computo ergo sum

2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備経路積分

この本の全体　目次と読む順
  1. 第 0 部 入口 — この本の読み方
  2. 0-01 この本の読み方
  3. 0-02 一枚の絵
  4. 0-03 問題文を一語ずつ読む
  5. 0-04 数学の四次元と物理の四次元
  6. 第 1 部 数学の準備
  7. 1-01 ベクトル空間と線形写像
  8. 1-02 群とは何か
  9. 1-03 リー群とリー環
  10. 1-04 SU(2) と SU(3)
  11. 1-05 多様体と接空間
  12. 1-06 微分形式と外微分
  13. 1-07 ベクトル束と接続
  14. 1-08 確率と測度
  15. 1-09 無限次元の確率
  16. 1-10 ヒルベルト空間と自己共役作用素
  17. 1-11 フーリエ解析と分布
  18. 1-12 寄り道
  19. 第 2 部 物理の準備
  20. 2-01 ラグランジアンと作用
  21. 2-02 場という考え
  22. 2-03 電磁気学はゲージ理論である
  23. 2-04 特殊相対論と時空
  24. 2-05 量子力学の骨
  25. 2-06 調和振動子と生成消滅
  26. 2-07 経路積分の考え方
  27. 2-08 統計力学と相転移
  28. 2-09 寄り道
  29. 2-10 緩和の時間と動的指数 z
  30. 第 3 部 ヤン–ミルズ理論（古典）
  31. 3-01 ゲージ原理
  32. 3-02 非可換ゲージ場
  33. 3-03 作用と方程式
  34. 3-04 幾何としてのゲージ理論
  35. 3-05 インスタントンと位相
  36. 3-06 寄り道
  37. 3-07 標準模型の中のヤン–ミルズ
  38. 第 4 部 量子化
  39. 4-01 正準量子化とハミルトニアン
  40. 4-02 経路積分とユークリッド化
  41. 4-03 摂動論と Feynman ダイアグラム
  42. 4-04 発散と繰り込み
  43. 4-05 発散の代数
  44. 4-06 漸近自由
  45. 4-07 次元転移と Λ
  46. 4-08 ゲージ固定と Faddeev–Popov
  47. 4-09 場の量子論の公理
  48. 4-10 Osterwalder–Schrader の公理と再構成
  49. 4-11 質量ギャップの定義
  50. 4-12 寄り道
  51. 第 5 部 格子ゲージ理論
  52. 5-01 Wilson の格子
  53. 5-02 強結合展開
  54. 5-03 反射正値性と転送行列
  55. 5-04 無限体積極限とクラスター展開
  56. 5-05 弱結合と連続極限
  57. 5-06 U(1) と非可換の違い
  58. 5-07 モンテカルロ法
  59. 5-08 グルーボールと弦張力の測定
  60. 5-09 何を固定して極限を取るか
  61. 5-10 有限群の格子ゲージ理論
  62. 5-11 寄り道
  63. 第 6 部 構成的場の理論
  64. 6-01 構成的場の理論とは
  65. 6-02 二次元の可解性とヤン–ミルズ測度
  66. 6-03 スカラー場の構成
  67. 6-04 クラスター展開
  68. 6-05 繰り込み群の段の列
  69. 6-06 三次元ヤン–ミルズの紫外安定性
  70. 6-07 四次元
  71. 6-08 四次元の φ⁴ の自明性
  72. 6-09 確率量子化と正則性構造
  73. 6-10 四次元で止まる場所
  74. 6-11 発散以外の障害
  75. 6-12 寄り道
  76. 第 7 部 物理の側から
  77. 7-01 物理はどう見ているか
  78. 7-02 閉じ込めの機構
  79. 7-03 弦の絵
  80. 7-04 大 N
  81. 7-05 ひも理論と余剰次元
  82. 7-06 余剰次元が見えなくなる仕組み
  83. 7-07 ゲージ場はどこから来るか
  84. 7-08 ホログラフィー
  85. 7-09 質量ギャップが幾何になる
  86. 7-10 四次元に戻す
  87. 7-11 超対称と Seiberg–Witten
  88. 7-12 等価原理に当たる一文
  89. 7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所
  90. 第 8 部 二つの言葉の辞書 — 物理の視点と数学の視点
  91. 8-01 辞書の読み方
  92. 8-02 辞書 A
  93. 8-03 辞書 B
  94. 8-04 辞書 C
  95. 8-05 私たちの仮定の物理側の対応
  96. 第 9 部 現在地と課題
  97. 9-01 世界はどこまで来ているか
  98. 9-02 二つの掘り方の切れ目
  99. 9-03 新しい概念の候補
  100. 9-04 課題の一覧
  101. 9-05 よくある誤解
  102. 第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討
  103. 10-00 第 10 部の入口 — 酔歩と定規と時計
  104. 10-01 理論の構成の筋
  105. 10-02 一段の記帳
  106. 10-03 仮定 H と三つの鎖
  107. 10-04 方向の地図
  108. 10-05 方向 12〜14
  109. 10-06 方向 15・15′
  110. 10-07 Lean で閉じた言明と既存の結果の対応表
  111. 10-08 壁の一覧
  112. 10-09 ひらめき帳から
  113. 10-10 主張しないこと
  114. 10-12 つじつま合わせ
  115. 10-11 定理までの距離
  116. 10-13 小さな問い — 卒業研究の大きさで決着のつく十〜二十問
  117. 付録
  118. A-01 記号表
  119. A-02 用語集
  120. A-03 文献案内
  121. A-04 Lean と機械検査
  122. A-05 この本の作り方
  123. A-06 仮定の索引

