2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論U(1) と非可換

U(1) と非可換の違い — 同じ格子でも、可換な群は途中で相が変わる

Wilson の格子（5-01）はどのコンパクト群でも同じ形です。辺に群の元を置き、プラケットの四辺の積に重みを付けます。$U(1)$（2-03 §08）では辺に角度 $\theta_\ell$ が載り、積は角度の和 $\theta_P$ になります。$SU(2)$ では $2\times2$ の行列 $U_\ell$ が載り、積は行列の積 $U_P$ です。

$\beta$ の規約は古典的な連続極限で Maxwell・Yang–Mills の作用に戻るように決めたものです 既知。$U(1)$ の $\beta=1/g^2$ は、$SU(N)$ の $\beta=2N/g^2$ に $N=1$ を入れた $2/g^2$ ではありません。生成元の規格化が違うためです（$U(1)$ は辺に $e^{-iagA_\mu}$（符号は 5-01 の (2) と同じ）、$SU(N)$ は $\mathrm{tr}\,T^aT^b=\delta^{ab}/2$）。$U(1)$ では $\theta_P\approx -a^2gF_{\mu\nu}$ と $1-\cos\theta_P\approx\theta_P^2/2$ から作用はおよそ $\frac{\beta g^2}4\sum_x a^4\sum_{\mu,\nu}F_{\mu\nu}^2$ となり、Maxwell の $\frac14\int F^2$ に一致させると $\beta=1/g^2$ です。違いは式の形に出ています。$\theta_P$ は辺の角度の一次式（格子の回転）で、$U(1)$ の作用の非線形性は $\cos$ の周期性、つまり群がコンパクトなことだけです。$SU(2)$ で $U_\ell=e^{i\vartheta_\ell\cdot\sigma}$ と書くと、$U_P$ の指数には交換子 $[\vartheta,\vartheta]$ の項が入ります（1-03）。これが格子の上の自己相互作用です（3-02）。例：四辺の角度が $0.1,0.2,0.3,0.4$ なら $\theta_P=-0.4$ で、足す順は効きません。$SU(2)$ で $A=e^{0.3i\sigma_1}$、$B=e^{0.3i\sigma_3}$ とすると、$\tfrac12\mathrm{tr}(ABA^{-1}B^{-1})=0.9847$、順を替えた $\tfrac12\mathrm{tr}(ABB^{-1}A^{-1})=1$ です 計算。$U(1)$ なら角度の和はどちらも 0 です。ただし巡回的な並べ替え（$BA^{-1}B^{-1}A$ など）では $\mathrm{tr}\,XY=\mathrm{tr}\,YX$ により値は変わりません。

$\beta$ が小さい側では二つの群は同じように振る舞います。5-02 の指標展開の変数 $u$ は

で（$I_n$ は変形 Bessel 関数）、$u\lt1$ なのでどちらも面積則です。例：$U(1)$ の $\beta=0.5$ で $u=0.2425$・$\sigma\approx1.417$、$\beta=1$ で $u=0.4464$・$\sigma\approx0.807$ 計算。小さい $\beta$ の面積則と指数減衰は、任意のコンパクト群で定理です（Osterwalder–Seiler 1978）既知。格子が粗いことの性質で、非可換性を使いません（5-02 §08）。

違いは数値の係数にだけ出ます。$\beta\to0$ では $u_{U(1)}\approx\beta/2$、$u_{SU(2)}\approx\beta/4$ なので、$\sigma\approx-\log u$ はどちらも $\log(1/\beta)$ の形で大きくなり、差は定数 $\log2$ です。$\beta=1$ では $u_{SU(2)}=0.2402$・$\sigma\approx1.426$ で、同じ $\beta$ の $U(1)$（$\sigma\approx0.807$）より大きく出ます 計算。(1) の規約が群ごとに違うので、同じ $\beta$ どうしの大小に意味はあまりありません。効いているのは、どちらも同じ形の面積則になることです。

$\beta$ が大きいと重みは $\theta_P\approx0$ を求め、$1-\cos\theta_P\approx\theta_P^2/2$ とすると作用は二次式です。$\theta_P$ が一次式なので、これは相互作用の無い格子の Maxwell 場（光子）です。

