2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討理論の構成の筋

理論の構成の筋 — 八つの言明と、格子版の質量ギャップの正しい向き

第 10 部は、この端末が計算と Lean で確かめてきた検討の記録です。第 3〜7 部に既知として置いた結果は成果に数えず「第 N 部 §M と同じ」と書きます。この章は記録全体の筋です。

β は Wilson 作用 $S_W=\beta\sum_P(1-\tfrac12\mathrm{tr}\,U_P)$ の係数（5-01 と同じ）、$m_{\rm lat}$ は格子単位の質量、$\xi$ はゲージ不変な局所観測量の連結相関が $e^{-|x|/\xi}$ で減る長さです（4-11 §07 と同じ）。記録の定義を宣言します。

$\xi_{\rm RG}$ は格子を粗くする段の記帳が決める長さです（10-02）。第 3〜7 部との関係：$a$ は 5-05 の $a(\beta)$ の特殊化（一ループでは定数倍を除いて同じ、4-06）。$\Delta$ は 4-11 の隙間を格子から読んだもの（一致には (S3)(S7) が要る）。§05 の $C_P$ は 1-10 の Poincaré 定数で、4-11 の隙間とは別の時間の量。(S1)〜(S8) は 6-01 の段と 9-04 の K1〜K12 の組み直しです。

例。$\beta=2.60$ で $m_{\rm lat}=0.514$（Lucini–Teper）なら $\xi=1.95$ 格子間隔です 物理。$\Delta$ はこれを $a$ で割って初めて決まります。

問題文は、$\mathbb R^4$ の上の非自明な量子ヤン–ミルズ理論の存在と、質量ギャップ $\Delta>0$ を求めます。格子から入る道では、各 β の確率測度で先に体積を無限にし、次に $\beta\to\infty$（$a\to0$）とします（Chatterjee 2018 の順。有限の箱で先に $a\to0$ とする順もある、9-04）。

(2) は見取り図で、定理ではありません。(S5) は (2) に入らない、(S4) の言い直しです（§05）。

表 1　八つの言明と四次元での現状

例。(S4) の格子の半分は Problem 5.1 で、これに $a(\beta)$ の決め方を足すと (S4) になります（5-09）。(S8) の「非自明」は問題文の意味（0-03）で、物理単位の質量が有限に残ること（10-03 の (3) の H↓）とは別です。

八つは独立ではありません。「元が先の前提になる」矢印で書くと次のとおりです（この本の整理。$\mathrm H_{\rm band}$ の付いた矢印は、(S5) と同じ正規化で書いた帯の読み $\text{H}_{\rm band}$（10-03 の H の八つの読み）の下でだけ）。

四次元でも手にあるのは (S2) と (S7) です。反射正値性は各 β で成り立って弱極限で保たれ（5-03）、OS の定理は公理から量子論を作ります（4-10）。そこで「極限さえ取れれば残りは自動」と言いたくなりますが、問題文の脚注 2 は 'weak-existence (compactness)' を、極限の性質（'such as the existence of a mass gap and the axioms'）を別に示さない限り解と認めません（Jaffe–Witten） 既知。

四次元では $a\to0$ の部分列の極限を取る道具も、有限の箱で未公刊の定理を仮定した水準です（6-07）。

例。(S4) に入る矢印は三本で、(S5) からの一本だけが $\text{H}_{\rm band}$ の下の矢印です。(S3) に入るのが (S1) からだけなのは、体積を先に無限にする順だからです。

格子の上の「質量ギャップ」を「格子単位の隙間 $m_{\rm lat}(\beta)$ がすべての β で一定値以上」と読むと、連続極限では反対の意味になります。物理単位の質量は、格子単位の質量を格子間隔で割ったものだからです。

比喩で言えば、定規の目盛りを細かくしていっても、測る物がいつも目盛り数個分なら、物の実際の長さは 0 に縮みます。正確には、(5) の下では $\xi$ が有界で、物理単位の相関長 $a\xi$ が 0 に向かいます。(S4) が求めるのは反対に、$m_{\rm lat}$ が $a$ と同じ速さで 0 に向かうことです。

この向きは Problem 5.1 そのものです：'Show that for any β > 0, there exists some ξ(β) ∈ (0, ∞) such that … Moreover, prove that lim_β→∞ ξ(β) = ∞.'（Chatterjee 2018 §5） 既知 記録が出発点で行った「向きの訂正」はこれと同じで、成果に数えません。尺度の決め方は 5-09。

