2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側から尺度は一つ・仮定 H

等価原理に当たる一文 — 「尺度は一つ」を一つの仮定として切り出す

一般相対論は、等価原理・光速度不変・一般共変性（どの座標でも法則の形が同じ）・リーマン幾何学の組み合わせとして説明されることがあります。リーマン幾何学は数学の道具、光速度不変は特殊相対論から引き継ぐ前提（$c=1$ と置くのは単位の約束）、一般共変性は法則の書き方への要請です。そのうえで、重力について新しく足された物理の一文が等価原理です。ニュートンの力学で落下を書きます。

$m_{\rm i}$ は慣性質量（動かしにくさ）、$m_{\rm g}$ は重力質量（重力に引かれる強さ）で、別々の実験で定義され、等しい理由は理論にありません。等価原理は、比 $m_{\rm g}/m_{\rm i}$ がどの物体でも同じ、つまり第二種の質量は無いと言います。すると自由落下する箱の中で重力が局所的に消え、重力を時空の幾何として書けます（Einstein 1907 に始まるとされる。時空の記事）物理。例：比が物質で $\eta$ だけ違えば、加速度の差は約 $\eta g$ です（§02）。

問いは、質量ギャップへの道筋にも「物理的には当然で、数学では証明されていない一文」が在るかです。在ります。「閉じ込めの管には、弦張力のほかに長さの径数が無い」です。ただし役目は等価原理と違います（§10）。

古典の四次元ヤン–ミルズには質量の次元の定数がなく、量子論で尺度 $\Lambda$ が一つ現れます（4-07）。物理は、質量の次元が $k$ の量を $\Lambda^k$ の定数倍と考えます（例：最も軽いグルーボールの質量 $m=c_1\Lambda$、弦張力 $\sigma=c_2\Lambda^2$。7-01 §03）物理。すると比 $m/\sqrt\sigma=c_1/\sqrt{c_2}$ は群だけで決まる純数です。格子（5-01）で測るのは格子単位の $am$ と $a\sqrt\sigma$ で、$\beta\to\infty$ でどちらも 0 に向かい、比では $a$ が消えます。以下 $m,\sigma$ は格子単位の数です。「尺度は一つ」を $\beta$ に一様な不等式にすると次の一文です（この端末の記録の書き方）。

定数 $c,C>0$ は $\beta$ に依りません。$m>0$ も $\sigma>0$ も仮定せず、0 に向かうなら同じ速さで、とだけ言います。長さで言えば、最も軽いグルーボール（グルー＝糊、ボール＝球）の長さ $\xi=1/m$ を、以下球の長さと呼びます（相関長。相関が $e^{-|x|/\xi}$ で減る距離、2-08 §03）。$\xi_\sigma=1/\sqrt\sigma$ は弦の長さです。$A\asymp B$ は、比 $A/B$ が $\beta$ に依らない正の定数で上下から押さえられることを表します。(3) は $\xi\asymp\xi_\sigma$ と同じです。「二種類の質量」と同じ形の主張で、物理の言葉では第二の無次元の径数が現れないという言明です。第二の径数 $z$ があれば比は $F(z)$ となり、0 にも無限大にも行けます。

例：SU(2)・$\beta=2.60$（$24^4$）では $a\sqrt\sigma=0.13395$、$am=0.514$（Lucini–Teper）で、格子単位の $\xi_\sigma=7.47$、$\xi=1.95$、比は 3.837 です 計算。この比が有界にとどまることが (3) の中身です。

Lucini–Teper（2001）の SU(2) の六点です。$\sigma$ は、周期方向に一周巻きついた糊の管の質量 $am_l$ に、弦の揺らぎの補正 $\pi/(3L)$ を足して長さ $L$（格子の歩数）で割った値です（原論文の式 (4)：$am_l=a^2\sigma L-\pi/(3L)$）。この式を使うにあたり、著者は 'we are assuming that we have linear confinement' と断っています（7-01 §06）。

表A　SU(2) の $m/\sqrt\sigma$（Lucini–Teper 表 1 から。六点の $am$ の正本は 9-02 表 3、$a\sqrt\sigma$ は 5-09 表 1）

