2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）非可換ゲージ場

非可換ゲージ場 — 掛ける順が効くと、場が自分自身の源になる

3-01 §06 では、陽子と中性子をまとめた二成分の場 $\psi$ を SU(2) の行列で混ぜる対称性（アイソスピン）に、点ごとに回してよいという要求を課し、共変微分と変換則 (10) を得ました。この章はそれを $\mathrm{SU}(N)$ に広げ、交換子から生じることを順に追います。

Yang と Mills の論文（Phys. Rev. 1954）の要旨は、すべての点で同じ行列で回すという通常の不変性が局所的な場という考えと相容れないと指摘し、“The possibility is explored of having invariance under local isotopic spin rotations.” と続けます。要旨の一文目を本書の読みで言い換えると、ある点でどの向きを「陽子」と呼ぶかが遠くの点の呼び方まで決めてしまうのは、近くの点どうしの関係で書く場の法則に合わない、ということです。そこで変換の行列 $\Omega=\Omega(x)$ を点ごとに選べるとします。

要旨によれば、帰結はアイソスピンに対して電磁場と同じ役をする $\mathbf b$ 場で、それは非線形の微分方程式に従い、その量子はスピン 1・アイソスピン 1・電荷 $\pm e$ か 0 の粒子です 既知。§03〜§06 はこの要約を式にします。強い力を担う群は、後に SU(3) と分かりました（Jaffe–Witten の問題説明：“the gauge group is G = SU(3)”）。ただし、ゲージ化されたのはアイソスピンではなく、別の自由度である色の SU(3) でした（アイソスピンは近似的な、点ごとには回さない対称性のまま残ります）。数学は群を取り替えるだけです（3-07・1-04 の寄り道）。

寄り道：1954 年の春

第 3 部では $\hbar=c=1$、計量の符号は $(-,+,+,+)$ です（2-04）。$\mu,\nu=0,\dots,3$ は時空、$i,j,k=1,2,3$ は空間、$a,b,c$ は群の方向（色）の添字で、二度出た添字は和を取ります。群は $G=\mathrm{SU}(N)$、生成子はエルミートな $T^a$（$a=1,\dots,N^2-1$）で、構造定数と規格化は次の通りです（1-04）。

例。SU(2) では $T^a=\sigma^a/2$（パウリ行列の半分）で $f^{abc}=\varepsilon^{abc}$、SU(3) では $T^a=\lambda^a/2$（Gell-Mann 行列の半分）です。ゲージ変換の行列は $\Omega(x)\in G$ と書き（3-01 と同じ字です）、字 $g$ は結合定数に取っておきます。物質の場 $\psi(x)\in\mathbb C^N$ は $\psi\mapsto\Omega(x)\psi$ と変わるとします（基本表現）。

この章は物理の流儀で、エルミートな $A_\mu=A^a_\mu T^a$ と結合 $g$ を分けて書きます。§01 の寄り道の Yang の黒板の $\epsilon$ と $B_\mu$ は、この $g$ と $A_\mu$ に当たります（係数の約束は論文によります）。本の中の他の書き方とは、次の一行で翻訳できます。

3-01 の (10) を $\mathrm{SU}(N)$ に広げ、導き方を追い直します。困るのは微分です。$\Omega$ が点によると、積の微分から余分な項が出ます。

第二項は、枠の違う隣どうしの点の値をそのまま引き算したために出ます（1-07 §01）。そこで 3-01 と同じく、補正の場 $A_\mu$ を足した微分が $\psi$ と同じように変わることを要求します。

左辺は $\Omega\partial_\mu\psi+(\partial_\mu\Omega)\psi-igA'_\mu\Omega\psi$、右辺は $\Omega\partial_\mu\psi-ig\,\Omega A_\mu\psi$ です。すべての $\psi$ で等しいことから、$A'_\mu$ が決まります。

第一項は随伴表現による回転（1-04 §06）、第二項は $\Omega$ の傾きから来る非斉次の項です。$\Omega\Omega^\dagger=1$ を微分すると $(\partial\Omega)\Omega^{-1}$ は反エルミートで、$\det\Omega=1$ からトレースは 0 なので、$A'$ も同じリー環に留まります。例。$\Omega=e^{i\alpha(x)}$（U(1)）なら第一項は $A_\mu$ のままで、$A'_\mu=A_\mu+\partial_\mu\alpha/g$ は、$\chi=\alpha/g$ とおけば 2-03 の (G) そのものです（2-04 の $A_\mu=(-\phi,\mathbf A)$ の約束で）。非可換で新しいのは、$A$ を挟む第一項です。

