2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側から漸近自由・次元転移・閉じ込め

物理はどう見ているか — 短い距離の自由・一つの尺度・閉じ込めの管、そして「理論は在る」という前提

懸賞問題は「理論が存在するか、スペクトルに隙間があるか」を問います（0-03）。物理の問いは「いちばん軽い粒子の質量はいくらか」「クォークの対を引き離すと力はどう変わるか」です。理論はもう在ると置いて、中身を問います。

Jaffe と Witten は、QCD（クォークを含むヤン–ミルズ理論）が量子論の水準で持たねばならない性質を三つ挙げています 既知。(1) 質量ギャップ：'every excitation of the vacuum has energy at least ∆'。核力が強いのに短い距離にしか届かない理由です。(2) クォークの閉じ込め：物理的な粒子状態は SU(3) の変換で不変で、単独のクォークは見えません。(3) カイラル対称性の破れ。

純ヤン–ミルズにはクォークがないので (3) は出てきません。(1) が懸賞問題の本体で、(2) は問題文の §5 で「自然な拡張」に分けられています。物理の絵は (1)(2) を一枚で説明しようとし、三つの部品でできています。短い距離で結合が弱まること（§02）、尺度が一つ生まれること（§03）、長い距離で電束が管に閉じ込められること（§04・§05）です。

繰り込みでは、結合 $g$ は見る尺度 $\mu$（エネルギー。距離ならおよそ $1/\mu$）で値が変わります（4-04）。変わり方を決める β 関数は、純 SU(N) の一ループの計算で次の形です 既知。

負号のために、$\mu$ を上げる（短い距離を見る）と $g$ が小さくなります。これが漸近自由です（4-06）。PDG の総説は $\alpha=g^2/4\pi$ で $\mu^2d\alpha/d\mu^2=-b_0'\alpha^2-\cdots$、$b_0'=11N/(12\pi)$ と書き（同じもの 計算）、'The minus sign in Eq. (9.3) is the origin of "asymptotic freedom"' と述べます。最初の項だけなら $d(1/g^2)/d\ln\mu=2b_0$ で一定なので、

です。SU(3) で $g^2(\mu_0)=1$ なら、$\mu=10\mu_0$ で $g^2=0.757$、$10^6\mu_0$ でも $0.342$ です 計算。弱まり方は対数的です。問題文の言い方では 'at short distances the field displays quantum behavior very similar to its classical behavior'。ただし (1) は摂動論の計算です。連続理論が短い距離で本当にこう振る舞うことは、問題文が解に要求する性質の一つです。

(2) を $\mu$ を下げる向きに読むと、$1/g^2$ はある尺度 $\Lambda$ で 0 になります。

(2) を代入すると $\ln(\mu/\mu_0)$ が打ち消し合い、$\Lambda$ は $\mu$ に依りません（流れに沿った三点で、倍精度の丸めまで一致 計算）。古典の四次元ヤン–ミルズには質量の次元をもつ定数がありません（$g$ は無次元、1-12）。それでも量子論では尺度 $\Lambda$ が現れます。次元転移です（4-07）。PDG は $\Lambda$ を 'a constant of integration, which corresponds to the scale where the perturbatively-defined coupling would diverge' と説明します。$\mu=\Lambda$ で壊れるのは一ループの式で、理論ではありません。物理はここから、次元をもつ量はすべて $\Lambda$ の定数倍だと結論します 物理。

$m_{0^{++}}$ は最も軽いグルーボールの質量（§06）、$\sigma$ は弦張力（§04）、$c_i$ は N で決まる純数です。この「尺度は一つ」は、物理では次元解析として当然に見え、数学では証明されていません（この端末の記録の「仮定 H」。7-12・10-03）。また $\exp(-1/(2b_0g^2))$ は $g=0$ でテイラー係数がすべて 0 です。(4) を認めれば、$\Delta$ も摂動級数のどの次数にも現れません。問題文の 'the mass gap is not classically visible' と同じ向きの事情です（4-12）。

計算この図の数値はこの端末で計算した。曲線はその場で式 (2)(3) から描き、表1 は同じ式を Python 3 で評価した（SU(3) の $g^2=0.5$ では $\Lambda/\mu_0=5.83\times10^{-7}$）。

結合が小さいほど $\Lambda$ は指数的に小さく、変化に敏感です。SU(2) の $g^2=1.5$ と SU(3) の $g^2=1.0$ が同じ値なのは、一ループでは $Ng^2$（'t Hooft 結合、7-04）だけが効くからです。$\Lambda$ の数値は $g$ の定義の仕方で決まった倍率だけ変わりますが、(4) の形は保たれます。

