2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備ゲージ変換と U(1)

電磁気学はゲージ理論である — ポテンシャルの書き方の余りは、各点で選ぶ U(1) の元になる

電磁気学の主役は、各点に三次元ベクトルを持つ二つの場、電場 $\mathbf E(t,\mathbf x)$ と磁場 $\mathbf B(t,\mathbf x)$ です。電荷 $q$・速度 $\mathbf v$ の粒子は Lorentz 力 $\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ を受け、場は Maxwell 方程式に従います（SI 単位。$\rho$ は電荷密度、$\mathbf J$ は電流密度、$c^2=1/\varepsilon_0\mu_0$）。

(M1) の二本（Gauss の法則と Ampère–Maxwell の法則）は電荷と電流が場を作る式、(M2) の二本（磁荷が無いことと Faraday の電磁誘導の法則）は場の形への制約です。例。源の無い所では (M1)(M2) から $\partial_t^2\mathbf E=c^2\nabla^2\mathbf E$（2-02 の波動方程式の三次元版）が出て、この波が光です。分散 $\omega=c|\mathbf k|$ に下限はありません。

(M2) は源を含まないので、方程式を解く前に $\mathbf E,\mathbf B$ の形を先に絞れます。それが次の節です。

恒等式 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0$ と $\nabla\times\nabla f=\mathbf 0$ で、(M2) を自動的に満たせます。$\mathbf B$ を回転で書けば一本目が成り立ち、二本目は $\nabla\times(\mathbf E+\partial_t\mathbf A)=\mathbf 0$ となるので、$\mathbf E+\partial_t\mathbf A$ を勾配で書きます。

$\mathbf A$ をベクトルポテンシャル、$\phi$ をスカラーポテンシャルと呼びます。$\mathbb R^3$ 全体では $\nabla\cdot\mathbf B=0$ なら必ず $\mathbf B$ は回転で書けます 既知（1-06）。

例 1。一様な $\mathbf B=B_0\mathbf e_z$ には $\mathbf A_1=\frac{B_0}{2}(-y,x,0)$ も $\mathbf A_2=B_0(0,x,0)$ も使えます。例 2。半径 $a$ の長いソレノイドで、内側に一様な $B_0\mathbf e_z$、外側は磁場なし、磁束 $\Phi=\pi a^2B_0$。軸からの距離 $r$、軸を回る向きの単位ベクトル $\mathbf e_\theta$ で

外側では $\nabla\times\mathbf A=\frac1r\partial_r(rA_\theta)\mathbf e_z=\mathbf 0$ なのに $\mathbf A\ne\mathbf 0$。半径 $r$ の円を一周する線積分は $\Phi$ で、Stokes の定理どおり中を貫く磁束です。回転が 0 の所だけを通る道でも、一周の値は 0 になりません。道が穴（ソレノイド）を囲んでいるからで、この値を量子力学が読み取るのが 06 節です。

(P) は $\mathbf E,\mathbf B$ から $(\phi,\mathbf A)$ を一つに決めません。滑らかな関数 $\chi(t,\mathbf x)$ で

と取り替えても $\mathbf E,\mathbf B$ は変わりません（$\nabla\times\nabla\chi=\mathbf 0$、$\nabla\partial_t\chi=\partial_t\nabla\chi$）。これをゲージ変換、$\chi$ をゲージ関数と呼びます。例。例 1 の二つは $\chi=B_0xy/2$ で移り合います（$\mathbf A_2-\mathbf A_1=\nabla\chi$）。

条件（$\nabla\cdot\mathbf A=0$ など）で余りを減らすことをゲージ固定と呼びます（量子版は 4-08）。

格子の上で見る

平面を正方格子に刻み、$\mathbf A$ を辺ごとの数 $A_{ij}=\int_i^j\mathbf A\cdot d\mathbf l$（$A_{ji}=-A_{ij}$）で持ちます。正方形の面 $p$ の角を反時計回りに 1〜4 とすると、Stokes の定理から面を貫く磁束 $B_p$ は四辺の和で、ゲージ関数は格子点の値 $\chi_i$ になります。

