2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）インスタントンと位相

インスタントンと位相 — 作用の下界の整数は、無限遠の巻き数から来る

位相（トポロジー）は連続な変形で変わらない性質を扱います。原点を通らない閉曲線 $z(t)$ の巻き数

は、連続に動かしても整数なので変われず、曲線が原点を横切る瞬間にだけ変わります。例。$z=e^{it}+c$（$c$ は実数）は $|c|\lt1$ で 1、$|c|\gt1$ で 0。$c$ を実軸に沿って動かすと、$|c|=1$ を横切る瞬間に曲線が原点を通り、そこでだけ値が跳びます。第一 Chern 数も同じ仕組みでした（1-07 §08）。この章は 3-03 の (12) の整数 $Q$ の出所を場の側から導きます。

約束。$A$ は反エルミートな行列値の 1-形式、$D=d+A$、$F=dA+A\wedge A$ で、$g$ は $A$ に吸収します（$A=-ig\,A_{\text{物理}}$。3-03 §01・記号表）。この書き方で作用・第二 Chern 数・$Q$ は次の形です。$Q$ は 3-03 の $Q$・1-12 の $k$ です（符号は §03 の寄り道）。

物理の書き方（3-03 の $D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu$ で、$g$ を $A$ に吸収しない）では、$\tilde F_{\mu\nu}=\tfrac12\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}$（3-03 の $*F$ の成分）として

で、3-03 の (12) の $Q$ そのものです。

U(1) では $F\wedge F=d(A\wedge dA)$ で、積分は境界だけで決まりました（1-06）。非可換でも補正を一つ足せば成り立ちます 既知。

確かめるのに要る規則は一つです。行列値の $p$-形式 $\alpha$ と $q$-形式 $\beta$ では、成分の行列の積のトレースは順序を替えても変わらず、微分形式の部分を入れ替える符号だけが残ります。

$A^k$ を $A$ の $k$ 回の外積とします。$d\operatorname{tr}A^3$ を積の規則 $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^p\alpha\wedge d\beta$（1-06）で三項に開き、一項ずつ $dA$ を先頭へ回します。

和は $d\operatorname{tr}A^3=3\operatorname{tr}(dA\wedge A^2)$ です。$d\operatorname{tr}(A\wedge dA)=\operatorname{tr}(dA\wedge dA)$（$d\,dA=0$）と合わせて $d\,\mathrm{CS}=\operatorname{tr}(dA\wedge dA)+2\operatorname{tr}(dA\wedge A^2)$。$\operatorname{tr}F\wedge F=\operatorname{tr}\bigl((dA+A^2)\wedge(dA+A^2)\bigr)$ を開くと同じ二項（$\operatorname{tr}(A^2\wedge dA)=\operatorname{tr}(dA\wedge A^2)$）と $\operatorname{tr}A^4$ が出て、$\operatorname{tr}A^4=\operatorname{tr}(A\wedge A^3)=-\operatorname{tr}(A^3\wedge A)=-\operatorname{tr}A^4$ なので 0 です。名前は Chern–Simons（1974）から来ています。

帰結は二つです。第一に、球 $B_R$ の上で $A$ が滑らかなら、Stokes の定理（1-06）で

例。§04 の解で右辺は $R=\rho,3\rho,10\rho$ で $-0.5,-0.972,-0.999708$、1-12 の表 1 の内側の割合と一致します（表 2）計算。第二に、遠方で 0 の $\delta A$ には Bianchi 恒等式（3-03 §04）から $\delta\operatorname{tr}F\wedge F=2\,d\operatorname{tr}(\delta A\wedge F)$ で、積分は変わりません。$c_2$ を作用に足しても方程式は変わらず、§06 の θ 項はここから始まります。

作用が有限なら遠方で $A\to-(dg)g^{-1}$（$g:S^3\to SU(2)$、純ゲージ）です。解については Uhlenbeck（1982）の要旨 “every Yang-Mills field over R4 with bounded functional (L2 norm) may be obtained from a field on S4” が根拠で 既知、一般の場では遠方の減衰を仮定します（1-07）。純ゲージでは $dA=-A^2$ なので $\mathrm{CS}=\tfrac13\operatorname{tr}(g^{-1}dg)^3$ で、(4) の $R\to\infty$ は次の式です。

恒等写像と数値で確かめる

四元数を使います（1-12 §02。この章に要るのは次の規則だけです）。$x=x_1+x_2i+x_3j+x_4k$ を $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ で掛け、$\bar x=x_1-x_2i-x_3j-x_4k$、$|x|^2=x\bar x$ です。長さ 1 の四元数の全体が $S^3$ で、掛け算で SU(2) と同じ群になります。写像度 $\deg g$ は、行き先の一般の点の逆像を、向きを保つ点は $+1$、反転する点は $-1$ として数えた整数です（1-12 §06）。