計算この図と表の数値はこの端末で計算した（一次資料の値の比。誤差は独立とみなした目安）。

格子単位の弦の長さ $1/(a\sqrt\sigma)$ は 2.36 から 7.47 へ伸びますが、比は 3.29〜3.84 にとどまり、おおむね増えて下から近づきます（2.475→2.55 で一度下がる。誤差の内）。$a$ に依らない定数での当てはめは $\chi^2=38.6$（自由度 5）で退けられ、比は $a$ に依ります 計算。連続値は依り方の形を決めて外挿します。

表B　(4) の当てはめ（誤差で重みを付けた最小二乗、全 6 点）

$p=2$ は一次資料と中心値が一致しますが、$p=1$ でも $\chi^2$ は同じくらい良く、連続値は 4.05 になります 計算。データだけでは外挿の形を選べません。著者は 'the functional form of such corrections is known' と書き、$O(a^2)$、つまり $p=2$ を使います（5-05）。3.844 は、極限が在り近づき方がこの形だという前提の上の数です（7-01 §08）物理。

長さは四つで、どれも格子の何歩分かで数えます。記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$、弦の長さ $\xi_\sigma$、球の長さ $\xi$、揺らぎが均される長さ $\sqrt{C_P}$ です。

記帳の長さは、格子を $b$ 倍に粗くする一段（繰り込み群の一段、6-05）ごとに結合 $\beta$ がどれだけ下がるかを書き留め、段を重ねて決める長さです。$k$ 段で長さは $b^k$ 倍になるので、決まった強さの結合まで下がるのに要る段数から「格子の何歩が物理の一単位か」が決まります。それを $\xi_{\rm RG}$ とし、この単位で格子間隔を $a:=1/\xi_{\rm RG}$ と置きます（この端末の記録の定義。10-02）。一ループの走り（4-06）だけで数えれば、SU(2) では定数倍を除いて $\xi_{\rm RG}\approx e^{3\pi^2\beta/11}$ です（$\beta=4/g^2$＝記号表の $2N/g^2$。指数の係数は一ループの係数 $b_0$ の書き直し）既知。

$C_P$ は、格子のゲージ場の確率分布 $\mu$（SU(2)・Wilson 作用・無限体積・ゲージ固定なし）について

がすべての $f$ で成り立つ最良の定数（Poincaré 定数）です。$\operatorname{Var}_\mu$ は $\mu$ での分散、$\nabla_\ell$ はリンク $\ell$ の SU(2) の向きの微分です。微分をリンクの角度 $\vartheta$（$U=e^{i\vartheta\cdot\sigma}$）で取るか、場 $A=\sqrt\beta\,\vartheta$ で取るかで $\mathcal E$ は $\mathcal E_A=\mathcal E/\beta$ と変わり、$C_P$ は $\beta$ 倍違います。自由近似では前者で $C_P=(g^2/4)\xi^2$、後者で $C_P=\xi^2$ です。下の (6) の帯が成り立つかはこの選び方に依ります（角度の正規化では自由近似でも下側が対数で破れる：8-05 §03）。最良の定数は隙間の逆数です（1-10 §07）。効いている力学は Langevin 力学で、各リンクに小さなランダムな揺さぶりを加えながら作用が下がる向きに少しずつ動かす確率的な時間発展です。長く走らせると分布は $\mu$ に落ち着きます。$\lambda_1=1/C_P$ はこの力学の隙間、$C_P$ は最も遅い戻りの時間です。正確には、$C_P$ が戻りの時間に等しいのは連続時間の可逆な力学（Langevin）でだけで、離散時間の更新や HMC では別の量です（8-03 §06）。この端末の記録が置く仮定は、揺らぎの長さが記帳の長さと同じ尺度にあることで、帯の形では次の (6) です。名前は 10-03 の約束に従います。仮定 H は冪の水準の文 $\lim\ln C_P/\ln\xi=2$ で、(6) は帯の文 $H_{\text{band}}$（正規化を名指して $H_{\text{band}}[\mathcal E_\vartheta]$ か $H_{\text{band}}[\mathcal E_A]$）と鎖 (ii)(iii) を合わせた文です。

