2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化発散の代数

発散の代数 — 入れ子の引き算は群の分解になり、それでも形式的冪級数の外には出ない

4-04 では一ループの発散を、基準の尺度 $\mu$ での値を引いて除きました。引く量は外の運動量に依らない数（相殺項）でした。二ループからは図の一部分（部分図）がそれだけで発散します（部分発散）。部分発散どうしは、一方が他方を含む入れ子か、共通部分があって含み合わない重なりか、互いに素です。

入れ子だけの小さな模型（Kreimer の玩具の模型。Panzer 2012 の §3.2 の定義）を使います。「一つのループ」は $\int_0^\infty dy/(y+s)$ で、$s\gt0$ は外の尺度、$y$ はループの変数です。四次元の泡と同じく対数で発散するので、$y^{-z}$（$z$ は小さい正の数。§04 の $\varepsilon$ に当たる）を掛けて正則化し、内側の値を外側の被積分関数に入れて入れ子を作ります。

$z$ の負の冪の部分（極部分）を $\operatorname{pole}$ と書き、$L=\ln(s/\mu)$、$\mu=1$ とすると

計算 二重のループの極には $L$ が入ります。全体の極だけを引くと、引く量が $\ln s$ を含み、作用に足せる局所的な項になりません。例：$z=0.1$、$L=1$ で $\varphi(\ell_2)=44.49$、その極部分は $50-10=40$ です。

直し方は内側から引くことです。Bogoliubov の処方では、部分発散をその相殺項 $S(\bullet)=-1/z$ で置き換えた項を先に足し、そのあとで全体を引きます。

計算 $L/z$ が消え、全体の相殺項 $S(\ell_2)=1/(2z^2)$ は外の尺度に依りません（$\bar R$：Bogoliubov の写像）。一般の図では森——発散する部分図の集合で、どの二つも入れ子か互いに素なもの（空集合と図全体も含む）——について和をとります。Zimmermann の森の公式は

で、$T_\gamma$ は $\gamma$ の発散部分を取り出す操作（運動量空間では外の運動量の Taylor 展開の低い次数）、積は内側から作用させます（細部を省いた形）。例：$\ell_2$ の森は $\varnothing,\{\bullet\},\{\ell_2\},\{\bullet,\ell_2\}$ で、(5) は $(1-T_{\ell_2})(1-T_\bullet)\,\ell_2$ の展開です。$(1-T_\bullet)$ の部分が (4) の $\bar R$、残りの $-T_{\ell_2}$ が全体の相殺項 $S(\ell_2)=1/(2z^2)$ を足すことに当たり、極の無い値が残ります（§05 の $\varphi_+$）。Bogoliubov–Parasiuk（1957）、Hepp（1966）、Zimmermann（1969）の頭文字で BPHZ と呼ばれ、最初の証明の穴は後の二人の仕事で埋まったとされます（Ebrahimi-Fard–Kreimer 2005 の §1）。重なりのある場合の森の公式も根付き木の Hopf 代数（§05）から出ます（Kreimer 1999 の要旨）。既知

この節は 1-11 §04 と §08 の超関数を使います。要点だけ書きます。テスト関数 $g$ は何回でも微分できて遠くで速く 0 になる関数、超関数 $t$ はテスト関数に数 $\langle t,g\rangle$ を線形に対応させる規則です。$\langle\delta,g\rangle=g(0)$、その微分は $\langle\partial^\alpha\delta,g\rangle=(-1)^{|\alpha|}\partial^\alpha g(0)$ で定めます。超関数の列が「超関数として収束する」とは、どのテスト関数 $g$ についても $\langle t_n,g\rangle$ が収束することです。

位置空間では、発散は超関数を特異な点へ延ばせないことです。例はユークリッドの $\mathbb R^4$ でとります。四次元の質量の無い伝播関数 $G=1/(4\pi^2|x|^2)$ の二乗（泡の図）は原点の近くで $|x|^{-4}$ となり、積分が対数で発散します。Epstein–Glaser（1973）の方法はミンコフスキー空間（時間のある時空）で立てられたもので、時間順序積（その期待値が相関関数）を頂点の数について帰納的に作り（Brunetti–Fredenhagen 2000 の §4）、点が重なる対角線の外で決まった値を対角線の上へ延長します。繰り込みは期待値の対角線への延長そのものです（同論文の要旨）。延長として定式化するので、発散する積分を途中で書かずに済みます。延長の問題そのものは、下のようにユークリッドの $\mathbb R^d$ でも同じ形です。自由度は尺度の次数で測ります（同論文の式 (33)。番号は arXiv 版。収束は超関数として）。

