2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 5 部 格子ゲージ理論Wilson の格子

Wilson の格子 — 辺に群の元を置けば、ゲージ不変性は近似されずに残る

ユークリッド化した量子ヤン–ミルズ理論（4-02）は、形式的には接続 $A$ の全体で $e^{-S[A]}$ を積分するものです。しかし無限次元の空間に一様な測度はなく（1-09 §02）、ゲージ変換で移り合う $A$ の分だけ積分が重複します（3-04・4-08）。Wilson は時空を格子に置き換えました。1974 年の論文の要旨です。

“It is shown how to quantize a gauge field theory on a discrete lattice in Euclidean space-time, preserving exact gauge invariance and treating the gauge fields as angular variables (which makes a gauge-fixing term unnecessary).”

「角度の変数」とは、場をリー環の元でなく群の元として持つことです。問題文（Jaffe–Witten §6.5）は、コンパクトな群とコンパクト化した時空では “the lattice approximation reduces the functional integration to a finite-dimensional integral” と書き、格子間隔 0・体積無限大の極限でゲージ不変な観測量の期待値が存在することを確かめねばならない、と続けます 既知。極限は §08 で見ます。

約束。ユークリッドの $\mathbb R^4$、添字は 1〜4、$\hbar=c=1$。3-02 と同じく $A_\mu=A^a_\mu T^a$（エルミート、$\mathrm{tr}\,T^aT^b=\tfrac12\delta^{ab}$）、$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]$、連続の作用は $S=\tfrac12\int\mathrm{tr}\,F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}\,d^4x$（全添字で和）。$\beta$ は格子の逆結合（4-06 の β 関数 $\beta(g)$ とは別の量）、$\theta$ はただの角（$\theta$ 項ではない）です。

寄り道：1973 年の夏

間隔 $a$ の格子 $a\mathbb Z^4$（有限の体積では一辺 $L$ 点の周期格子）で、$x$ と $x+a\hat\mu$ を結ぶ辺をリンクと呼びます。連続の理論でゲージ場は隣の点と枠を比べる道具でした（3-01）。格子では道具そのものを変数にし、各リンクに $U_{x,\mu}\in G$ を置いて「$x+a\hat\mu$ の値を $x$ の枠へ運ぶ」と読みます。ゲージ変換は点ごとの $\Omega(x)\in G$ で次のように働きます。

物質の場が $\psi\mapsto\Omega\psi$ なら、差 $U_{x,\mu}\psi(x+a\hat\mu)-\psi(x)$ は $\Omega(x)$ だけで変わります（3-02 の鎖の四方向版）。滑らかな $A$ からは、辺に沿った平行移動（1-07）の逆元がリンクです。辺を $n$ 等分し、小さな回転を始点側から左に掛けます。

(1) は 3-02 の変換則 $A'=\Omega A\Omega^{-1}-\tfrac ig(\partial\Omega)\Omega^{-1}$ を辺に沿って積み上げたものです 既知。例：U(1) なら $U=e^{-i\theta}$ で、$\Omega(x)=e^{i\alpha(x)}$ なら (1) は $\theta\mapsto\theta+\alpha(x+a\hat\mu)-\alpha(x)$（2-03 §03）。SU(2) なら $U=u_0+i\,\mathbf u\cdot\boldsymbol\sigma$（$u_0^2+|\mathbf u|^2=1$）で、各リンクは $S^3$ の一点、$\tfrac12\mathrm{tr}\,U=u_0$ です。

周期格子のリンクは $4L^4$ 本で、配置の空間 $G^{4L^4}$ は実 $4(N^2-1)L^4$ 次元のコンパクトな多様体です（1-05）。ゲージ変換の自由度 $G^{L^4}$ はその四分の一で、連続の 4 成分からゲージの 1 成分を除く勘定と同じ割合です。

一本のリンクは両端の $\Omega$ に挟まれて変わりますが、二本を端でつなぐと、つないだ点の $\Omega^{-1}\Omega$ が消えます。閉じた道を一周すると始点の $\Omega$ だけが両側に残ります。最小の閉じた道が一辺 $a$ の正方形、プラケットです。

よって $\mathrm{tr}\,U_P$ は、近似なしに、格子間隔や配置の粗さによらず不変です。一般の閉じた道 $C$ では、道の順に掛けた積のトレース

を Wilson ループと呼びます。滑らかな場から (2) で作ると、格子の道が閉曲線に近づくにつれて連続の Wilson ループ（1-07 のホロノミーのトレース）に近づきます（Chatterjee 2018 §4）既知。長方形のループは閉じ込めの判定に使います（5-02・7-02）。掛ける順は効きます。同じ四本を $U_{x,\mu}U_{x+a\hat\nu,\mu}^{-1}U_{x+a\hat\mu,\nu}U_{x,\nu}^{-1}$ の順に掛けると、因子の間に $\Omega(x+a\hat\nu)^{-1}\Omega(x+a\hat\mu)$ などが挟まって消えません。U(1) では順は関係ありません（2-03）。

