2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論繰り込み群

繰り込み群の段の列 — 尺度を一段ずつ積分し、小さい場と大きい場に分けて進む

段 3 で示したいのは、期待値が格子間隔 $a$ によらず有界であることでした（6-01 の式 (8)）。四次元のヤン–ミルズでは、漸近自由（4-06）により細かい尺度で結合 $g$ が小さく、粗い尺度で $O(1)$ になります。どの尺度にも小さな数はあるが、全尺度に共通の小さな数は無い。そこで尺度を一段ずつ積分します。

倍率 $L$ の変換を $K$ 回重ね、各段ではその尺度の結合だけを小さな数として使います（$L$ は 6-01 の箱の大きさとは別物、$a_0$ は固定）。段 $k$ の後の重み（有効密度）を $\rho_k$ とすると $Z=\int\rho_0=\int\rho_1=\cdots=\int\rho_K$ です。問題文はこの変換を「大きい運動量の自由度を積分し、尺度を戻す」と説明し（JW §6.5）、Bałaban 1985 の序文は K. Wilson の提案した形に従うと書きます。既知

例：$L=2$、$a_0=1$、$a=2^{-20}$ なら $K=20$。$a$ を半分にするたびに段が一つ増えるので、示すべきは $K$ によらない評価です。

一段では、粗い格子の変数を決め、その値を保つように細かい変数を積分します。スカラー場で書くと、一辺 $L$ 点のブロック $B(y)$ の平均が (2) で、Bałaban の方法を解説した Dimock は平均をガウスの重みで緩く固定します（$\alpha\gt0$ は任意、$N$ は積分を保つ定数）。

そのあと格子を単位の間隔に縮め、場を掛け直して $\rho_{k+1}$ とします（Dimock I の (26)(27)）。既知

例：二次元の $U(1)$ で見ます。$U(1)$ の元は角 $\theta$ で $e^{i\theta}$ と書けます。格子の単位正方形 $p$ をプラケットと呼び、その四辺の変数を向きに沿って順に掛けた積を $U(\partial p)=e^{i\theta_p}$ と書いて、$\theta_p$ をプラケットの角と呼びます（5-01 §03）。各プラケットに重み $e^{\beta\cos\theta_p}$ を置くのが Wilson 型の作用です（$\beta$ は格子の逆結合で、大きいほど結合は弱い。§06 の β 関数とは別の量）。自由境界の二次元ではプラケットの角が独立で（6-02 §02）、$2\times2$ のブロックの角は四つの角の和です。独立な角の和では、分布のフーリエ係数が各々の係数の積になります。一つの角の係数

を使うと、ブロックの角の係数は一段で $c_n(\beta)^4$ になります。$I_n(\beta)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{in\theta}e^{\beta\cos\theta}\,\mathrm d\theta$ と置けば $c_n=I_n(\beta)/I_0(\beta)$ で、$I_n$ は変形 Bessel 関数と呼ばれる特殊関数です。一段の後も Wilson 型なら、$c_1$ で決めた $\beta'$ で $c_2$ も合うはずです。

計算表 1　二次元 $U(1)$・Wilson 型の一段（$L=2$）。$\beta'$ は $c_1(\beta')=c_1(\beta)^4$ で決めた値、ずれは $c_2(\beta')/c_2(\beta)^4-1$。

合いません。一段で作用の形が変わり、新しい項が生まれます。計算 重みをはじめから係数が $c_n=e^{-n^2/2\beta}$ になるものに取ると、$c_n^4=e^{-n^2/(2\cdot\beta/4)}$ で、形は厳密に保たれます。この重みは円周上の熱核（Villain 型とも呼ばれる）で、分散 $1/\beta$ の正規分布の密度を $2\pi$ ずつずらして足し合わせた円周上の分布、つまり正規分布を円周に巻きつけたものです（6-02 §04）。一般には主要な局所項を追い、残りを塊 $X$ ごとの補正 $E_k(X)$ にまとめます（Dimock I の (105)(108)。6-04 のポリマーの形）。既知