$\mathbb R^d\setminus\{0\}$ 上の $t_0$ について（同論文の定理 5.2・5.3）既知：$\operatorname{sd}(t_0)\lt d$ なら尺度の次数を保つ延長はただ一つ。$d\le\operatorname{sd}(t_0)\lt\infty$ なら延長はあり、二つの延長の差は原点に台を持つ

の形です。$\rho$ は 4-04 の表面的な発散の次数に当たり、定数 $c_\alpha$ が局所的な相殺項の自由度です。例：$t_0=|x|^{-4}$（$d=4$、$\rho=0$）で、半径 $1/\mu$ の球の中でだけ $g(0)$ を引く延長

は $x\ne0$ では $t_0$ と一致し、分子が $O(|x|)$ なので収束します。$\mu$ を替えた差は $2\pi^2\ln(\mu'/\mu)\,g(0)$（$2\pi^2$ は $S^3$ の面積）、$\delta$ の定数倍です。

例：$g_s=e^{-|x|^2/s^2}$ では $\langle u_\mu,g_s\rangle=2\pi^2(\ln(\mu s)-\gamma/2)$（$\gamma$ は Euler の定数）。$\mu=1$ で $s=0.1,1,10$ なら −51.148、−5.697、39.754、$\mu=2$ との差はどれも $2\pi^2\ln2=13.682$ です。延長せずに $|x|\lt\eta$ を除くと $\eta=10^{-2},10^{-8}$（$s=1$）で 85.21、357.91 と伸びます。計算

運動量の積分を次元 $d$ の関数と見ます。4-04 の泡（質量 $m$）は $d\lt4$ で収束して

です（$d=3$ で $1/(8\pi m)$）。右辺は複素数の $d$ へ有理型に（極と呼ぶ孤立した点を除いて複素微分できる関数として）延び、$d=4,6,\dots$ に極を持ちます。これを使うのが次元正則化です。ここでは $d=4-2\varepsilon$ と書きます（4-04 の $d=4-\epsilon$ の $\epsilon$ の半分）。すると

と、発散が極 $1/\varepsilon$ になります。$\varepsilon=0.1,0.01,0.001$ で $16\pi^2I$（$m=1$）は 12.2535、101.9814、1001.9565、(10) の近似との差は 0.2997、0.0276、0.0027 です。運動量を $|k|\lt k_{\max}$ で切った $\ln(k_{\max}^2/m^2)-1$ の $\ln k_{\max}^2$ の役を、$1/\varepsilon$ が担います。計算 MS 方式は $1/\varepsilon$ だけを、$\overline{\mathrm{MS}}$ 方式は $1/\varepsilon-\gamma+\ln4\pi$ を引きます。尺度 $\mu$ を入れる（結合に $\mu^{2\varepsilon}$ を掛ける）ので、$\overline{\mathrm{MS}}$ では $-\ln(m^2/\mu^2)$ が残ります。4-06 の $\Lambda_{\overline{\mathrm{MS}}}$ はこの方式の $\Lambda$ です。

1972 年に Bollini–Giambiagi と 't Hooft–Veltman（題は「ゲージ場の正則化と繰り込み」）の論文があり、ゲージ対称性を壊さない正則化としてヤン–ミルズの摂動論で標準的に使われているとされます。 代償として、(9) は図ごとの解析接続で、非整数の $d$ に測度を与えません。問題文も、次元正則化などで失った反射正値性を取り戻す方法は少ないと書きます（p.11。引用は 0-03 §03。4-10）。

引き算は「部分図 $\gamma$ の取り出し」と「$\gamma$ を一点につぶした残り $\Gamma/\gamma$」の繰り返しです。これを演算にする前に、言葉を三つ用意します。

• 一粒子既約：内線を一本切っても二つに分かれない図。
• $\otimes$（テンソル積）：$\gamma\otimes\Gamma/\gamma$ は二つの図の組を形式的に並べる記号です。左右それぞれについて線形（双線形）で、左右を掛けはしません。あとで値を入れるときに $\varphi(\gamma)\,\varphi(\Gamma/\gamma)$ と掛けます。
• Hopf 代数：積と余積（一つの元を $\otimes$ の組の和に割る写像）と、余単位・対合子という付属の写像を持つ代数。この章で使うのは余積だけです。

引き算を演算にしたのが Kreimer（1998）と Connes–Kreimer（1998・2000）の Hopf 代数で、生成元は発散する一粒子既約な図、積は図を並べること、取り出しは余積です（Ebrahimi-Fard–Kreimer 2005 の式 (15)）。(11) の和は、発散する一粒子既約な真の部分図と、その互いに素な組（積として並べたもの）について取ります。組のときの $\Gamma/\gamma$ は、どれも一点につぶした残りです。余積を $\Delta$ と書くのは文献の慣習で、質量ギャップの $\Delta$ とは別です。

