2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論発散以外の障害

発散以外の障害 — 無限大を一つも含まない格子の上にも、問題は残っている

「難しさは無限大の処理だ」という説明は一面です。この章は障害を次の試しにかけます。格子間隔 $a$ を固定したまま（紫外の切断を残したまま）でも、その障害は残るか。残るなら、発散をどう処理しても片づきません。

発散とは、自由場の一点の分散 $G_a(0)\approx0.1549/a^2$（四次元）のように切断を外すと無限大に向かう量でした（6-01 §02）。格子間隔を固定した有限の箱の格子ゲージ理論は、有限次元の積分です。

$\Lambda$ は箱の辺の集合、$\mathrm dU_\ell$ は重さ 1 の Haar 測度、$S$ は Wilson の作用、$\beta$ は格子の逆結合（逆温度ではない。大きい $\beta$ が弱結合）です（6-10 の式 (3)）。無限大は一つもありません。

例：それでも、箱だけを $\mathbb Z^4$ へ広げた理論について、Chatterjee の講演スライド（日付の記載なし。PDF の作成日は 2020 年 9 月）は 'Even showing any kind of correlation decay at large β for non-Abelian theories in 3D and 4D is open.' と書きます。既知 その後、有限群については Adhikari–Cao が弱結合での相関の減衰を示しました。既知 この章が読んだ文献の範囲では、いま開いているのは、連続な非可換 Lie 群（$SU(N)$ など）の場合です。結果は 表 4 にまとめます。

厳密な評価の多くは小さな数による展開ですが、四次元のヤン–ミルズの結合は短い距離で弱く（漸近自由）、長い距離で強くなり、赤外の側には展開の足場が見当たりません（6-10 §05）。展開が収束する小さい $\beta$（強い結合）は、連続極限 $\beta\to\infty$ の反対の岸です。正確には、強結合展開が収束する $\beta$ の範囲は 0 の近くに限られ、連続極限が要る $\beta\to\infty$ とは重なりません。

格子の上の目標は Chatterjee（2018）の Problem 5.1 です。ゲージ不変な局所的な量の相関が $e^{-|x-y|/\xi}$ で減る長さ $\xi(\beta)$（格子単位）について

を示すこと（四次元・コンパクトな非可換 Lie 群）。既知 前半はどの格子間隔でもギャップがあること、後半は連続極限の見込みです（5-09）。

例：群を替えると (2) は壊れます。$U(1)$ は大きい $\beta$ で質量ゼロの相に入り、面積則が破れます（Guth 1980、厳密には Fröhlich–Spencer 1982）。既知 有限群は弱結合で相関が指数的に減りますが（Adhikari–Cao）既知、閉じ込めず連続極限も無いと考えられています。物理 $SU(N)$ はすべての $\beta$ で閉じ込めの相と信じられています。物理

どの群にも同じく働く議論は $U(1)$ で誤るので、効くはずなのは「連続で非可換な群で、相転移の点が $\beta=\infty$ にあってもギャップが残る」ことです（5-06・5-10）。欠けているのは、結合が $O(1)$ に育つ尺度を体積によらずに渡る評価です。

物理の見立てでは、質量ギャップは理論のただ一つの尺度 $\Lambda$ の定数倍で（4-07）、一ループの繰り込み群では尺度 $\mu$ での結合 $g$ と次の関係にあります。物理

$b_0$ は結合の走り $\mu\,\mathrm dg/\mathrm d\mu=-b_0g^3+\cdots$ の係数です（4-06）。右辺はどの冪よりも速く 0 に近づきます。

だから $\alpha=0$ のテイラー係数はすべて 0 で、摂動論はどの次数でも $\Lambda=0$ と答えます（量子力学では 2-06）。既知

例：$\alpha^n$ が $e^{-c_N/\alpha}$ と等しくなる次数 $n_*=c_N/\big(\alpha\ln(1/\alpha)\big)$ は、結合が小さいほど増えます。

