2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ付録用語集

用語集 — 本書の言葉を一行で引き、定義の章へ飛ぶ

各項は「見出し語」「1〜3 行の意味」「→ 定義を置いた章」でできています。並びは五十音順でなく本の部の順で、一つの項を読むのに要る言葉はたいてい少し上にあります。語で探すときは下の欄で絞り込めます（JavaScript が無いときはページ内検索で）。

本書の背骨は一つの式です。ハミルトニアン $H$ の真空のエネルギーを 0 とし、その次のスペクトルまでの距離を質量ギャップと呼びます（4-11 §01）。

この式を読むには「スペクトル」「ハミルトニアン」「真空」が要り、四次元のヤン–ミルズ理論で意味を持たせるには群から格子・反射正値性までが要ります。図 1 はその一本道です。

JavaScript が無くても、図の十二の箱と章番号はそのまま読めます。

表 1 は主な言葉が何章に出るかを数えたものです。「最初に出る章」は名前が出る章で、定義の章とは限りません。

計算この表の数はこの端末で数えた（下書きの本文から語を数える小さなスクリプト。章の改訂で数は動きます）。数えた 26 語から、出る章の数の上位 10 語（普通の日本語とも重なる「接続」を除く）と、この本の第 10 部の中心の 3 語（仮定 H・Poincaré 定数・動的指数）を載せました。

絞り込み

ヤン–ミルズ理論は、群の向きを場所ごとに比べる仕組み（接続）と、比べ方の食い違い（曲率）の理論です。第 1 部の前半はそのための言葉を用意します。要の式は、接続 $A$ から曲率 $F$ を作る一行です（幾何の書き方。物理の書き方との換算は A-01）。

例：群が $U(1)$（絶対値 1 の複素数）なら $A\wedge A=0$ で $F=dA$ となり、電磁気学の場の強さに戻ります（2-03）。$SU(2)$ では $A\wedge A\neq0$ で、これが場どうしの相互作用の出どころです。

群

積と単位元と逆元を持ち、積が結合的な集合。対称性（形を保つ操作）の集まりを抽象化したもの。→ 1-02

SU(2)・二重被覆

行列式 1 の 2×2 ユニタリ行列の群。長さ 1 の四元数と同じで、形は三次元球面。二対一で回転群 SO(3) に写る。→ 1-02

コンパクト単純群

有界閉な連結な行列群（コンパクトな連結リー群）で、リー環が可換でなく、0 と全体以外のイデアルを持たないもの（リー群の意味の単純。$SU(N)$ のように有限の中心があってよい）。問題文はゲージ群をこの中から任意に選ばせる。→ 0-03

リー群・リー環

滑らかに積が取れる群と、単位元での接空間に交換子 $[X,Y]$ を入れたもの。リー環は群の「無限小の向き」。→ 1-03

接続

隣り合う点のベクトルを比べる規則。ゲージ場 $A$ は接続である。→ 1-07

平行移動・ホロノミー

接続に沿ってベクトルを運ぶこと。閉じた道を一周して戻ったときの変化（群の元）がホロノミー。格子のリンク変数・Wilson ループの原型。→ 1-07

曲率

小さな輪のホロノミーの、面積に比例する主要部分。式 (2)。ゲージ理論の場の強さ。→ 1-07

ゲージ変換（幾何）

各点で基底を群の元で取り替えること。接続は $A\mapsto gAg^{-1}-(dg)g^{-1}$、曲率は $F\mapsto gFg^{-1}$ と変わる。→ 1-07

量子化したヤン–ミルズ理論は、虚時間では「場の配置の上の確率測度」として書けます。配置は無限個の数なので、無限次元の確率と、作用素のスペクトルの言葉が要ります。この部で最も多く使う不等式は Poincaré 不等式で、分散を「どれだけ揺らすと値が変わるか」で押さえます。