経路積分の考え方 — すべての道を足し、時間を虚にすると確率になる

この章で分かること — 振幅が、刻んだ多重積分の極限「すべての道についての eiS/ℏe^{iS/\hbar} の和」として書けること。
時間を虚にすると重み e−SE/ℏe^{-S_E/\hbar} が正になり、Wiener 測度という確率測度になること。
分配関数が輪の上の道の積分になり、量子力学が一次元の古典統計力学と同じ形になること。

前提となる章 — 2-05（虚時間での減衰）、1-08（確率・ガウス分布）。振動子は 2-06。

先に言うこと — 扱うのは直線上の一粒子です。実時間の経路積分は測度にならず、式の多くは刻んだ積分の極限として読みます。場の経路積分の構成には入りません（4-02・第 6 部）。この章はヤン–ミルズの質量ギャップについて何も示していません。

この章の順序
  1. 道の和という考え — 振幅を足してから二乗する
  2. ガウス積分 — 値は行列式で、相関は逆行列で決まる
  3. 時間を刻む — 伝播関数と積の公式から刻んだ積分を作る
  4. 振動する積分と古典の道 — 打ち消し合いが停留点を選ぶ（図 1）
  5. 虚時間 — 振動が重みに変わり、Wiener 測度が現れる
  6. 分配関数は輪の上の道 — 量子力学が一次元の古典の鎖と同じ形になる（図 2）
  7. 振動子を刻んで計算する — 相関長が 1/a で伸びる（図 3）
  8. 転送行列で x⁴ の準位を求める — ガウスでなくても行列の積で計算できる
  9. 場へ — 一点の揺らぎが d ≥ 2 で発散する（表と図は 1-09）
01

道の和という考え — 振幅を足してから二乗する

量子力学を、粒子が通りうるすべての道からの寄与の和として書き直すのが経路積分です。時刻 0 に aa を出た粒子が時刻 tt に bb で見つかる振幅（伝播関数）を、Feynman（1948）は次の形に書きました。

K(b,t;a,0)=⟨b∣e−itH/ℏ∣a⟩=“∑道 x(⋅)”  eiS[x]/ℏ,S[x]=∫0t(m2x˙2−V(x))ds(1)K(b,t;a,0)=\langle b|e^{-itH/\hbar}|a\rangle=\text{“}\sum_{\text{道 }x(\cdot)}\text{”}\;e^{iS[x]/\hbar},\qquad S[x]=\int_0^t\Bigl(\frac m2\dot x^2-V(x)\Bigr)ds \tag{1}

SS は 2-01 の作用で、道は x(0)=ax(0)=a、x(t)=bx(t)=b を満たすものすべてです。どの道も絶対値 1 の複素数を持ち寄り、違うのは位相だけで、確率は和の絶対値の二乗です 既知。着想は Dirac（1933）にさかのぼるとされます。比喩で言えば、光が二つのスリットを両方通って干渉するように、粒子はすべての道を通って干渉します。正確には、(1) の「和」はそのままでは定義されず、03 節の刻んだ積分の極限として読みます。

02

ガウス積分 — すべての計算の土台

計算できる経路積分の多くはガウス積分に帰着します。AA を正定値な対称行列とし、対角化して一変数の ∫e−ax2/2+Jxdx=2π/a eJ2/2a\int e^{-ax^2/2+Jx}dx=\sqrt{2\pi/a}\,e^{J^2/2a} を固有値ごとに使うと

∫Rne−12x⋅Ax+J⋅x dnx=(2π)n/2det⁡A  e12J⋅A−1J(2)\int_{\mathbb R^n}e^{-\frac12x\cdot Ax+J\cdot x}\,d^nx=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}}\;e^{\frac12J\cdot A^{-1}J} \tag{2}