計算この図の数値はこの端末で計算した。表 2 と同じ配置・同じ式をブラウザで計算しています（JavaScript が無効なら表 2 が中身）。

計算四次元の一辺 4 点の周期格子で無作為な配置に無作為なゲージ変換を施すと、§04 の作用の変化は SU(2) で $2\times10^{-13}$、SU(3) で 0 でした。リンクの対数（リー環の元）で差分 $\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ の二乗和を作ると、SU(2) で 34,707 が 35,659 に変わります。交換子を足しても、有限のゲージ変換では $A$ の変換則が非斉次（(1) の下の $-\tfrac ig(\partial\Omega)\Omega^{-1}$ の項）なので、差分は厳密には不変になりません。寄り道の回想の「リー環の変数ではなく群の元」の意味です。

和はすべてのプラケットを一枚ずつ取ります（周期格子で $6L^4$ 枚）。性質は五つです 既知。

1. ゲージ不変：各項が (3) で変わらない。
2. 実数：向きを逆にしても $\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_P^\dagger$ は同じ。
3. 有界：固有値が絶対値 1 なので各項は 0 以上 2 以下。最大は SU(2) で 2（$U_P=-1$）、SU(3) で $3/2$（固有値が三つとも $e^{2\pi i/3}$、または三つとも $e^{-2\pi i/3}$）計算。
4. 最小：$S_W=0$ はすべての $U_P=1$ のときに限る。純ゲージ $\Omega(x)\Omega(x+a\hat\mu)^{-1}$ がその例です。周期格子では、可換な元 $V_\mu$ を方向ごとに一様に置いた配置もそうです。その一周の積 $V_\mu^L$ が 1 でなければ純ゲージではありません。純ゲージの配置では、一周の積は $\Omega(x)\Omega(x)^{-1}=1$ になるからです。
5. 局所：各項は四本のリンクだけに依存する。

Chatterjee（2018）は $\beta'\sum_P\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}(I-U_P)$ と書くので $\beta'=\beta/N$ です（6-02 の SU(2) の $\beta$ も同じ）。

滑らかな $A$ を (2) でリンクに写し、$a\to0$ を見ます。指数関数の積を一つにまとめる Baker–Campbell–Hausdorff の公式 $e^Xe^Y=e^{X+Y+\frac12[X,Y]+\cdots}$ で (3) を展開すると、プラケットの中心 $c$ で

です。向かい合う辺の $A$ の差が $-iga^2(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)$ を、交換子が $(-iga)^2[A_\mu,A_\nu]$ を与え、合わせて場の強さになります（曲率＝小さな輪を一周したずれ。1-07）。1-07 の記号との対応：1-07 の反エルミートな接続と曲率はこの章の $-igA$・$-igF$ にあたり、1-07 の平行移動は始点から終点へ運ぶので、この章のリンクとプラケットはその逆元です。1-07 が $U_p\approx\exp(-a^2F)$ と書くのと (6) とで指数の符号が逆なのはこのためで、トレースの値は変わりません。エルミートな $X$ で $\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,e^{-iX}=\mathrm{tr}\cos X=N-\tfrac12\mathrm{tr}\,X^2+\cdots$ なので

です。展開の中心をプラケットの中心に取ると、$a^5$ の項は向きの対称性で打ち消し合い、残る誤差は一枚あたり $a^6$ です 既知。$a^{-4}$ 枚を足すと相対誤差は $a^2$ で、Symanzik の改良（5-05）が消すのはこの項です。プラケットを点 $x$ と組 $\mu\lt\nu$ で数えて $\sum_xa^4$ を積分に置き換えると

です。連続の作用 $S$ に一致するのは $\beta=2N/g^2$ のときで、これが (5) の $\beta$ の由来です 既知。Chatterjee（2018）§3 は同じ計算をして、四次元では古典的に $\beta$ が $a$ によらないこと、量子論では $\beta$ が $\log(1/a)$ のように増えるべきだと物理で信じられているが疑いもあり、“the question remains an open mathematical problem” であることを書きます 物理（5-05）。

規約の換算 — 一つの結合の五つの書き方

同じ結合 $g^2$ が、文献によって別の文字と別の規格化で書かれます。同じ条件が章ごとに違う数に見えるのはこのためです。この本の基準は (5) の Wilson の $\beta=2N/g^2$ です（記号表 A-01 §06。$g^2$ を加えた六つの書き方と同じ数値例を表 7 に並べています）。他の書き方は、作用 (5) と項ごとに比べれば決まります。