例：$\mu$ が実数直線の標準ガウス分布なら $C_P=1$ で、$f(x)=x$ のとき等号です（分散 1、微分の二乗の期待値 1）。既知 最良の $C_P$ の逆数は、$\mu$ を平衡にする拡散の隙間です（1-10）。

ガウス測度

平均と共分散だけで決まる測度。無限次元でも作れる最も基本の測度で、構成的場の理論は多くここから出発する。→ 1-08

無限次元にルベーグ測度は無い

$\ell^2$ のような無限次元の可分なヒルベルト（バナッハ）空間には、平行移動で変わらず有界集合に有限の値を与える測度は 0 しか無い。経路積分の「$\mathcal DA$」が文字通りには意味を持たない理由。→ 1-09

自己共役作用素・スペクトル

無限次元版のエルミート行列と、その「固有値」の集合（連続な部分も含む）。ハミルトニアンは自己共役で、スペクトルが実数。→ 1-10

変分原理（Rayleigh–Ritz）

スペクトルの下端（最小固有値があればそれ）は $\langle\psi,H\psi\rangle/\langle\psi,\psi\rangle$ の下限。試し関数を何本入れても上界しか出ない。→ 1-10

Poincaré 不等式・Poincaré 定数 $C_P$

式 (3) と、そこに入る最良の定数。値は $\mathcal E$ の正規化（何で微分するか）に依るので、章ごとに正規化を書く。→ 1-10

第 2 部の言葉は、量子力学と統計力学の二つの顔を持ちます。量子力学では「エネルギーの隙間」、統計力学では「相関の減る長さ」と呼ばれるものが、虚時間を通すと同じ量になります。これが本書全体を貫く読み替えで、式では、真空 $|0\rangle$ と励起 $|n\rangle$ を使った次の展開です（4-11 §02）。

例：$m=0.5$ なら $\xi=2$ で、$t=10$ 離れた相関は $e^{-5}\approx0.0067$ 倍に減ります。図 2 のつまみで隙間 $m$ を動かすと、左の準位の間隔と右の減り方が一緒に変わります。

計算この図と表の数値はこの端末で計算した（指数関数の値。図は同じ式をその場で描く）。隙間が小さいほど相関は遠くまで残り、$m\to0$ で相関長は無限大になります。これが「臨界」の姿です。

作用・Euler–Lagrange 方程式

道全体に一つの数を与える汎関数 $S$。古典的な運動は $S$ を停留させる道で、その条件が Euler–Lagrange 方程式。→ 2-01

状態・ハミルトニアン

状態はヒルベルト空間の単位ベクトル、ハミルトニアン $H$ は時間発展 $e^{-itH}$ を生む自己共役作用素でエネルギーを表す。→ 2-05

経路積分

すべての道について $e^{iS/\hbar}$（虚時間では $e^{-S}$）で重みを付けて足す、という量子論の書き方。→ 2-07

虚時間・Wick 回転

$t=-i\tau$ と置き換えること。振動 $e^{iS}$ が減衰 $e^{-S}$ になり、量子論が統計力学の確率になる。→ 2-07

相関関数・相関長

離れた二点の値の結び付きと、それが $e^{-r/\xi}$ で減るときの長さ $\xi$。式 (4) で隙間の逆数。→ 2-08

相転移・臨界点・普遍性

径数を動かすと、自由エネルギーなどが滑らかでなく（非解析的に）変わること。量が跳ぶものが一次転移、跳ばずに相関長が無限大になるものが連続転移で、その点が臨界点。臨界点では細部に依らない振る舞い（普遍性）が出る。→ 2-08

転送行列

虚時間の一歩分の重みを行列（作用素）にしたもの $T=e^{-H}$。最大固有値と次の比が相関の減り方を決める。→ 2-07

Langevin 力学・Glauber 力学

与えた測度を平衡に持つ、雑音つきの勾配の流れ（連続の場合）と、一点ずつ書き換える確率の力学（離散の場合）。理論の時間ではなく、標本を作るための仮の時間。→ 2-10