規格化すれば平均 0・共分散行列 A−1A^{-1} のガウス分布です（1-08）。JJ で微分して J=0J=0 と置くと

⟨xixj⟩=(A−1)ij,⟨x1x2x3x4⟩=⟨x1x2⟩⟨x3x4⟩+⟨x1x3⟩⟨x2x4⟩+⟨x1x4⟩⟨x2x3⟩(3)\langle x_ix_j\rangle=(A^{-1})_{ij},\qquad \langle x_1x_2x_3x_4\rangle=\langle x_1x_2\rangle\langle x_3x_4\rangle+\langle x_1x_3\rangle\langle x_2x_4\rangle+\langle x_1x_4\rangle\langle x_2x_3\rangle \tag{3}

2k2k 個の積の期待値は、二つずつ組にする (2k−1)!!(2k-1)!! 通りの和です（Isserlis 1918）既知。物理では、演算子の形で同じ組み合わせが Wick（1950）に現れ、Wick の定理の名で呼ばれます。この組み方を線で描いたものが Feynman ダイアグラムです（4-03）。例。A=(2−1−12)A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix} では積分は 2π/32\pi/\sqrt3、⟨x12⟩=23\langle x_1^2\rangle=\frac23、⟨x1x2⟩=13\langle x_1x_2\rangle=\frac13、⟨x12x22⟩=49+2⋅19=23\langle x_1^2x_2^2\rangle=\frac49+2\cdot\frac19=\frac23 計算。値は det⁡A\det A で、相関は A−1A^{-1} で決まります。

03

時間を刻む — 伝播関数と積の公式

材料は三つです。合成：e−i(t1+t2)H/ℏ=e−it2H/ℏe−it1H/ℏe^{-i(t_1+t_2)H/\hbar}=e^{-it_2H/\hbar}e^{-it_1H/\hbar} から、途中の場所 cc のすべてについて足す式 K(b,t1+t2;a,0)=∫K(b,t1+t2;c,t1)K(c,t1;a,0) dcK(b,t_1+t_2;a,0)=\int K(b,t_1+t_2;c,t_1)K(c,t_1;a,0)\,dc が出ます。短い時間の核：自由粒子では厳密に

K0(b,t;a,0)=m2πiℏt  exp⁡(iℏ m(b−a)22t)(4)K_0(b,t;a,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar t}}\;\exp\Bigl(\frac{i}{\hbar}\,\frac{m(b-a)^2}{2t}\Bigr) \tag{4}

で、指数の中は等速の道の作用です。積の公式：ハミルトニアンを H=T+VH=T+V と分けます。T=P2/2mT=P^2/2m は運動エネルギーの演算子（P=−iℏ d/dxP=-i\hbar\,d/dx は 2-05 の運動量）、VV は位置エネルギー V(x)V(x) を掛ける演算子です。TT と VV は交換しませんが、たとえば T+VT+V が TT と VV の定義域の共通部分の上で自己共役なら、e−it(T+V)/ℏ=lim⁡N(e−iεT/ℏe−iεV/ℏ)Ne^{-it(T+V)/\hbar}=\lim_N\bigl(e^{-i\varepsilon T/\hbar}e^{-i\varepsilon V/\hbar}\bigr)^N、ε=t/N\varepsilon=t/N が成り立ちます 既知。Trotter（1959）の縮小半群の積の定理の特別な場合で、この形は Reed–Simon I 第 VIII 章にあります。合わせると、x0=ax_0=a、xN=bx_N=b として

K(b,t;a,0)=lim⁡N→∞(m2πiℏε)N/2 ⁣∫ ⁣dx1⋯dxN−1 exp⁡(iℏ∑j=0N−1ε[m2(xj+1−xjε)2−V(xj)])(5)K(b,t;a,0)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi i\hbar\varepsilon}\Bigr)^{N/2}\!\int\!dx_1\cdots dx_{N-1}\,\exp\Bigl(\frac{i}{\hbar}\sum_{j=0}^{N-1}\varepsilon\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{j+1}-x_j}{\varepsilon}\Bigr)^2-V(x_j)\Bigr]\Bigr) \tag{5}

指数の和は折れ線の道の作用のリーマン和、つまり 2-01 の刻んだ作用です。(1) はこの極限の略記で、∫Dx eiS/ℏ\int\mathcal Dx\,e^{iS/\hbar} とも書きます。

注意 — Dx\mathcal Dx は測度ではない実時間の eiS/ℏDxe^{iS/\hbar}\mathcal Dx は、Wiener 測度（05 節）の分散を複素数にした形の測度としては構成できない（そうした測度は、道の空間の有界な集合の上でさえ全変動が無限大になる）と Cameron（1960）が示したとされます 既知。全変動は、集合を細かく分けて各部分の測度の絶対値を足したものの上限で、確率測度なら 1 です。無限次元の測度一般は 1-09 で扱います。
04

