2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 この端末の検討壁の一覧・五つの型

壁の一覧 — 記録が止まった二十一の場所を、型で分ける

この章で壁と呼ぶのは、記録のある方向が、ある道具で、構成の筋のある矢印の手前で止まった理由を一文にしたものです。矢印は 10-04 §01 の式です。

(S5) は $a^2C_P\asymp1$、(S4) は物理単位の質量ギャップ、$C_P=\sup_f\operatorname{Var}(f)/\mathcal E(f)$ は Poincaré 定数、$\xi_{\rm RG}=1/a$ は記帳が決める長さです。H↓ は $C_P\gtrsim\xi_{\rm RG}^2$、H↑ は $C_P\lesssim\xi_{\rm RG}^2$ で、10-03 の (3)（$\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ と鎖 (ii)(iii) を合わせた帯の文）の半分です（10-03 §03）。

型は五つです。原理（A）は不等式の向きから出て、道具の細部に依りません。構造（B）は、記録が選んだ族・記帳・級数の中で要求が両立しないか、その形からは出ない種類の主張であるもの（族の外は未決）。道具（C）は要る不等式の型は分かっているのに示す道具が無いもの。仮定（D）は条件つきの言明の足場。測定と文献（E）は数値・箱・一次資料で決まらなかったものです。

例。A1「試験関数は $C_P$ を下からしか押さえない」は測定を何回重ねても動かず、E2「取りこぼしのゲージ依存性が未測定」は一つの計算で動きます。型を分けるのは、この違いを見えるようにするためです。

表 1 は壁を型ごとに並べたもの、図 1 はそれを (1) の矢印の下に置いたものです。

図 1 は表 1 を描いたもので、計算は含みません。

図 1 の H↑ の列は A1・C1・C3・D3 で、測定と文献の壁（E）がありません。E は H↓・Σδ・η・(S4) の列に散っています。H↑ の手前には、測れば動く壁が無いということです。

A1 と A2 は同じ形です。$C_P$ は試験関数についての上限、隙間は状態についての下限なので、一つの試験関数・一つの演算子が与えるのはどちらも片側だけです。

$\Omega$ は真空、$H$ は転送行列のハミルトニアン、$m_{\rm eff}(k)$ は時間 $k$ の有効質量です。H↓ は「ある $f$」の言明なので試験関数で届きうる側、H↑ は「すべての $f$」なので届かない側です。分光では重み $\varepsilon$ の軽い状態を足しても相関は $\varepsilon$ しか変わりません Leanlight_admixture_invisible（仮定：正の重みの表示）。どちらも変分原理と有限の窓の言い直しです 既知。

例。標準正規分布では $C_P=1$ で、$f=x$ が等号です（1-10 §08）。$x$ を含まない族 $F_k=\operatorname{span}\{x^3,\dots,x^{2k+1}\}$ で比の最大 $\lambda_k$ を求めます。単項式一つなら

$1-\lambda_k$ はおよそ $0.87/\sqrt k$ で減ります（$k=1000,2000$ の数値の傾向）。どの $k$ でも $\lambda_k\lt1$ で、族の中の数だけでは 0.98 が最終の値か分かりません。1 だと分かるのは族の外の入力（$V''=1$ の凸性から $C_P\le1$）があるからで、H↑ に要るのはこの種の入力です。

寄り道：$x$ の係数は連続でない

構造の壁は記録が選んだ族の中の両立不能で、族の外については何も言いません。

演算子とゲージ固定の側（B1〜B3）

H↓ には比が $\xi^2$ 程度に伸びる試験関数が一つ要ります。尺度次元 $\Delta_O$ の局所演算子では、伸びの指数が次で決まります（相関の冪の形を仮定）。