動的指数 z・臨界減速

緩和の時間が相関長の冪 $\tau\sim\xi^{z}$ で伸びるときの指数。臨界に近いほど力学が遅くなる現象が臨界減速。→ 2-10

第 3 部と第 4 部の言葉です。古典論は「曲率の二乗を最小にする接続」の理論で、量子化すると、古典論には無い長さの尺度が一つ生まれます。その尺度を表すのが $\Lambda$ で、一ループでは次の形です（4-07）。

例：$SU(3)$ では $11N/3=11$ です。$g^2$ を小さくすると $\Lambda$ は $e^{-1/g^2}$ の形で 0 に近づき、$g^2$ のどの冪の級数にも映りません。既知

古典

場の強さ

$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]$。最後の交換子が非可換の印で、場が自分自身と相互作用する。→ 3-02

ヤン–ミルズ作用

$S=\frac1{2g^2}\int\operatorname{tr}F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}\,d^4x$（ユークリッド・$g$ を $A$ に吸収した書き方）。四次元では尺度を変えても値が変わらない。→ 3-03

自己双対・インスタントン

$F=\pm*F$ を満たす接続（$+$ が自己双対、$-$ が反自己双対で、位相電荷の符号が逆）。作用を位相電荷の絶対値の定数倍まで下げきる、有限作用の解。代表が BPST 解（一点のまわりに大きさを持つ、位相電荷 1 の解）。→ 3-03

第二 Chern 数・位相電荷

$\frac1{8\pi^2}\int\operatorname{tr}F\wedge F$（反エルミートの書き方）。接続を連続に変えても変わらない整数。→ 3-05

ゲージ軌道空間・Singer の定理

ゲージ変換で移り合う接続を同一視した空間。非可換では、そこから接続を一つずつ連続に選ぶ方法が大域的には無い。→ 3-04

量子化

発散・正則化・繰り込み

ループ積分が短距離で無限大になること、それを一時的に有限にする切断、切断を外しても観測量が有限に残るよう結合を取り直すこと。→ 4-04

繰り込み群・β 関数

見る尺度を変えると有効な結合がどう流れるかの規則。流れの速さが β 関数 $\mu\,dg/d\mu$。→ 4-04

漸近自由

β 関数が負で、短距離ほど結合が弱くなること。純 $SU(N)$ では一ループの係数 $11N/3$ が効く。→ 4-06

次元転移・Λ

無次元の結合しか持たない理論に、量子化で長さの尺度 $\Lambda$ が一つ現れること。式 (5)。→ 4-07

ゲージ固定・Faddeev–Popov・ゴースト

同じ物理を表す接続を一つに絞る条件と、そのとき積分に現れる行列式。行列式を場で書いたものがゴースト。→ 4-08

BRST 対称性

ゲージを固定した後の作用に残る、ゴーストを含む対称性。ゲージの選び方に物理量が依らないことを、これで確かめる。→ 4-08

Gribov コピー・Gribov 領域

ゲージ条件を満たす接続が一つの軌道に複数あること（Singer の定理の現れ）と、Faddeev–Popov 作用素が正になる範囲。→ 4-08

公理と定義

Wightman の公理・Haag の定理

ミンコフスキー時空の場の量子論が満たすべき条件の組と、相互作用のある場を自由場と同じ表現に置けないことを示す定理（時刻 0 の場が自由場とユニタリに移り合い、真空が一意で空間の並進・回転で不変なら、その場は自由場になる）。→ 4-09 公理・Haag

反射正値性

時間を鏡映した関数との相関が非負になる性質。これがあると、ユークリッドの測度から正の内積を持つ状態空間が作れる。→ 4-10

Schwinger 関数

ユークリッド（虚時間）での場の相関関数 $\langle\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\rangle$。Wightman 関数を虚時間に延ばしたもの。→ 4-10