クォークのない理論で力を測るには、動かない色の電荷の対を外から置きます（色の電荷はゲージ場の源になる荷です。3-02）。ユークリッド時空（4-02・符号が一つ違う）に幅 $R$・長さ $T$ の長方形をとり、ゲージ場に沿って一周平行移動した行列（ホロノミー、1-07）のトレースを Wilson ループ $W_{R,T}$ と呼びます。長方形は「対を作り、時間 $T$ 置いて消す」過程で、期待値はおよそ $e^{-V(R)T}$ で減るので、ポテンシャルを次で定めます（Wilson 1974。書き方は Chatterjee 2018 §4）既知。

$R\to\infty$ で $V(R)\to\infty$ なら、対は決まった距離より先に離れられません。これが閉じ込めです（Chatterjee 2018 §4 の定義）。とくに $\langle W_{R,T}\rangle$ が面積 $RT$ について $e^{-\sigma RT}$ で減る（面積則）なら、$V(R)\approx\sigma R$ と線形に増えます。この線形の場合の係数 $\sigma$ が弦張力です。四次元の非可換ヤン–ミルズで線形に増えることは 'it is believed that V(R) grows like a multiple of R' の水準です（同 §4）物理。

時空を点の網に置き換えた格子（5-01）では、結合の強さを格子の逆結合 $\beta$ で表します（標準的な Wilson 作用では $\beta=2N/g^2$。大きい $\beta$ が弱結合。§02 の β 関数とは別物）。$\beta$ が小さい側（強結合）では面積則が証明されていますが、U(1) を含む全群で成り立つので、非可換の閉じ込めの証拠になりません。四次元の非可換群の弱結合側は 'remains elusive' です（Chatterjee 2018。5-02・5-06）既知。

物理の絵は電束の管です。電磁気の力線は広がり、離してもエネルギーは一定値に近づきます（$V\sim-c/R$）。閉じ込めでは力線が太さの決まった管に絞られ、エネルギーは長さに比例します。比喩で言えば、伸ばしても張力が変わらないひもです。正確には、管は理論から導かれた事実ではなく格子の数値と合う絵で、管の揺らぎの有効理論（7-03）は管の存在を出発点に置き、長い距離の補正を次のように与えます 物理。

$-\pi/(12r)$ は Lüscher 項で、係数は理論の詳細に依らないとされます（$d$ 次元で $-\pi(d-2)/24$）。$c_0$ は普遍でない定数です。格子の長さの基準 $r_0$（$F=dV/dr$ について $r_0^2F(r_0)=1.65$、Sommer 1994）に (6) を入れると $r_0\sqrt{\sigma}=\sqrt{1.65-\pi/12}=1.178$ で、格子の連続値 $1.160(6)$（Athenodorou–Teper 2020）との差は 1.6% です 計算。$r_0$ は管がまだ短い距離なので、これは式 (6) をその距離まで延ばした目安です。大筋は合いますが、差は格子の誤差の約 3 倍あり、細部までは合いません。

計算この図の数値はこの端末で計算した。閉じ込めは (6) の $\sigma r-\pi/(12r)$（$c_0$ を除く）、電磁気は見本 $-0.3/r$、fm は $\sqrt{\sigma}=485$ MeV（§07）で換算。0.51 は二つの項が釣り合う $\sqrt{\pi/12}$。

クォークを含む QCD では、長い管が切れる兆候が格子で報告されています（SESAM 2005）物理。純ヤン–ミルズには、途中で対を作って管を切るクォークがありません。

純ヤン–ミルズの粒子は、グルーオンだけでできた色のない束縛状態グルーボールと考えられます。状態は $J^{PC}$（スピン・パリティ・荷電共役）で分類します。$0^{++}$ はスピン 0 で、空間反転（パリティ）でも、粒子と反粒子の入れ替え（荷電共役）でも符号を変えない状態です。最も軽い $0^{++}$ の質量を、物理ではしばしば「質量ギャップ」と呼びます 物理。Chatterjee 2018 は相関長（2-08）を 'the reciprocal of the mass of the lightest glueball' と説明し、存在は 'has not yet been experimentally verified' と書きます。

問題文の隙間はハミルトニアンのスペクトルの隙間として定義され（その上限を問題文は 'the mass' と呼びます）、粒子の存在を前提にしていません。最低の励起が孤立した一粒子状態であれば、隙間は最も軽いグルーボールの質量に一致します（4-11）。孤立した一粒子状態が在ることの証明は、問題文では「自然な拡張」の側に数えられています。