$S^3$ の向きは、球 $B^4$ の境界として外向きの法線を先に置く向きです（点 $x=1$ では $dx_2\wedge dx_3\wedge dx_4$ が正）。恒等写像 $g(x)=x$ の点 $x=1$ で $g^{-1}dg=i\,dx_2+j\,dx_3+k\,dx_4$ です。$i,j,k$ の並べ替えの符号つきの和は $-6$ なので、$\operatorname{tr}(g^{-1}dg)^3=-12\,dx_2\wedge dx_3\wedge dx_4$（四元数の $1$ は $2\times2$ の単位行列でトレース 2）。左の掛け算で不変なのでどこでも同じで、面積 $2\pi^2$ を掛けて $24\pi^2$ で割ると $c_2=-1$ です。一般の $g$ でも被積分形式は規格化した体積形式の引き戻しの $-1$ 倍で、積分は写像度の $-1$ 倍です 既知。

有限作用の場は $Q$ ごとの類（セクター）に分かれ、互いに連続にはつながりません。$S^4$ の上の SU(2) の束が $c_2$ で分類されるということです（1-07）。

中心で割った群 — SO(3) の束

SU(2) を中心 $\{\pm1\}$ で割った $SO(3)=SU(2)/\mathbb Z_2$（1-04 §07）を群にしても、リー環は同じなので局所的な式は変わりません。違いは束の張り合わせに出ます。$S^4$（遠方で純ゲージに近づく $\mathbb R^4$ の場）では、張り合わせは $S^3$ から群への写像で、$S^3$ は単連結なので SO(3) への写像は SU(2) への写像に持ち上がります。だから $S^4$ の上の SO(3) の束はすべて SU(2) の束から来ます 既知。

$H^2(X;\mathbb Z_2)\ne0$ の閉じた四次元多様体 $X$（たとえば四次元トーラス $T^4$）では、SU(2) の束に持ち上がらない SO(3) の束があります。障害は第二 Stiefel–Whitney 類 $w_2\in H^2(X;\mathbb Z_2)$ で、SO(3) の束は $w_2$ と第一 Pontryagin 類 $p_1$ で分類されるとされます（Dold–Whitney 1959）既知。SU(2) の束から来る場合に $c_2$ と一致するように $-p_1/4$ で数を測ると、$w_2\ne0$ では整数とは限らず、$T^4$ では半整数も現れます。物理では 't Hooft のひねった境界条件（1979・1981）の分数の位相電荷として知られるとされます 既知。この章の整数 $Q$ は SU(2) の束（または $S^4$）の話です。中心の対称性は 8-03。

寄り道：物理の Q と数学の c₂ は符号が逆

§03 の四元数 $x=x_1+x_2i+x_3j+x_4k$ で、$i,j,k$ を $-i\sigma_1,-i\sigma_2,-i\sigma_3$ と読むと、純虚な四元数は su(2) の元です。$dx=\sum_\mu e_\mu dx_\mu$（$e_\mu=1,i,j,k$）として、大きさ $\rho$ の解は次の形です 既知。

$dx\wedge d\bar x$ の $i$ の成分は $-2(dx_1\wedge dx_2+dx_3\wedge dx_4)$ で、$j,k$ の成分も自己双対です（1-12 §03）。よって $F=*F$ で解です（3-03 §07）。遠方では $g=x/|x|$ として $A\to\operatorname{Im}(x\,d\bar x)/|x|^2=g\,d\bar g=-(dg)g^{-1}$、$g$ は $S^3$ の恒等写像（写像度 1）で $Q=1$、$c_2=-1$。密度は $48\rho^4/(|x|^2+\rho^2)^4$、半径 $R$ の内側に入る作用の割合は $1-3/(1+u)^2+2/(1+u)^3$（$u=R^2/\rho^2$。1-12 の (9)）で、$S_E=8\pi^2/g^2$ は下界の等号です（3-03 の (13) と同じ性質）。BPST（1975）の要旨は “We find regular solutions of the four dimensional euclidean Yang-Mills equations” 既知。鏡像 $\operatorname{Im}(\bar x\,dx)/(\cdots)$ は反自己双対で $Q=-1$。

パラメータは中心 4・大きさ 1・定数のゲージ回転 3 の 8 個で、$Q=k$ では $8k$ 個です（Tong の講義録：SU(N) で $4kN$）既知。作用が有限なすべての自己双対な場を線形代数で与えるのが ADHM（1978）の構成です。