Osterwalder–Schrader の公理・再構成

Schwinger 関数（すぐ上）が満たすべき条件の組と、それを満たせばヒルベルト空間とハミルトニアンが作れる、という定理。→ 4-10

質量ギャップ

式 (1)。真空の上のスペクトルが $\Delta>0$ だけ離れていること。最も軽い粒子の質量と言い換えられるが、粒子の存在とは別の条件。→ 4-11

非自明

構成した理論が自由場（ガウス）ではないこと。問題文の要求の一つ。→ 0-03

第 5 部の言葉です。格子は時空を間隔 $a$ の網目に置き換え、ゲージ場を網目の辺（リンク）に置いた群の元で表します。ゲージ不変性が厳密に保たれるのが格子の強みです。作用は小さな正方形（プラケット）一枚ずつの和です。

例：$SU(2)$（$N=2$）で $\beta=2.4$ なら $g^2=4/\beta\approx1.67$ です。$\beta$ を大きくすると $g$ が小さくなり、漸近自由により物理単位で測った格子間隔 $a$ が 0 に近づくと期待されます（一ループの走り、4-07）物理。文献によっては別の規格化を使うので、換算は 5-01 を見てください。

リンク変数・格子間隔

隣り合う格子点を結ぶ辺に置いた群の元 $U_\ell$（接続の平行移動の格子版）と、網目の幅 $a$。→ 5-01

プラケット・ステープル

単位正方形の四辺の積 $U_P$（小さな輪のホロノミー）と、そこから一辺を除いた三辺の積。→ 5-01

Wilson 作用

式 (6)。プラケットごとに $1-\frac1N\operatorname{Re}\operatorname{tr}U_P$ を足した格子の作用で、$a\to0$ の素朴な極限でヤン–ミルズ作用に戻る。→ 5-01

Elitzur の定理

格子では、ゲージ変換で変わる量（一本のリンクの成分など）の期待値は、どの体積・どの極限でも 0。局所的なゲージ対称性は自発的に破れない。→ 5-04

Wilson ループ

閉じた道に沿ったリンクの積のトレース。ゲージ不変で、重い電荷の対を運んだときの重みを表す。→ 5-02

面積則・周長則・弦張力

Wilson ループの期待値が囲む面積の指数 $e^{-\sigma\cdot\text{面積}}$ で減るのが面積則、周の長さで減るのが周長則。係数 $\sigma$ が弦張力。→ 5-02

閉じ込め

色の電荷が単独で取り出せないこと。格子では面積則（静的ポテンシャルが距離に比例して伸びる）で判定することが多いが、定式化はいくつかある。→ 5-02

強結合展開・指標展開

$\beta$ が小さいときに重みを群の指標で展開する方法。ここでは面積則と正のギャップが示せる 既知（Osterwalder–Seiler 1978）。→ 5-02

連続極限・スケーリング

$\beta\to\infty$（$a\to0$）で物理単位の量を保つ極限。無次元の比が $a$ に依らなくなることがスケーリング。→ 5-05

グルーボール

純ヤン–ミルズの最も軽い励起を粒子とみたもの。格子では相関の減り方から質量を測る。→ 5-08

Problem 5.1・格子版の質量ギャップの向き

Chatterjee（2018）の問題。四次元の格子ゲージ理論で、各 $\beta$ で相関長 $\xi(\beta)$ が有限に在り、$\beta\to\infty$ で $\xi(\beta)\to\infty$ となることを示せ。格子単位の隙間が一様に正のままでは連続極限で質量が無限大になるので、この向きで問う。物理単位の隙間が保たれることはその先（(S4)）。→ 5-09

第 6 部の言葉です。構成的場の理論は、相互作用のある場の理論を確率測度として作り、公理を満たすことを証明する分野です。どの次元が易しく、どこで止まるかは、結合の「次元」で見積もれます。ヤン–ミルズの結合は長さの冪を持ちます。

例：$d=2$ では $g^2$ は質量の二乗、$d=3$ では質量の一乗の次元を持ち、短距離では効かなくなります（超繰り込み可能）。$d=4$ では無次元で、尺度の冪では弱まらず、繰り込み群で対数的にしか動きません（周辺）。ヤン–ミルズでは漸近自由により、短距離で対数的に弱まります（4-06）。既知 次元ごとの現在地は 9-01。