$\beta_{\mathrm{Ch}}$ は作用を $\beta_{\mathrm{Ch}}\sum_P\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}(I-U_P)$ と書く形（$1/N$ を付けない。6-10 の (3)）、$\beta_{\mathrm{SZZ}}$ は作用の前の逆結合を $N\beta_{\mathrm{SZZ}}$ と書く 't Hooft の規約（Shen–Zhu–Zhu。5-04）、$\lambda$ は大 $N$ の 't Hooft 結合（7-04）、$\alpha$ は物理で使う結合の強さです。作用の定数項の違いは規格化 $Z$ で消え、測度を変えません。

例：Shen–Zhu–Zhu の条件は、$\beta_{\mathrm{SZZ}}$ で書けば $N$ によらず $1/48$、$\lambda$ で書けば $\lambda\gt96$ で、Wilson の $\beta$ に直すと $N^2/48$ です。$\beta_{\mathrm{SZZ}}$ と $\lambda$ では $N$ が消えるのが 't Hooft の規約の利点です。数値計算でよく使う SU(2) の $\beta=2.5$ は $\alpha\approx0.13$、条件の端は $\alpha\approx3.8$ で、二つは約 30 倍離れています。換算はこの本の算術で、条件そのものは各文献の規格化のまま読むものです（5-04・5-09・6-10）。

一枚のプラケットで見る

SU(2) の定数の場 $A_1=c\,T^1$、$A_2=c\,T^2$ では微分の項が無く、$F_{12}=gc^2T^3$ は交換子だけから来ます（3-02 §04 の例 2）。リンクは $e^{-i\theta\sigma_1/2}$、$e^{-i\theta\sigma_2/2}$（$\theta=gac$）、プラケットは群の交換子 $U_1U_2U_1^{-1}U_2^{-1}$ です。§02 の $u_0+i\,\mathbf u\cdot\boldsymbol\sigma$ の形で掛けます。パウリ行列の積 $\sigma_j\sigma_k=\delta_{jk}+i\epsilon_{jkl}\sigma_l$ から

です。$c=\cos\frac\theta2$、$s=\sin\frac\theta2$ と置くと $U_1=(c;\,-s,0,0)$、$U_2=(c;\,0,-s,0)$（$u_0$ と $\mathbf u$ を並べた書き方）で、$U_1U_2=(c^2;\,-cs,-cs,-s^2)$、$U_1^{-1}U_2^{-1}=(U_2U_1)^{-1}=(c^2;\,cs,cs,-s^2)$ です。二つを掛けた $u_0$ が $\tfrac12\mathrm{tr}\,U_P$ で、

となり、次の閉じた形が出ます。

小さい $\theta$ では比が $1-\theta^2/6+\cdots$ で、相対誤差は $a^2$ に比例します。大きい $\theta$ では格子の値は 2 を超えず、$\theta=2\pi$ で 0 に戻ります。リンクは場を $e^{-igaA}$ の形でしか見ないので、強すぎる場と弱い場を区別しません。この有界性が §06 で積分が有限になる理由の一つです。

計算この図の数値はこの端末で計算した。曲線は (9)（行列の計算との差 $2\times10^{-16}$ 以下）。JavaScript が無効なら：比（格子／連続）は $\theta=0.1,\,0.5,\,1,\,2$ で 0.998・0.959・0.845・0.501、格子の値は $\theta=\pi$ で最大 2、$2\pi$ で 0 です。

四次元の滑らかな場で見る

トーラス $[0,1)^4$ の滑らかな SU(2) の場（8 つの波数の三角関数の和、$g=1$、$\beta=4$）で比べます。リンクは (2) を $n=16$ で打ち切り、連続の作用は三角多項式なので有限個の点の和で厳密に積分しました（$S=184.2275$）。

差は $a^2$ に比例し、係数はこの場で −5.06 付近です（値は場による）。$n$ を 8・16・32 と変えた $S_W$ の変化は $L=8$ で 0.03・0.008 です。(6) の $\|U_P-e^{-iga^2F(c)}\|/a^2$ は $a=1/8$ から $1/64$ で 0.190・0.119・0.065・0.034 と、$a$ を半分にするたびにほぼ半分になり（比は 1.6 から 1.9 へ）、$a$ に比例して縮みます。交換子の符号を逆にすると 5〜6.5 のままでした 計算。

有限の格子の上の量子論は、次の確率測度で定まります（1-08 §01）。

$dU_\ell$ は $G$ の Haar 測度（左右どちらから掛けても変わらない重さ 1 の測度。SU(2) では $S^3$ の一様分布）です。有限である：$0\lt e^{-S_W}\le1$ は連続で範囲はコンパクトなので $0\lt Z\le1$、§04 の有界性から $Z\ge e^{-12\beta L^4}$ も出ます（6-10 の (3)）既知。一辺 4 点の SU(3) なら実 8,192 次元の上のふつうの多重積分です。

