2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部量子化経路積分・Wick 回転

経路積分とユークリッド化 — 時間を虚にすると、場の理論は四次元の確率の問題になる

この章で分かること — 場の経路積分が場の配位すべてについての和であること。
時間を虚にすると重み $e^{iS}$ が $e^{-S_E}$ になり、ヤン–ミルズでは $S_E\ge0$ なので確率の重みとして読めること。
ローレンツ変換が四次元の回転になり、時間が四つの対等な方向の一つになること。

前提となる章 — 2-07（経路積分・虚時間）、2-04（ローレンツ変換・場の作用）。§04 は 3-02・3-03 の非可換の場の強さを使います。ハミルトニアンは 4-01、ガウス測度は 1-09。

先に言うこと — この章の変形の多くは形式的です。Wick 回転は発見法で、厳密な対応は Osterwalder–Schrader の再構成（4-10）です。四次元のヤン–ミルズの測度は構成されておらず、この章は質量ギャップについて何も示していません。

この章の順序

道から場の配位へ — 格子では何千万重の積分
時間を虚にする — $iS$ が $-S_E$ になる
伝播関数で見る回転 — 極を避けて回す（図 1・表 1）
ヤン–ミルズ場の回転 — $S_E\ge0$ 、θ 項は虚のまま
時空が空間になる — ブーストが回転に（表 2）
確率測度としての場の理論 — 格子では本物の測度（図 2）
ゲージ場で足りないもの — 軌道の体積（表 3）
虚時間の相関がエネルギーを読む — ギャップとのつながり
寄り道：真空の波動関数を半分の時空で書く — 振動子で確かめる

道から場の配位へ — 足すものが関数になる

2-07 では一粒子の道 $x(t)$ について $e^{iS}$ を足しました。場の理論では、道の代わりに時空の関数 $\varphi(t,\vec x)$ 、場の歴史のすべてについて足します。真空 $\Omega$ での相関（ $\mathrm T$ は時刻の遅いものを左に並べる約束）は、形式的に

\langle\Omega|\,\mathrm T\,\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)\,|\Omega\rangle=\frac{\int\mathcal D\varphi\;\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)\,e^{iS[\varphi]}}{\int\mathcal D\varphi\;e^{iS[\varphi]}} \tag{1}

と書かれます。一粒子でも $e^{iS}\mathcal Dx$ は測度になりませんでした（2-07 §03）。場では各時刻に無限個の変数もあります（1-09）。

例。格子に刻めば (1) は有限の多重積分です。空間 $32^3$ ・時間 64 の格子の点は 2,097,152 個で、 $SU(3)$ のヤン–ミルズ場は一点に 4 本のリンク、一本に 8 個の実数を持つので 67,108,864 重の積分です計算。困難は $e^{iS}$ の振動と、刻みを細かく箱を広くする極限の二つです。この章は一つ目を取り除きます（二つ目は第 5・6 部）。

時間を虚にする — $iS$ が $-S_E$ になる

$t=-i\tau$ という置き換えは二度出てきました。2-04 §09 では波動方程式に代入し、振動が減衰に変わることを見ただけでした。2-07 §05 では一粒子の経路積分の重みを回しました。ここでは場の作用と相関を回します。スカラー場の作用（2-04 の (7) に位置エネルギー $V$ を足したもの）に $t=-i\tau$ （ $\hbar=c=1$ 、符号は $(-,+,+,+)$ 、 $x_4=\tau$ ）を入れると、 $dt=-i\,d\tau$ 、 $(\partial_t\varphi)^2=-(\partial_\tau\varphi)^2$ から

iS_M=-S_E,\qquad S_E[\varphi]=\int d^4x\Bigl[\tfrac12\sum_{\mu=1}^{4}(\partial_\mu\varphi)^2+\tfrac12m^2\varphi^2+V(\varphi)\Bigr] \tag{2}

です。時間の微分の符号が空間の微分にそろい、四つの方向が対等になりました。 $S_E$ をユークリッド作用と呼び、 $V$ が下に有界なら重み $e^{-S_E}$ は正で有界です。(1) は Schwinger 関数（名は Schwinger 1958 にちなむとされる）に替わります。