重みがガウス型（自由場）なら (3) は何段でも閉じた形で書けます。$k$ 段後の密度は、粗い値 $\Phi$ を与えたとき細かい場の作用を最小にする配位 $\phi_k$——極小配位、または背景場——で決まります（Dimock I の (45)〜(52)）。

$\Delta$ は格子のラプラシアン（質量ギャップの $\Delta$ とは別）、$Q_k$ は $k$ 段分の平均、$Q_k^{\mathsf T}Q_k$ はブロックの上で定数な関数への射影、$\bar\mu_k$ は質量の二乗、$\alpha_k=\alpha(1-L^{-2})/(1-L^{-2k})$（Dimock I の (32)）は $k$ 段分の重みをまとめた定数です。極小配位からの揺らぎはガウス変数で、積分すると定数 $Z_k$ を残します。要は $G_k$ の局所性です。$\bar\mu_k$ が 0 に近くても平均に掛かる項が質量の役を果たし、$x$ が立方体 $\Delta_y$ に、$f$ の台が立方体 $\Delta_{y'}$ にあるとき（$\Delta_y$ は一辺 $M=L^m$ の大きい立方体、$d(y,y')$ はこの立方体を単位に測った距離）

が成り立ちます（Dimock I の (85)。そこでは $\gamma=\tfrac12\gamma_0$。文献は Bałaban, CMP 89 (1983) ほか）。既知 質量の無い $(-\Delta)^{-1}$ は二次元では距離の対数でしか変わりません。

例：二次元の周期格子（一辺 32 ブロック）で $(-\Delta+\ell^{-2}P)^{-1}$（$P$ は一辺 $\ell$ のブロックの平均への射影）を、ブロック単位の距離 $r$ で並べました。

計算表 2　$G(r)/G(0)$。最下行は $r=4$〜$12$ の値に $e^{-\gamma r}$ を当てはめた $\gamma$（一ブロックあたりの減衰率）。右端は全体に質量 $\ell^{-2}$ を入れたもの。

減衰率は一ブロックあたり約 1.1 で、$\ell$ にほとんどよりません。制約はブロックの平均にしか掛からないのに、全体に質量を入れた場合（同じ当てはめで $\ell=2,4,8$ について 1.055〜1.064）と同程度で、やや速いくらいです。段によらないこの局所性が、各段でクラスター展開（6-04）を使える理由です。計算

摂動の形の解析は場が小さいときしか使えません。Bałaban の方法の特徴は、各段で格子を小さい場の領域 $\Omega$ とその外に分け、すべての分け方について和を取ることです（Dimock II §1）。

$\chi$ は $\Omega$ で小さい場の条件が成り立つこと、$\zeta$ は $\Omega^{c}$ の各立方体で条件がどこかで破れることの指示関数です。Dimock I の序文（§1.1）の言葉では 'The large field region is treated crudely but makes a small contribution due to the fundamental stability of the interaction'。次の段は前の段の小さい場の領域の中で分けるので、$\Omega_1\supset\Omega_2\supset\cdots$ と減っていきます。既知

ゲージ場では条件をプラケットに置きます。Bałaban 1985 は最初の段（裸の結合 $g_0$）で、各プラケット $p$ に

を課し（$c$ は十分大きい定数）、破れたプラケットから十分離れたブロックの和を小さい場の領域とします（同 p.256–257 の (4)(7)。記号は本書に合わせた）。既知

大きさの感じを、目安として見積もります。重みはおおよそ $e^{-|U(\partial p)-1|^2/g^2}$ なので典型的な大きさは $g$ 程度、閾値はその $p(g)$ 倍です。すると大きい場は、目安として $e^{-O(1)\,p(g)^2}$ 程度の因子を運びます。これは $g$ のどの冪よりも速く小さい。スカラー場の解説では、大きい場の立方体一つごとに $e^{-O(1)\,p_0^2}$ の因子が出ると書かれています（Dimock II §1。そこでの $p_0=(-\log\lambda_0)^{p}$ は閾値の大きさで、(7) の指数 $p_0$ とは別の記号）。既知 例：$c=1$、$p_0=3$、$g=0.1$ で $p\approx36.0$。$O(1)$ を 1 とすると $e^{-p^2}\approx e^{-1298}$ で、$g^{10}=e^{-23}$ と桁違いです。計算