これを三つの比の積に割ります。

各因子が $\asymp1$ であることを、一本の鎖と呼びます。(i) $\lambda_1\asymp m^2$：揺らぎと球の長さが揃う（緩和の鎖）。Langevin 力学は拡散的なので、長さ $\xi$ の揺らぎを均すのに $\xi^2$ 程度の時間がかかります（動的指数 $z=2$）物理。だから $\lambda_1$ を $m$ ではなく $m^2$ と比べます。(ii) $m^2\asymp\sigma$：球と弦の長さが揃う（一尺度 (3)）。(iii) $\sigma\asymp a^2$：弦と記帳の長さが揃う（閉じ込めが記帳の尺度で起きる）。三本とも成り立てば (6) が出ます。(ii)(iii) の下で (6) は帯の文 $C_P\asymp\xi^2$（$H_{\text{band}}$）と同じで、冪の H はそこから出ます（10-03）。逆は出ず、因子が打ち消し合えば鎖が切れていても積は一定です（図2）。(7) から (6) が出る向きの代数は機械検査済みですが Lean（chain_band・sq_times_poincare_band、LatticeGaugeOneScale.lean。仮定は三つの帯の不等式、結論は $a^2C_P$ が正の帯に入ること。一覧は 10-07）、三本の鎖そのものはどれも証明されていません。

計算(7) の対数の和をその場で描く模式図（実測ではない）。

(i) は道具として選んだ力学と理論の隙間（転送行列の隙間、5-03）の関係で、力学を替えれば言明も替わります。(iii) は段の記帳の仕方に依ります。粗くする一段ごとに数え落とす小さな誤差を取りこぼしと呼ぶと、(iii) には一ループの係数と、取りこぼしを段ごとに足し上げた和が効きます（10-02）。記録の整理では、(ii) だけが、道具にも記帳にも依らない理論の一文です。

「第二種の質量は無い」と同じ型で、記録は次の対応表を作りました。

比喩で言えば、一般相対論が「重さ」を一種類にしたように、この一文は「長さ」を一種類にします。正確には、表は類比で左右を結ぶ定理はなく、等価原理は各点の等式、(3) は一様な不等式です。

(a) 双対超伝導と(b) 中心渦（7-02）は、ゲージを固定して射影した配位の言明です。生の形では固定の仕方（Gribov のコピー、7-02 §04）に依り、確率測度の一文になりません。ゲージ不変に書ける核（'t Hooft の渦の自由エネルギー）は $\sigma$ の言明で、鎖 (iii) に合流します。(c) 非摂動的な漸近スケーリングは、格子単位の長さが摂動論の予言どおりに伸びるという一文です。二ループの予言は次の $f_2$ です（SU(N)、$g^2=2N/\beta$）既知。

係数は PDG の総説の値（クォークなし）と一致します（$N=3$ で照合 計算）。(c) は「格子単位のあらゆる長さの逆数、たとえば $am/f_2$ や $a\sqrt\sigma/f_2$ が正の定数に収束する」と言います。$f_2$ を物理の単位の目盛りと読めば、$am/f_2$ の収束はそのまま物理単位の質量ギャップが正で有限であることです。示したい結論を含むので、記録は循環として外しました。

数値でも違います。SU(2)・裸の結合 $g^2=4/\beta$ で $\beta=2.40\to2.60$ のとき、$a\sqrt\sigma/f_2$ は 57.26→48.23（−15.8 %）、比は 3.618→3.837（+6.1 %）です 計算。比は動きが小さく、摂動論も使いません。

裸の結合 $\beta$ には格子に特有の大きな補正が混じります。Lucini–Teper は平均場で改良した結合 $\beta_I=\beta\cdot\frac1N\langle\operatorname{Re}\operatorname{Tr}U_p\rangle$（$U_p$ はプラケットの行列）を使い、'Transforming this to $\beta_I$ is known to remove a large part of the lattice corrections at small $a$.' と書いています（原論文 §5、式 (11) の後の文。この結合の出所として原論文は先行文献を挙げる）物理。その結合で二ループの $\Lambda$ を求めて連続極限へ外挿した値が原論文の表 6 ですが、SU(2) の外挿については 'the best continuum fit is very poor' とあります。

(3) が当然でないことは、破れる例で分かります。三次元のコンパクト U(1)：Göpfert–Mack は全結合で $\sigma>0$ を証明し 既知、連続極限では、質量を物理の単位で固定したとき弦張力が無限大に行く（$\sigma/m^2\to\infty$）とも述べます（同論文の要旨。Villain 作用。本文は未読）。その記述どおりなら、閉じ込めはあるのに比 $m/\sqrt\sigma$ は 0 に向かいます（7-02 §03）。ホログラフィーの超重力の領域：比は $\lambda^{-1/2}$ で 0 に向かい、$\lambda=g^2N$ が第二の径数です（7-09 §08）物理。