構成的場の理論

場の理論を数学の対象（測度・作用素）として作り、公理を確かめる分野。本書は六つの段に分けて読む。→ 6-01

自明性

連続極限を取るとガウス（自由場）しか残らないこと。四次元の φ⁴ で示された型の結果。→ 6-08

クラスター展開

測度を互いに離れた小さな塊の寄与の和に分け、収束を示す技法。強結合や大質量で効く。→ 6-04

ブロック化・繰り込み群の段

格子を $b$ 倍に粗くし、細かい揺らぎを積分して新しい作用を得る一段。これを繰り返して連続極限を制御する。→ 6-05

紫外安定性

有限体積で、ブロック化を重ねた最後の作用の上下界が格子間隔に依らないこと。三次元では定理、四次元では仮定つきの定理。強さの違う読みが三通りある。→ 6-06・6-07 三つの読み

確率量子化・正則性構造

測度を Langevin 方程式の平衡として作る方法と、特異な確率偏微分方程式に意味を与える理論。→ 6-09

第 7 部の言葉は、物理が「理論は在る」と前提して質量ギャップと閉じ込めを説明する描像で、多くは物理の水準です。代表は、色の電束が細い管に絞られて揺れる弦として振る舞う絵で、重い電荷の間のポテンシャルは長い距離 $R$ で次の形になります（7-03）。

例：$d=4$ で第二項は $-\pi/(12R)$ です。第一項が面積則（弦張力）、第二項が管の横揺れの零点エネルギーです。物理 第二項の係数が細部に依らないのは、長い管を有効弦とみなす仮定の下での結果です。

双対超伝導・アーベル射影

磁気単極子が凝縮すると、超伝導体が磁束を管に絞るのと双対に、電束が管に絞られるという閉じ込めの描像。アーベル射影は、ゲージを部分的に固定して群を可換な部分（対角成分）に縮め、固定の特異点に単極子を見る手続き。→ 7-02

中心渦

群の中心の元だけ位相がずれる面状の欠陥。それが無秩序に多いと Wilson ループが面積則を示す、という描像。→ 7-02

有効弦・Nambu–Goto・Lüscher 項

電束の管を面積で重みを付けた弦とみる理論と、その揺らぎが生む式 (8) の $1/R$ の項。→ 7-03

大 N・'t Hooft 結合・平面図

$SU(N)$ で $\lambda=g^2N$ を固定して $N\to\infty$ とする極限。平面に描ける Feynman 図だけが残る。→ 7-04

ホログラフィー・AdS/CFT

ある時空の重力理論が、その境界のゲージ理論と同じものだという予想。動径の向きが尺度に当たる。→ 7-08

一尺度（尺度は一つ）

純ヤン–ミルズの次元を持つ量はすべて $\Lambda$ の冪の定数倍、という物理の前提。格子では $m^2\asymp\sigma$ の形で書ける。→ 7-12

第 8 部以降には、この本の中で名前を付けた言葉が出ます。仮定の網羅的な一覧は A-06 にあり、ここでは中心の一式だけ挙げます。この端末の記録が置いた量 $a^2C_P$ は三つの比の積に割れます（7-12。$a=1/\xi_{\rm RG}$、$\lambda_1=1/C_P$）。

例：SU(2)・$\beta=2.60$ の格子の値（7-12 の表）では $m/\sqrt\sigma=3.837$ なので、因子 (ii) は $1/3.837^2\approx0.068$ です。計算 (ii) が $\beta$ に依らない正の定数で上下から押さえられるかが一尺度の問いで、格子の値はその傾向を示しますが、証明ではありません。

辞書と現在地（第 8・9 部）

確定度の二列

物理の言葉と数学の言葉の対応に、(a) 定義として対応しているか、(b) 四次元のヤン–ミルズでその量が在ると示されているか、の二つの格を別々に付ける読み方。→ 8-01

