2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論1/0 と exp(−1/g²)

寄り道：「1/0 に記号を与えれば」 — 値を置くと近づき方が消え、ギャップに期待される尺度は $e^{-1/g^2}$ の形をしている

「$1/0$ を記号として数学に組み込めば、発散に悩む場の理論の状況は変わるのではないか」。問いは三通りに読めます。(i) 値を置く：$1/0$ や $0/0$ に一つの値（$\infty$、$0$、新しい記号 $\bot$ など）を与える。(ii) 置き換える：特異点を、近づく方向の集まりや境界に取り替える。(iii) 公理を替える。

(iii) は別の問題になります。問題文は 'Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in [45, 35]'（Wightman と Osterwalder–Schrader の公理）と性質を名指ししているからです（0-03）。既知 この章は (i) と (ii) を調べ、次にたどり着きます。

例：$\sin x/x$ は $x=0$ で $0/0$ の形でも、極限は 1 に決まります。直線の上の近づき方は左右の二通りで、どちらからも同じ値だからです。平面ではそうはいきません（§04）。

$1/0$ に値を置く体系はいくつもあり、どれも矛盾なく作られていますが、何かを手放しています（表 1）。

既知表 1　$1/0$ に値を置く体系（IEEE 754 は計算、transreal は書誌のみ）。

meadow は可換環（足し算・引き算・掛け算が普通の規則で使える集合。割り算は仮定しない）に、逆元の演算 $x\mapsto x^{-1}$ を足し、

だけを課します。ここから $0^{-1}=0$ が出ます。体（0 以外の元で割り算ができる可換環。$\mathbb Q$ など）に $0^{-1}=0$ と約束したものは meadow で、その直積（成分ごとの演算）も meadow です。たとえば $\mathbb Q\times\mathbb Q$ の $x=(1,0)$ では $x^{-1}=(1,0)$、$x\cdot x^{-1}=(1,0)\ne(1,1)$ です。計算

IEEE 754 の倍精度をこの端末で確かめると、NumPy 1.26 では 1/0・1/(-0)・0/0 が inf・-inf・nan、0.0 == -0.0 は True、nan == nan は False で、Python の 1.0/0.0 は例外 ZeroDivisionError です。計算 同じ数でも答えが違います。「$1/0$ の値」は体系の約束です。符号つきの 0 は「どちら側から来たか」を一ビット残す記号で、代わりに $0=-0$ なのに逆数が分かれます。ヤン–ミルズの道具（ヒルベルト空間・スペクトル。1-10）は $0\cdot x=0$・引き算・等号に頼ります。隣には $1/\varepsilon$ は持つが $1/0$ は定義しない非標準解析、超関数の積を許す代わりに等号を弱める Colombeau の代数があります（1-11）。

Saitoh の草稿（2023）の §2.1 は、$b/a$ を方程式 $ax=b$ の解と見て、Tikhonov の正則化で定めます。既知

$a\ne0$ なら普通の $b/a$、$a=0$ なら $x_\lambda=0$ なので $b/0=0$ です。罰則を $\lambda(x-c)^2$ に替えると

で、$a=0$ の答えは $c$ そのものです。例：$(a,b)=(0,1)$ では $\lambda=1$ から $10^{-8}$ まで常に $x_\lambda=c$。$(a,b,c)=(2,1,5)$ では $1.4,\ 0.511,\ 0.5001,\ 0.5$ と $b/a$ に近づきます。計算

式 (3) は、方程式 $ax=b$ の Moore–Penrose の一般逆による解の自明な場合でもあり（草稿 §2.1）、矛盾のない定義です。言えるのは、$b/0$ の値が方程式からではなく、足した罰則——正則化の経路——から来ていることです。場の理論の繰り込みが追いかけるのは、この経路への依存です（§06）。

平面では極限が方向で変わります。

角 $\theta$ の半直線 $(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ の上では $f=\sin2\theta$ で、$r$ によりません。原点に値を一つ決めても $f$ は連続になりません。既知

爆発（blow-up）は、原点を方向の集まり（射影直線 $\mathbb{RP}^1$。$\theta$ と $\theta+\pi$ を同じと見た円）に取り替える操作です。方向は $[u:v]$ と書きます。$[u:v]$ は $(u,v)\ne(0,0)$ を 0 でない数倍を除いて見たもの、つまり原点を通る直線の名前です（$[1:2]=[-2:-4]$）。正確には、点と方向の組の集合

を作ります。原点の外では方向が一つに決まるので元の平面と同じで、原点の上にだけ円が一つ載り、全体は開いたメビウスの帯です（1-05）。この上で $f=2uv/(u^2+v^2)$ は、原点の上の円まで込めて連続です。