S_n(x_1,\dots,x_n)=\frac1Z\int\mathcal D\varphi\;\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)\,e^{-S_E[\varphi]},\qquad Z=\int\mathcal D\varphi\;e^{-S_E[\varphi]} \tag{3}

例。 $V=0$ なら (3) は共分散 $(-\Delta+m^2)^{-1}$ （ $\Delta$ はラプラシアン $\sum_\mu\partial_\mu^2$ 。質量ギャップの $\Delta$ とは別）のガウス積分で、 $S_2(x,y)=G(x-y)$ は 1-11 の (10) の伝播関数です。注意。(1) は収束する積分ではないので、 $t=-i\tau$ を入れるのは変数変換ではなく書き換えの規則です。正確な中身は相関関数の解析接続で、一つの積分で見ると次節の形です。

伝播関数で見る回転 — 極を避けて積分路を回す

質量 $m$ の自由場の二点関数は、運動量で書くと

\langle\Omega|\,\mathrm T\,\varphi(x)\varphi(0)\,|\Omega\rangle=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\,e^{ip\cdot x}\,\frac{-i}{p^2+m^2-i\varepsilon},\qquad p^2=-(p^0)^2+|\vec p|^2 \tag{4}

です。 $\varepsilon\to+0$ は極を避ける側を決めます（Feynman の処方）。まず時刻の差 $t=0$ の成分で見ます。このとき $e^{ip\cdot x}$ のうち $p^0$ による因子 $e^{-ip^0t}$ は 1 です。 $\omega=\sqrt{|\vec p|^2+m^2}$ と置くと $p^0$ の被積分関数は $i/((p^0)^2-\omega^2+i\varepsilon)$ で、極 $\pm\sqrt{\omega^2-i\varepsilon}$ は第 4・第 2 象限にあります。

ここで複素積分の事実を一つだけ使います。極とは分母が 0 になる点です。複素平面で、極を囲まない閉じた道に沿って積分すると 0 になります（Cauchy の積分定理。正確には、道とその内側で関数が複素微分できることが条件で、分母が 0 にならない有理関数はこれを満たします）既知。だから極を横切らずに積分路を連続的に動かしても、値は変わりません。

積分路を $p^0=e^{i\theta}s$ （ $s$ は実）と反時計回りに回します。 $\theta$ が 0 から 90° の間、動く直線は第 1・第 3 象限を掃くだけで、極を横切りません。回す前と後の二本の直線を、半径 $R$ の遠くの弧で結ぶと、極を囲まない閉じた道になります。弧の長さは $R$ に比例し、被積分関数は $1/R^2$ で減るので、弧の寄与は $1/R$ で消えます。したがって実軸の上の積分と回した直線の上の積分は等しく、 $\theta=90^\circ$ 、つまり $p^0=ip_4$ で

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp^0}{2\pi}\;\frac{i}{(p^0)^2-\omega^2+i\varepsilon}\;=\;\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp_4}{2\pi}\;\frac{1}{p_4^2+\omega^2}\;=\;\frac{1}{2\omega}\qquad(\varepsilon\to0) \tag{5}

右辺の被積分関数は正でなめらかです。四次元では $-i\,d^4p/(p^2+m^2-i\varepsilon)$ が $d^4p_E/(p_E^2+m^2)$ に替わり、これがユークリッドの伝播関数です既知。 $1/(2\omega)$ は振動数 $\omega$ の振動子の基底状態の $\langle x^2\rangle$ で（2-06）、自由場のフーリエ成分は一つ一つが振動子でした（2-06 §08）。

$t\ne0$ の成分では因子 $e^{-ip^0t}$ が付きます。 $p^0=e^{i\theta}s$ を第 1 象限に回すと、 $st>0$ の側で $|e^{-ip^0t}|=e^{st\sin\theta}$ は遠くで増えるので、弧の寄与が消えません。そこで $t$ も同じ角度だけ逆向きに、 $t=e^{-i\theta}\tau$ と回します。すると途中のどの角度でも $p^0t=s\tau$ は実で、因子は大きさ 1 の振動のまま残り、弧の議論が通ります。 $\theta=90^\circ$ で $t=-i\tau$ 、 $p^0=ip_4$ 、 $p^0t=p_4\tau$ です。時間が時計回り、エネルギーが反時計回りに回るのはこのためです。