計算表 1　$e^{-c_N/\alpha}$ と次数 $n_*$（$c_2=0.8568$、$c_3=0.5712$）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (3) と交点の二分法）。

欠けているのは無限大の値ではなく、級数に載らない情報です。級数の発散は別の現象です。問題文（Jaffe–Witten 2000、以下 JW）は §6.1 で、摂動級数は多くの例で 'divergent expansions' だと書きます。Beneke（1999）は 'The sum of a convergent series may still differ from R by exponentially small terms exp(−1/α)' と書きます。既知 収束する級数でも $e^{-c/\alpha}$ は取りこぼされえます（4-12・6-12）。

発散を処理して極限が取れても、自由場（ガウス測度）なら答えではありません（JW §4 は非自明な理論を求める）。平均 0 の場の二点・四点の相関 $S_2$、$S_4$ から

を作ると、ガウスなら $u_4\equiv0$ です（Wick の法則。6-08 §01）。

例：四次元の $\phi^4$ は、格子で紫外を切って臨界点に寄せた無限体積のスケーリング極限がガウスになります（Aizenman–Duminil-Copin 2021）。既知 発散は処理済みで、それでも極限は自由場です。$SU(2)$ のヤン–ミルズ–Higgs の特別なスケーリング極限もガウスで、非ガウスな極限は 'remains open' とされます（Chatterjee 2026）。既知

何を固定するかも同種の問題です。物理の単位の質量 $m_{\mathrm{lat}}(\beta)/a(\beta)$ は 0/0 の形で、意味を持つのは $m/\sqrt\sigma$ のような次元の無い比の極限、つまり 0 に向かう速さの比です（5-09）。要件は 6-08 §10。

測度を置く場所は、接続の空間をゲージ変換で割った軌道空間で、線形空間ではありません（3-04）。軌道とは、ゲージ変換で互いに移り合う接続の集まりです。Singer（1978）は、$S^4$（$\mathbb R^4$ に無限遠点を一つ足したもの）の上で、非可換なコンパクト群について、各軌道から接続をちょうど一つずつ連続に選ぶことはできないと示しました（'No gauge fixing is possible.'）。既知 題の「曲がっている」は比喩で、正確には、この二つ（線形空間でないこと、代表を大域的に連続には選べないこと）を指します。

発散に還元できる部分

形式的な $\mathrm dA$（無限次元のルベーグ測度のつもりのもの）では $Z=\infty$ になり（Chatterjee 2018）、軌道の体積も無限大と見込まれます（Singer 1978）。格子はここを片づけます。式 (1) はゲージを固定せずに有限です。

残る 0/0

残るのは、弱結合の解析でゲージの固定が要るときです。Bałaban は細胞ごとに変わる局所的なゲージを使います（6-05 §05）。格子の全体で一つの共変な（Landau 型の）ゲージを BRST 対称に固定すると、次の 0/0 が現れます（Neuberger 1987。式は Mehta–Daleo–Hauenstein–Seaton 2014 の (2)）。既知 使う言葉を一行ずつ定義します（詳しくは 4-08）。

• Landau 型のゲージ：変換後の辺の変数が 1 からどれだけ離れているかを測る関数 $F$（ゲージ変換の関数）を作り、その臨界点を軌道の代表に選ぶ固定です。下の例の $F$ がその形です。
• Gribov のコピー：一つの軌道の上に $F$ の臨界点が複数あるときの、その一つひとつです。
• Faddeev–Popov の行列 $M_{\mathrm{FP}}$：臨界点での $F$ の二階微分の行列です。ゲージを固定した積分は $\det M_{\mathrm{FP}}$ を重みに持ちます。
• BRST 対称な固定：ゲージを固定した後にも形式的な対称性（BRST）が残るように固定するやり方です。このとき一つの軌道の寄与は、すべてのコピーの $\operatorname{sign}\det M_{\mathrm{FP}}$ の和になります。
• Euler 標数 $\chi$：コンパクトで境界の無い多様体（1-05）の上の滑らかな関数（臨界点が退化していないもの）の臨界点を、二階微分の行列の行列式の符号（負の固有値が偶数個なら $+1$、奇数個なら $-1$）をつけて足した数です。関数の選び方によりません（Poincaré–Hopf の定理）。曲面なら「極小と極大の数 − 鞍点の数」で、球面では 2 です。円では極小が $+1$、極大が $-1$ と数えるので 0 です。