切れ目（seam）

物理の掘り方と数学の掘り方がつながらない箇所。本書は七つを型ごとに並べる。→ 9-02

この端末の検討（第 10 部）

記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$

格子を $b$ 倍に粗くする段ごとの結合の下がり方を記帳し、段数から決めた「格子の何歩が物理の一単位か」。$a:=1/\xi_{\rm RG}$ と置く（この端末の記録の定義）。→ 7-12

仮定 H

Langevin 力学の Poincaré 定数 $C_P$ が相関長の二乗と同じ冪で伸びる、という仮定：$\ln C_P/\ln\xi\to2$（$z=2$）。証明は無い。→ 10-03

H↑・H↓

$C_P\lesssim\xi^2$（すべての関数についての上界）と $C_P\gtrsim\xi^2$（一つの関数で足りる下界）。難しいのは H↑。→ 10-03

$H_{\rm band}[\mathcal E]$

冪でなく定数倍の幅で比べる仮定。帯の文が成り立つかどうかが $\mathcal E$ の正規化（リンクの角度か場か）に依るので、正規化を名指して書く。H とは別の仮定。→ 10-03

鎖 (i)(ii)(iii)

式 (9) の三つの因子がそれぞれ $\asymp1$（$\beta$ に依らない正の定数で上下から押さえられる）であること：緩和と相関長・相関長と弦の長さ・弦の長さと記帳の長さ。三本そろえば $a^2C_P\asymp1$ が出る（逆は出ない）。→ 7-12

(S1)〜(S8)

格子から入る道で問題文を割った八つの言明（無限体積・反射正値性・Wilson ループ・物理の隙間・ゆらぎの遅さ・回転の回復・OS 再構成・非自明性）。(S5) は問題文の要求に入らない、この端末の記録の定式化。→ 10-01

完全な族

どのプラケットにもちょうど一本だけ含まれるリンクの集合。残りのリンクを止めれば、族のリンクの重みは一本ずつに分かれ、互いに独立に積分できる。→ 10-02

取りこぼし δ(b)・傾き κ

格子の一段の窓が連続の $\ln b$ に足りない分（一ループ核の模型で測った数）と、一ループの結合の走りの傾き $\kappa=11/(3\pi^2)$（SU(2)・$\beta=4/g^2$。既知の係数の書き直し）。→ 10-02

(P)

測度を尺度 $s=\ln\ell$ の一次元の鎖に射影できるという仮定。この下で二重み Hardy 不等式（一次元の重みつき不等式で、最良の定数が二つの重みの積分で上下から押さえられるもの）が使える。H より弱いとは言えない。→ 10-03

T(c,1)

周長 $\ell$ の管の重さが $\sigma\ell+c/\ell$ 以上、という転送作用素の不等式。成り立てば $m^2\ge4c\sigma$。証明は無い。→ 10-06

同じ字や同じ言葉が章によって別の量を指すことがあります。分野の慣習を引き継いでいるためで、章の冒頭で意味を宣言していますが、飛ばし読みでは見落とします。重いのは「隙間」で、三つの作用素の隙間が同じ語で呼ばれます。物理単位と格子単位の換算は次の一行です。

例：格子単位の隙間 $m_{\rm lat}$ を 0.5 に止めたまま $a$ を 1 から 1/16 にすると、$\Delta$ は 0.5 から 8 に増えます。$m_{\rm lat}=0.5a$ と $a$ に比例させれば $\Delta=0.5$ のまま保たれます。計算 連続極限で求めるのは後者です（10-01）。

三つの隙間のうち問題文が求めるのは第一だけで、第二は、連続極限が在って (10) の比が収束すれば第一に移り（(S4)、10-01）、第三は標本を作る力学の性質です。仮定 H は第三を第二と比べる文です（10-03）。

寄り道：「次元」という語の四つの使い方

この章が言えている範囲

出典と再現

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