振動する積分と古典の道 — 打ち消し合いと停留点

(5) の被積分関数は絶対値 1 で振動し、絶対収束しません。手本の ∫eix2/2dx=2π eiπ/4\int e^{ix^2/2}dx=\sqrt{2\pi}\,e^{i\pi/4}（Fresnel 積分）を図 1 で見ます。右は途中までの積分（上端を動かした積分）F(x)=∫−6xw dx′F(x)=\int_{-6}^{x}w\,dx' の軌跡で、θ=0\theta=0 では両端が渦を巻いて打ち消し合い、正味の前進は位相の傾きが 0 の停留点 x=0x=0 の近くだけで起きます。ℏ→0\hbar\to0 では（符号は S′′(xc)S''(x_c) の符号）既知

∫g(x) eiS(x)/ℏ dx≈g(xc)2πℏ∣S′′(xc)∣  eiS(xc)/ℏ±iπ/4,S′(xc)=0(6)\int g(x)\,e^{iS(x)/\hbar}\,dx\approx g(x_c)\sqrt{\frac{2\pi\hbar}{|S''(x_c)|}}\;e^{iS(x_c)/\hbar\pm i\pi/4},\qquad S'(x_c)=0 \tag{6}

道の空間でも、寄与は δS=0\delta S=0 の古典の道（2-01）の近くから来ます。作用が二次式なら (6) は厳密で、(4) がその形です。例。1 g の玉が 1 cm/s で 1 秒進むと S/ℏ≈4.7×1026S/\hbar\approx4.7\times10^{26} 計算。ずれた道は位相が何周も回って打ち消し合います。

図 1　角度 θ を変えると、w(x)=e ieiθx2/2w(x)=e^{\,ie^{i\theta}x^2/2}（左。実線が実部、破線が虚部、点線が絶対値）と途中までの積分 F(x)F(x) の軌跡（右）が変わる。θ = 0 が実時間、90° が虚時間（2-04 の t=−iτt=-i\tau を角度でつないだ t=e−iθτt=e^{-i\theta}\tau。時空の記事も参照）。太線は |x| < 1.5、× は厳密値
θ = 0°

計算図の数値はこの端末で計算しました（その場の台形公式）。表 1 は python3 の複素誤差関数による値です。

計算表 1　∫−XXw dx\int_{-X}^{X}w\,dx と厳密値 2π ei(π/2−θ)/2\sqrt{2\pi}\,e^{i(\pi/2-\theta)/2} の差の絶対値。

Xθ = 0θ = 22.5°θ = 90°
29.3e-14.1e-11.1e-1
82.5e-11.2e-6< 1e-14
326.25e-2< 1e-14< 1e-14

実時間では誤差が 2/X2/X でしか減らず、少しでも回すと e−sin⁡θ X2/2e^{-\sin\theta\,X^2/2} の速さで消えます。

05

虚時間 — 振動が重みに変わる

(5) で刻み ε\varepsilon を −iδ-i\delta（δ>0\delta\gt0）に置き換えると、指数の中は −δℏ[m2(Δx/δ)2+V]-\frac\delta\hbar\bigl[\frac m2(\Delta x/\delta)^2+V\bigr] となり、位置エネルギーの符号が変わります。τ=Nδ\tau=N\delta として

⟨b∣e−τH/ℏ∣a⟩=lim⁡N→∞(m2πℏδ)N/2 ⁣∫ ⁣dx1⋯dxN−1  e−SE/ℏ,SE=∑j=0N−1δ[m2(xj+1−xjδ)2+V(xj)](7)\langle b|e^{-\tau H/\hbar}|a\rangle=\lim_{N\to\infty}\Bigl(\frac{m}{2\pi\hbar\delta}\Bigr)^{N/2}\!\int\!dx_1\cdots dx_{N-1}\;e^{-S_E/\hbar},\qquad S_E=\sum_{j=0}^{N-1}\delta\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{x_{j+1}-x_j}{\delta}\Bigr)^2+V(x_j)\Bigr] \tag{7}

SES_E をユークリッド作用と呼びます。重みは正で、VV が下に有界なら積分は絶対収束します。V=0V=0 の部分は差が独立に分散 ℏδ/m\hbar\delta/m の正規分布に従うランダムウォークで、N→∞N\to\infty で連続な道の上の確率測度、Wiener 測度（ブラウン運動の分布）になり、VV は重みとして掛かります。