各角の $\chi$ は $+$ と $-$ で一度ずつ現れて消え、$B_p$ は変わりません。例。辺の値 $(0.3,\,0.5,\,-0.1,\,-0.2)$ の和は 0.5。$\chi=(1,0,2,-1)$ で変換すると $(-0.7,\,2.5,\,-3.1,\,1.8)$ ですが、和は 0.5 のままです。辺に群の元を置けば Wilson の格子ゲージ理論（5-01）の出発点です。

計算図の数値は四辺の和と $\chi_j-\chi_i$ の足し込みからその場で計算。

「一つの面だけに磁束」は 06 節のソレノイドの格子版です。0 でない辺の列はゲージで形を変えても消えません（06 節の角 $\theta$ が跳ぶ切れ目に当たる）。「磁場なし」で辺だけが揺れるのが純粋なゲージです。

Maxwell 方程式も作用の停留条件です（2-01・2-02）。未知数は $(\phi,\mathbf A)$、$\mathbf E,\mathbf B$ は (P) で書いたものとします。

(M2) は (P) から自動的に成り立ち、(M1) が Euler–Lagrange 方程式として出ます 既知。$\mathcal L$ は $\nabla\phi$ を含みますが $\partial_t\phi$ を含まないので、$\phi$ を動かして出る $\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E=\rho$ は時間の二階微分を含まない同時刻の条件、拘束です。2-01 の玩具の $\lambda$ の方程式に当たります。こうして $(\phi,\mathbf A)$ の四成分のうち、ゲージ変換 (G) で一つ、この拘束で一つが消え、残る $4-1-1=2$ が光の偏りの数です 既知（量子版は 4-01）。

(G) で最初の二項は変わらず、後ろの二項は $\rho\,\partial_t\chi+\mathbf J\cdot\nabla\chi$ だけ増えます。部分積分すると（$\chi$ は遠くで 0）

どの $\chi$ でも作用が変わらないことは、電荷の保存 $\partial_t\rho+\nabla\cdot\mathbf J=0$ と同じです。方程式の側から見ると、(M1) の二本は独立ではありません。Gauss の法則の時間微分と Ampère–Maxwell の法則の発散を組み合わせると、場の項は $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf B)=0$ で恒等的に消え、$\partial_t\rho+\nabla\cdot\mathbf J=0$ だけが残ります。電荷が保存するなら方程式の一部は残りから従う。これが 2-01 の第二定理の形です。

例：質量項は置けない。2-02 にならい $-\frac{\varepsilon_0\Omega^2}{2}|\mathbf A|^2$ を足すと、横波の分散は $\omega^2=c^2|\mathbf k|^2+\Omega^2$ になり下限 $\Omega$ ができます。しかしこの項は (G) で変わってしまいます。ゲージ不変性の下では、作用に質量項を直接書き足すことはできません。相互作用の無い電磁場では下限は生じず、量子論でも光子の質量は 0、自由な電磁場に質量ギャップはありません 既知。

ゲージ不変性を保ったまま、相互作用から質量が生じうるかは別の問題です。超伝導体の中の Meissner 効果や Higgs 機構（3-07）はその例です 既知。ヤン–ミルズでは、別の場を足さずにそれが起きるかが問われます（09 節・4-11）。

古典の粒子は $\mathbf E,\mathbf B$ だけを感じますが、量子力学ではポテンシャルが式に入ります。使うのは三つ（2-05）。(i) 状態は複素数値の波動関数 $\psi(t,\mathbf x)$ で表され、$|\psi|^2$ が位置の確率密度。(ii) 定数 $\alpha$ について $\psi$ と $e^{i\alpha}\psi$ は同じ状態。(iii) 質量 $m$・電荷 $q$ の粒子は次の Schrödinger 方程式に従う（$\hbar=h/2\pi$）。