無限小の変換 — ゲージ場自身が回る

$\Omega=1+i\alpha^aT^a$（$\alpha$ は小さい）として (3) を一次まで展開すると、成分では

です。右端の $(D_\mu\phi)^a=\partial_\mu\phi^a+g f^{abc}A^b_\mu\phi^c$ は随伴表現の場に働く共変微分です。例。SU(2) で $\alpha$ を定数とし $\alpha^3=\theta$（他は 0）に取ると、$\delta A^1=\theta A^2$、$\delta A^2=-\theta A^1$、$\delta A^3=0$。場所によらない回転でもゲージ場の成分が互いに回るので、ゲージ場自身が非可換な電荷を持ちます（3-01 §06 の「ゲージ場自身が回される」を成分で見たもの）。光子が電荷を持たないのと対照的で、要旨の「アイソスピン 1」はこのことです。

鎖の上で見る

点を一列に並べると (2) の意味が見えます。点 $n$ に随伴表現の場（実の三成分ベクトル）$\phi_n$ を置き、点 $n+1$ の値を点 $n$ の枠へ運ぶ回転 $U_n$ を辺に置きます。2-03 の辺の U(1) の元の非可換版で、5-01 の格子の部品です。3-01 の比較器で書けば $U_n=U(n,n{+}1)$ で、3-01 の鎖の $U_j=U(j{+}1,j)$ とは向きが逆です。ここでの $\Omega_n$ と $U_n$ は、SU(2) の元が随伴表現で与える $3\times3$ の回転（1-04 §06）を同じ字で書いたものです。

右端の「共変な差」は回転が一つ掛かるだけなので、長さが変わりません。素朴な差 $\phi'_{n+1}-\phi'_n$ は二点の回転が違うので、長さが変わります。点の間隔を $h$ として $U_n\approx1-ighA$ と置き、$h\to0$ とすると、(5) の二つ目は (3) に、共変な差は $hD_\mu\phi$ になります。ここで $A$ は、随伴表現の行列 $(T^a_{\rm adj})_{bc}=-if^{abc}$ を使った $A=A^aT^a_{\rm adj}$ として作用し、$D_\mu\phi$ の成分は (4) の右端と同じ形になります。

計算この図の数値はこの端末で計算した（表 1 と同じ式・同じ配置をブラウザで計算）。JavaScript が無効なら表 1 が図の中身です。

各辺の共変な差の変化は $3\times10^{-16}$ 以下（丸め誤差）でした 計算。$s=0$ で二つが違うのは、$U_n$ を小さな回転に取ってあるからです。

電磁気学では $\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ がゲージ変換で変わらない量でした。非可換では (3) の第一項のため、この組み合わせは共変にもなりません。正しい組み合わせは、共変微分を二つの順で掛けた差から出ます。

左辺を展開すると $\partial_\mu\partial_\nu\psi$ と $A\,\partial\psi$ の項は $\mu\nu$ について対称なので消え、$\psi$ の微分が残りません。$F_{\mu\nu}$ は各点の行列（リー環の元）で、成分では次の通りです。

SU(2) では、三成分 $(A^1_\mu,A^2_\mu,A^3_\mu)$ を内部空間のベクトルとみると、最後の項はベクトル積 $g\,A_\mu\times A_\nu$ です。(2) は作用素として $D'_\mu=\Omega D_\mu\Omega^{-1}$ という意味なので、交換子も同じく挟まれます。

$F$ は不変ではなく、各点で随伴表現により回ります（共変）。電場と磁場がそのまま測れる量だった電磁気学との大きな違いです。

例 1（純ゲージ）。$A=0$ を (3) で変換した $A_\mu=-\tfrac ig(\partial_\mu\Omega)\Omega^{-1}$ は、(8) により $F=0$ です。逆に $\mathbb R^4$ のような単連結な領域で $F=0$ なら、$A$ はこの形に書けます 既知。Straumann が紹介する、Pauli が 1953 年 7 月に Pais へ送った手紙に付けたノートは、これを “The vanishing of the field strength is necessary and sufficient for the $A^a_\mu(x)$ in the whole space to be transformable to zero.” と述べています。穴のある領域では成り立たず、2-03 の Aharonov–Bohm 効果がその例です（大域的な話は 3-04）。