(e−τH/ℏψ)(x)=Ex[exp⁡(−1ℏ∫0τV(Xs) ds) ψ(Xτ)](8)\bigl(e^{-\tau H/\hbar}\psi\bigr)(x)=\mathbb E_x\Bigl[\exp\Bigl(-\frac1\hbar\int_0^\tau V(X_s)\,ds\Bigr)\,\psi(X_\tau)\Bigr] \tag{8}

XsX_s は xx を出て分散 ℏs/m\hbar s/m で広がるブラウン運動です。(8) を Feynman–Kac の公式と呼びます（Kac 1949）。たとえば VV が有界で連続なら定理で、下に有界なかなり一般の VV でも成り立ちます 既知。実時間では測度が無く、虚時間では有る。場の理論をユークリッドの側で構成する理由の一つです（場の回転は 4-02 §02・4-10）。例。停留点 δSE=0\delta S_E=0 は −V-V の中の運動で、2-05 の二重井戸の S0S_0 はその道（インスタントン、3-05）の作用でした。

道の荒さと測度

道そのものは確率 1 でどこでも微分できません 既知。Δx∼δ\Delta x\sim\sqrt\delta なので、SES_E の運動の項 Skin=∑(Δx)2/2δS_{\rm kin}=\sum(\Delta x)^2/2\delta（ℏ=m=1\hbar=m=1）の期待値 ⟨Skin⟩\langle S_{\rm kin}\rangle は刻みの数に比例して増えます 計算（07 節の輪で β=4\beta=4、N=16,256,4096N=16,256,4096 に対し 6.97・126.96・2046.96。ほぼ N/2N/2）。位置エネルギーの部分 ∑δ V(xj)\sum\delta\,V(x_j) はそれだけで ∫0τV(Xs) ds\int_0^\tau V(X_s)\,ds に近づきますが、運動の項の重み e−Skin/ℏe^{-S_{\rm kin}/\hbar} と Dx\mathcal Dx は別々には極限を持たず、積だけが Wiener 測度として残ります（どちらも 1-09）。

06

分配関数は輪の上の道 — 統計力学との一致

熱平衡では状態 nn が重み e−βEne^{-\beta E_n} で現れ（β=1/(kB×温度)\beta=1/(k_B\times\text{温度})、kBk_B はボルツマン定数）、その和が分配関数です（2-08）。トレースは a=ba=b として aa で積分することなので、(7) から、長さ βℏ\beta\hbar の輪の上の閉じた道の積分になります。

Z(β)=Tr⁡e−βH=∑ne−βEn=∫x(0)=x(βℏ)Dx  e−SE[x]/ℏ(9)Z(\beta)=\operatorname{Tr}e^{-\beta H}=\sum_ne^{-\beta E_n}=\int_{x(0)=x(\beta\hbar)}\mathcal Dx\;e^{-S_E[x]/\hbar} \tag{9}

刻んで読むと、輪に並べた x0,…,xN−1x_0,\dots,x_{N-1} をばね m2δ(xj+1−xj)2\frac{m}{2\delta}(x_{j+1}-x_j)^2 でつなぎ、各点に VV を掛けた古典の鎖の分配関数です。量子力学が一次元の古典統計力学と同じ形になり、ℏ\hbar が温度の、βℏ\beta\hbar が鎖の長さの役をします。場の理論のユークリッドの期待値を、密度が e−Se^{-S} に比例する古典統計力学の集団として読む見方を、問題の解説は Symanzik に帰しています（Jaffe–Witten §3）既知。この節の鎖はその一次元版です。

例：振動子の輪

振動子では Z=1/(2sinh⁡βℏω2)Z=1/(2\sinh\frac{\beta\hbar\omega}{2}) で、輪の一点 x(0)x(0) の分布は熱平衡の位置の分布、分散は

⟨x2⟩β=ℏ2mωcoth⁡βℏω2  ⟶  {ℏ/2mω(β→∞)1/mω2β(β→0)(10)\langle x^2\rangle_\beta=\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}\;\longrightarrow\;\begin{cases}\hbar/2m\omega & (\beta\to\infty)\\ 1/m\omega^2\beta & (\beta\to0)\end{cases} \tag{10}

で、低温では基底状態の ∣ψ0∣2|\psi_0|^2（2-06）に、高温では古典のボルツマン分布に近づきます。

図 2　βℏω\beta\hbar\omega（輪の長さ）を変えると、輪の上の道（左。色が最新）と、道が通った位置の分布（右の塗り）が変わる。実線は (10)、破線は基底状態、点線は古典。「動かす」で道を足す（ℏ=m=ω=1\hbar=m=\omega=1）
βħω = 4

