2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備相関長と臨界点

統計力学と相転移 — 確率の重み、相関の届く長さ、その長さが発散する点

多数のスピンや粒子の系の状態の一つ一つを配置 $\sigma$、そのエネルギーを $H(\sigma)$ とします。熱平衡の系は配置の上の確率分布で記述され、エネルギーの低い配置ほど重く、重みは指数関数です。

$\mu_\beta$ をボルツマン分布、$Z_\beta$ を分配関数と呼びます（$T$ は温度。以下ボルツマン定数 $k_B=1$、$\beta$ は逆温度）。$\beta\to0$ では一様分布に、$\beta\to\infty$ ではエネルギー最小の配置に集中します。$\langle\cdot\rangle$ は $\mu_\beta$ での期待値です（1-08）。

指数関数になる理由の一つが次の変分原理です 既知。エントロピーを $S(P)=-\sum_\sigma P\log P$ として

が成り立ち、最小は $P=\mu_\beta$ だけで達成されます（両辺の差が相対エントロピー $\frac1\beta\sum_\sigma P\log(P/\mu_\beta)\ge0$）。左辺が自由エネルギーです。エネルギーを下げる力と配置の数を増やす力の綱引きで、低温では前者、高温では後者が勝ちます。正確には、有限の系では (2) の最小はいつも $\mu_\beta$ 一つです。無限の系で (2) を一点あたりに直した最小化を考えると、低温では最小を与える状態が一つでなく複数になりえます。この「一つから複数に割れる」ことが、相転移（相の共存）の一つの正確な形です（05 節で一変数の形で見ます）。

例。相互作用の無い $N$ 個のスピン $\sigma_x=\pm1$ が外場 $h$ の中にあると（$H=-h\sum_x\sigma_x$）、$Z=(2\cosh\beta h)^N$ で、スピンは独立、$\langle\sigma_x\rangle=\tanh\beta h$ です。

$\log Z$ を微分すると平均と分散が出ます。確率の言葉では、$\log Z_\beta$ は $-H$ のキュムラント母関数（に定数を足したもの）です。キュムラント母関数とは、確率変数 $X$ に対する $t\mapsto\log\mathbb{E}[e^{tX}]$ のことで、$t=0$ で一回微分すると平均、二回微分すると分散になります。

全磁化 $M=\sum_x\sigma_x$ で外場を $-hM$ と入れると、磁化と帯磁率 $\chi$（外場への応答）が出ます。

右の等式は、押したときの応答が押さないときの揺らぎで決まるという揺動応答の関係です。分散は負でないので $\log Z$ は $\beta$ についても $h$ についても凸です。一点あたりの $f_N=-\frac{1}{\beta N}\log Z_N$ の $N\to\infty$ の極限 $f$ を熱力学極限と呼びます。短距離の相互作用なら極限は存在し、凸性も残ることが知られています 既知（格子のスピン系では、系を箱に分けたとき $\log Z$ が箱ごとの和と境界の分しか違わないこと〔部分加法性〕による標準的な議論。Ruelle 1969 など）。

例。独立なスピンでは $\chi=\beta(1-\tanh^2\beta h)=\beta\operatorname{Var}(\sigma_x)$。$h=0$ なら $\chi=\beta$ で、どの温度でも有限です。相互作用が無ければ何も起きません。

相互作用があると離れた点が連動します。その度合いが連結二点相関（共分散）です。

並進不変な無限の系では $G(x,y)=G(x-y)$、(4) は $\chi=\beta\sum_xG(x)$。帯磁率が発散するには、相関がゆっくりしか減らないことが要ります。相関が指数関数的に減るとき、その長さを相関長 $\xi$ と呼びます。

対数を取るのは前に付く多項式の因子を許すためです。格子ゲージ理論の相関長も同じ形で定義されます。ただしスピンの代わりに、小さな正方形のループ（プラケット）の変数の相関を使います（5-01、Chatterjee 2018 §5・5-09）既知。例は二つです。

イジング模型：$\mathbb{Z}^d$ の各点に $\sigma_x=\pm1$、$H=-J\sum_{\langle xy\rangle}\sigma_x\sigma_y-h\sum_x\sigma_x$（$\langle xy\rangle$ は隣り合う対、$J\gt0$ は揃うと得をする強磁性の結合。計算例は 2-09）。