例 2（交換子だけ）。定数の場 $A_x=a\,T^1$、$A_y=b\,T^2$ では、$F_{xy}=-ig\,ab\,[T^1,T^2]=g\,ab\,T^3\ne0$ です。電磁気学なら定数のポテンシャルは場を作りません。小さな正方形を一周したずれとして見る図が 1-07 の図 2 にあります。

計算SU(2)・SU(3) で滑らかな $A$ と $\Omega$ を与えて差分で比べると、(8) の両辺の差は $5\times10^{-9}$（刻み $10^{-4}$ の誤差）、交換子を落とすと 0.78・1.74、純ゲージの $F$ は $10^{-9}$ 以下でした。

電磁気学にならい、群の方向ごとに電場と磁場を定めます。2-04 の $F_{0i}=-E_i$、$F_{ij}=\varepsilon_{ijk}B_k$ と同じ置き方で、空間の三成分を太字で書きます（$\mathbf A^a=(A^a_1,A^a_2,A^a_3)$）。

$A_0=0$ に取る（時間ゲージ）と $E^a_i=-\partial_tA^a_i$ です。磁場の第二項が交換子の部分で、ポテンシャルが空間的に一様でも磁場が生じます。

$\mathbf E^a$ と $\mathbf B^a$ は (8) により、各点で色の添字について回ります。そのため「色の電場の 3 番の成分」はゲージで値が変わり、測れる量ではありません。変わらないのは $\sum_a|\mathbf E^a|^2=2\operatorname{tr}(\mathbf E\cdot\mathbf E)$ のような長さの二乗です。電磁気学にならい、この章では次をエネルギー密度とします（作用から導くのは 3-03）。

例。ゲージで変わらない量の典型は $\operatorname{tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$ と、閉じた道の平行移動のトレース（Wilson ループ、1-07 §06）です。

エネルギー (10) も、3-03 で作用に置く $F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu}$ も $F$ の二乗です。(7) を入れると、$A$ について二次・三次・四次の項に分かれます。

一行目は Maxwell の $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ を色の数 $N^2-1$ だけ並べたもので、ここだけなら互いに作用しない Maxwell 場の集まりです。二・三行目は $f^{abc}$ を含み、U(1) では消えます。作用に置くと（3-03）、これらはゲージ場どうしの相互作用で、摂動論（4-03）ではゲージ場が三本・四本出会う頂点になります。古典の Maxwell 方程式では光どうしは散乱しませんが、ヤン–ミルズ場は自分自身と散乱します。

帰結は方程式の非線形性です。Jaffe–Witten は “The Yang–Mills equations are nonlinear—in contrast to the Maxwell equations.” と書きます 既知。二つの解を足しても、一般には解になりません。計算無作為な $A^a_\mu$・$\partial_\mu A^a_\nu$ で (11) の両辺は 10 桁一致しました。0 でない $f^{abc}$ は順序つきで SU(2) が 6 個、SU(3) が 54 個です。

自己相互作用を一番小さな形で見ます。SU(2) で $A_0=0$ とし、$A^a_i$ が時間だけの関数だとすると、(9) の磁場は交換子の項だけです。さらに $A^1_1=x(t)$、$A^2_2=y(t)$、ほかを 0 と置くと、0 でない場は $E^1_1=-\dot x$、$E^2_2=-\dot y$、$B^3_3=g\,xy$ で、(10) は平面上の粒子のエネルギーになります。

一様な場では、ヤン–ミルズの運動方程式（3-03）は 9 成分 $A^a_i$ の粒子が $\tfrac12\sum(B^a_i)^2$ の中を動く式になり、この置き方はそれと矛盾しません 計算（数値微分で、他の 7 成分に働く力は 0。Gauss の拘束 $\varepsilon^{abc}A^b_iE^c_i=0$ も成り立ちます）。Gauss の拘束とは、時間ゲージで失われた $A_0$ の方程式が残す条件で、電磁気学の $\nabla\cdot\mathbf E=0$ の非可換版です。一様な場では微分の項が消えて、この形になります（4-01）。比べるために二つの成分を同じ色の向きに置く（$A^1_1=x$、$A^1_2=y$）と、交換子が 0 で $V=0$、電磁気学と同じく粒子はまっすぐ進みます。

非可換の $V=\tfrac12g^2x^2y^2$ は座標軸の上で 0 で、谷は無限に続き、奥ほど細くなります（エネルギー $E$ で動ける幅は $|y|\le\sqrt{2E}/(g|x|)$）。図 2 は、速度を $\delta$ だけ変えた二つの粒子を同時に走らせます。

