で、相関は減りません。回すほど速く減り、負のエネルギーを入れると回すほど増えます。上界 $|C_{\mathrm{conn}}|\le e^{-\Delta\tau\sin\vartheta}$ は、重みの和が 1 で $E_n\ge\Delta$ なので、(4) の各項に三角不等式を使えば出ます 既知。$0\le\vartheta\le90^\circ$、$0\le\tau\le12$ の細かい格子の全点でも確かめました 計算。

虚時間に移すと、量子論の言葉が確率論の言葉に置き換わります。問題文 §3 は、Symanzik がユークリッドの期待値を 'a statistical mechanical ensemble of classical Markov fields [46], with a probability density proportional to exp(−S)' と読み、Osterwalder と Schrader が二つの公理系の同等性の一般論を与えた、とまとめます 既知（定理の正確な向きと条件は 4-10）。

左の $e^{iS}$（$S$ は作用、$\phi$ は場。2-01・2-02）は大きさ 1 で振動し、確率になりません。右の $e^{-S_{\mathrm E}}$（$S_{\mathrm E}$ は虚時間に移した作用）は正で、規格化すれば確率の重みになりえます（2-07・4-02）。数学の側でヤン–ミルズが「接続の空間の上の確率測度を作る問題」になるのはこのためです（接続はゲージ場 $A$ のことで、詳しくは 1-07）。例として、対応の主な行を並べます。

どの行も、最後は「反射正値性があれば Hilbert 空間に戻れる」という一点を通ります。

寄り道：自己双対は虚時間にしか住まない

ユークリッドの側にあるのは確率測度（期待値 $\mathbb E$）だけで、Hilbert 空間もハミルトニアンもありません。取り戻すには内積が要り、材料は時間の鏡 $\Theta:\tau\mapsto-\tau$ です。$X,Y$ を $\tau\gt0$ の側の場だけで決まる量とし、$\Theta X$ を $X$ の中の時刻をすべて符号反転したもの（$\tau\lt0$ の側の量）として

と置きます。後半が反射正値性です（OS 正値性とも呼びます）。成り立てば $\langle\cdot,\cdot\rangle$ が（長さ 0 のものを同一視して）内積になり、$\tau$ の向きに $s$ ずらす操作が $e^{-sH}$（$H\ge0$）として働きます 既知。問題文 §6.5 は 'Establishing a quantum mechanical Hilbert space is part of the solution to this Millennium problem.' と書きます。

例。円周上を回る粒子（慣性モーメント $I$、角 $\theta$）を刻み $a$ の虚時間の格子に置きます。この章では $\theta$ をこの粒子の角に使います（3-05 などの $\theta$ 項の角とは別です）。時刻 $ka$ の角を $\theta_k$ と書き、作用 $\int\frac I2\dot\theta^2d\tau$ の一歩分を $\frac Ia\bigl(1-\cos(\theta_{k+1}-\theta_k)\bigr)$ で近似すると、重みは

です。$J$ は隣り合う時刻の角をそろえようとする強さで、統計力学ではこの重みの鎖を一次元の XY 模型と呼びます（分配関数と転送行列の言葉は 2-08・2-09）。$I_n$ は変形ベッセル関数で、べき級数の係数がすべて正なので $I_n(J)\gt0$ です 既知。転送行列 $T$ は、一歩分の重みを積分の核にした作用素です。

(8) の展開を代入すると、$T$ は $e^{in\theta}$ を固有値 $2\pi I_n(J)$ で自分に移します（$\theta$ を 256 点に刻んだ数値と 12 桁一致 計算）。反射の面を格子の点と点のあいだに置くと (7) の左辺は $T$ を挟んだ二次形式になり、固有値が正なので 0 以上です。こうして $H_a=-\frac1a\log\bigl(T/2\pi I_0(J)\bigr)\ge0$ が定まります。Wilson の格子ゲージ理論での反射正値性は Osterwalder–Seiler 1978 が示しました（転送行列の構成は Lüscher 1977 も。5-03）。