(3) の右の式は、ゲージを一つ固定したときの形です（Feynman ゲージ、4-08）既知。ゲージ不変な量（Wilson ループ）はこの選び方に依りません。

$\hat k\to0$ で $1/\hat k^2$ が発散するのが「質量ゼロ」で、場の強さの相関は冪 $|x|^{-4}$ で減ります 既知。

一点あたり物理の自由度は 3 つ（辺 4 本からゲージの 1 つを引く）、プラケットは 6 枚です。ガウス積分 $\int x^2e^{-x^2/2}dx\big/\int e^{-x^2/2}dx=1$ から、二次の作用 $\frac\lambda2x^2$ を持つ一つのモードの作用の平均は $1/2$ です（等分配）。したがって $6\cdot\tfrac\beta2\langle\theta_P^2\rangle=\tfrac32$、すなわち

です（$SU(2)$ は生成元が 3 つ）。例：$U(1)$・$\beta=2$ で $0.875$、モンテカルロは $0.865$（表 2）計算。

静的な電荷の間の力

$R\times T$ の Wilson ループは、静的な電荷の対を時間 $T$ 置いた振幅です。ガウスの場では閉じた形で書け、$T\to\infty$ で

が残ります 既知。$G_3$ は三次元の格子の Green 関数で、遠方で $1/(4\pi R)$。したがって $V$ は Coulomb の形で、有限の値 $G_3(0)/\beta$ に止まります。閉じ込めません。$G_3(r,0,0)=\int_0^\infty e^{-6t}I_r(2t)I_0(2t)^2dt$ で計算して $G_3(0)=0.252731$ です 計算。$R=1$ の $1/6$ は $6G_3(0)-6G_3(1)=1$ による検算です。

計算この図の数値はこの端末で計算した（実線は 表 1 の計算、破線は $I_1/I_0$ の級数をその場で計算）。$\beta\approx1$ の近くではどちらの近似も使えません（§04）。

有限の正方形 $R\times R$ でも、$64^4$ の周期格子で Fourier 和から $-\beta\log\langle W\rangle$ を求めました。$R=1,4,8,16$ で $0.250,\ 1.631,\ 3.584,\ 7.557$：面積 $R^2$ で割ると $0.250\to0.030$ と 0 に向かい、周長 $4R$ で割ると $0.063,\ 0.102,\ 0.112,\ 0.118$ とほぼ一定に落ち着きます（周長則）。周長あたりの値は $R\to\infty$ で $G_3(0)/2\approx0.126$ に近づきます（長い長方形の極限と同じ）。その近づき方は $1/R$ と角の対数の補正です計算。

近似をやめても同じ絵が残ることは、$U(1)$ では定理になっています。ただし定理は Villain 型の作用についてのものです（Guth の要旨）。Villain 型は $e^{\beta\cos\theta}$ の代わりに周期的なガウス $\sum_{n}e^{-\frac\beta2(\theta+2\pi n)^2}$ を重みにした作用です。Fröhlich–Spencer の要旨には作用の型が書かれていません（本文は未入手）。(2)(4)・表 2・図 2・下の $\beta_T$ は Wilson 作用 (1) の数値です。

定理の論理は短く、弦張力が小さい $\beta$ で正、大きい $\beta$ で 0 なら、$\sigma(\beta)$ は解析関数ではありえません。解析関数は区間で 0 なら至る所 0 だからです。熱力学の量が解析的でない点が相転移です（2-08 §04）。

後半を示したのが Guth（1980）で、Villain 型の作用で、$g^2\lt0.168$ のとき Wilson ループの下界が “has the form of a Coulomb interaction and guarantees that electric charges are not confined”（Coulomb 相互作用の形で、電荷が閉じ込められないことを保証する）と示し、Osterwalder–Seiler の強結合の結果と合わせて “this model has at least one phase transition”（この模型には少なくとも一つの相転移がある）と結論します（要旨） 既知。

Fröhlich–Spencer（1982）の要旨は “We give a new, elementary proof for the existence of a deconfining transition to a massless (QED) phase in the four-dimensional U(1) lattice gauge theory”（四次元の U(1) 格子ゲージ理論で、質量ゼロ（QED）の相への非閉じ込め転移が在ることの、新しい初等的な証明を与える）です 既知。Chatterjee（2018）§4 は “A fully rigorous proof of Guth's theorem”（Guth の定理の完全に厳密な証明）と紹介します。