計算この図の値は式 (5) を図の中で計算している（色の濃さが $|f|$、二色が符号）。

右の絵は、点 $(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ を $\theta\in[0,\pi)$ と符号つきの $r$ で表したものです。$r<0$ の点は方向 $\theta+\pi$ の側にありますが、$\sin2\theta$ は $\theta\to\theta+\pi$ で変わらないので、値は縦の縞になり、中央の横線 $r=0$ を横切っても途切れません。$\theta=\pi$ は $\theta=0$ と同じ方向で、そこでは $r$ の符号が入れ替わるので、右の辺の $(\pi,r)$ を左の辺の $(0,-r)$ と貼ります。上下を逆に貼るので、帯はメビウスの帯になります。$0/0$ に一つの値を置く記号には、この縞を載せる場所がありません。

特異点を取り替えて効いてきた例は、どれも近づき方を保つ形です。既知

• 無限遠に一点を足す。Uhlenbeck（1982）の除去可能特異点定理により、$\mathbb R^4$ 上で作用が有限なヤン–ミルズ方程式の解は、ゲージ変換を除いて $S^4=\mathbb R^4\cup\{\infty\}$ 上の滑らかな解から来ます（3-05）。直観的には、有限な作用が無限遠への近づき方を縛るためです。
• 衝突を方向で置き換える。Fulton–MacPherson（1994）は配置空間（$n$ 個の点の位置の組全体）の対角線（二点以上が重なる所）を、衝突の方向と尺度を記録する境界に替えます。Axelrod–Singer の第 II 部（1994）はこの型のコンパクト化で、三次元のゲージ理論の一つである Chern–Simons 理論の摂動論の位相不変性を示しました。Bergbauer–Brunetti–Kreimer（2009）は、wonderful model（De Concini–Procesi。Fulton–MacPherson 型のコンパクト化を一般化したもの）への延長が Epstein–Glaser の繰り込みと一致することを示しました。

ヤン–ミルズの中でも同じです。Singer（1978）は、連続な大域的ゲージ固定が無いことから Faddeev–Popov の方法に 'an infinity in the determinant of the Jacobian' が生じると注意し、局所的なゲージ固定を 1 の分割で貼り合わせる道を挙げます（3-04・4-08）。格子の $\Delta=m_{\mathrm{lat}}/a$ は $a\to0$ で $0/0$ の形で、意味を持つのは次元の無い比 $m_{\mathrm{lat}}/\sqrt{\sigma_{\mathrm{lat}}}$ の極限です（5-09）。効いてきたのは幾何と摂動論の側で、非ガウスの測度と質量ギャップには、まだ届いていません。

紫外発散は正則化した量の族として来ます。小さな模型：

左は下端を切って $\ln(1/\eta)$ のように、右は冪をずらして $1/\delta$ のように発散します。「$1/0$」と書けば同じですが、速さも形も違い、それでも差は同じ値に行きます。

計算表 2　二つの正則化（この端末の SciPy）。

尺度 $\mu$ を選んで $I_R(p;\mu)=\lim_{\eta\to0}[I(p;\eta)+\ln(\eta\mu)]=-\gamma-\ln(p/\mu)$（$\gamma$ は Euler の定数）と差し引くと、有限部分は $\mu$ によりますが差はよりません。計算 この自由度と、$\mu$ を動かしたときの有限部分の動きが、繰り込み群の芽です（4-04）。

場の理論では「どう発散するか」を運ぶ記号化が既に厳密に作られています（4-05）。BPHZ の差し引き、無限大が一度も現れない Epstein–Glaser の方法、次元正則化の極 $1/\varepsilon$ を形式的な記号として Birkhoff 分解する Connes–Kreimer の Hopf 代数です。ヤン–ミルズの摂動的な繰り込み可能性は 't Hooft、't Hooft–Veltman、Lee–Zinn-Justin らにより 1971–72 年に確立し（BRS 対称性による整理が続きます）、Costello が BV 形式で別の証明を与えました。既知 記号化は $1/0$ より多くを運ぶ形で実現していて、それでも問題は残っています。残りは値の割り当ての問題ではありません。

は微積分の定番です。$x>0$ で $h^{(n)}(x)=P_n(1/x)\,e^{-1/x}$、$P_{n+1}(u)=u^2(P_n(u)-P_n'(u))$（たとえば $P_2=u^4-2u^3$）で、$u\to\infty$ で $u^ke^{-u}\to0$ だから、すべての $n$ で $h^{(n)}(0)=0$。テイラー級数は恒等的に 0 なのに、$h$ は $x>0$ で 0 ではありません。既知

$e^{-1/x}$ はどの冪よりも速く 0 に行きますが、勝ち始めるのは遅く、$e^{-1/x}/x^k$ の最大値は $x=1/k$ での $k^ke^{-k}$ です。例：$e^{-1/x}/x^{10}$ は $x=0.1$ で $4.5\times10^5$、$x=0.05$ で $2.1\times10^4$、$x=0.02$ でやっと $1.9\times10^{-5}$ です。計算

物理ではこの形が尺度 $\Lambda$ に現れます。一ループの走る結合は $\alpha_s(\mu^2)=(b_0\ln(\mu^2/\Lambda^2))^{-1}$ で、Particle Data Group（PDG）の総説は $\Lambda$ を 'the scale where the perturbatively-defined coupling would diverge' と説明します（一ループでの走る結合の「$1/0$」）。逆に解くと