$N$ は格子点の数で、ゲージ変換は各点に群 $G$ の元を一つずつ置くものなので、動かす空間は $G$ の $N$ 個の積です。符号の和はその Euler 標数 $\chi(G)^N$ で、正の次元のコンパクトな連結 Lie 群では $\chi(G)=0$ です。ゲージ不変な量は軌道の上で一定なので、ゲージを固定した期待値は分子も分母も 0 になり、0/0 です。

例：円 $S^1=U(1)$ の上の滑らかな関数では極大と極小が交互に並び、符号の和は $\chi(S^1)=0$ です。$N$ 点の環で、Mehta らの式 (3) の $F=\sum_j\big(1-\cos(\phi_j+\theta_{j+1}-\theta_j)\big)$ の臨界点をすべて数えました（$\theta_j$ は点 $j$ のゲージ変換の角で、全体を一様に回す自由度を除くため $\theta_0=0$ とおく。$\phi_j$ は辺の角で一様乱数、300 軌道）。

計算表 2　$U(1)$ の環のゲージ固定。

コピーの数は調べた軌道ですべて同じで、偶数の $N$ で $\frac N2\binom{N}{N/2}$ と指数的に増え、符号の和は常に 0 でした。計算 極小に限れば 0/0 は避けられますが、極小の数が軌道で変わりうる（$N=3$）ことが別の困難です（Mehta ら §I）。0 は位相から来ています。Singer 自身は、回避の道として、局所的な被覆を 1 の分割で貼り合わせる局所化を挙げました（4-08・6-12）。

ユークリッドから時空へ戻る道は反射正値性 $\langle\overline{\Theta F}\,F\rangle\ge0$（$\Theta$ は時間の反射、$F$ は正の時間の側の量）に懸かっています（4-10）。Wilson の作用はこれを保ち（Osterwalder–Seiler 1978）、回転の対称性を壊します。連続の正則化は逆で、問題文は、正則化で失った反射正値性を取り戻す方法は少ないと書き、例に次元正則化と Pauli–Villars を挙げます（JW §6.5。引用は 0-03 §03）。既知

例：自由場の空間運動量 $p$ を固定すると、二点関数の時間の依存は $G(t)=e^{-\omega|t|}/(2\omega)$（$\omega=\sqrt{p^2+m^2}$）。ガウスの場では反射正値性は、正の時刻 $t_i$ と実数 $f_i$ について

です。$G$ が正の重み $\rho(E)$ の指数関数の和なら $Q=\sum_E\rho(E)\big(\sum_if_ie^{-Et_i}\big)^2\ge0$。Pauli–Villars は重い質量 $M$ の項を引き $G_{\mathrm{PV}}(t)=e^{-\omega t}/(2\omega)-e^{-\Omega t}/(2\Omega)$（$\Omega=\sqrt{p^2+M^2}$）とするので、$\sum_if_ie^{-\omega t_i}=0$ となる $f$ で $Q=-\frac{1}{2\Omega}\big(\sum_if_ie^{-\Omega t_i}\big)^2\lt0$ です。$p=0$、$m=1$、$M=5$、$t=(0.1,0.2)$、$f=(1,-e^{0.1})$ で $Q=-4.0\times10^{-3}$。計算 $M\to\infty$ で破れは縮みますが、切断を残す段では使えません。