計算図の数値はこの端末で計算しました。道は輪を 256 個に刻んだ (7) の厳密な標本（実のフーリエ成分が独立な正規分布なので、種を固定した乱数で引く）。表 2 は同じ手順の python3 の値。

計算表 2　輪の一点の ⟨x2⟩\langle x^2\rangle（単位 ℏ/mω\hbar/m\omega。基底状態は 0.5）。

βħω標本刻んだ系の厳密値量子 (10)古典
0.254.05 ± 0.094.02084.02084.0000
40.517 ± 0.0060.51860.51870.2500
160.504 ± 0.0030.49980.50000.0625

高温の短い輪では道はほぼ一点に縮み（古典の粒子）、低温では量子の揺らぎが虚時間の方向に伸びた道の揺らぎとして見えます。

07

振動子を刻んで計算する — 行列式・相関・相関長

ℏ=m=ω=1\hbar=m=\omega=1、長さ β\beta の輪を NN 個に刻みます。ここからの a=β/Na=\beta/N は刻みの幅（格子間隔）で、01〜06 節の始点 aa とは別の記号です。SE=12x⋅AxS_E=\frac12x\cdot Ax の AA は (Ax)j=1a(2xj−xj+1−xj−1)+axj(Ax)_j=\frac1a(2x_j-x_{j+1}-x_{j-1})+ax_j（添字は NN を法として数える）で、隣とだけつながる循環行列です。固有ベクトルは vj=e2πijk/Nv_j=e^{2\pi ijk/N}（離散フーリエ、k=0,…,N−1k=0,\dots,N-1）で、vj±1=e±2πik/Nvjv_{j\pm1}=e^{\pm2\pi ik/N}v_j を代入すると固有値 1a(2−2cos⁡2πkN)+a\frac1a(2-2\cos\frac{2\pi k}{N})+a が出ます。(2) と規格化 (2πa)−N/2(2\pi a)^{-N/2} から

ZN=∏k=0N−1(2−2cos⁡2πkN+a2)−1/2=12sinh⁡(Nκ/2),cosh⁡κ=1+a22(11)Z_N=\prod_{k=0}^{N-1}\Bigl(2-2\cos\frac{2\pi k}{N}+a^2\Bigr)^{-1/2}=\frac{1}{2\sinh(N\kappa/2)},\qquad \cosh\kappa=1+\frac{a^2}{2} \tag{11}

連続の 1/(2sinh⁡β2)1/(2\sinh\frac\beta2) と比べると、刻んだ系は振動数 Ωa=κ/a=1−a2/24+⋯\Omega_a=\kappa/a=1-a^2/24+\cdots の振動子と同じです。相関は A−1A^{-1} で決まり、N→∞N\to\infty で

⟨x0xj⟩=(A−1)0j=a e−κ∣j∣2sinh⁡κ  ⟶  e−τ2(τ=ja, a→0)(12)\langle x_0x_j\rangle=(A^{-1})_{0j}=\frac{a\,e^{-\kappa|j|}}{2\sinh\kappa}\;\longrightarrow\;\frac{e^{-\tau}}{2}\qquad(\tau=ja,\ a\to0) \tag{12}

2-06 の (8) と同じく、相関は隙間の速さで減ります。格子の目盛りで数えた相関長は ξ=1/κ=1/(aΩa)\xi=1/\kappa=1/(a\Omega_a) です。

相関長と連続極限

計算表 3　β=4\beta=4 の輪（ZNZ_N は行列式の数値と (11) が 10 桁一致）。

NaZ_N / Z − 1Ω_aξ
418.1e-20.962421.04
160.255.4e-30.997414.01
1280.031258.4e-50.9999632.00

ずれは a2a^2 で消え、相関長は 1/a1/a で伸びます（図 3）。連続に近づけることは、格子の鎖を「相関長が格子間隔の何倍にもなる」状態、統計力学の言葉では臨界点に近づけることです。物理の隙間 1/(ξa)1/(\xi a) を固定して ξ→∞\xi\to\infty とします。格子ゲージ理論でも、連続極限はこの形で取ると考えられています 物理。四次元でその極限が在ることは示されていません（5-05・5-09・6-07）。

図 3　刻み aa を変えると、相関 (12) a e−κj/(2sinh⁡κ)a\,e^{-\kappa j}/(2\sinh\kappa)（β→∞\beta\to\infty）の見え方が変わる。左は格子の目盛り jj で数えたもの（縦の破線が相関長 ξ=1/κ\xi=1/\kappa）、右は物理の時間 τ=ja\tau=ja で測ったもの（破線は連続の e−τ/2e^{-\tau}/2）。「動かす」で aa を 1 と 1/16 の間で往復させる
a = 0.500　κ = 0.4949　ξ = 1/κ = 2.02 目盛り　Ω_a = κ/a = 0.98987

