2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備ヒルベルト空間とスペクトル

ヒルベルト空間と自己共役作用素 — 無限次元で「いちばん下」と「その次」を測る

有限次元なら最小固有値と次との隙間はいつでも計算できます（1-01）。問われるのは、自由度を増やした極限で隙間が正のまま残るかどうかです。例として、$[0,1]$ で両端が 0 の関数 $u$ に $-u''$ を対応させる規則を、$N$ 等分の格子で刻みます（2-01 §05 のヘッセ行列と同じ形）。

固有ベクトルは $u_j=\sin(k\pi j/N)$ です（代入して確かめられます）。$k$ を止めて $N\to\infty$ とすると $\lambda_k(N)\to k^2\pi^2$。これは $-u''=\lambda u,\ u(0)=u(1)=0$ の固有値です。いちばん上の固有値は $4N^2$ 近くまで伸び、極限を持ちません。

計算表 1　(1) の行列の固有値（三重対角の固有値計算と (1) の差は相対 $10^{-15}$ 以下）。

計算図の数値は (1) からその場で計算しています（表 1 で照合）。

比は $t=k/N$ だけで決まり、$\lambda_k(N)/k^2\pi^2=\bigl(\sin(\pi t/2)/(\pi t/2)\bigr)^2$ です（図 1 左の破線）。$k=N/2$ で $8/\pi^2\approx0.81$、右端の $t\to1$ で $4/\pi^2\approx0.41$。$k$ を止めて $N$ を増やせば $t\to0$ で比は 1 に近づきます。$k$ が $N$ に近い固有ベクトルは、格子点では $\sin k\pi x$ の値そのものですが、振動が点の間隔と同じくらい細かいので、点を結ぶと別の形に見えます。実際 $\sin(k\pi j/N)=-(-1)^j\sin((N-k)\pi j/N)$ で、ゆっくりした振動に一点ごとの符号の交代を掛けた形です（図 1 右で $k$ を $N-1$ に近づけると見えます）。極限に残るのは下の固有値と隙間で、相手は上に際限のない作用素です。格子ゲージ理論の連続極限（5-05）でも、格子から読むのはスペクトルの下の端（最も軽い状態）です 物理。四次元でその極限が在ることは証明されていません（6-10）。

関数を「成分が無限個あるベクトル」として扱うには、内積（1-01 §05）と完備性が要ります。完備とは、互いにいくらでも近づいていく列（コーシー列）が空間の中に極限を持つことです。この二つを持つ複素ベクトル空間をヒルベルト空間と呼びます。

$L^2$ では、長さ 0 の集合の上でしか違わない関数を同じものとみなします（1-08）。連続関数だけでは完備になりません。$\tanh(n(x-\frac12))$ は互いに近づくのに、行き先は段差の関数です。06 節で「比を小さくしていく列」の行き先を取るには、完備な $L^2$ が要ります 既知。

$e_k=\sqrt2\sin k\pi x\ (k\ge1)$ は $L^2(0,1)$ の正規直交基底で、$c_k=\langle e_k,f\rangle$ について $\lVert f\rVert^2=\sum_k|c_k|^2$（Parseval の等式）です 既知（1-11）。例。$f=x(1-x)$ では奇数の $k$ で $c_k=4\sqrt2/(k\pi)^3$、偶数で 0 です。$\sum_{k\,\text{奇}}32/(k\pi)^6=1/30$ は $\int_0^1x^2(1-x)^2dx=1/30$ と一致します。1-09 の $\ell^2$ は、こうして関数の空間とつながります。

伸び率の上限 $\lVert A\rVert=\sup_{\psi\ne0}\lVert A\psi\rVert/\lVert\psi\rVert$ が有限な作用素を有界と呼びます。$-d^2/dx^2$ は $e_k$ を $k^2\pi^2$ 倍するので有界でなく、二階微分が $L^2$ に入らない関数もあります。そこで施してよい関数の部分空間、定義域 $D(A)$ を作用素の一部として指定します。$D(A)$ の上で $\langle\phi,A\psi\rangle=\langle A\phi,\psi\rangle$ なら対称です。自己共役はもう一歩強く、この等式の相手 $\phi$ を $D(A)$ の外まで探しても増えないことを言います。正確には、すべての $\psi\in D(A)$ で $\langle\phi,A\psi\rangle=\langle\eta,\psi\rangle$ となる $\eta$ が在る $\phi$ の全体を随伴 $A^\dagger$ の定義域 $D(A^\dagger)$ とし、$A^\dagger\phi=\eta$ と定めます。対称なら $D(A)\subset D(A^\dagger)$ で、$D(A^\dagger)=D(A)$ のとき自己共役です。スペクトル定理や時間発展 $e^{-itA}$（2-05）は自己共役が前提です 既知。運動量 $P=-i\,d/dx$ では部分積分から次が出ます。