連続極限への収束 — Driver

Driver（1987）の要旨は連続極限を扱います。“compact U(1) lattice gauge theory with general energy function converges to a renormalized free electromagnetic field on the current sector as the lattice spacing approaches zero”（一般の作用のコンパクトな U(1) 格子ゲージ理論は、格子間隔を 0 にすると、電流の部分で繰り込まれた自由な電磁場に収束する）に、条件 “provided the coupling constant is sufficiently large”（結合定数が十分大きければ）が付きます。Wilson 作用については “it is possible, by judicious choice of the Gibbs state, to get convergence for arbitrary coupling strengths”（Gibbs 状態をうまく選べば、任意の結合の強さで収束させられる）とあります 既知。「電流の部分（current sector）」は、場を滑らかな電流で均した観測量の範囲のことです。要旨の “coupling constant” が $\beta$ の側か $g$ の側かは、本文を読めていないため確かめていません。

数値で見る跳び

Wilson 作用での転移点は数値で $\beta_T=1.011128(11)$ と報告され、一次転移の証拠が挙げられています（Arnold ほか 2001、会議録。後続の会議録 hep-lat/0210010 の要旨も “strong evidence for a first-order phase transition”（一次転移の強い証拠）と書きます）物理。一次転移とは、プラケットの平均が $\beta_T$ で跳ぶ転移で、そこでは二つの相が共存しえます。共存しうるので、片方の相から始めた列はしばらくその相に留まり、$\beta$ を上げる列と下げる列で値が食い違います。これが履歴現象です。

この端末では $6^4$ の格子のメトロポリス法で、$\beta$ を上から下げる列（冷たい始まり）と下から上げる列（熱い始まり）を比べました（各 $\beta$ で 100 掃引を捨て 100 掃引を測定）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（点はモンテカルロで 表 2 はその抜粋、曲線は (2)・(4) をその場で計算）。

$U(1)$ では $\beta=0.98$〜$1.02$ で二つの列が食い違い、$\beta=1$ で差は $0.074$ です。それぞれの列が元の相に留まっている、と読めます（上の履歴現象）。$U(1)$ の転移は Creutz–Jacobs–Rebbi（1979）の数値でも見られています 物理。この表は小さな格子の短い列で、次数を判定する力はありません（5-07）。

表 2 の $SU(2)$ では、二つの列の差は最大 $0.007$ 程度で、$U(1)$ の十分の一ほどです。$\beta=1.8$ の差 $0.0069$ は表の誤差の約 3 倍ありますが、各 $\beta$ で 100 掃引しか熱化していない列どうしの差で、$\beta$ を変えても冷たい列と熱い列が系統的な二つの枝に分かれません（熱化の不足と跳びの見分け方は 5-07）。プラケットは $\beta\lesssim1.8$ で強結合の主項に沿い、$\beta\gtrsim3$ で弱結合の主項に近づき、その間を $\beta\approx2.2$ のあたりで滑らかにつなぎます 計算。

Creutz（1980）の要旨は、弦張力を固定して格子を細かくし、裸の結合が繰り込み群の予言どおり対数的に減ることを見て、“This supports the coexistence of confinement and asymptotic freedom”（閉じ込めと漸近自由が両立することを支持する）と書きます 物理。

交差のあたりの比熱の山は、随伴表現の項を足した作用の族で近くにある臨界の端点の “shadow”（影）だとされます（Bhanot–Creutz 1981）物理。相転移の有無は作用の選び方に依りうるので、連続極限とは切り離して考えます。四次元の $SU(2)$ で有限の $\beta$ に相関長が発散する点が無いことは信じられている文で、定理ではありません。Chatterjee（2018）§5 は “It is believed … βc = ∞”（$\beta_c=\infty$ と信じられている）と書きます（5-05 §01）。

$U(1)$ と $SU(2)$ を分けるのは、有効な結合が距離とともに変わるかどうかです（4-06）。一ループで

です。$C_A$ は随伴表現の Casimir 数で $SU(N)$ では $N$、$U(1)$ では 0 既知。右の式は間隔 $a$ で $g_0$ の結合を長さ $L$ で見た値です。