計算この図の数値はこの端末で計算した（32×32 の標準正規の標本を約 0.1 刻みで埋め込み、角 $\theta_p=z_p/\sqrt\beta$ とブロックの和はその場で計算）。

計算表 3　図 1 の標本（$\beta=64$、$\varepsilon=0.5$。段 0 は 0/1024）。「厳密」は分散 $4^k/\beta$ の巻きつけた正規分布での確率。

図の模型は §02 の熱核型で、段 $k$ の有効結合は厳密に $\beta_k=\beta/4^k$ です。二次元では結合が段ごとに強まり、閾値を固定すると数段で大きい場が埋めます。結合が $O(1)$ になる前に止める所が (1) の $a_0$ です。四次元の強まり方はずっと遅い（§06）。

ゲージ場では三つが加わります。既知 (i) 群の元は拡大縮小できない。Bałaban 1985 は 'we use improvement of regularity properties of typical gauge fields instead of non-existing scalings' と書きます。(ii) 群の元は足して割れない。粗い辺の変数は細かい辺の変数から作りますが、群の元の平均は群から外れます。平均の作り方そのものが一篇の主題です（Bałaban, CMP 98 (1985) 17–51、書誌のみ）。電荷を持つ場なら、道に沿った位相を掛けてゲージ共変に平均します（Dimock の QED の論文の式 (20)）。(iii) ゲージは局所的に、尺度ごとに選ぶ。$U=e^{igA}$ と書いて展開するにはゲージを固定する必要がありますが、大域的に連続な選び方は存在しません（Singer 1978、3-04・4-08）。格子では群がコンパクトなので $Z$ の定義にゲージ固定は要らず、要るのは局所的な選択だけです。問題文によれば、ゲージは時空の場所と尺度ごとに選ばれ（'phase cells'）、段とともに紫外のゲージから赤外のゲージへ選び直されます（JW §6.5。三次元の仕事の説明）。

局所的である理由は初等的です。行列 $A$ の作用素ノルムを、ベクトルを最も伸ばす倍率 $\|A\|=\max_{|v|=1}|Av|$ で定めます。ユニタリ行列は長さを変えないので $\|U\|=1$ です。ユニタリ行列 $U,V,W$ について

です（前者は $UV-1=U(V-1)+(U-1)$ と $\|U(V-1)\|\le\|U\|\,\|V-1\|=\|V-1\|$ から、後者は $W$ も $W^{-1}$ も長さを変えないことから）。紙 ゲージ変換でプラケットの変数は $WU(\partial p)W^{-1}$ の形に変わるので、後者から、作用素ノルムで測った条件 (7) はゲージ変換で変わりません。二次元の一辺 $\ell$ のブロックで縦の辺と底の横の辺を 1 にする（完全軸性ゲージ）と、高さ $y$ の横の辺は真下の $y$ 枚のプラケットの変数の逆の積なので、(8) を繰り返し使って $\|U_b-1\|\lt\ell\,\varepsilon_1$ です。紙 例：$\varepsilon_1=0.05$ なら $\ell=8$ で 0.4 以内。$\ell=64$ では 3.2 で、常に $\|U-1\|\le2$ だから何も言いません。ゲージが効くのはブロック程度の範囲です。

段ごとに変わる主なものは有効結合 $g_k$ です。四次元では一ループの走り（4-06 §01 の β 関数 $\mu\,\mathrm dg/\mathrm d\mu=-b_0g^3+O(g^5)$、$b_0=11N/48\pi^2$ を積分した $1/g^2(\mu)=1/g^2(\mu_0)+2b_0\ln(\mu/\mu_0)$。物理の側からの同じ式は 7-01 の式 (2)）を段に刻むと

で、粗くするたびに一定量ずつ強まります。三次元では $g^2$ が質量の次元を持ち、段 $k$ の無次元の結合 $g_k^2=g^2L^ka$ は細かい側で幾何級数的に小さい。既知