逆に回すと極を横切り符号が変わるので（図 1・表 1）、向きは $i\varepsilon$ が決めています。名は Wick（1954）の Bethe–Salpeter 方程式の扱いによるとされます。

図 1　角度 θ を変えると、

p^0

平面の積分路（積分路の図の太線）と、その上の被積分関数（被積分関数の図。実線が実部、破線が虚部）が変わる。極（×）を横切らない限り積分

I(\theta)

は変わらない（

\omega=1

）

θ（度）ε

θ = 30°、ε = 0.40：I(θ) = 0.4731 + 0.0911i

計算この図の数値はこの端末で計算した（ $s=\tan u$ と置いた台形公式）。

計算表 1　図 1 の $I(\theta)$ （python3）。 $\varepsilon=0.4$ の極の角度は $-10.90^\circ$ 。
θ	ε	I(θ)
90°・30°・0°・−10°	0.4	+0.473094 + 0.091110i
−12°・−45°・−90°	0.4	−0.473094 − 0.091110i
0°	0.001	0.500000 + 0.000250i

角度によらず値は一つで、極を越えて逆に回すと符号だけが反転します。

ヤン–ミルズ場の回転 — $E^2-B^2$ が $E^2+B^2$ になる

記号は 3-03 §01 の $\hat A=gA$ に合わせ、ハットを省いて書きます。つまり $g$ を $A$ に吸収し、 $A_\mu$ はエルミートな行列、 $D_\mu=\partial_\mu-iA_\mu$ 、 $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-i[A_\mu,A_\nu]$ （2-04 の (9) と同じ）、 $\mathrm{tr}(T^aT^b)=\frac12\delta^{ab}$ です。

ゲージ場は 1-形式（1-07）なので $A_0\,dt=A_4\,d\tau$ 、つまり $A_0=iA_4$ と回します。 $\partial_0=i\partial_4$ と合わせて

F_{0j}=i\partial_4A_j-i\partial_jA_4-i[iA_4,A_j]=i\,F_{4j},\qquad F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2F_{0j}F_{0j}+F_{jk}F_{jk}=\sum_{\mu,\nu=1}^{4}F_{\mu\nu}F_{\mu\nu} \tag{6}

です。言葉で言えば、時間の添字を一つ持つ成分（電場の成分）にだけ $i$ が一つ付き、二乗で $-1$ になります。ミンコフスキーの計量では電場の二乗に $-1$ が付いていたので、その二つが打ち消し、四つの添字がすべて同じ符号で並びます。スカラー場の (2) で $(\partial_t\varphi)^2$ の符号が空間の微分にそろったのと同じことです。 $S_M=-\frac1{2g^2}\int dt\,d^3x\,\mathrm{tr}\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ （3-03 の (1) をハットの記号で書いたもの）に入れると $i\cdot(-i)=1$ が残り、 $iS_M=-S_E$ で

S_E[A]=\frac1{2g^2}\int d^4x\;\mathrm{tr}\,F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}=\frac1{g^2}\int d^4x\;\mathrm{tr}\bigl(E_E^2+B^2\bigr)\;\ge\;0,\qquad E_{E,j}=F_{4j},\ B_j=\tfrac12\varepsilon_{jkl}F_{kl} \tag{7}

エルミートな $X$ では $\mathrm{tr}\,X^2=\sum|X_{ij}|^2\ge0$ なので $S_E\ge0$ 、等号は $F=0$ のときだけです。位相電荷 $Q$ の配位では $S_E\ge8\pi^2|Q|/g^2$ です（3-03 の (12)・3-05）既知。例。 $A_4=0$ で $A_j$ が $\tau$ によらない配位では $E_E=0$ なので、長さ $T$ の虚時間の $S_E$ は $T\mathcal E$ （ $\mathcal E=\frac1{g^2}\int\mathrm{tr}\,B^2d^3x$ は磁場のエネルギー）で、重みは $e^{-T\mathcal E}$ です。

θ 項は虚のまま残る

位相の項 $\theta Q$ は違います。各成分に時間の添字を持つ $F$ がちょうど一つ入るので、回転の $i$ と $dt$ の $-i$ が打ち消し合い、重みは $e^{-S_E}e^{i\theta Q}$ （符号は向きの規約による）、 $\theta\ne0$ では複素数です。Vicari–Panagopoulos（2009）は 'the complex nature of the θ term in the Euclidean QCD Lagrangian prohibits a direct MC simulation at θ ≠ 0' と書きます既知。以下 $\theta=0$ とします。