計算図の数値はこの端末で計算しました（閉じた式 (12) をその場で計算。a=1,12,…,116a=1,\frac12,\dots,\frac1{16} の κ\kappa・ξ\xi・Ωa\Omega_a は python3 の値と表示の桁まで一致）。左では aa を小さくするほど点が遠くまで続き、右では点が同じ破線に重なっていきます。

08

ガウスでない例 — 転送行列で x⁴ の準位を求める

ガウスでなくても、刻んだ積分は行列の積として計算できます。(7) の一段分（ℏ=m=1\hbar=m=1、刻み aa）を e−aV/2e−aP2/2e−aV/2e^{-aV/2}e^{-aP^2/2}e^{-aV/2} の積分核

Ta(x,y)=12πaexp⁡(−(x−y)22a−a2(V(x)+V(y)))(13)T_a(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi a}}\exp\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{2a}-\frac a2\bigl(V(x)+V(y)\bigr)\Bigr) \tag{13}

にすると ZN=Tr⁡TaNZ_N=\operatorname{Tr}T_a^N で、統計力学の転送行列です。固有値を e−aEn(a)e^{-aE_n(a)} と書けば a→0a\to0 で En(a)→EnE_n(a)\to E_n。核は各点で正（Ta(x,y)>0T_a(x,y)\gt0）です。さらに V=x4V=x^4 は無限遠で増えるので ∬Ta(x,y)2 dx dy≤12πa(∫e−aVdx)2<∞\iint T_a(x,y)^2\,dx\,dy\le\frac{1}{2\pi a}\bigl(\int e^{-aV}dx\bigr)^2\lt\infty となり、TaT_a はコンパクト（有限次元の行列でいくらでも近く近似でき、固有値は 0 以外に集積しない作用素）です。この二つがそろうと、Perron–Frobenius の定理の積分作用素版（Jentzsch 1912 に始まるとされ、L2L^2 の形は Reed–Simon IV）から、最大固有値は重複せず、その固有関数は正にとれます 既知。したがって基底状態は縮退しません（2-05・5-03）。

計算表 4　H=−12d2dx2+x4H=-\frac12\frac{d^2}{dx^2}+x^4 の転送行列の準位（xx の格子幅 ≤ 0.02、∣x∣≤3.2|x|\le3.2）と、2-05 表 1 の値（E0=0.667986E_0=0.667986、E1−E0=1.725658E_1-E_0=1.725658）との差。格子の幅を半分にしても 9 桁変わらない。

aE₀(a)E₁(a) − E₀(a)E₀ の差隙間の差
0.10.6662461.719680−1.7e-3−6.0e-3
0.050.6675461.724144−4.4e-4−1.5e-3
0.0250.6678761.725278−1.1e-4−3.8e-4

差は刻みを半分にするごとにほぼ 1/4 です。刻んだ経路積分と演算子の量子力学は、同じ準位と隙間を与えます。

09

場へ — 刻みを細かくすると揺らぎが発散する

07 節の刻み方を、そのまま場に広げます。場の理論では道 x(τ)x(\tau) が場 ϕ(x)\phi(x)（dd は虚時間を含む時空の次元）に替わり、SE=∫(12∣∇ϕ∣2+12m2ϕ2+⋯ )ddxS_E=\int(\frac12|\nabla\phi|^2+\frac12m^2\phi^2+\cdots)d^dx です（mm はここでは場の質量。4-02）。間隔 aa の格子で刻むと、相互作用の無い場はまた (2) のガウス積分で、一点の揺らぎは A−1A^{-1} の対角成分です。

⟨ϕ(0)2⟩=Ga(0)=∫[−π/a,π/a]dddp(2π)d  1∑μ=1d4a2sin⁡2pμa2+m2(14)\langle\phi(0)^2\rangle=G_a(0)=\int_{[-\pi/a,\pi/a]^d}\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\;\frac{1}{\sum_{\mu=1}^{d}\frac{4}{a^2}\sin^2\frac{p_\mu a}{2}+m^2} \tag{14}

d=1d=1 は 07 節の鎖そのもので、(14) は (12) の j=0j=0 の値 a/(2sinh⁡κ)a/(2\sinh\kappa) に等しく、1/2m1/2m に収束します。d≥2d\ge2 では発散します。一点の分散の発散は 1-09 でも無限次元のガウス測度の側から扱っています。ここでは経路積分の刻みの続きとして、刻みを半分にするたびに何が起きるかを見ます。