ここからは式 (9) だけを使った目安の議論で、Bałaban の評価そのものではなく、定理の水準の主張でもありません。違いは足し算に出ます。一段ごとに $g_k^2$ 程度の補正が出るとすると、三次元の $\sum_kg_k^2$ は有限ですが、四次元では $g_k^2\approx1/(2b_0\ln L\cdot(K-k))$ で和が段数の対数で増え続け、誤差として積むことができません。その大きさの補正は結合の走りそのものに繰り込んで追う必要がある、というのがこの目安の示すことです。残りが $g_k^3$ 程度なら和は収まります。四次元への拡張の論文（Bałaban, CMP 109 (1987)。JW の文献表による）の題は 'a coupling constant renormalization in 4D' を含みます。既知

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (9) の部分和。表 4 と一致）。

計算表 4　$SU(3)$、$L=2$、右端で $g_K^2=1$。$g_0^2$ は最も細かい段の値。

例：右端の $g^2=1$ から最も細かい段で $g^2=0.1$ にするには、$SU(3)$ で約 93 段（$a\approx9\times10^{-29}$）、$SU(2)$ で約 140 段。$\sum g_k^2$ は $K$ を倍にするたびに約 7.2 増え、$\sum g_k^3$ は約 21.2 に、三次元の $\sum g_k^2$ は 2 に収まります。計算

証明は段 $k$ についての帰納法です。仮定は「$\rho_k$ が決まった形と評価を満たす」こと。形は、小さい場の領域での主要な作用、塊 $X$ に局在し指数的に小さい補正 $E_k(X)$、大きい場の領域の和、からなります（Dimock II §1）。一段 (3) の後も同じ形と評価が成り立つことを示し、定数が $k$ と $a$ によらないことが要です。三次元の論文の主定理の評価は次の形です（Bałaban 1985 の (5)。記号は本書に合わせた）。

$A$ は Wilson の作用、$U_k(U)$ は極小配位、$\chi$ は小さい場の条件の指示関数、$|T_k|$ は段 $k$ の格子の点の数で、$C$ は $a$ にも $k$ にもよりません。積分すれば分配関数の $a$ に一様な上下界が出ます（同 (6)）。四次元では 1989 年の論文が 'If the sequence of the effective coupling constants is contained in an interval ]0, γ] with a sufficiently small positive γ' という仮定のもとで、四次元の紫外安定性を主定理（Theorem 1）として述べています。既知

例：三次元の $\phi^4$ では Dimock の Theorem 1 が同じ型で、相殺項を選べば $e^{-c\,\mathrm{Vol}}\le Z/Z_{\mathrm{free}}\le e^{c\,\mathrm{Vol}}$ が紫外の切断と体積によらず成り立ちます（6-03 §06）。

Magnen–Rivasseau–Sénéor（MRS 1993）は、連続の運動量の切断で四次元の $SU(2)$ を扱いました（赤外の切断つき・自明な位相セクター）。大きい場では軸性ゲージ、小さい場では背景場に依存するゲージを使い、切断が壊すゲージ不変性を相殺項で戻します。序文は、この論文が詳細な証明を与えていないことを明記しています（'we do not provide a detailed proof'）。Bałaban の結果への序文の評は §07 の SEAM で見ました。既知 格子から始める利点は、ゲージ不変性と反射正値性が保たれることです（JW §6.5、5-03）。代わりに、壊した回転対称性を極限で戻す課題が残ります（6-01 の段 5）。

止まる場所は (1) の右端で、$a_0$ より長い尺度には展開の足場がありません。MRS は赤外の切断を外さない理由を 'this would lead to large values of the coupling constant, and presumably to so-called non-perturbative effects corresponding to confinement' と書き、問題文は体積に一様なギャップには新しい考えが要るとします（JW §6.5）。例：図 2 で $K$ を増やしても、右端の $g_K^2=1$ は動きません。右端の先に段を足す方法は、この章の道具に含まれていません。続きは 6-10・6-11。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性（この方法が最初に使われた場所で、何が示され、何が未構成か）。

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