この $\eta$ は演算子 $O$ ごとの静的な冪 $\eta_s(O)$ で、$\eta_{\rm dyn}$ とは別の量です（8-05 §02）。ゲージ不変な局所演算子の最低次元は 4（$\operatorname{tr}F^2$）です 既知。例：$d=4$ で $2\cdot4-2=6$ なので $\eta=2$、比は $\xi$ とともに伸びません Leaneta_ge_two_of_bounded_susc（仮定：感受率の有界性。相関の形と $\Delta=4$ から来る物理の仮定）。半径 $\xi$ まで均せば自由場では $\eta_{\rm eff}\to0$ に届きますが、費用が $cL^{d+2}$ で発散します（B3、10-05 §04）。ゲージを固定して長波長のモードを作ると、同じ汎関数が二役を兼ねる壁（B2）に当たります。B2 の数値はすべて四次元のコンパクト $U(1)$ で測ったもので、$SU(2)$ では測っていません。

記帳と級数の側（B4〜B7）

B4 は反射正値性と取りこぼしの両立です。段の尺度 $b$ を固定すると、取りこぼしは段ごとに同じ量ずつ溜まります。

$\delta(2)=0$ の核は一径数の族の中に在りますが（$\alpha_0=1.4400$）、隣接の重みが負です 計算。正値な核では $c_2\gt0$ です Leanc2_ge_of_nonneg_weights（仮定：$c_2$ が $S_2$ の増加するアフィン関数で $S_2=0$ で正、という測定）。$\delta$ と $c_2$ は一ループ核の模型の数です。B5：強結合の級数は極の近くで更新形 $G(p)=A/(1-K(p))$ になり、$\chi m_0^2=A/c_0$ が恒等式なので $\eta=0$ が構造的に出ます Lean（更新形の下。更新形になることは紙）。B6：完全な族の一リンク積分は一段しか作れません（定理 C）。辺の完全な族が $d\le4$ に限ることは格子の組合せで、時空の四次元とは関係のない一致です（10-04 の寄り道）。B7：記録の一段の写像は結合の数の列を運ぶもので、ループの期待値の収束 (S3) や回転の対称性 (S6) はその列の言明ではない、というのが記録の判断です。

例。B4 は「正値性を保つと別の要求が満たせない」形で、問題文が連続の正則化について言う「反射正値性を失うと回復の方法が少ない」（6-11 障害 5）と向きが逆の同じ緊張です。

H↑ は $C_P$ の上界です。上界を出す道具は型が限られ、記録が試したものはどれも別の場所で止まりました。代表の二つです 既知。

左は測度 $e^{-U}$ の曲率の下界から（1-10 §08）、右は一次元でだけ計算できる量 $B$ から $C_P$ を挟みます（10-06 §07）。

例。曲率の定理が在る $\beta\lt0.2722$ では相関長は一格子間隔の 1/10 程度です（10-01 §06）。分光が使う $\beta=2.60$ では $am(0^{++})=0.514(8)$ で相関長は $1/0.514=1.95$ 格子間隔です 物理。二つの $\beta$ は約 9.6 倍離れていて、そのあいだを一様に渡る評価が C1 の中身です。C4 は数学の障害ではなく、検査の道具の不足です。

H と鎖 (ii)(iii) を合わせた帯の文 $a^2C_P\asymp1$ は三つの比の積に割れ（10-03 §05）、中心の同値は H のほかの足場にも立っています。

$\lambda_1=1/C_P$ は Langevin 力学の隙間、$\sigma$ は弦張力、$m$ は最も軽い状態の質量です。右は Leandrain_exponent・drainExp_eq_zero_iff（仮定：$C_P\asymp\xi^{2-\eta}$ と $\xi_{\rm phys}\propto a^\theta$ の冪の形）。各仮定を第 1〜8 部の概念に当てたのが表 4 です。

例。(8) の積は、三つの比がどれも有界なら $a^2C_P$ も有界、という向きにだけ使えます。帯の文には $C_P$ の正規化も要ります。リンクの角度で書いた Dirichlet 形では帯の読みの下半分が自由近似で対数的に破れるので（8-05 §03）、H を冪の水準で置き、定数の帯は正規化を名指しした別の仮定 $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$・$\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_A]$ に分けるのが記録の整理で、この本の約束です（10-03 の八つの読み）。

