2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備調和振動子と Fock 空間

調和振動子と生成消滅 — 準位は等間隔に並び、場の量子は粒子として数えられる

場の量子論は調和振動子の集まりとして始まります。平衡点 $x_0$ の近くでは、どんな位置エネルギーも $V(x_0)+\frac12V''(x_0)(x-x_0)^2$ と近似でき、弦も独立な単振動の集まりでした（2-02）。位置 $x$ と運動量 $p=-i\hbar\,d/dx$ は $L^2(\mathbb R)$ 上の自己共役な作用素で、$[x,p]=i\hbar$ です（2-05）。

長さを $\ell=\sqrt{\hbar/m\omega}$、エネルギーを $\hbar\omega$ で測り、$\xi=x/\ell$、$\eta=p\ell/\hbar$ と置くと $H=\frac{\hbar\omega}{2}(\xi^2+\eta^2)$、$[\xi,\eta]=i$。例。計算1 g・1 Hz のばねでは $\ell\approx1.3\times10^{-16}$ m、$\hbar\omega\approx6.6\times10^{-34}$ J で、室温の $k_BT\approx4.1\times10^{-21}$ J より 13 桁小さい値です。

(1) の固有値は、微分方程式を解かずに代数だけで求まります（$a^\dagger$ は $a$ の随伴）。

$[a,a^\dagger]=1$、$a^\dagger a=\frac12(\xi^2+\eta^2-1)$ なので

$[N,a]=-a$、$[N,a^\dagger]=a^\dagger$ から、$N\psi=\nu\psi$ なら $N(a\psi)=(\nu-1)a\psi$、$N(a^\dagger\psi)=(\nu+1)a^\dagger\psi$：$a$ は 1 下げ、$a^\dagger$ は 1 上げます。$\lVert a\psi\rVert^2=\langle\psi,N\psi\rangle=\nu\lVert\psi\rVert^2\ge0$ なので、$\nu$ が整数でなければ下り続けて矛盾し、整数なら $\nu=0$ の $a\psi_0=0$ で止まります。上りは $\lVert a^\dagger\psi\rVert^2=(\nu+1)\lVert\psi\rVert^2\gt0$ で止まりません。

既知準位は等間隔で、隙間は $\hbar\omega$。規格化すると $a^\dagger\psi_n=\sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}$、$a\psi_n=\sqrt n\,\psi_{n-1}$。1-04 の梯子と同じ議論ですが、あちらは両端で止まる有限次元でした。$[a,a^\dagger]=1$ を満たす有限次の行列は無く（トレースが 0 と次元で合わない）、この代数は無限次元でしか実現しません。

$a\psi_0=0$ は座標では一階の方程式 $(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0=0$ で、解は定数倍を除いて一つです（縮退が無い）。

基底状態はガウス関数で、$\langle x^2\rangle=\hbar/2m\omega$、$\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$ は不確定性関係の下限ちょうどです。$E_0=\hbar\omega/2$ を零点エネルギーと呼び、0 にできないのは位置と運動量を同時に 0 へ寄せられないからです。正確には $\langle H\rangle\ge\omega\sqrt{\langle p^2\rangle\langle x^2\rangle}\ge\omega\,\Delta x\,\Delta p\ge\hbar\omega/2$。$\psi_n$ は Hermite 多項式と $e^{-\xi^2/2}$ の積です。

計算曲線は漸化式 $\psi_{n+1}=\sqrt{\frac{2}{n+1}}\,\xi\psi_n-\sqrt{\frac{n}{n+1}}\,\psi_{n-1}$（(2) と梯子の関係から出る）と古典の密度 $1/(\pi\sqrt{2n+1-\xi^2})$ でその場で計算。

計算数値積分で求めた、入れない領域にいる確率は $n=0,1,2,5,10,30$ で 0.1573, 0.1116, 0.0951, 0.0740, 0.0602, 0.0425（$n=0$ は $\operatorname{erfc}(1)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_1^\infty e^{-t^2}\,dt$）。$n$ が大きいと、揺れを均した $|\psi_n|^2$ は古典の密度に近づきます。