(G) で (S) は崩れそうですが、$\psi$ も

と変えれば (S) はそのまま成り立ちます。鍵は共変微分 $D=\nabla-\frac{iq}{\hbar}\mathbf A$ で、積の微分から出る $\frac{iq}{\hbar}(\nabla\chi)\psi$ が $\mathbf A$ の変化分と打ち消し合います。

時間の側も同様です。Fock（1926）がこの不変性に気づき、London（1927）がそれを Weyl が以前に立てた尺度（Eich）の理論と結びつけ、Weyl（1928〜29）がゲージ不変性として原理に掲げたとされます（Jackson–Okun 2001）。

$e^{iq\chi/\hbar}$ は絶対値 1 の複素数で、その全体は掛け算で群をなします。これが U(1)（単位円。1-02）です。ゲージ変換とは、各点で U(1) の元を一つずつ選ぶことです。全点で同じ元なら (ii) そのもの、点ごとに違えば $\mathbf A$ が辻褄を合わせます（逆向きの議論は 09 節）。

道に沿った位相因子

基準が点ごとなら、離れた点の位相はどう比べるのか。$\mathbf x$ から $\mathbf y$ への道 $C$ について

両端の取り替えを打ち消すので、$W(C)\in U(1)$ は位相を $\mathbf x$ から $\mathbf y$ へ運ぶ道具（平行移動、1-07）です。閉じた道ならゲージ不変で、囲む磁束 $\Phi_C$ により $W(C)=e^{iq\Phi_C/\hbar}$。格子では辺ごとの $e^{iqA_{ij}/\hbar}$ の積で、03 節の足し算が群の掛け算になります。

例 2 のソレノイドの両脇を電子が通る二重スリットを考えます。電子の通る所は $\mathbf B=\mathbf 0$ で、古典的には何も変わりません。量子力学では、スリット 1 の道 $C_1$ と 2 の道 $C_2$ の寄与が足され、位相差が縞を作ります。$C_1$ と逆向きの $C_2$ をつなぐとソレノイドを一周するので、$\mathbf A$ による位相差は

で、縞は縞間隔の $\Phi/\Phi_0$ だけずれます。$\Phi$ が $\Phi_0$ の整数倍なら元と区別できません。予言は Aharonov–Bohm（1959）。先に Ehrenberg–Siday（1949）が同じ結論に達しており、1939 年の手がかりも指摘されています 既知（Hiley 2013）。

計算縞は $I(y)\propto\operatorname{sinc}^2(0.6y)\cos^2(3.5\pi y+\pi\Phi/\Phi_0)$（$\operatorname{sinc}u=\sin(\pi u)/(\pi u)$）をその場で計算した模式図（縞の数と幅は見やすさで選択）。

なぜゲージ変換で消せないか。外側では $\mathbf A=\nabla(\Phi\theta/2\pi)$（$\theta$ は軸を回る角）なので $\chi=-\Phi\theta/2\pi$ で消せそうですが、$\theta$ は一周で $2\pi$ 増え、関数として一つに決まりません。一価であればよいのは位相 $e^{iq\chi/\hbar}=e^{-iq\Phi\theta/2\pi\hbar}$ のほうで、それは $\Phi/\Phi_0$ が整数のときに限られ、そのときに限り $\mathbf A$ は消えて効果も消える。周期 $\Phi_0$ はここから来ます。

計算表 1　半径 1・$\Phi=1$ のソレノイドの周りの $\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l$ の数値積分。右の二列は例 2 の $\mathbf A$ と、$\chi=\sin x\cos2y+x^2y/3$ で変換した $\mathbf A'$。囲む磁束 × 巻き数との差は $4\times10^{-10}$ 以内。

計算電子では $\Phi_0=h/e=4.1357\times10^{-15}$ Wb、直径 1 µm の円にこれを通す磁場は 5.27 mT。既知実験による最初の検証は Chambers（1960）とされ、Tonomura ら（1986）は磁場を超伝導体に閉じ込めて測りました。