自己双対な場は各 $Q$ で作用が最小なので、$Q=2$ なら二つの塊をどこに置いても作用は $16\pi^2/g^2$ で、塊どうしに力は働きません。具体的な族があります。ここだけ 3-03 の成分の書き方（$A_\mu=A^a_\mu T^a$、$D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu$）で $g=1$ とします。$\bar\eta$ は 3-03 §08 の 't Hooft の記号 $\eta$ の $\eta_{ai4}$ の符号を変えたもの（$\bar\eta_{aij}=\varepsilon_{aij}$、$\bar\eta_{ai4}=-\bar\eta_{a4i}=-\delta_{ai}$）です。

$1/|x|^2$ は四次元の調和関数で、この族は $a_i,\rho_i$ によらず自己双対、$Q=k$ です。(7) の $A$ は極 $a_i$ で発散しますが、この特異性はその点で特異なゲージ変換で取り除けます。$k=1$ はそうして §04 の解を $a_1$ へ平行移動したものに移ります。

密度は $\phi$ だけで書けます。記号は $\square=\sum_\mu\partial_\mu^2$（ユークリッドの四次元ラプラシアン。2-04 のダランベルシアンとは別）、$\psi_\mu=\partial_\mu\phi$、$H_{\mu\nu}=\partial_\mu\partial_\nu\phi$、$|H|^2=\sum_{\mu\nu}H_{\mu\nu}^2$、$\psi\cdot H\psi=\sum_{\mu\nu}\psi_\mu H_{\mu\nu}\psi_\nu$、$|\psi|^2=\sum_\mu\psi_\mu^2$ です。

二つの極で、差分の $F$ が $F=*F$ と (8) を相対誤差 $10^{-9}$ で満たします 計算。Corrigan–Fairlie（1977）は、$\varphi^4$ 型のスカラー場の理論の解と SU(2) のゲージ場の解の関係として、この型の解を扱いました。Jackiw–Nohl–Rebbi（1977）は、各塊の位置と大きさを表す $5k$ 個のパラメータの既知の族を、$5k+4$ 個のパラメータの解に広げました（いずれも要旨）既知。

計算この図の数値はこの端末で計算した。(8) をその場で計算（$\rho_i=1$、極は $x_4=\pm d/2$）。

全作用はどの $d$ でも $16\pi^2$ です。$d$ が小さいと原点の密度は $48/(d/2)^4$ に近づき（$d=0.1$ で $7.661\times10^6$ 対 $7.68\times10^6$）、半径 $d$ の内側の 0.896 は大きさ $d/2$ の BPST の解の割合 $1-\frac{3}{25}+\frac{2}{125}$（1-12 の (9)）です。一つが作用を保ったまま縮み、$d=0$ では $\phi=1+2/|x|^2$ の $Q=1$ の解になって一つぶんが点に消えます。1-12 §05 の集中が解の族の中で起きる様子です（3-06）。

§02 から、作用に $Q$ の定数倍を足しても古典の方程式は変わりません。量子論の重みでは虚時間でも虚数のまま残ります（4-02。符号は約束による）。

既知(i) 摂動論（$A=0$ のまわりの展開。4-03）では全微分の積分は各次数で 0 で、見えません。(ii) $Q$ が整数なので θ は周期 $2\pi$ の角度です。(iii) 時空では $\mathbf E^a\cdot\mathbf B^a$ に比例し（§01・2-04）、$\mathbf E$ は空間反転で、$\mathbf B$ は時間反転で向きを変えるので、$\theta\ne0,\pi$ では空間反転と時間反転が破れます。Jackiw–Rebbi（1976）の要旨は θ 真空（§07）を “a family of quantum mechanical vacua, parametrized by a CP-nonconserving angle” と書きます（CP は粒子と反粒子の入れ替えと空間反転を合わせた変換）。θ = 0 と π では時間反転で不変です（Gaiotto–Kapustin–Komargodski–Seiberg 2017、以下 GKKS の要旨 “time reversal invariant at θ = 0 and θ = π”）。

円周の上の粒子 — θ の最小の模型

同じ構造の量子力学があります（GKKS の付録 D.1）。角度 $q\sim q+2\pi$ の上の粒子に速度の一次の項を足します。

足した項は $\frac{d}{dt}\frac{\theta q}{2\pi}$ で方程式を変えません（2-01）が、$\theta q/2\pi$ は一周で $\theta$ ずれ、虚時間の周期的な道の重みに $e^{i\theta\times\text{巻き数}}$ が掛かります。(9) と同じ形です。周期的な波動関数で $H=\frac12(-i\,d/dq-\theta/2\pi)^2$ の固有関数 $e^{inq}$ の固有値が (10) です（2-05）。θ は円を貫く磁束の役目で（GKKS 脚注 27。2-03）、“for θ = π and only in this case the ground state is two-fold degenerate” です。$-K\cos q$ を足すと交差が開き、$-K\cos2q$ なら二重縮退が厳密に残ります（同付録 “still maintains some exact two-fold degeneracy”）。