入れ子だけなら、図の代わりに根付き木で足ります。頂点が発散する部分図、子が内側の部分発散です。(11) の和は許される切断（根から葉へのどの道も高々一度しか切らない辺の選び方）の和になり、切り落とした側が左、根の側が右に入ります（図 1）。

$b$ は根に子が二つの木です。正則化した値 $\varphi$（$z$ のローラン級数に値をとり、積を積に移す写像。指標）どうしは、畳み込み $\varphi_1\star\varphi_2=m\circ(\varphi_1\otimes\varphi_2)\circ\Delta$（$m$ は値の積）で群をなします。単位は空の図に 1、ほかの図に 0 を与える指標です。逆元があるので、$\varphi$ の発散を打ち消す因子 $S_R$ を掛けて $S_R\star\varphi=\varphi_+$ を有限にする、という問題の立て方ができます。相殺項 $S_R$ が $\varphi$ の逆元の役をするわけです（§06）。方式 $R$（MS は極部分、MOM は $s=\mu$ での値）を決めると、相殺項 $S_R$ と繰り込んだ値 $\varphi_+$ が木の大きさの順に決まります（Ebrahimi-Fard–Kreimer 2005 の式 (21)(25)(26)）。

玩具の模型では、頂点 $v$ を根とする部分木を $t_v$、頂点の数を $|t|$ として、値が閉じた形になります（Panzer 2012 の命題 3.2.2）。

頂点 4 個までの木 8 本で (13) を計算すると、(i) 相殺項はどれも $L$ を含まず（局所性）、(ii) 繰り込んだ値は $L$ の $|t|$ 次の多項式で最高次は $(-L)^{|t|}/t!$（$t!=\prod_v|t_v|$ は木の階乗）、(iii) MOM の値は Panzer の式 (3.4.2)–(3.4.5) と一致しました。MS と MOM の差は有限です。計算

計算表 1　玩具の模型の繰り込み（有理数で厳密に計算）。右端は $z\to0$ の値。MS で引くと定数が変わる（$\ell_2$ は $\frac{L^2}{2}+\frac{\pi^2}{4}$、$\ell_3$ は $-\frac{L^3}{6}-\frac{5\pi^2L}{12}$）。

Connes–Kreimer（2000）の主定理（要旨）は、次元正則化した裸の理論が、時空の整数の次元 $D$ のまわりの小さな円の上で指標の群のループ $\gamma(z)$ を与え、'the renormalized theory is just the evaluation at z = D of the holomorphic part γ₊ of the Birkhoff decomposition of γ' だというものです。$z=D$ は時空の整数の次元、$\gamma$ は正則化した理論が与えるループ（次元 $z$ を円の上で動かしたときの指標の族）、$\gamma_+$ はその分解の正則な因子です。既知 以下では $z$ を $D$ からのずれとして書きます（玩具の模型の $z$ と同じ役で、$z=0$ が整数の次元）。

$\varphi_-$ は $1/z$ の多項式（定数項は単位）で MS の相殺項、$\varphi_+$ は $z=0$ で正則で $\varphi_+(0)$ が繰り込んだ値です。たとえれば、ローラン級数を極の部分と正則な部分に分けることの掛け算版です。正確には、群が可換でないので (13) の帰納で木の大きさの順に決まります。$S_R$ と $\varphi_+$ が再び指標になるのは、$R$ が $R^2=R$ と Rota–Baxter の等式

を満たすからです（Ebrahimi-Fard–Kreimer 2005 の式 (20)）。既知 例：極部分の $R$ と $x=1/z+a$、$y=1/z+b$ では両辺とも $2/z^2+(a+b)/z$ です。

図 2 は梯子 $\ell_n$（頂点が一列に $n$ 個）の MOM です。(13) の和は $\bar R(\ell_n)=\varphi(\ell_n)+\sum_{j\lt n}S_R(\ell_j)\,\varphi(\ell_{n-j})$ になり、$z\to0$ で裸の値は $z^{-n}$ の速さで逃げ、引いた値は多項式に落ち着きます。計算

計算この図の数値はこの端末で計算した。式 (13)(14) の閉じた形を図の中で評価し、python3 と照合した。

JavaScript が無効なら：$L=1$ で $z=0.02,\ 0.005$ の引いた値は、$n=1$：−0.991、−0.998（極限 −1）、$n=2$：0.394、0.473（0.5）、$n=3$：−1.696、−1.776（−1.812）、$n=4$：0.655、1.419（1.687）。裸の値は $z=0.02$ で 49、1205、19802、245195。極限との差はほぼ $z$ に比例して縮む。計算