時空が空間になる — ブーストが回転になる

2-04 のブースト $t'=t\cosh\phi-x\sinh\phi$ 、 $x'=x\cosh\phi-t\sinh\phi$ に $t=-i\tau$ と虚の急速度 $\phi=i\alpha$ を入れると、 $\cosh i\alpha=\cos\alpha$ 、 $\sinh i\alpha=i\sin\alpha$ から

\tau'=\tau\cos\alpha+x\sin\alpha,\qquad x'=x\cos\alpha-\tau\sin\alpha \tag{8}

で、 $(\tau,x)$ 平面の回転です。ローレンツ群 $SO(3,1)$ は回転群 $SO(4)$ に替わります既知。間隔は $\tau^2+|\vec x|^2\ge0$ になり、光円錐も過去と未来の区別も消えます。どの方向を時間と呼ぶかは後で選ぶ事柄です。反射正値性（4-10）も満たすなら、回転不変性から、どの方向を時間に選んでも同じ理論が戻ります。両者を互いに移す方法は公理的場の理論の成果です既知（Clay の懸賞問題の公式の問題文である Jaffe–Witten の解説〈2000、0-03〉の §3。以下「解説」）。

格子は回転を 90° に減らす

格子に残る回転は 90° 刻みと鏡映だけで、 $SO(4)$ が $a\to0$ で戻ることも示すべき事柄です。四次元の格子の自由場（ $m=1$ 、 $a=1/2n$ ）で、距離 1 の点 $(2n,0,0,0)$ と $(n,n,n,n)$ の相関を比べます。連続の相関は $G(r)=\dfrac{m\,K_1(mr)}{4\pi^2r}$ です。 $K_1$ は変形 Bessel 関数と呼ばれる特殊関数で、遠くでは $e^{-mr}$ で減ります（近くでは $1/(mr)$ のようにふるまい、 $G\approx1/(4\pi^2r^2)$ ）。

計算表 2　格子の二点関数と連続の $G(1)=K_1(1)/4\pi^2$ の比。格子の側は、変形 Bessel 関数の一族 $I_\nu$ を使った一重積分の表示で計算。
a	1/2	1/4	1/8	1/16	1/32
軸	1.4329	1.1297	1.0247	1.0058	1.0014
対角	0.8126	0.9475	0.9869	0.9967	0.9992

粗い格子では向きで相関が約 1.8 倍違い、差は $a^2$ に比例して消えます。Wilson の格子（5-01）は反射正値性（4-10）を厳密に保つ代わりに回転を壊します。正則化で反射正値性を失うと回復する方法は少ない、と解説は書きます（Jaffe–Witten §6.5）。

確率測度としての場の理論 — $e^{-S_E}$ を確率と読む

$S_E$ が下に有界なら $e^{-S_E}/Z$ は場の配位の上の確率密度のように読め、(3) はその積率（モーメント）です。場の理論が、四次元の空間の上のランダムな関数の理論になります。解説はこの見方を Symanzik に帰します（Jaffe–Witten §3）既知。

正確には、無限次元のルベーグ測度 $\mathcal D\varphi$ は無いので（1-09）、そのまま正しいのは有限次元です。間隔 $a$ ・一辺 $L$ の周期格子 $\Lambda_{a,L}$ では

d\mu_{a,L}(\varphi)=\frac{1}{Z_{a,L}}\;e^{-S_E^{(a)}(\varphi)}\prod_{x\in\Lambda_{a,L}}d\varphi(x) \tag{9}

が本物の確率測度です（ $S_E^{(a)}$ は (2) の微分を差分に、積分を和に替えたもの）。場の理論を作るとは、 $a\to0$ 、 $L\to\infty$ での積率の極限とその性質を示すことです（6-01）。自由場の極限は超関数の空間のガウス測度で、解説は、非線形な場には非ガウスの測度が要る（'one requires non-Gaussian dµ to obtain nonlinear fields'）と書きます（Jaffe–Witten §6.2、1-09）。