ガウス鎖：$\mathbb{Z}$ の各点に実数 $\phi_x$ を置き、$\beta=1$、$m\gt0$（質量）として

とします。長さ $L$ の区間に制限して外を $\phi=0$ とおくと、$\phi$ を縦ベクトルとして $H=\frac12\phi^{\mathsf T}K\phi$（$K$ は対角が $m^2+2$、隣が $-1$ の $L\times L$ 行列）と書け、$e^{-H}$ は有限次元のガウス測度で、共分散は $K^{-1}$ です（1-08）。$L\to\infty$ で区間の中央の $G$ は次の (8) に収束します。(8) は、無限の鎖の式 $\sum_yK_{xy}G(y)=\delta_{x0}$ に $x\ne0$ で $G=Ae^{-\kappa|x|}$ を入れて $m^2+2=e^\kappa+e^{-\kappa}$ を得、$x=0$ の式で $A$ を決めたものです。

質量が小さいほど相関長は長く、$m\to0$ で $1/m$ の速さで発散します。

計算$m=1,\ 0.2,\ 0.05$ で $\xi=1.03904,\ 5.00831,\ 20.00208$（$\xi m\to1$）。区間（1601〜4001 点）の中央で $K$ の逆を数値で求めた $G(20)$ は (8) と 13 桁一致しました。

この鎖は 2-07 の虚時間の調和振動子を時間の格子に置いたものです。$m^2\phi_x^2$ を両隣の結合に半分ずつ配ると、$e^{-H}$ は隣り合う二点の重み

の積になります。この $T$ を核とする積分作用素 $(Tf)(\phi)=\int T(\phi,\phi')f(\phi')\,d\phi'$ を転送行列と呼びます（行列の積の $\sum$ を積分に置き換えたもの）。周期的につないだ $L$ 点の鎖では $Z=\int T(\phi_1,\phi_2)T(\phi_2,\phi_3)\cdots T(\phi_L,\phi_1)\,d\phi_1\cdots d\phi_L$、つまり $T^L$ のトレースです。$T$ の大きい方から二つの固有値の比が $e^{-\kappa}$ で、この $\kappa$ を転送行列の隙間と呼びます。相関長の逆数が隙間になる最も簡単な例です 既知（一般の形は 4-11）。計算$T$ を 1500 点で離散化した行列の固有値の比は、$m=1,\ 0.5,\ 0.2$ で $e^{-\kappa}$ と 10 桁一致しました。

温度などを少し変えただけで振る舞いが一変することを相転移と呼びます。数学の言葉では、熱力学極限の $f(\beta,h)$ がその点で解析的でない（その点のまわりでテイラー展開で表せない）ことです。有限の系では起きません。正確には、$Z_N$ は $\beta,h$ の指数関数 $e^{-\beta H(\sigma)}$ の有限和で、実の $\beta,h$ で正です。だから $\log Z_N$ は何回でも微分でき、テイラー展開が収束します（これを実解析的と言います）。

イジング模型では次が知られています 既知。$d=1$ では相転移は無い（Ising 1925、2-09）。$d=2$、$h=0$ では

で相転移が起きます。転移がただ一つだと仮定して、Kramers–Wannier 1941 が双対性から位置を定め、Onsager 1944 が自由エネルギーを厳密に求めて比熱の $-\log|T-T_c|$ の発散を示しました。低温で向きが揃って残ることを示す議論は Peierls 1936 に始まるとされます（証明としての整備は後年）。これを正確に言うのが自発磁化です。

例。極限の順序が大事です。先に $h\to0$ とすると、有限の系の $H$ は全反転 $\sigma\to-\sigma$ で不変なので $\langle\sigma_0\rangle=0$。先に無限にしてから外場を切ると、二次元の $\beta\gt\beta_c$ で $\bar m_0\gt0$ が残ります（$\beta\downarrow\beta_c$ で $(\beta-\beta_c)^{1/8}$ のように 0 へ。Yang 1952）。極限の順序で答えが変わることは、ヤン–ミルズでも繰り返し問題になります（5-09・7-10）。