質量ギャップの定義は時空の側にあり、問題文 §4 は 'A quantum field theory has a mass gap ∆ if H has no spectrum in the interval (0, ∆) for some ∆ > 0.' と書きます（$H$ はハミルトニアン。スペクトル $\operatorname{spec}H$ は、有限次元なら固有値の集合です）。ユークリッドの側では同じことが相関の減衰に見えます。これを質量ギャップの二つの顔と呼びます。正確には、ハミルトニアンのスペクトルについての条件と、連結相関（Schwinger 関数から真空の寄与を引いたもの。表 3）の指数減衰の二つです。(4) で $\vartheta=90^\circ$ と置けば

です。$O$ がいちばん低い励起と重なれば $-\frac{d}{d\tau}\log C_{\mathrm{conn}}$ は $\Delta$ に近づき、図 1 の模型では $\tau=1,2,4,8$ で 1.178、1.086、1.021、1.001 でした 計算。格子でグルーボール（ヤン–ミルズの粒子に当たる励起の候補）の質量を測るのはこちらの顔です（5-08）。ユークリッドでは時間と空間が回転で移り合うので、$\tau$ の向きの減衰は空間の向きの減衰にもなり、問題文 §5 のクラスター性につながります 既知。局所的な観測量（有界な領域の場だけで決まる量）を回した先もまた局所的な観測量なので、どの向きにも同じ速さの減衰が言えます。ただしこれは、再構成で Hilbert 空間とハミルトニアンが得られた後の話です。

例。06 節の粒子で $O=e^{i\theta}$ とします。$H=-\frac1{2I}\frac{d^2}{d\theta^2}$ の固有値は $\frac{n^2}{2I}$、ギャップは $\Delta=\frac1{2I}$ で、$O\Omega$ は $n=1$ の成分だけなので $C_{\mathrm{conn}}(\tau)=e^{-\Delta\tau}$ です。格子では無限に長い鎖で $\langle e^{i(\theta_k-\theta_0)}\rangle=(I_1/I_0)^k$ となり、$\tau=ka$ と読んだ減衰の速さは $\Delta(a)=-\frac1a\log\frac{I_1(J)}{I_0(J)}$ です。これは格子の上のギャップを物理の単位で測ったもので（06 節の $H_a$ のいちばん小さい正の固有値）、格子の単位では $a\,\Delta(a)$ です（付録 A-01 の $m_{\mathrm{lat}}$）。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（$I_1/I_0$ と $\Delta(a)$ は python3・SciPy で計算した表 4 の値。図は点 $(ka,\,(I_1/I_0)^k)$ を結ぶだけ）。

粗い格子（$J\le2$）の $\Delta(a)/\Delta$ は 1.4〜1.6 で、ギャップとは別の数です。細かくすると $1+\frac1{2J}$ とほぼ同じ速さで 1 に近づき、二番目の準位も近づきます。周期 400 の鎖で転送行列の積から計算した相関も $(I_1/I_0)^k$ と 10 桁一致しました 計算。この例ではギャップが在ることは最初から明らかです。四次元のヤン–ミルズで要るのは、格子の単位で見た減衰 $a\,\Delta(a)$ が 0 に向かう極限で $\Delta(a)$ が正の値に留まることと、その前に極限の Hilbert 空間を作ることです（5-09）。

次元の勘定はユークリッドの側で、$d$ 個の対等な座標について行います。$c=1$ なら時間も長さで測るので、3+1 次元の時空は $d=4$ です。$d$ 次元のユークリッドの作用を $S_d[A]=\frac1{2g^2}\int_{\mathbb R^d}\mathrm{tr}\,F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}\,d^dx$（$\mu,\nu$ について和）と書きます。付録 A-01 の作用の形で、ここでは結合 $g$ を作用の前に出し、$F$ には含めない書き方をとります。$\hbar=c=1$ で質量の次元を $[\,\cdot\,]$ と書くと（導き方は 2-04・1-12）