図 2　相関長 ξ を変えると、二次元の周期格子（96×96）の自由場の標本（左。色が

\varphi/\sqrt{G(0)}

）と、その縦・横の相関（右の ●・□。実線は厳密な

G(r)/G(0)

）が変わる。一つの標本なので点の相関は揺らぐ（「引き直す」で別の標本。200 標本の平均は本文）

ξ = 8：G(0) = 0.6056、G(8)/G(0) = 0.111（厳密）。一つの標本の値は揺らぐ（200 標本の平均は本文）

計算この図の数値はこの端末で計算した（種を固定した乱数）。

標本を見ても、どちらの軸が時間かは分かりません。同じ作り方の 200 標本（python3）では、 $\xi=8$ （作用の質量の係数 $M=2\sinh\frac1{2\xi}$ 。相関がちょうど $e^{-r/\xi}$ で減るように選んだもの）の距離 8 の相関が縦 0.1120 ± 0.0032、横 0.1112 ± 0.0030、厳密 0.1107 で、 $\xi=2,4,16$ でも標準誤差の 2 倍以内で一致します計算。 $G(0)$ が $\xi$ とともに対数で増えるのは、二次元の点の値の発散（2-07 §09）の現れです。

ゲージ場で足りないもの — 軌道の体積とコンパクトな群

$S_E[A]$ はゲージ変換（3-02）で変わらないので、 $e^{-S_E}$ はゲージ軌道（ゲージ変換で互いに移る接続の集まり、3-04）の上で一定です。軌道は各点に群が一つずつ付いた無限次元のもので、その向きの積分は形式的にも無限大です。

(A) 重み $e^{-(x-y)^2/2}$ はずらし $(x,y)\to(x+c,y+c)$ で変わらず、軌道は無限に長い直線です。正方形 $[-R,R]^2$ の積分 $Z_R$ は $R$ に比例して増えますが、ずらしで変わらない $(x-y)^2$ の平均は 1 に近づきます。(B) 重み $e^{\beta\cos(\theta_1-\theta_2)}$ の軌道は長さ $2\pi$ の円で、円の上の一様な測度（Haar 測度）で積分すれば $Z=(2\pi)^2I_0(\beta)$ はどの $\beta$ でも有限です（二重積分と Bessel 関数で確認）計算。ここで $I_0$ は表 2 の $I_\nu$ の $\nu=0$ で、

I_0(\beta)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\beta\cos\theta}\,d\theta

です。 $\theta=\theta_1-\theta_2$ と置けば、残る $\theta_2$ の積分が軌道の長さ $2\pi$ を一つ出すだけです。

計算表 3　おもちゃ (A)。 $Z_R$ は閉じた式と 10 桁一致。
R	$Z_R/2R$	$\langle(x-y)^2\rangle_R$
1	1.528	0.4341
10	2.407	0.9584
100	2.497	0.9960
1000	2.506	0.9996

(A) では分母と分子が同じ速さで発散し、比だけが残ります（ $Z_R/2R\to\sqrt{2\pi}=2.5066$ ）。Wilson の格子（5-01）は (B) の形です。有限の格子の上で、リンク変数 $U\in G$ をコンパクトな群の Haar 測度で積分するので、ゲージを固定しなくても積分は有限です（'the lattice approximation reduces the functional integration to a finite-dimensional integral'、Jaffe–Witten §6.5）既知。連続のまま扱うにはゲージ固定（4-08）が要り、代表を大域的に連続には選べない障害があります（3-04）。どちらでも、意味を持つのはゲージ不変な観測量（Wilson ループ・ $\mathrm{tr}\,F^2$ など）だけです。

虚時間の相関がエネルギーを読む — 質量ギャップとのつながり

ハミルトニアン $H$ （真空のエネルギーを 0 とする）と真空 $\Omega$ が在るなら、虚時間 $\tau$ だけ離れた観測量 $O$ の相関は、固有状態 $|n\rangle$ で展開して

\langle O(\tau)O(0)\rangle=\langle\Omega|\,O\,e^{-\tau H}\,O\,|\Omega\rangle=\sum_n|\langle n|O|\Omega\rangle|^2\,e^{-E_n\tau} \tag{10}