E の壁は計算か入手で動きますが、動いても矢印の論理は変わりません。代表は箱の大きさで、物理の長さ $1/\sqrt\sigma$ を何個含むかを $L\sqrt\sigma$ で測ります。

計算（$a\sqrt\sigma$ は Lucini–Teper 2001 表 1 物理）。どちらも 3 未満の小さな箱です。記録の $12^3$ の上界は $\beta=2.55$ で一次資料の $20^4$ の値 0.586(10) より下の 0.531(50) に出ましたが、箱が違うので矛盾ではありません（10-05 §06）。$8^4$ の周期の箱は $\beta\gtrsim2.45$ で小さな箱の相に入り、$\xi^2$ が定義できませんでした。E4 の一次資料では、取得できた動的指数の資料が $SU(3)$・HMC 型だけで、Bałaban・Magnen–Rivasseau–Sénéor・Osterwalder–Seiler の原論文は書誌のみです。記録に書かれた次の一歩（物理体積を揃えた自己相関の測定、$C_P(V)$ の体積単調性など。10-04 §08）は、どれも H↑ を直接には押しません。

壁を「仮に動いた」とすると、どこまで届くか。記録に書かれた含意と定義だけを使い、届くのに要る壁の極小の組を総当たりで数えます。逆向きや記録に無い含意は入れません。

$\mathrm H\wedge\mathrm{(ii)(iii)}$ は 10-03 の (3) の帯の文で、H↑・H↓ はその半分です。H↓ は三つの上界の積から同じ形で出ます。$T$ は局所化した $T(c,1)$・床・つなぎ目、$M$ は D2 の模型の仮定、$\eta_{\rm dyn}$ の行は冪の形の下での定義の言い換えです。

計算この図の極小の組はこの端末で計算した（(10) の閉包を 14 個の壁の全部分集合で調べた）。図の中でも同じ閉包をその場で計算する。

$4\times2\times2-2=14$ 組で、最も小さい組は五つの壁です（$\sum\delta$・$\eta$・$M$・H↑・H↓、または H↑ を (P) に替えたもの）。読み取れることは三つです。$\sum\delta\lt\infty$ と $M$ はどの組にも入ります。どの組にも H↑ の道が一つ入り、それは H↑ そのもの・(P)・三つの下界のどれかで、どれも「すべての試験関数」か「すべての状態」についての下界です。問題文の要求まで届くのは 14 組に極限の性質を足したものだけで、極限の性質を押す含意は記録にありません（B7）。これは論理の数え上げで、数学の新しい内容を含みません。

記録の壁を、世界の側の障害（6-11 表 4）と課題（9-04 表 1）に重ねます。

最後の行は語の注意です。H↓ は質量のある自由場でも満たされるので、問題文の非自明性とは呼びません（正本は 10-10 §05）。出題者が「新しい考えが要る」と書いたのは体積に一様なギャップの側で（Jaffe–Witten §6.5：'New ideas are needed to prove the existence of a mass gap that is uniform in the volume'）既知、表 6 の一行目、つまり記録で測定の動かない壁が集まった所と同じ場所です。

壁に見えて壁でなかったもの

止まる理由と思われたが、調べると別の所に移ったものが四つあります。(1) ゲージの零モードが体積とともに $C_P$ を汚す心配は、素のリンク角で比が厳密に 1 になることで消え（Haar 測度の不変性。計算は $U(1)$ で書かれている）、代わりに境界条件が効くことが分かって D3 に移りました。(2) $k$ リンク積分の曲率は、二リンクの補正が $\beta^3$ の大きさで障害ではありませんでした（強結合の展開の中）。(3) 管のエントロピーは冪を変えず、効くのはエネルギーとの打ち消しの残り（欠損）でした（C2 に移った）。(4) 「非可換性 $\kappa\gt0$ が必須」は、三次元の $\mathbb Z_2$ が可換でも一尺度を満たす例で訂正され、要るのは「第二の小さな径数を禁じる入力」になりました（7-12 §09）。

この章が言えている範囲

出典と再現

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