で、四次元だけ古典の作用に長さの尺度がありません。古典の定数から質量を組めないので、ギャップは量子効果で生まれる尺度 $\Lambda$ の定数倍 $\Delta=C\Lambda$（$C$ は無次元の定数）になると期待されています 物理。問題文 §6.6 の 'the mass gap is not classically visible' はこの事情です（4-07）。次元 $d$ を連続に動かし、四で切り替わる他の量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

例。三次元では $[g^2]=1$ で $g^2$ 自体が質量の尺度になり、勘定の上では易しい側に入ります。Chevyrev（arXiv:2202.13359 §1.1）も 'The cases d = 2, 3 are considered substantially simpler than d = 4' と書きますが、同じ節で三次元の測度の構成は 'even on T3, remains open' です 既知。二次元は連続の測度が構成済み、四次元は未構成です（次元ごとの現在地は 6-10、誤解は 9-05）。

円周上の粒子では辞書がそのまま使えました。ユークリッドの側で作った理論から、辞書を逆にたどって時空の側の理論に戻る道を、この章では戻り道と呼びます。戻り道とは、正確には、ユークリッドの確率測度から OS の再構成で Wightman の公理を満たす理論（Hilbert 空間と $H\ge0$ をもつもの）を得ることです。ヤン–ミルズでは、その途中に関門が三つあります：観測量・正則化・体積。道の全体を並べると次のとおりです。

左端の正則化は、理論に最小の長さ（格子の刻み $a$ など）を入れて無限大が出ないようにしたものです。$T^4$ は各辺を周期的につないだ四次元の箱で、体積を有限にしておくためのものです。四次元の非可換ヤン–ミルズでは、どの矢印もまだ示されていません。問題文 §6 も $T^4$ の上の構成について 'while the construction is not complete' と書きます。二次元では、格子から平面 $\mathbb R^2$ の上の連続の測度までが通っています（6-02）。三つの関門は次のとおりです。

観測量。意味を持つのはゲージ不変な量、つまりゲージ変換（各点で群の元を選んで場を取り替える操作。3-01）で値の変わらない量だけです。局所的なものは $\operatorname{Tr}F_{ij}F_{kl}(x)$ のような合成の量です（問題文 §4）。Chatterjee（arXiv:1803.01950 §1）は Seiler を引いて 'the key observables in these theories do not take values at points, but at curves' と書き、Driver 1989 はウィルソンループが 'quite singular in d = 3 and especially d = 4' と述べます 既知。この関門は (11) のどの段にもかかわります。

正則化。(11) の左端の関門です。Wilson の格子は反射正値性を保ちますが、回転を 90° 刻みに落とします。問題文 §6.5 は、正則化で失った反射正値性を取り戻す方法は少ないと書き（引用は 0-03 §03）、連続の正則化を使った Magnen–Rivasseau–Sénéor 1993 も OS 正値性（反射正値性）は追加の仕事で示せると考える、にとどまります 既知。

体積。(11) の二本目の矢印の関門です。$T^4$ でも反射正値性があれば有限体積の Hilbert 空間と転送行列は得られますが、$\mathbb R^4$ の上でポアンカレ群の対称性をもつ理論には $T^4\to\mathbb R^4$ が要ります。問題文 §6 は 'Nor do present methods suggest how to obtain the existence of the infinite volume limit T4 → R4.' と書きます 既知。

例。三次元・四次元の非可換ヤン–ミルズでは、一意で非自明な連続極限はまだ示されていません（三次元は $T^3$ の上でも未構成。08 節）。(11) の最後の「?」が質量ギャップの本体ですが、ギャップは最後に一本だけ残る矢印ではありません。問題文 §6.5 は 'New ideas are needed to prove the existence of a mass gap that is uniform in the volume of space-time' と書き、続けて、体積によらない（箱をどれだけ大きくしても一様な）ギャップが示されれば $T^4\to\mathbb R^4$ の極限を調べられるようになるだろう、と見ています 既知。つまりギャップと体積の関門は絡み合っています（6-11・9-02）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-01 ベクトル空間と線形写像。この章の続きは 2-04・4-02・4-10・4-11。

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