です（スペクトルが連続なら積分）。真空が一つで（エネルギー 0 の状態は $\Omega$ だけ）、 $\langle\Omega|O|\Omega\rangle=0$ 、 $H$ のスペクトルが $(0,\Delta)$ に無ければ、相関は少なくとも $e^{-\Delta\tau}$ で減ります。例。自由場の二点関数を空間で積分すると運動量 0 の一粒子だけが残り、減る速さはちょうど質量です既知。

\int d^3x\;S_2\bigl((\tau,\vec x),0\bigr)=\int\frac{dp_4}{2\pi}\,\frac{e^{ip_4\tau}}{p_4^2+m^2}=\frac{e^{-m|\tau|}}{2m} \tag{11}

これがユークリッドの側でのギャップの現れ方で、定義は 4-11 で整えます。格子では隣り合う時刻の層をつなぐ重みが転送行列 $T=e^{-aH}$ で（2-07 §08）、ゲージ理論では、時間方向の刻みを 0 にする極限で、 $A_0=0$ のゲージの転送行列から Kogut–Susskind のハミルトニアンが出ます（Creutz 1977 の要旨）既知。格子のハミルトニアンは 5-03 で扱います。

向きに注意(10) は

H

と Hilbert 空間が先に在るときの式です。ユークリッドの測度だけから

H

を作るには、鏡映

\tau\to-\tau

についての正値性（反射正値性）が要ります（4-10）。解説は 'Establishing a quantum mechanical Hilbert space is part of the solution to this Millennium problem' と書きます（Jaffe–Witten §6.5）。「ギャップ ⟺ 相関の指数減衰」は再構成の後の対応で、四次元のヤン–ミルズではその Hilbert 空間がまだありません。

寄り道：真空の波動関数を、半分の時空の経路積分で書く

寄り道

飛ばしてよい節です。

(10) の $e^{-\tau H}$ には、もう一つの使い道があります。状態を $H$ の固有状態で展開すると、 $e^{-\tau H}$ は $E_n$ の成分を $e^{-E_n\tau}$ 倍します。長い虚時間をかけると、エネルギーの最も低い成分より他は相対的に速く消えます。つまり $e^{-\tau H}$ は、真空の成分を持つどんな状態からも真空だけを取り出す濾過器です（2-07 §05）。正確には、初めの状態が真空の成分を持ち、真空が一つであることが条件です。

これを経路積分で書くと、真空の波動関数そのものが経路積分になります。一粒子で見ます。 $\langle x|e^{-TH}|x_i\rangle$ は、虚時間 $\tau=-T$ に $x_i$ を出て $\tau=0$ に $x$ に着く道すべての $e^{-S_E}$ の和です。 $T\to\infty$ では $\psi_0(x)\,\psi_0(x_i)\,e^{-E_0T}$ が主になり、 $x$ の関数としては真空の波動関数 $\psi_0(x)$ だけが残ります。

\psi_0(x)\;\propto\;\int_{x(0)=x}\mathcal Dx\;e^{-S_E[x]},\qquad S_E[x]=\int_{-\infty}^{0}\Bigl[\tfrac12\dot x^2+\tfrac12\omega^2x^2\Bigr]d\tau \tag{12}

和を取るのは、虚時間の半直線 $\tau\le0$ の上で、端 $\tau=0$ の値だけを決めた道です。

例。振動子では (12) の指数が $x(\cdot)$ の二次式なので、答えの $x$ への依存は作用の最も小さい道で決まります（そのまわりのゆらぎの寄与は $x$ によらない定数）。 $\ddot x=\omega^2x$ を満たし、 $\tau=0$ で $x$ 、 $\tau\to-\infty$ で 0 になる道は $x(\tau)=x\,e^{\omega\tau}$ です。その作用は

S_E=\int_{-\infty}^{0}\omega^2x^2e^{2\omega\tau}\,d\tau=\frac{\omega x^2}{2},\qquad \psi_0(x)\propto e^{-\omega x^2/2}