です（純 $SU(N)$、$\alpha_s=g^2/4\pi$。PDG の $b_0=(33-2n_f)/12\pi$ で $N=3$、$n_f=0$。4-07）。(10) は $g^2$ の関数として (9) の形なので、$\Lambda$ に比例する量は $g$ の冪級数のどの次数でも 0 に見えます。質量ギャップは $\Lambda$ に比例すると期待されています。物理 例：$SU(3)$ で $g^2=1$ なら $\Lambda/\mu=7.6\times10^{-4}$、$g^2=2$ なら $2.8\times10^{-2}$（$g^2$ は仮）。計算 問題文 §6.6 も 'the mass gap is not classically visible' と書きます（6-10）。

係数が $n!$ の級数

は各項が有限でも、どの $x>0$ でも収束しません。項は $n$ が $1/x$ に届くまで減り、その先で増えます。最小の項は Stirling の公式から $\sqrt{2\pi/x}\,e^{-1/x}$ 程度で、打ち切りの精度はそこで頭打ちです（図 2）。Borel 和は、係数を $n!$ で割った $B(t)=\sum t^n=1/(1-t)$ を作り、$\int_0^\infty e^{-t}t^n\,dt=n!$ で戻します。

積分の道の上、$t=1/x$ に極があります。この章の「$1/0$」はここ——Borel 平面——に現れます。小さな半円 $t=1/x+\rho e^{i\phi}$ で極を避けると、上を回れば $\phi$ は $\pi$ から $0$ へ、下を回れば $-\pi$ から $0$ へ動くので、$\int dt/(t-1/x)=\int i\,d\phi$ は上で $-i\pi$、下で $+i\pi$ です。被積分関数は $\frac{1}{1-xt}=-\frac1x\cdot\frac{1}{t-1/x}$ なので符号が反転し、極の近くで $e^{-t}\approx e^{-1/x}$ と置くと、半円の寄与は上で $+i\pi e^{-1/x}/x$、下で $-i\pi e^{-1/x}/x$ になります。上を回る和を $S_+$、下を回る和を $S_-$ と書くと

と食い違います。PV は極の両側から対称に近づけた主値、$\mathrm{Ei}(y)=\mathrm{PV}\!\int_{-\infty}^{y}e^{s}\,ds/s$ は指数積分です。二つは虚部の符号だけが違い、虚部の大きさは $\pi e^{-1/x}/x$ です。上下の差は $S_+-S_-=2\pi i\,e^{-1/x}/x$ で、大きさはその 2 倍です。最適な打ち切りの誤差も食い違いも、$e^{-1/x}$ に $x$ の冪を掛けた大きさです（表 3）。計算

計算この図の値は、項 $n!\,x^n$ と $\pi e^{-1/x}/x$ を図の中で計算している。

計算表 3　表の数値はこの端末で計算した（SciPy）。$N^\ast$ は最小の項の番号。右端の列は Borel 和の虚部の大きさで、上下の差はその 2 倍。

食い違いを残すには、$e^{-1/x}$ を独立な単位として足します。

極の避け方の選択は係数 $\sigma$ の選択に移り、近づき方の情報は $1/0$ の値ではなく $e^{-1/x}$ の係数に記録されます。このような形式的な和を transseries、この方向の研究を resurgence と呼びます（4-12）。既知

ヤン–ミルズでは摂動級数が $\alpha_s^n\,n!$ 型に発散すると考えられています（renormalon）。（赤外）renormalon の $n!$ は、ループ運動量の積分のうち運動量が $\Lambda$ に近い領域——一ループの走る結合が発散する点の近く——からの寄与と考えられています。運動量の大きい側から来る紫外の renormalon も別にあるとされます。PDG は 'closely connected with non-perturbative contributions' と書きつつ、今ある次数では 'not usually visible' とします。物理 resurgence の物理の水準の結果は、$\mathbb R\times S^1$ 上の二次元 $CP(N-1)$ 模型（ねじれた境界条件。Dunne–Ünsal 2012）や、$\mathbb R^3\times S^1$ にコンパクト化した、随伴フェルミオンつきの四次元ゲージ理論（Argyres–Ünsal 2012）にあり、$\mathbb R^4$ 上の純ヤン–ミルズにはありません。

値を置く体系は、演算の規則を弱めるか経路を一つに固定して成り立ち、近づき方の情報を捨てます。効いてきたのは近づき方を保つ置き換えと、発散の速さを運ぶ記号（$1/\varepsilon$ の Birkhoff 分解、繰り込み群）で、どちらも幾何と摂動論の側です。既知 ギャップの尺度と期待される $\Lambda$ は $e^{-1/g^2}$ の形で、どの次数にも映りません。物理 残る障害——体積に一様な評価・無限体積極限・非自明性・反射正値性・ゲージ軌道空間——は値の割り当ての問題ではありません（6-11）。

寄り道：論理の側から

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-01 物理はどう見ているか。尺度 $\Lambda$ を物理がどう扱うかから第 7 部が始まります。

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