計算この図の数値はこの端末で計算した（表 3 と同じ積分の規則：4 次の Runge–Kutta、刻み $\min(0.01,\,0.02/(g\max(|x|,|y|)))$、0.05 ごとに距離を見る）。JavaScript が無効なら表 3 が図の中身です。

非可換では $\delta$ を 1/10 にするごとに、離れる時刻がおよそ 8 ずつ延びるだけです（$10^{-2}$〜$10^{-10}$ の 9 点への直線のあてはめで傾き 8.04。軌道が谷の奥にいる間は離れ方が鈍るので刻みは不揃い）。距離が指数的に増えるということで、右の図ではほぼ直線に上がります。可換では距離は $\delta\,t$ です。エネルギーのずれは $t\le120$ で $5\times10^{-9}$ 以下でした 計算。この系は古典ヤン–ミルズ力学として調べられてきました。Savvidy（1983）はこの種の力学を K 系（混合性の強い力学系）だと論じましたが、Dahlqvist–Russberg（1990）はこの $x^2y^2$ の系に安定な周期軌道の族を見つけ、運動が完全にエルゴード的だという先行の主張を否定しました（要旨による）。この端末の計算が示すのは、上の初期値で有限の時間に見える離れ方までです。

古典には尺度が無い

(12) には長さや時間の単位になる定数がありません（$g$ は時間の目盛りを変えるだけ）。解 $x(t),y(t)$ があれば、任意の $\lambda\gt0$ で

も解です（代入すると両辺に $\lambda^3$ が出ます）。例。エネルギーを 1/16 にすると、同じ形の運動が 2 倍ゆっくり起こります。エネルギーを 0 に近づければ運動はいくらでも遅くなり、振動数に下限がありません。計算$\lambda=0.5,\,0.25,\,0.125$ の初期値を同じ規則で別々に解き、時刻 $5/\lambda$ の位置を $\lambda$ で割ると、どれも $(-0.401421,\,0.616689)$ と 6 桁一致しました。

場全体でも同じで、$A=0$ のまわりで (11) の二次の項だけを残すと Maxwell 場の集まりになり、振動数は $\omega=|\mathbf k|$ で 0 まで続きます。Jaffe–Witten はこれを、古典の方程式が “massless waves that travel at the speed of light” を記述する、と書きます 既知。量子にすると、谷の奥では横の振動の最低エネルギー $g|x|/2$ が壁になり、(12) を量子化した作用素のスペクトルは離散で、最低固有値は正です 既知（Simon 1983、2-05 の寄り道）。これは一様な場だけを残した有限自由度の模型についての定理です。

場の理論としての量子ヤン–ミルズに隙間があることは、物理では広く受け入れられていますが、定理にはなっていません 物理。

§01 の寄り道の Pauli の問いに、式で答えます。質量 $m$ のベクトル場なら、ラグランジアン密度に $-\tfrac12m^2A^a_\mu A^{a\,\mu}$ を足すのが普通です（電磁場なら Proca の場）。ところが (4) で変化を計算すると

です。第二項は $f^{abc}$ が $a,b$ について反対称、$A^{a\,\mu}A^b_\mu$ が対称なので消えます。残る第一項は (3) の非斉次の項から来ていて、$\alpha$ が点によると 0 になりません。質量項は、各点で回してよいという要求を壊します 既知。計算無作為な $A$ と小さな $\alpha$ で、SU(2)・SU(3) とも (14) の両辺が 4 桁以上一致しました。

こうしてゲージ不変性を保つ限り、古典のヤン–ミルズ場の波は質量を持ちません。Jaffe–Witten は “The massless nature of classical Yang–Mills waves was a serious obstacle to applying Yang–Mills theory to the other forces” と書きます。越え方が弱い力（Higgs 場、3-07）と強い力（漸近自由、4-06）で違ったことは、3-01 §06 で見ました。

強い力の理論が量子の水準で持つべき性質の一つ目として、Jaffe–Witten は質量ギャップを挙げます：“there must be some constant $\Delta\gt0$ such that every excitation of the vacuum has energy at least $\Delta$”（0-03・4-11）。古典の場には尺度が無く（§07）、隙間は量子化してはじめて生じると考えられています 物理。純粋なヤン–ミルズ理論について存在と質量ギャップを定理として示すことが問題文の要求で、この章はそれについて何も示していません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：3-03 作用と方程式（$\operatorname{tr}F^2$・Bianchi 恒等式・運動方程式・自己双対）。幾何の続きは 3-04。

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