分配関数の零点から相転移を見る見方は、05 節の後の寄り道で扱います。

すべてのスピンが同じ強さで結合する Curie–Weiss 模型 $H_N=-\frac{J}{2N}M^2-hM$（$M=\sum_{x=1}^N\sigma_x$、$J\gt0$）は、相転移を手で追える最小の例です。上向きの数 $k$ でまとめて $Z_N=\sum_k\binom Nk e^{-\beta H_N}$。一スピンあたりの磁化を $\bar m=M/N$ とします（ガウス鎖の質量 $m$ と区別して棒を付けます）。Stirling の公式からの $\binom{N}{N(1+\bar m)/2}=e^{Ns(\bar m)+o(N)}$、$s(\bar m)=-\frac{1+\bar m}2\log\frac{1+\bar m}2-\frac{1-\bar m}2\log\frac{1-\bar m}2$ を使うと、和は最大の項で決まります（Laplace の方法）。

(2) の綱引きが一変数に縮みました（第一項がエネルギー、最後の項がエントロピー）。$\varphi'(\bar m)=0$ は

です。$h=0$ なら $\beta J\le1$ で解は $\bar m=0$ だけ、$\beta J\gt1$ で $\pm\bar m^*\ne0$ が最小になります（臨界温度 $T_c=J$）。$\tanh u\approx u-u^3/3$ から $\bar m^*\approx\sqrt{3(\beta J-1)}$、(12) を $h$ で微分すると $T\gt T_c$ で $\chi=\beta/(1-\beta J)$（Curie–Weiss の法則）です。

計算図は (11)(12)（$J=1$）をその場で計算。$h=0$ の $\bar m^*$ は $T/T_c=0.9,\ 0.8,\ 0.6$ で $0.52543,\ 0.71041,\ 0.90733$（python3 と一致）。

計算表 1　$\sqrt{\langle\bar m^2\rangle}$（$h=0$。有限の $N$ は $\binom Nk$ の和を厳密に計算）と $N=\infty$ の $\bar m^*$。

$\beta J=0.8$ は $N^{-1/2}$ で 0 へ（$\sqrt N$ 倍は 2.2358、(4) と Curie–Weiss の法則からの予想 2.2361）、$\beta J=1.25$ は $\bar m^*$ へ、臨界の $\beta J=1$ は $N^{-1/4}$ で 0 へ（$N^{1/4}$ 倍で約 1.08）。有限の $N$ ではどれも $\beta$ の滑らかな関数で、折れ曲がりは $N\to\infty$ で初めて現れます。

寄り道：分配関数の零点

自発磁化が 0 から連続に立ち上がる転移の点を臨界点と呼びます。近づくと相関長が発散し、多くの量がべき乗で振る舞います。その指数が臨界指数です。$t=(T-T_c)/T_c$ として

と書きます（$\sim$ は比が定数に近づくこと。指数の $\beta$ は逆温度とは別物。$\eta$ は、後の章で動的な指数と区別するときは $\eta_s$ と書きます：8-03 §07。緩和の時間と動的指数 $z$ は 2-10）。スケーリングの仮説から指数の間に次の関係が出て（繰り込み群がそれを説明する。Pelissetto–Vicari 2002 の式 (1.38)〜(1.40)）物理、右の二つは $d\lt4$ で成り立つとされます。

$\alpha$ は比熱の指数です。二次元イジングの $\nu=1,\ \eta=1/4$ を入れると $\gamma=7/4,\ \beta=1/8,\ \alpha=0$ と厳密な値が戻ります 計算。

計算表 2　臨界指数。平均場と二次元は Pelissetto–Vicari（表 13 など）、三次元の $\nu,\eta$ は共形ブートストラップの数値（Kos ほか 2016）、* は (14) で計算（誤差で動くのは最後の桁の ±1 程度）。

例。ガウス鎖では質量の二乗 $m^2$（03 節）が $t$ の役をし、$\xi\approx(m^2)^{-1/2}$ から $\nu=1/2$。05 節の $\beta=1/2,\ \gamma=1$ とともに平均場の列と同じです。$\eta$ はガウス的な振る舞いからのずれを測り（Pelissetto–Vicari）、三次元イジングでは小さいものの 0 ではありません。