格子の計算は、時空を格子間隔 $a$（格子点の間の距離）の網で置き換えて行い、次元のない比 $m/\sqrt{\sigma}$ を出します。

計算比の誤差は独立とみなした素朴な伝播で、相関を無視した目安。SU(∞) は 1/N² で外挿した値。格子では回転の対称性が立方体の回転に減り、スピン 2 は二組（E・T₂）に分かれて測られる。SU(∞) の 2⁺⁺ は E の値（T₂ では 4.578(11)。5-08）。0⁺⁺* は励起状態。

どの N でも $0^{++}$ が最も軽く、比は N でゆっくりしか変わりません（7-04）。一方、SU(3) の $m_{0^{++}}/\sqrt{\sigma}$ は 3.347(68)（Meyer 2005）、3.405(21)（Athenodorou–Teper 2020）、3.607(87)（Lucini–Teper 2001）と、表示の誤差より広く散っています。$\sigma$ は閉じた管の質量から揺らぎの補正を引いて求めます。Lucini–Teper の式 (4) は $am_l=a^2\sigma L-\pi/(3L)$ で、$m_l$ は周期的な箱を一周して閉じた電束の管の質量、$L$ は箱の一辺を格子の点の数で数えたものです。著者は 'in using eqn(4) we are assuming that we have linear confinement' と断っています。連続極限は $m(a)/\sqrt{\sigma(a)}=m(0)/\sqrt{\sigma(0)}+c\,a^2\sigma$ を仮定した外挿です（5-08）。

ここまでの部品と数値は、四次元の純ヤン–ミルズ理論が確かに一つ存在する、という前提に立っています。格子の計算で前提が入る段を並べます。

物理にとってこの前提は自然で、問題文も実験と計算機が 'have given strong encouragement' と書きます。しかし同じ段落は 'there does not exist a convincing, whether or not mathematically complete, theoretical computation demonstrating any of the three properties in QCD' と続け、数学の側は 'nor even a precise definition' の段階です 既知。

比喩で言えば、物理は在ると確信している土地の詳しい地図を描き、数学はその土地が在ることを示すよう求められています。正確には、任意のコンパクト単純群について、非自明な量子ヤン–ミルズ理論を $\mathbb{R}^4$ 上に作り（公理は Wightman あるいは Osterwalder–Schrader と少なくとも同じ強さのもの。4-09・4-10）、$\Delta\gt0$ を示すことです。よく取られる道は、ユークリッドの確率測度を正則化つきで作って極限をとる道です。部分列が収束するだけの弱い存在は、極限の性質を別に示さない限り認めない、と問題文の脚注にあります。物理の数値は、どれほど精密でも「存在を仮定したうえでの予言」です（5-09・6-10）。

物理の絵では $\sigma$ と $m$ は同じ $\Lambda$ の二つの顔で（式 (4)）、閉じ込めとギャップは一緒に語られます。数学では別々の主張です。

片方だけが成り立つ例があります。有限群の格子ゲージ理論では弱結合で相関の指数減衰が証明され、閉じ込めないことは 'believed' の水準です（5-10）。三次元の compact U(1) ではすべての結合で面積則が証明され、連続極限は自由なスカラー場になります（Göpfert–Mack 1982 の要旨）。逆向きには、格子の上の任意の境界条件での指数減衰から、群の中心に非自明に作用する表現の Wilson ループに面積則が出ます（Chatterjee 2021）既知。表と正確な言明は 7-02 §02（この本の正本）にあります。

この逆向きの含意は「ギャップ ⇒ 閉じ込め」に近い形ですが、仮定は格子の上の強い形の減衰です。問題文の意味のギャップ（連続・無限体積の $\Delta\gt0$）から閉じ込めを導く定理はありません。物理が主に見る変数（管と $\sigma$）と問題文の標的（$\Delta$）は少しずれています。

物理の道具には、それぞれ計算が制御できる「岸」があります。正確には、岸とはある極限（$g\to0$、格子の $\beta\to0$、$N\to\infty$ など）の近くで、計算の誤差が制御できる領域のことです。第 7 部の残りの章は表の行を掘ります。

問題文の理論——任意のコンパクト単純群・有限の N・物質なし・連続の $\mathbb{R}^4$——は、どの岸にもありません。物理の絵は、岸と岸のあいだを「一つの理論がつないでいる」という前提（§08）で埋めています。その前提が数学から離れる場所は 7-13・9-02 にまとめます。

この章が言えている範囲

出典と再現

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