計算この図の数値はこの端末で計算した。V = 0 は (10)、ほかは $e^{inq}$（$|n|\le40$）で対角化した表（$0\le\theta\le\pi$ の 13 点）を周期と対称性で広げたもの。

ここからは物理の水準です 物理。$A_4=0$ とそろえると古典的な真空は三次元の純ゲージ $-(dh)h^{-1}$（$h:\mathbb R^3\to SU(2)$ は遠方で 1 に近づくとし、$\mathbb R^3\cup\{\infty\}=S^3$ とみなす。§03 の無限遠の $S^3$ とは別の球面）で、写像度 $n$ で番号が付き、写像度 1 のゲージ変換 $T$ が $n$ を一つずらします。(4) を虚時間の厚板に使うと $Q$ は $\tau\to\pm\infty$ の真空の番号の差で、BPST の解は $n$ から $n+1$ へ移る虚時間の道です。重みは

で 計算、$g^2=0$ で何回微分しても 0 なので、摂動論のどの次数にも現れません（2-05 の二重井戸・4-07・4-12）。1976 年に 't Hooft が “the tunneling process described by the Belavin-Polyakov-Schwarz-Tyupkin field configuration” を計算し、Jackiw–Rebbi・Callan–Dashen–Gross が真空の族を述べました（要旨）既知。小さなゲージ変換で不変（4-01）で $T$ で位相だけ変わる状態が θ 真空です。

円周上の粒子では、円に巻く前の直線の谷 $q=2\pi n$ が $|n\rangle$、$q\mapsto q+2\pi$ が $T$ で、(12) は Bloch 波の形です（GKKS も $q$ をヤン–ミルズの Chern–Simons の量と読む）。谷が深いと一番下の準位は細い帯になり、谷から谷への道の作用 $S_0=\int_0^{2\pi}\sqrt{2K(1-\cos q)}\,dq=8\sqrt K$ で決まります。帯は $E_0(0)+\frac W2(1-\cos\theta)$ の形で、$W$ は Mathieu 方程式の漸近形（DLMF 28.8.2 の書き直し $\frac{16}{\sqrt\pi}K^{3/4}e^{-S_0}(1-\frac{7}{64\sqrt K})$）に近づきます（表 5）。

ヤン–ミルズの希薄気体の近似（インスタントンが離れて散らばるとみなす）では、真空のエネルギー密度が $-\cos\theta\,e^{-8\pi^2/g^2}$ に比例するとされます 物理。典型的な配位を滑らかな解の重ね合わせとみなす近似で、数学的には未確定です（辞書 C）。正確には、四次元では結合が尺度とともに走る（4-06）ため、インスタントンの大きさ $\rho$ の積分が大きい $\rho$ の側で発散し、この近似は物理の水準でも制御されていないとされます 物理。近似に依らない量は位相感受率 $\chi_t=\langle Q^2\rangle/V$（$E(\theta)=-\frac1V\ln\sum_QZ_Qe^{i\theta Q}$ の $\theta=0$ での二階微分）です。

格子（5-01）の場の空間は連結で、“the concept of a topological sector has therefore no a priori well-defined meaning” です（Lüscher 2010）既知。作用の密度が小さい格子場は整数 $Q$ を持ち、古典的な連続極限で Chern 数に戻るとされます（整数を持つことは Lüscher 1982 の要旨。6-11 §09）。SU(3) で Wilson 流により滑らかにした場 $V$ が $\max_p\operatorname{Re}\operatorname{tr}\{1-V(p)\}\lt0.067$ を満たす割合は $a=0.1,\ 0.07,\ 0.05$ fm で 0%・8%・70% で、セクターは “a dynamical property of the theory” です（同 2010）物理。SU(2) で赤外切断（長い距離の側の切断）を固定した Magnen–Rivasseau–Sénéor（1993）の構成は、自明なセクターに限られます（6-07）既知。HMC では $Q^2$ の実効的な動的臨界指数が約 5 です（Schaefer–Sommer–Virotta 2011。5-07）物理。

Jaffe–Witten の問題文には θ 項もインスタントンも出てきません（全文を検索）。GKKS は、時間反転と中心対称性（8-03）の 't Hooft アノマリー（二つの対称性を保ったまま自明な真空を作れないという障害）から “at θ = π the vacuum cannot be a trivial non-degenerate gapped state” と論じ、θ = 0 の真空は対照的に自明でギャップを持ち非縮退だと述べます（いずれも物理の水準）物理。「ギャップを持つ一意な真空」は θ に依存する主張で、図 2 の $-K\cos2q$・$\theta=\pi$ がその量子力学版です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-06 寄り道：Donaldson とエキゾチック R⁴。位相電荷の辞書は 8-04。

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