例。表 2 では弦張力 $\sigma$ を尺度にし、$a\sqrt\sigma$ を格子間隔とみなします。β=2.25→2.60 で $a$ は 3.16 分の 1、$m_{\rm lat}$ は 2.70 分の 1 になり、$\Delta/\sqrt\sigma$ は 3.3〜3.8 にとどまります。最後の列は $m_{\rm lat}$ が β=2.25 の値で止まった場合で、$a$ に反比例して増えます。

物理計算表 2　Lucini–Teper 表 1（$SU(2)$、格子 $8^4$〜$24^4$）から計算（誤差は独立として伝播）

$\Delta/\sqrt\sigma$ はおおむね増えて外挿値 3.844(61) に下から近づきます（β=2.475→2.55 で一度、誤差の内で下がる） 物理。窓は $\xi\lesssim2$ 格子間隔で、極限の存在を示すものではありません（9-05 §07）。

記録は (S4) を、格子の測度 $\mu_\beta$ の Poincaré 定数 $C_P$ で言い直しました。観測量の分散を、リンクの動きへの敏感さ（Dirichlet 形 $\mathcal E$）で割った比の上限で、リンクをランダムに揺すりながら作用の低い向きへ動かす Langevin 力学の、最も遅いゆらぎが均される時間です（1-10・7-12 §05）。

$\nabla_\ell$ はリンク $\ell$ の向きの微分、$A\asymp B$ は比が β に依らない正の定数で上下から押さえられることです。

この $C_P$ は経路の測度（時空のすべてのリンクの分布）の Poincaré 定数で、一つの時刻の真空の測度の Poincaré 定数とは別の量です。後者はハミルトニアンの隙間と厳密に同値で（基底状態変換、2-05 §08）、自由場では二つが $C_P(\text{経路})=4\,C_P(\text{時刻 0})^2$ で結ばれます 計算。リンクの角度で測るか場で測るかの正規化も値を変えます。

表 3′　三つの $C_P$（詳しくは 10-03 §01 の表 0）

以下、自由場の式は場の変数で測る正規化です。自由場では $C_P$ は共分散 $(-\Delta_{\rm lat}+m_{\rm lat}^2)^{-1}$ の最大固有値です（1-10 §09）。

自由場では (S4) と (S5) が同じことになり、一様な格子の隙間 $m_{\rm lat}\ge c$ は $C_P\le1/c^2$、つまり $a^2C_P\to0$ の側です 既知。

例。表 3 は $\Delta=1$ を固定して $a$ を小さくした計算です。$a$ を半分にするごとに $C_P$ は 4 倍、$\xi$ は 2 倍になり、$a^2C_P=1$、$a\xi\to1$ です。格子単位の質量を 1 に止めると $C_P=1$ のまま $\Delta=2^k$ が発散します。

計算表 3　四次元の格子の自由場（$C_P$ は $6^4$ の周期格子の固有値、$\xi$ は時間片の相関の減り方から読み、式と $10^{-13}$ 以内で一致）

計算この図の数値はこの端末で計算した（(8) をその場で描く模式図）。

相互作用のある理論で $C_P$ と $\xi^2$ が同じ冪で大きくなるかは仮定 H（10-03 の H）、定数倍の幅で揃うかは $\text{H}_{\rm band}$ の問いで、どちらも証明されていません。$\text{H}_{\rm band}$ が無ければ (S5) と (S4) は別の量の言明です。

寄り道：二つの時間

格子ゲージ理論の定理の多くは β が小さい側（強結合）にあり、示されるのは体積に一様な格子単位の隙間や Poincaré・対数 Sobolev 不等式、つまり $C_P=O(1)$ の側です。Shen–Zhu–Zhu（2023）は Langevin 力学で両不等式を示し、'the infinite volume measure has a strictly positive mass gap' と書きます 既知。条件を Wilson の β に直します。

このサイトの論文（論文の一覧）は、プラケットを一本ずつ含むリンクの族を先に積分し、Bakry–Émery の曲率条件が $\beta<\sqrt{2/27}=0.2722$ で成り立つことを示しました 紙（曲率の下界までは Lean、10-07）。論文自身が書くとおり、連続極限については何も言っていません。

例。表 4 は、これらの β の相関長を強結合展開の主項 $m_0=-4\ln u$、$u=I_2(\beta)/I_1(\beta)$（5-02）で見積もったものです。定理が在る所では $\xi$ は一格子間隔の 1/10 以下です。