物質場の無いとき、$b_0$ は $U(1)$ で 0、$SU(2)$ で 0.04644、$SU(3)$ で 0.06966 です 計算。

$U(1)$ では $b_0=0$ なので、$\beta$ が大きければガウスの近似がすべての距離で自己無撞着で、§03 の Coulomb の力が遠方まで続きます。$SU(2)$ では、どれほど $\beta$ が大きくても $L$ を十分大きく取れば (8) の右辺は 0 に近づき、結合は強くなります。目安は $L\sim a\,e^{\beta/(4Nb_0)}$ で、5-05 §03 の $a(\beta)$ と同じ形です。有限の $\beta$ で相関長が無限大になる点が無い、というのが「$\beta_c=\infty$」です 物理。例：$SU(2)$ で、一ループでは $\beta$ を 1 上げると相関長はおよそ $e^{1/0.3715}\approx15$ 倍です（$4Nb_0=11/(3\pi^2)$）計算。これは一ループだけの目安で、二ループ以上の補正と、実際に使う $\beta$ の範囲での漸近スケーリングの破れは 5-05 で扱います。

群と次元を入れ替えた既知の例で、どの言い方が成り立たないかを並べます（9-05 §04 も参照）。

表 3 の「遮蔽」は Elitzur–Pearson–Shigemitsu の “screened” で、Wilson ループが周長則に従い、励起に質量がある相を指します。§05 の Debye 遮蔽（閉じ込めを生む側）とは別の意味です。同論文は、この相の並びを O(2) 模型の相の存在から、自己双対性と相関不等式で導いています（要旨）。数値では Creutz–Jacobs–Rebbi（1979）の要旨が $N\ge5$ で二つの転移を報告しています 物理。

効いているのは「非可換」だけではなく、群が連続であることです。ただし連続性が効くのは、十分大きい $\beta$ の端で質量ゼロの波が残るかどうか、という点です。有限群では辺の値が飛び飛びで、十分大きい $\beta$ では辺が単位元に凍りつき、光子のような質量ゼロの波が作れません 物理。一方で $\mathbb Z_N$（$N$ が大きい）には、中間の $\beta$ に質量ゼロの相があります（表 3 の 4 行目）。有限群の大きい $\beta$ の指数減衰は、連続の理論の隙間とは別物です（5-10）。$U(1)$ は連続なので質量ゼロの波を持ち、$C_A=0$ なのでそれが生き残ります。

(ii) は 5-09 の Problem 5.1 の形です。(i)(ii) はどちらも証明されていません。非可換性の役目は「隙間を作ること」ではなく「弱結合の質量ゼロの絵を遠方で壊すこと」と言うほうが正確です。

定理の側は、§02 の強結合の結果、§04 の Guth・Fröhlich–Spencer（Villain 型の作用）と Driver（要旨の条件つき）、§05 の Göpfert–Mack、表 3 の 1・3 行目と 4 行目の Guth・Fröhlich–Spencer です 既知。§05 の (7) と Polyakov、表 3 の 2 行目は物理の水準です。信念の側：四次元の $SU(N)$ で、有限の $\beta$ に相関長が発散する点が無いこと（$\beta_c=\infty$、Chatterjee §5）、すべての $\beta$ の面積則、連続極限で隙間が物理の単位で残ること 物理。作用によっては、相関長の発散を伴わない bulk な（格子の尺度の）相転移がありえます。$N$ が大きい $SU(N)$ の格子計算では、強結合の側にそのような転移があり、計算できる範囲を限ると報告されています（Lucini–Teper–Wenger 2005 の要旨）物理。これは $\beta_c=\infty$ と食い違いません。Chatterjee（2018）の Problem 4.1 は、四次元の非可換なコンパクト群ですべての $\beta\gt0$ の面積則を問い、大きい $\beta$ では “remains elusive” と書きます（5-02 §08）。

$U(1)$ の定理が教えるのは、群を区別せずに強結合の結果を弱結合へ延ばす議論は誤りだということです。$SU(N)$ で示すべきことは「相関長の発散と面積則の破れが有限の $\beta$ で起きない」という否定の文を含み、それを $\beta$ の全範囲で言う道具は今は強結合の側にしかありません（6-10・9-04）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-07 モンテカルロ法（表 2 を作った方法と誤差の見方）。

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