計算刻みを半分にするたびに、d=1d=1 は 1/21/2 に収束し、d=2d=2 は約 ln⁡2/(2π)≈0.110\ln2/(2\pi)\approx0.110 ずつ増え（Ga(0)≈12πlog⁡1a+0.276G_a(0)\approx\frac1{2\pi}\log\frac1a+0.276）、d=3d=3 は 2 倍（≈0.2527/a\approx0.2527/a）、d=4d=4 は 4 倍（≈0.1549/a2\approx0.1549/a^2）になります（m=1m=1。(14) を Bessel 関数 I0I_0 の一次元積分に直して数値積分）。刻みごとの値の表と次元を選ぶ図は 1-09 表 3・図 3 にあり、この本ではそれを正本にします。四で切り替わる他の量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

連続極限の場とヤン–ミルズ

連続極限の場は各点の値を持たない超関数です（1-11）。ϕ(x)2\phi(x)^2 のような積には引き算（繰り込み）が要ります（4-04・6-03）。

四次元のヤン–ミルズでは、この発散とゲージの自由度（4-08）と相互作用を同時に扱います。問題の解説は、コンパクトな群と有限の（周期的な）時空では、Wilson の格子で関数積分が有限次元の積分になり、そのうえでゲージ不変な観測量の期待値について、格子間隔 → 0・体積 → ∞ の極限が在ることを示す必要がある、と述べます（Jaffe–Witten §6.5）既知。四次元の特別さは 四次元の記事 へ。

この章が言えている範囲

内容状態
(2)〜(12) の式言えている 既知（(5)・(8) は条件つき。表 2・3・図 2・3 で数値も確認 計算）。Dx\mathcal Dx が測度にならないことは文献の紹介
表 4 の収束・§09 の発散の増え方の定数数値で確かめた範囲 計算
格子ゲージ理論の連続極限も「相関長 → ∞」の形で取ること（07 節）物理の水準の見方 物理。四次元でその極限が在ることは示されていない
相互作用のある場・ゲージ場の経路積分扱っていない（4-02・第 6 部）。ヤン–ミルズの質量ギャップは何も示していない

出典と再現

もの種別出典・道具
表 1〜4・例の数値・図 1〜3計算python3（NumPy・SciPy）。図はブラウザの JavaScript（台形公式・種を固定した乱数・閉じた式 (12)）
§09 の増え方の定数（0.2527・0.1549・0.276）計算python3（SciPy の I0I_0 と数値積分）で、質量 0 の格子の原点の値（d=3d=3：0.252727、d=4d=4：0.154933）と、d=2d=2 の差 Ga(0)−12πlog⁡1aG_a(0)-\frac1{2\pi}\log\frac1a の a=2−10a=2^{-10} までの値（0.27579）を計算。1-09 の表 3 と一致
(1)既知R. P. Feynman, “Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics”, Rev. Mod. Phys. 20 (1948) 367–387（書誌は Crossref で確認・本文は書誌のみ）／P. A. M. Dirac, Physik. Z. Sowjetunion 3 (1933) 64（書誌のみ。Dirac の示唆にさかのぼることは下の Scholarpedia の記事による）
積の公式既知H. F. Trotter, Proc. Amer. Math. Soc. 10 (1959) 545–551（書誌のみ）／M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I（Academic Press 1972）第 VIII 章（書誌のみ。定理 VIII.31 とされる・番号は未確認）
Dx\mathcal Dx が測度にならないこと・(8) の条件既知R. H. Cameron, “A family of integrals serving to connect the Wiener and Feynman integrals”, J. Math. and Phys. 39 (1960) 126–140（書誌のみ）。内容は S. Albeverio, S. Mazzucchi, “Path integral: mathematical aspects”, Scholarpedia 6(1):8832 (2011) で確認
(8)・(3)既知M. Kac, Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949) 1–13／L. Isserlis, Biometrika 12 (1918) 134–139／G. C. Wick, Phys. Rev. 80 (1950) 268–272。いずれも書誌のみ
Symanzik の見方・格子と極限既知A. Jaffe, E. Witten, “Quantum Yang–Mills theory”（Clay の問題解説）§3・§6.5 を確認／K. Symanzik, “Euclidean quantum field theory”, in Local Quantum Theory (R. Jost ed., Academic Press 1969) 152–226（書誌のみ。Jaffe–Witten の文献 [46]）
Perron–Frobenius の積分作用素版既知R. Jentzsch, “Über Integralgleichungen mit positivem Kern”, J. reine angew. Math. 141 (1912) 235–244（書誌は Crossref で確認・本文は書誌のみ）／M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV（Academic Press 1978）（書誌のみ。§XIII.12 とされる・未確認）
停留位相既知R. P. Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals（1965）。書誌のみ
道が微分できないこと既知1-09（Durrett の定理を引いている）

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改訂 2026-10-01：初版。