寄り道：根付き木と Runge–Kutta 法

別の道は、尺度ごとの作用の族を理論と見ることです（Wilson の繰り込み群。6-05）。Costello（2007 年の論文、2011 年の本）は伝播関数 $1/k^2=\int_0^\infty e^{-tk^2}dt$ の $t$（長さの二乗）を $\varepsilon$ から $T$ に制限します。

正確には、論文はコンパクトな多様体の上の熱核で書かれ、平らな空間ではそれが $e^{-tk^2}$ になります。例：$\varepsilon=0.01$、$T=100$ で $k^2P$ は $k=1,10,30$ で 0.990、0.368、$1.2\times10^{-4}$。計算 異なる尺度の作用は繰り込み群方程式で結ばれます（$\Gamma(P,S)$ は $S$ の頂点を $P$ で結んだ図の和）。

論文の定理 B は、方式（$\varepsilon$ の関数のうちどれを特異な部分と呼ぶかの選び方）を固定すると、相殺項 $S^{\mathrm{CT}}(\varepsilon)$ が一意にあって $\lim_{\varepsilon\to0}\Gamma(P(\varepsilon,T),S-S^{\mathrm{CT}})$ が存在し、相殺項は $T$ に依らず局所的なことです。相殺項は $\hbar$（ループの数を数える文字）の冪級数です。尺度 $T$ の有効作用は、この相殺項を引いてから $\varepsilon\to0$ とした極限

で、$P(0,T)$ のままで図を作ると発散します。有効作用も $\hbar$ の形式的冪級数です（§08）。定理 C は、方式を固定すると局所的な作用と、(19) と $T\to0$ での局所性を満たす有効作用の族とが一対一に対応することです。方式を替えるのは同じ族に別の座標を付けることに当たります。既知

ゲージ対称性は Batalin–Vilkovisky（BV）形式の量子マスター方程式で表します（ここでは名前だけ。ゲージ対称性を保つ条件を、補助の場を加えた一つの方程式にまとめたもの）。2007 年の論文は繰り込み（相殺項の構成）と量子化（量子マスター方程式の解の構成）を区別し、コンパクトな四次元多様体上の純ヤン–ミルズを前者の例に、後者の非自明な例を Chern–Simons 理論とします。2011 年の本はヤン–ミルズの摂動的な繰り込み可能性のコホモロジー（$Q^2=0$ となる写像 $Q$ について $\ker Q/\operatorname{im}Q$ を見る代数の道具。ここでは名前だけ）による証明を含むと紹介されています。繰り込み可能性そのものは 't Hooft（1971）、't Hooft–Veltman（1972）、Lee–Zinn-Justin（1972）、Becchi–Rouet–Stora（1976）らで確立したとされます（6-12 §06）。既知

ここまでの道具はどれも結合定数の形式的冪級数の上で働き、各次数を有限にし、自由度を有限個の局所項に閉じ込めます。既知 届かないものは三つです。(i) 級数の和：四次元ヤン–ミルズの摂動級数は発散すると考えられています（4-12）。物理 (ii) どの次数でも 0 の量：一ループの尺度（4-07。純 $SU(N)$ で $\beta_0=11N/3$。係数の四つの書き方の換算は 4-06 表 1）

は（$b_0=\beta_0/(16\pi^2)$ とおけば 4-07 の式 (3) と同じ式）、$g$ についての Taylor 係数がすべて 0 です。質量ギャップは $\Lambda$ に比例すると期待され 物理、そうした量は形式的冪級数の中で 0 と区別できません（6-12 §07）。(iii) 測度と正値性：問題文が求めるのは係数の列ではなく公理を満たす理論で（0-03）、その相関関数は短い距離で漸近自由と摂動的な繰り込み理論の予言に合うべきだとされます（p.6。引用は 0-03 §07）。この章の代数は、構成が再現すべき答えの側にあります。

同じ代数が形式的冪級数の外の道具の中で使われている例に、Hairer の正則性構造の繰り込みがあります。正則性構造は確率量子化（6-09。ここでは名前だけ。雑音で揺らした時間発展の方程式を解き、その長い時間の後の分布として測度を得ようとする方法）の方程式を解くための枠組みで、その繰り込みは二つの Hopf 代数の組と Birkhoff 分解の変種で書かれます（Bruned–Hairer–Zambotti 2019 の要旨）。正則性構造は、三次元ヤン–ミルズ–Higgs の確率量子化の方程式の局所時間の解（短い時間の間だけの解）の構成に使われています（Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen 2024 の要旨）。既知 扱えるのは劣臨界（短い尺度ほど非線形項が弱くなる）の方程式で、四次元ヤン–ミルズは臨界（非線形項の強さが尺度に依らない）なのでその外です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-06 漸近自由。寄り道は 6-12・4-12。

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