表 2 の指数は格子の形や結合の細部に依らず、次元・対称性・相互作用の届く範囲だけで決まると考えられています。同じ指数を持つ系の集まりが普遍クラスです 物理。単純な流体の気体–液体の臨界点や一軸性の反強磁性体は三次元イジングのクラスに属するとされ（Pelissetto–Vicari §3.1）、液体と磁石が同じ指数を持ちます。

臨界点の近くでは $\xi$ が格子の間隔よりずっと長くなります。Kadanoff 1966 は、格子の間隔より大きく相関長より小さい塊にスピンをまとめて見直し、Wilson 1971 はそれを繰り返す操作を繰り込み群の方程式にしました。細部は薄れ、同じ固定点に流れ込む系は同じ指数を持ちます。正確には、普遍性は多くの例で確かめられた物理の原理で、一般の定理ではありません（6-05・4-04）。

最小の例として、(7) に二つ先との結合 $c\ge0$ を足します。

03 節と同じ計算で $G$ は $e^{-\kappa|x|}$ の形の項の和になり、最も遅く減る項の $\kappa$ は $m^2=2(\cosh\kappa-1)+2c(\cosh2\kappa-1)$ の最小の正の根です。これは $w=\cosh\kappa$ の二次方程式 $4cw^2+2w-(2+4c+m^2)=0$ なので、根は式で書けます。$\kappa$ が小さいと右辺は約 $(1+4c)\kappa^2$ なので $\xi\approx\sqrt{1+4c}/m$。

計算表 3　$c$ を足した鎖の $\xi m$。行き先は $\sqrt{1+4c}=1,\ 1.41421,\ 2.23607$（行列の逆とも 10 桁一致）。

計算図は上の二次方程式の根をその場で計算。$c=0,\ 1/4,\ 1$ で表 3 と一致（python3 の根の探索・行列の逆とも一致）。

指数（$\xi\propto m^{-1}$）は $c$ に依らず、係数 $\sqrt{1+4c}$ は依ります。ゆっくり変わる場では $(\phi_{x+2}-\phi_x)^2\approx4(\phi_{x+1}-\phi_x)^2$ なので、二つ先の結合は隣の結合を $1+4c$ 倍するだけに見え、長さの物差しを替えれば消えます。

格子の間隔 $a$ を入れて点 $x$ を位置 $r=xa$ と読みます。格子の単位の相関長を $\xi$（03 節の $1/\kappa$）とすると、物理の単位の相関長は $a\xi$ です。$a\xi$ を保って $a\to0$ とすると、$\xi$ は無限大へ行くしかありません。連続極限を取ることは、臨界点に近づくことです（Chatterjee 2018 §5）物理。ガウス鎖ではすべて明示的で、$M\gt0$ を固定して $m=Ma$ とおくと $\kappa/a\to M$、$a/(2\sinh\kappa)\to1/(2M)$ より次が成り立ちます 既知。

右辺は $-d^2/dr^2+M^2$ の逆の核（伝播関数、1-11）で、$M$ が物理の単位の質量です。

計算図は (8)(16) をその場で計算。表 4　$M=1$ で $a$ を縮めたときの $\xi$（格子の単位）と $aG$（python3）。最下段は (16) の右辺。

ヤン–ミルズでは、多くの非可換な格子ゲージ理論で臨界点は $\beta=\infty$ にあると信じられ（ここの $\beta$ は格子ゲージ理論の作用に掛かる定数で、結合定数 $g$ の二乗の逆に比例し、逆温度の役をします。5-01）、相関長の逆数は最も軽いグルーボール（グルーオンだけでできた粒子、7-01）の質量に当たります（Chatterjee 2018 §5）物理。格子の側の問いの一つは「各 $\beta\gt0$ で相関が指数関数的に減る（$\xi(\beta)$ が $(0,\infty)$ に定まる）こと、$\beta\to\infty$ で $\xi(\beta)\to\infty$」で（同節 Problem 5.1、5-09）、連続極限で質量が正に残るかはその先の問いです（5-05・4-11）。重み・相関長・臨界点・普遍性は場の理論の経路積分（4-02）・質量の逆数・連続極限・繰り込みに当たり、ガウス鎖ではこれが厳密です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-09 寄り道：イジング模型で見る「ギャップ」と相関長。質量ギャップとの関係は 4-11、緩和の時間と動的指数は 2-10。

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