強結合展開の主項は反例ではなく、傾きが逆の近似です。作用を $S=\beta\sum_p\big(1-\tfrac12\operatorname{Tr}U_p\big)$（和はすべてのプラケット、5-01）とすると、SU(2) の主項では $u=I_2(\beta)/I_1(\beta)$（変形ベッセル関数の比）として $\sigma=-\ln u$、最も軽い状態は $m=-4\ln u=4\sigma$ なので（5-02）既知、

で、図1 の破線（延ばせば原点を通る直線）です。$a\sqrt\sigma\to0$ に延ばすと比は 0 に落ち、格子の数値と逆向きです。$\beta=2.40$ の主項は $a\sqrt\sigma=0.840$（実測 0.2634）で 計算、展開の収束域の外です。

保たれる例：三次元の $\mathbb{Z}_2$ ゲージ模型。群は可換ですが、双対変換で三次元イジング模型に写り、グルーボールの質量は相関長の逆数に、弦張力は界面張力になります。Agostini–Carlino–Caselle–Hasenbusch（1997）は、スケーリング極限では $\sigma\xi^2$ が定数になるはずだとして連続値 $0.1056(19)$ を求め、$\phi^4$ 理論の予言 $0.1024(88)$ と合うことを確かめたうえで、$m/\sqrt\sigma=3.08(3)$ を得ました 物理。

比 $1/\sqrt{\sigma\xi^2}$ は $a\sqrt\sigma=0.236$ で 3.272(11)、0.069 で 3.117(52)、連続値で 3.077(28) と、上から近づきます（原論文の表 6 から 計算）。物理の説明はこうです。関連する方向とは、格子を粗くするほど効きが大きくなる結合の向きのことです。$\mathbb{Z}_2$ 対称を保つ（イジング模型で言えば磁場の無い）範囲では、臨界点の近くに関連する方向が一本しかないので、$m$ と $\sqrt\sigma$ が同じ一つの $\xi$ で決まります（2-08 §07）物理。定理ではありません。

三次元 U(1) の連続極限の記述が正しければ、可換な U(1) で破れ、可換な $\mathbb{Z}_2$ で保たれるので、非可換かどうかでは決まりません。要るのは「第二の小さな径数を禁じる入力」です。記録は、四次元 SU(2) でのこの入力を一ループの係数が正であること（漸近自由、4-06）と見ていて、それを二つの形に書き直しました。I：関連する方向が一本で、$m$ と $\sqrt\sigma$ が同じ $\xi$ で決まる。R：格子で壊れた回転の対称性が長い距離で戻る（管の形が効く。7-03 §08）。この二つで足りるかは分かっていません。

一般相対論では等価原理は公理です。懸賞問題は定義から存在と隙間を証明せよと言うので、(ii) を公理として足せず、定理にするか迂回するかです。

問題文は、$(0,\Delta)$ にスペクトルが無いことを隙間 $\Delta$ と定義し、'The supremum of such ∆ is the mass m, and we require m < ∞.' と続けます 既知。(ii)(iii) の下での (6) の形 $C_P\asymp\xi^2$（帯の文 $H_{\text{band}}$）を上下に割ると、記録の読み替えでは $C_P\lesssim\xi^2$（H↑）が $\Delta>0$ の側、$C_P\gtrsim\xi^2$（H↓）が質量が無限大に潰れない側（$m\lt\infty$ の形）に当たります。H そのものの形で上下に割る正確な扱いは 10-03 で行います。H↓ は Clay の意味の「非自明」（相互作用があること）とは別物です。

(ii) の下の半分 $m^2\gtrsim\sigma$ は、管の欠損が周長 $\ell$ に対して $c/\ell$ 以上だという作用素の不等式（記録の呼び名で $T(c,1)$）に還元されます Lean（mass_sq_ge_of_tube、LatticeGaugeTubeEntropy.lean。仮定：転送作用素のノルムが $e^{-2\sqrt{c\sigma}}$ 以下、つまり $T(c,1)$ の帰結。結論：$m^2\ge4c\sigma$。一覧は 10-07）。$T(c,1)$ そのものの証明の型はありません（10-06）。有限個の測定からは $m$ の上界しか出ません（既知の関係の言い換え。10-05）。一文は名指しできても、定理にする道具はまだありません。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-13 物理の掘り方が数学と離れる場所 — 物理と数学が離れる場所を、第 7 部全体から拾います。仮定 H の詳しい形は 10-03 へ。

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