固有状態は位相が回るだけで、密度は動きません。$\psi=c_0\psi_0+c_1\psi_1$ では、$\Delta=E_1-E_0$ として（偶奇から対角の項は 0）

隙間は、観測できる量が振動する速さで、振動子では古典の $\omega$ です。コヒーレント状態 $\psi_\alpha=e^{-|\alpha|^2/2}\sum_n\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\psi_n$（$a\psi_\alpha=\alpha\psi_\alpha$）の重みは平均 $|\alpha|^2$ のポアソン分布で、$\alpha$ が実数なら密度は形を保って古典の軌道を往復します。

計算式 (7) とポアソン分布からその場で計算。

虚時間では、隙間は相関の減る速さ

2-05 の (8) を振動子の $A=x$ で計算します。(2) から $x=\ell\,(a+a^\dagger)/\sqrt2$ なので $x\psi_0=\frac{\ell}{\sqrt2}\psi_1$ で、ほかの成分はありません。

減る速さは隙間 $(E_1-E_0)/\hbar=\omega$ で、2-05 の (8) は振動子では等号です。一般の $V$ では $G(\tau)=\sum_{n\ge1}|\langle\psi_n,x\psi_0\rangle|^2e^{-(E_n-E_0)\tau/\hbar}$ となり、$\tau\to\infty$ で $n=1$ の項が残ります（$\langle\psi_1,x\psi_0\rangle\ne0$ のとき）。虚時間の相関は隙間の速さで減ります。格子でグルーボールの質量を測るのも（5-08）、質量ギャップを相関の減衰で言い換えるのも（4-11）この形です（$t=-i\tau$ の意味は 2-04、経路積分は 2-07）。

四次の項を足します（$\hbar=m=\omega=1$）。

$x^4=\frac14(a+a^\dagger)^4$ は $n$ を最大 4 動かすので、梯子はもう閉じません。一次の摂動（期待値で置き換える）では $E_n\approx n+\frac12+\frac{3\lambda}{4}(2n^2+2n+1)$、隙間は $1+3\lambda$ です。

計算表 1　式 (9) の準位を差分法で求めた値（刻みを半分にした変化は $3\times10^{-6}$ 以内）。

見積もりは $\lambda=0.01$ で合い、$\lambda=1$ で外れます。間隔は上ほど広がり、隙間は正のままです。既知一次元で $V$ が連続で、$|x|\to\infty$ で $V\to\infty$ なら、スペクトルは固有値だけからなり（離散スペクトル、1-10）、どの固有値も縮退しません。縮退しない理由は短く言えます。同じ $E$ の固有関数 $\psi,\chi$ のロンスキアン $W=\psi\chi'-\psi'\chi$ は方程式から $W'=0$ で定数で、遠方で 0 なので恒等的に 0、つまり $\psi$ と $\chi$ は比例します。離散的であることの証明は出典表の教科書にあります（基底状態は 2-05 の 04 節）。

独立な振動子が $K$ 個あれば $[a_k,a_l^\dagger]=\delta_{kl}$、$[a_k,a_l]=0$ で

固有状態は占有数の組 $(n_1,\dots,n_K)$ で番号づけられ、$n_k$ は「モード $k$ の量子の数」です。全部 0 が真空 $|0\rangle$、$a_k^\dagger|0\rangle$ が一量子の状態です。$a_k^\dagger a_l^\dagger|0\rangle=a_l^\dagger a_k^\dagger|0\rangle$ なので量子に番号札は付かず、「どのモードに何個」だけが意味を持ちます。2-02 の鎖を量子化するとこの形です。