計算表 4　定理が在る β と極限の側の β（$SU(2)$・$d=4$）

強結合の定理は (S1) を小さい β で与える大事な結果ですが、定数を改善しても β の範囲が有界なら (S4)(S5) には近づきません。記録はこれを「(S5) の反対側」と書きました（10-03）。

記録は連続極限への道を、格子を $b$ 倍に粗くする一段（6-05）の列として記帳しました（10-02）。一段の写像は次の形です。

$\kappa$ は一ループの係数 $b_0$（Gross–Wilczek・Politzer 1973、4-06）の書き直しです 既知。$\delta(b)$ は一段の取りこぼしで、一ループ核の模型で測った数です（非摂動の量ではない）。$k$ 段で $\ln(1/a_k)=\sum_j\ln b_j$、累計は $D_k=\sum_j\delta(b_j)$ です。記録は二つの冪を置きます。

$\theta$ は取りこぼしの溜まりの指数（$b$ 固定なら $\delta(b)/\ln b$）、$\eta$ は 8-05 で固定した $\eta_{\rm dyn}$ です。$0\le\eta\le2$・$\theta\ge0$ なら $p=0\iff\eta=0\wedge\theta=0$ で、(S5) は「$\eta=0$」と「取りこぼしが溜まらない」に割れます Lean（drain_exponent・drainExp_eq_zero_iff。仮定：(11) の冪の形と符号。示すのは $p$ の代数だけ。対応する既知は 5-09 の向き、物理側は 8-05）。

記録の言い方では「仮定 H（$\eta=0$、冪の水準、10-03）の下で (S4) ⟺ $\sum_k\delta(b_k)<\infty$」です。物理単位の長さは $e^{-D_k}$ の因子でずれるので、累計が収束すれば $\Delta$ は有限の因子しか動きません。この言明は H のほかに、(11) の冪の形（$\eta$ は導出した量ではない）、段の誤差を加法的で有界とするモデル（本物の段は非線形）、$\delta$ が模型の値であること、の上に立ちます。

例。表 5 は形だけの模式です（$\delta(b)=c/b^2$、$c=1$ は仮の値）。$b=2$ に固定すると累計は段数に比例して溜まり（$\theta=0.361$）、因子 $e^{-D_k}$ は 0 に向かいます。$b_j=j+2$ なら累計は $\pi^2/6-1=0.645$ に収束し、因子は 0.525 で止まります。記録は、$b$ 固定の列では $\delta(b)=0$ が要り、段ごとに大きくする列なら救える、と判定しました（10-02）。

計算表 5　取りこぼしの累計 $D_k$ と長さの因子 $e^{-D_k}$（模式。測った値は 10-02）

四次元でだけ総和可能性が問題になるのは、結合が無次元で、一段のずれ $x\mapsto b^{d-4}x+\varepsilon$ が $d<4$ では縮み $d=4$ では溜まるからで、標準の次元勘定と同じです 既知（4-04）。記録はここから「構築すべきは曲率の評価でも積分の技術でもなく、取りこぼし $\delta$ の族としての構造」という見立てを出しました。見立てであって定理ではありません。

記録の現在地は三層です。一段の側は記帳が書き切れました（10-02。$\kappa$ は既知、強結合の一段は Migdal–Kadanoff の近似再帰の一部に当たる〔条件つき〕、8-05 §09）。つなぐ側、つまり仮定 H と三つの鎖（10-03）と $\delta$ の族の構造は開いたままで、質量ギャップが正の側に当たる上半分 H↑（$\text{H}_{\rm band}$ の上の半分、$C_P\lesssim\xi^2$）には手がありません。測定の側は、有限個の測定から上界しか出ないという既知の枠組み（4-11 §04）に当たります。

(12) の最初の矢印は冪の水準（(11) の $p=0$）の文で、次の矢印には帯の読みが要ります。(12) のうち記録が手にしているのは最初の箱だけで、矢印はどれも証明されていません。世界の側では、紫外は有限の箱でも完結していません（6-07）。出題者が新しい考えを名指しするのは赤外です：'New ideas are needed to prove the existence of a mass gap that is uniform in the volume of space-time.'（Jaffe–Witten §6.5） 既知。三次元でも測度は未構成です（6-06）。

例。10-04 の方向の地図は、各方向が (12) のどの矢印を押したかを示します。閉じた方向の多くは「その道具ではこの矢印に届かない」と確かめた記録です。Lean の言明は 10-07、主張しないことは 10-10。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：10-02 一段の記帳。仮定 H と八つの読みは 10-03。

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