で、2-06 の基底状態そのものです既知。

格子でも確かめられます。間隔 $a$ の虚時間の格子で $x_0=x$ を固定し、 $x_{-1},x_{-2},\dots$ を順に積分します。一つ積分するごとに $e^{-c\,x^2/2}$ の形が保たれ、係数 $c$ は漸化式で動いて一つの値に落ち着きます。端の点 $x_0$ の位置エネルギーを、隣の半分の時空と半分ずつ分ける約束で数えると、落ち着く値は $c(a)=\omega\sqrt{1+a^2\omega^2/4}$ です。 $\omega=1$ で $a=1/2$ なら 1.0308、 $a=1/10$ なら 1.00125 で、連続の $\omega=1$ との差は $a^2$ に比例して消えます計算。

場では

場でも形は同じです。真空の波動汎関数 $\Psi_0[\varphi_0]$ （4-01 §03 の波動汎関数）は、 $\tau=0$ で $\varphi=\varphi_0$ となる、 $\tau<0$ の半分の時空の場の配位すべての和です。自由場ではフーリエ成分の一つ一つが振動数 $\omega_p=\sqrt{|\vec p|^2+m^2}$ の振動子なので（2-06 §08）、振動子の答えを成分ごとに掛け合わせて

\Psi_0[\varphi_0]\;\propto\;\exp\Bigl(-\frac12\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\,\omega_p\,|\tilde\varphi_0(\vec p)|^2\Bigr),\qquad \tilde\varphi_0(\vec p)=\int d^3x\,e^{-i\vec p\cdot\vec x}\varphi_0(\vec x)

です既知。Osterwalder–Schrader の再構成（4-10）は、この見方を逆にたどります。 $\tau>0$ の半分の時空の場だけで決まる量から状態を作り、鏡映 $\tau\to-\tau$ で内積を定めます。内積が正であることを保証するのが反射正値性です。正確には、(12) は Hilbert 空間と $H$ が先に在るときの式で、四次元のヤン–ミルズでは、この形で真空を書く前提そのものがまだ構成されていません。

この章が言えている範囲

	内容
言えている	(2)・(5)〜(8)・(11) の式変形と (5) の積分路の回転、格子の (9) が確率測度であること、コンパクトな群なら格子の積分が有限であること既知。表 1〜3・図 1〜2・§01 と §06 と §09 の数計算
条件つき	(10) と (12) は Hilbert 空間とハミルトニアンが先に在り、真空が一つのときの式（戻る条件は 4-10）
言えていない	(1)・(3) の $\mathcal D\varphi$ は形式的で測度ではない。四次元のヤン–ミルズの測度の存在、回転対称性の回復、反射正値性を保つ連続極限は示されていない（6-10）。質量ギャップについては何も示していない

出典と再現

もの	種別	出典・道具
解説の引用（§3・§6.2・§6.5）	本文	A. Jaffe, E. Witten, Quantum Yang–Mills Theory, Clay Math. Inst. (2000)
θ 項が複素であること	本文 §1	E. Vicari, H. Panagopoulos, Phys. Rept. 470 (2009) 93, arXiv:0803.1593
転送行列と $A_0=0$	要旨	M. Creutz, Phys. Rev. D 15 (1977) 1128–1136
Wick・Schwinger の名	書誌のみ	G. C. Wick, Phys. Rev. 96 (1954) 1124–1134／J. Schwinger, PNAS 44 (1958) 956–965（名の由来は未確認）
ユークリッドとミンコフスキーの対応	書誌のみ	K. Osterwalder, R. Schrader, CMP 31 (1973) 83–112・42 (1975) 281–305／K. Osterwalder, E. Seiler, Ann. Phys. 110 (1978) 440–471
ギャップの定義と Hilbert 空間	本文	Jaffe–Witten §4・§6.5
表 1・図 1	計算	python3（SciPy。閉じた形と $3\times10^{-13}$ で一致）。図は JavaScript で表と一致
表 2	計算	python3（SciPy）。原点の値 0.154933（1-09 と同じ）と $40^4$ の周期格子の FFT（ $a=1/2$ で 7 桁一致）で検算
§09 の $c(a)$	計算	python3（漸化式と 400 点の二次形式の直接計算が 10 桁一致・古典解の作用を数値積分）
図 2・§06、表 3・§01	計算	python3（NumPy の FFT・種を固定した 200 標本／SciPy／数え上げ）。図は同じ作り方の標本一つ

次に読む章：4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム。(5) のユークリッドの伝播関数が線になります。物理の時空へ戻る条件は 4-10。

改訂 2026-10-01：初版。