二次元より上で Wilson ループを熱流で均す必要がある（Cao–Chatterjee）のは紫外の問題ですが、正値性を保つ正則化、回転の対称性の回復、点でなく曲線に値を持つ観測量（Chatterjee 2018）を公理に載せることは構造の問題です。既知

振動子が有限個なら正準交換関係の既約な表現は本質的に一つですが（Stone–von Neumann。2-06）、無限個では同値でない表現が無数に現れます。既知 帰結の一つが Haag の定理で、相互作用する理論を自由場の Fock 空間に（相互作用表示で）載せることはできないとされます（Haag 1955、Hall–Wightman 1957。4-09）。

仕組みは無限大なしに見えます。周波数 $\omega\ne\omega'$ の振動子の基底状態の重なりは $\big(2\sqrt{\omega\omega'}/(\omega+\omega')\big)^{1/2}\lt1$ で、一辺 $L$ 点・間隔 $a$ の三次元の周期的な格子の、質量 $m$ と $m'$ の自由場の真空の重なりはモードごとの積です。

積は $k=(n_1,n_2,n_3)$、$n_j=0,\dots,L-1$ の $L^3$ 個のモードにわたります（$\omega'_k$ は $m'$ で同様）。各モードの対数は負です。

例：二つの極限を比べます。A は格子間隔を固定して（$am=0.5$）箱を広げ、B は箱を固定して（一辺 $2/m$）格子を細かくします。どちらも一辺の点の数 $L$ を増やします。

計算表 3　$m'=1.2m$ の真空の重なり $\langle\Omega_m,\Omega_{m'}\rangle$。

A では $-\ln\langle\Omega_m,\Omega_{m'}\rangle$ が $L^3$ に比例し（一点あたり $1.44\times10^{-5}$）、重なりは 0 に向かいます。計算

B で重なりが正の値に落ち着く理由は、大きい運動量のモードにあります。$\omega_k$ が大きいとき、一つのモードの対数の寄与はおよそ $-(m'^2-m^2)^2/(64\omega_k^4)$ で、$\omega_k$ は $|k|$ にほぼ比例して増えるので、全体は $\sum_k|k|^{-4}$ の形の和になります。三次元では $|k|\approx R$ の殻にあるモードはおよそ $R^2$ 個で、殻ごとの寄与は $R^{-2}$ のように減るので、この和は収束します。計算

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (8)。m′/m = 1.1, 1.2, 1.5, 2）。

重なりが 0 に向かうのは紫外ではなく体積のせいです（質量の違う自由場の表現が同値でないことは Haag の定理の一般化とされる。Reed–Simon）。構成的場の理論は、有限の箱と格子で測度を密度として作り、その極限から状態空間を再構成します（4-10）。状態空間は入力ではなく出力です（Chatterjee 2018 の 'we do not even know for certain the right spaces'）。

関連する現象と対比しておきます。この節の真空（固定した時刻の、空間三次元の格子の上のもの）は、有限の体積なら重なりが正です（表 3 の B）。質量の違う二つの自由場を、ユークリッドの四次元の時空の測度として比べると、有限の箱（トーラス）でも紫外のために互いに特異になります（1-09 の寄り道、式 (11)）。効き方は、空間の次元 3 と時空の次元 4 で分かれます。

表 4　六つの障害と発散の部分（紫外の切断を外して初めて起きる部分。判定はこの本の整理）。

紫外の側も完了していません（Bałaban の四次元の結果は仮定つきの評価まで。部分列の極限は見込みです。6-07 §05）。言えるのは、紫外の側が最も進んでいて、出題者が新しい考えを求めたのは体積に一様なギャップの側だ、というところまでです（6-10 §01）。六つの外に局所場との対応（JW 脚注 1）と位相のセクター（寄り道）があります。切れ目は 9-02（名前の対訳は 9-02 の対訳表）、課題は 9-04。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：6-12 寄り道：「1/0 に記号を与えれば」。§03 の $e^{-c/\alpha}$ と §05 の 0/0 を記号の側から見直します。物理の側からは 7-01。

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