ゲージ固定が要らない：Haar 測度は左右の掛け算で変わらないので、(1) で配置を移しても $\prod dU_\ell$ も $S_W$ も変わらず、$\langle f\rangle=\langle f\circ\Omega\rangle$ です。連続では無限大の体積の軌道から代表を選ぶゲージ固定が要りましたが（4-08・3-04）、格子ではゲージ変換の全体 $G^{L^4}$ がコンパクトで重さ 1 なので、重複は平均されるだけです。要旨の「ゲージ固定の項を不要にする」はこのことです 既知。

帰結が二つあります。(i) 一般の $f$ について、$\langle f\rangle$ はゲージ変換で平均した $f$ の期待値に等しくなります。特に、ゲージ変換で自明でない形に変わる量（一本のリンク $U_\ell$ やその成分、$\mathrm{tr}\,U_\ell$ など）は、Haar 平均で打ち消されて期待値が 0 です（7-02 の寄り道。無限体積でも保たれるのが Elitzur 1975 の定理）。ゲージ不変でない量がすべて 0 になるわけではなく、$|\mathrm{tr}\,U_\ell|^2$ の期待値は正です。(ii) 木（閉路を含まないリンクの集合）の上のリンクは 1 にそろえてよい（6-02 §02）。観測量の典型は Wilson ループと、離れた二つのループの相関です。相関の減る速さが格子の上の質量で（4-11・5-09）、Chatterjee（2018）§5 の Problem 5.1 はこれを問います。

無限大を避ける工夫（正則化）は理論の一部を変え、何を残すかで後の仕事が決まります。Wilson の格子では、ゲージ不変性は各 $a$ で厳密に残り、回転と平行移動は 90° の回転と格子間隔ずつの移動だけが残ります（連続の対称性の回復は極限で示すこと。6-10）。反射正値性は成り立ち（Osterwalder–Seiler 1978。5-03）、位相電荷（3-05）はそのままでは定まりません。

問題文（JW §6.5）は反射正値性が Wilson の近似で成り立つことを “a major advantage” と呼びます 既知。ハミルトニアンとヒルベルト空間を作る鍵だからです（4-10）。反対に、連続の運動量の切断はゲージ不変性を壊し、相殺項で戻します（6-07 §06）。JW §6.5 は、反射正値性が次元正則化や Pauli–Villars などの正則化で失われた場合、それを回復する方法は少ない、とも書きます 既知。これを根拠に、三つ（ゲージ不変性・反射正値性・連続の回転）をすべて保つ正則化は、探した範囲では見当たりません（この本の整理。紫外の制御を加えて四つで数える言い方は 6-10 §03）。

Lüscher（1982）の要旨は、作用の密度が小さい四次元の超立方格子の非可換ゲージ場が “an integer topological charge Q, which is invariant under continuous deformations of the field” を持つ、と述べます 既知。この $Q$ は古典的な連続極限で Chern 数（3-05）に戻るとされます。（この章の補足：条件が無ければ $SU(N)^{\text{リンク数}}$ は連結なので、連続で整数値の量は定数しかありません。）作用も Wilson の形に限らず、熱核の作用（Villain 型。6-02）や、$1\times2$ の長方形を足して表 3 の $a^2$ の差を消す改良作用（Symanzik の改良。5-05）があります。どれでも同じ連続極限に着くと考えるのが普遍性です 物理。

有限の格子の理論は (10) で定まりました。問題文の理論には、$L\to\infty$ と $a\to0$（四次元では $\beta\to\infty$ と組にすると考えられている 物理）の二つの極限が要ります。順序は、まず $\beta$（つまり $a$）を固定して $L\to\infty$ を取り、そのあと $a\to0$ です。Chatterjee（2018）§5 の Problem 5.1 も、固定した $\beta$ での無限体積の極限を出発点にしています 既知。一つ目についてさえ、Chatterjee（2018）§3 は、無限体積の極限の一意性は二次元より上の大きい $\beta$ で一般には分かっていないと書きます 既知。第 5 部の続きが分担します。小さい $\beta$ の展開は 5-02、ハミルトニアンは 5-03、強結合側の無限体積は 5-04、$\beta\to\infty$ と $a(\beta)$ は 5-05、数値積分は 5-07・5-08、極限で何を固定するかは 5-09 です。二つの極限の存在とその質量ギャップについて、この章は何も示していません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：5-02 強結合展開（小さい $\beta$ で (10) を展開し、面積則を見る）。

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