縞のずれは準位にも現れます。半径 $R$ の輪に閉じ込めた電荷 $q\gt0$ の粒子を考え、輪の中心を磁束 $\Phi$ が貫くとします。輪の上は $\mathbf B=\mathbf 0$、$A_\theta=\Phi/2\pi R$ で、$\nabla$ は輪に沿う向きの $\frac1R\partial_\theta$ だけになります。(S) に定常状態 $\psi=e^{-iEt/\hbar}e^{in\theta}$（$|\psi|^2$ が時間によらない状態。一周で戻るので $n$ は整数）を入れると、左辺は $E\psi$、右辺は $\frac{1}{2mR^2}(\hbar n-q\Phi/2\pi)^2\psi$ となり、エネルギーは

$\Phi\mapsto\Phi+\Phi_0$ では番号が $n\mapsto n+1$ と付け替わるだけなので、準位の集まりは周期 $\Phi_0$ の周期関数で、$\Phi=\Phi_0/2$ で下の二つが重なります。輪の上に磁場は無いのに、準位は磁束を知っています。この周期性から超伝導の円筒の磁束の量子化（周期 $h/2e$）を論じたのが Byers–Yang（1961）とされます 既知。

Wu–Yang（1975）は AB 効果の検討から、場の強さでは電磁気学を記述し足りず、位相 $\frac{q}{\hbar}\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l$ では記述し過ぎで、過不足ないのは位相因子 $e^{\frac{iq}{\hbar}\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l}$ だとまとめています 既知。この準位もその一例です。

$N$ 点の輪で、隣へ移る振幅 $-t$（$t\gt0$）に辺ごとの U(1) の元を掛けたエルミート行列 $H_{j+1,j}=-t\,e^{i\theta_j}$、$H_{j,j+1}=\overline{H_{j+1,j}}$（番号は $N$ を法とする）を考えます。ゲージ変換は $\theta_j\mapsto\theta_j+\chi_{j+1}-\chi_j$ で、変わらないのは一周の積 $\prod_je^{i\theta_j}=e^{2\pi if}$（$f=\Phi/\Phi_0$）だけ。一様な $\theta_j=2\pi f/N$ では平面波が固有ベクトルで、

$|n-f|\ll N$ なら $E_n\approx-2t+t(2\pi/N)^2(n-f)^2$ で、07 節の連続の輪と同じ形です。

計算準位は閉じた式（$t=1$）からその場で計算。

計算表 2　$N=12$、$t=1$ の下の二つの準位（行列の固有値）。右端は三つのゲージ（一様／一本の辺に集める／でたらめな $\chi$ を足す）の間の差と、閉じた式との差の最大。行を押すと図 3 に移ります。

準位は三つのゲージで丸め誤差の範囲で一致し、$f$・$1-f$・$f+1$ で同じです。$N=192$ では $(E+2t)/t(2\pi/N)^2$ が連続の輪の $(n-f)^2$ に近づき、下の二つの準位で相対差は最大 $5.0\times10^{-5}$（$f=0.25$ の $E_1$）でした 計算。

ヤン–ミルズ理論は、各点で選ぶ元を U(1) から SU(N)（行列式 1 の $N\times N$ ユニタリ行列、1-04）に取り替えたものです（3-02）。掛ける順で結果が変わるため、場の強さに交換子の項が加わり、場自身が色電荷（電荷に当たるもの）を持って方程式が非線形になります（3-03）。古典の波に下限が無いのは光と同じですが、量子では隙間が生じると考えられています 物理（5-08）。U(1) との違いは 5-06。

次の橋は 3-01 です。この章は $\mathbf A$ を先に置き、(G') を後から見つけました。3-01 は逆に、位相を各点で勝手に回しても (S) が変わらないよう求め、辻褄を合わせる場として $\mathbf A$ を導きます。同じ要求を SU(N) で行うとヤン–ミルズ場が出ます。これがゲージ原理で、05 節の平行移動と 08 節の辺の元がその部品です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-04 特殊相対論と時空。ゲージ原理へ進むなら 3-01。

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