振動子の数に依らない形が Fock 空間です。一量子の空間を $\mathfrak h$（ここでは $\mathbb C^K$、場では関数の空間）とします。$\mathfrak h=\mathbb C^K$ なら、$\mathrm{Sym}^r\mathfrak h$ は上の占有数の組のうち和が $r$ になるもの $(n_1,\dots,n_K)$ を正規直交基底とする空間、と読んでよいです（正確には $r$ 個のテンソル積の対称化です）。モードが無限個なら、0 でない $n_k$ が有限個で和が $r$ の組を基底にとります。

直和はノルムの二乗の和が有限な列の全体で、量子の総数 $\hat N=\sum_ka_k^\dagger a_k$ は $\mathrm{Sym}^r\mathfrak h$ で値 $r$ です。例。$K$ 個のモードに $r$ 個を配る仕方は $\binom{r+K-1}{r}$ 通りで、$\dim\mathrm{Sym}^2\mathbb C^3=6$ です。既知生成・消滅で光を扱う方法は Dirac（1927）に、この空間は Fock（1932）にさかのぼるとされます。

長さ $L$ の輪（周期境界）の上で、質量項 $m$ のある場（2-02 §06）を量子化します（$\hbar=c=1$）。モード $e^{ikx}$（$k=2\pi n/L$、$\omega_k=\sqrt{k^2+m^2}$。2-02 の分散関係 $\omega^2=c^2k^2+\Omega^2$ で $c=1$、$\Omega=m$ としたもの）ごとに振動子を置くと

全運動量は $P=\sum_kk\,a_k^\dagger a_k$ です。モード $k$ の量子一つはエネルギー $\sqrt{k^2+m^2}$ と運動量 $k$ を持ち、質量 $m$ の粒子の関係 $E^2=p^2+m^2$（2-04）そのものです。粒子とは場の基準振動の量子です。$(P,E)$ 平面では（図 4）一粒子は双曲線 $E=\sqrt{P^2+m^2}$ に乗り、二粒子以上は $E\ge\sqrt{P^2+4m^2}$ の側を埋めます。真空の次は $k=0$ の一粒子で、箱を広げても隙間は $m$。既知無限体積では $k$ が実数全体を動き、一粒子のエネルギー $\sqrt{k^2+m^2}$ が $[m,\infty)$ を覆い、多粒子は $[2m,\infty)$ に入るので、ハミルトニアンのスペクトルは $\{0\}\cup[m,\infty)$ です。$m=0$ では隙間 $2\pi/L$ が 0 へ縮みます（振動子でない $k=0$ は除く）。

計算点は占有数の組をその場で数え上げたもの（表 3 と同じ手順）。

計算表 3　周期 $L$ の箱の自由な場で、$E\le3$ の状態の数と隙間。

(15) の真空のエネルギー $\sum_k\omega_k/2$ は発散します。$|k|\le\Lambda$ で打ち切り、$\Lambda\gg m$ とすると

体積に比例し $\Lambda^2$ で増えます。測れるのは差なので、定数を捨てて $H=\sum_k\omega_ka_k^\dagger a_k$ とします（正規順序）。隙間は差なので変わりません。物理箱を変えたときの真空のエネルギーの差は有限に残ることがあり、Lüscher 項はその例とされます（7-03）。

$[a_k,a_l^\dagger]=\delta_{kl}$ を満たす作用素をヒルベルト空間の上に用意することを、交換関係の表現と呼びます。既知振動子が有限個なら、交換関係を指数の形（Weyl の関係。一つの振動子なら $e^{isx}e^{itp}=e^{-i\hbar st}e^{itp}e^{isx}$）で書いたときのユニタリで既約な表現（不変な閉部分空間が自明なものだけ）は、ユニタリ同値（ユニタリ写像で移り合うこと）を除いて一つです（Stone–von Neumann）。無限個では、Fock 表現とユニタリ同値でない表現がつくれます。たとえば全モードに量子を一つずつ置いた状態は占有数の和が無限大で Fock 空間に入らず、それを真空とする別の表現が考えられます。相互作用のある場の扱いは Haag の定理とともに 4-09 で扱います。

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出典と再現

次に読む章：2-07 経路積分の考え方。

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