(a) $D=\{\psi(0)=\psi(1)=0\}$ なら対称ですが、相手の $\phi$ に条件が要らず、どの複素数 $z$ でも $P^\dagger e^{izx}=ze^{izx}$ なので自己共役ではありません。(b) $D_\theta=\{\psi(1)=e^{i\theta}\psi(0)\}$ なら相手も同じ条件で自己共役、固有値は $2\pi n+\theta\ (n\in\mathbb Z)$。輪を貫く磁束 $\Phi$ による位相差 $q\Phi/\hbar$ が $\theta$ の役をします（2-03 の Aharonov–Bohm）。$-d^2/dx^2$ も、端で $u=0$（Dirichlet）ならスペクトルは $\{k^2\pi^2\}_{k\ge1}$、$u'=0$（Neumann）なら $\{k^2\pi^2\}_{k\ge0}$ です。境界条件は作用素の一部で、いちばん下の値を変えます。

無限次元には、一対一なのに逆が有界でない場合があります。そこでスペクトルを次で定めます。

右の等式は $A$ が自己共役で $\lambda\notin\sigma(A)$ のときのもので、このとき $\sigma(A)$ は実数直線の閉集合です 既知。例。$L^2(0,1)$ で $x$ を掛ける作用素 $M$ は、$xf=\lambda f$ なら $f=0$ なので固有値を持ちません。それでも $\lambda\in[0,1]$ では $1/(x-\lambda)$ が有界でなく、$\sigma(M)=[0,1]$ です。$[\lambda,\lambda+\varepsilon]$ だけで一定の長さ 1 の関数は $\lVert(M-\lambda)f\rVert\le\varepsilon$ で、固有ベクトルにいくらでも近いものはあります（2-05 §03 の Weyl の判定法）。刻めば固有値は格子の点になり、$[0,1]$ を埋めていきます（01 節の下の固有値は離れたまま）。

孤立した有限重複の固有値を離散スペクトル、残りを真性スペクトルと呼びます。質量ギャップは、真空の固有値 0 が孤立し、残りのスペクトルが $\Delta\gt0$ 以上にあるという主張です（4-11）。

自己共役作用素は、適当なユニタリで $M$ のような「実数値の関数を掛ける作用素」に移せます（スペクトル定理）既知。行列の対角化（1-01）の無限次元版で、正確には固有値だけでは書けない部分も含みます。関数 $g$ を代入でき、固有ベクトルの基底があれば次の形です。

右は、$A\ge0$、0 の固有空間を長さ 1 の $e_0$ が張り、残りのスペクトルが $[\Delta,\infty)$ にあるときで、各成分に $e^{-t\lambda}\le e^{-\Delta t}$ を使えば出ます。隙間は、いちばん下以外の成分が消える最も遅い速さです（虚時間での読み方は 2-05 §05）。例 1。両端を断熱した棒の熱の方程式 $\partial_tu=\partial_x^2u$ では $A$ は Neumann の $-d^2/dx^2$、$\Delta=\pi^2$ で、温度の平均からのずれは $t=0.5$ で $e^{-\pi^2/2}\approx0.0072$ 倍以下です。例 2。Dirichlet の $-d^2/dx^2$ の逆は $(Gf)(x)=\int_0^1G(x,y)f(y)\,dy$、$G(x,y)=\min(x,y)-xy$ です（$-(Gf)''=f$ と両端の 0 を確かめられます）。1-09 のブラウン運動 $B$ から $X(t)=B(t)-tB(1)$ を作ると両端が 0 になり（ブラウン橋）、その共分散 $E[X(s)X(t)]$ がちょうど $G(s,t)$ です。$G$ の固有値は $(k\pi)^{-2}$ で、和 $\sum_k(k\pi)^{-2}=1/6$ が有限なことが、ブラウン橋の見本が $L^2$ に入るための 1-09 (4) の条件です。

下に有界な自己共役作用素のスペクトルの下端は、Rayleigh 商の下限です。$n$ 番目も「$n$ 次元の部分空間で最大を取り、部分空間について最小を取る」形で書けます（min-max 原理。真性スペクトルより下の固有値を重複を込めて小さい順に）既知。

固有ベクトルで展開すると Rayleigh 商は固有値の重み付き平均 $\sum\lambda_k|c_k|^2/\sum|c_k|^2$ で、$\lambda_1$ を下回りません。部分空間 $V$ に制限した行列の固有値は $\lambda_1,\lambda_2,\dots$ の上界になり、$V$ を広げるほど下がります（Rayleigh–Ritz の方法）。例。Dirichlet の $-d^2/dx^2$ に $x(1-x)$ を入れると、商は $(1/3)/(1/30)=10\ge\pi^2$ です。下からの評価には Temple の不等式があります。$\psi\in D(A)$ の Rayleigh 商を $R$ とし、次の固有値の下界 $\mu$（$R\lt\mu\le\lambda_2$）を知っていれば次が成り立ちます 既知。

$\psi=x(1-x)$ なら $A\psi=2$、$\lVert A\psi\rVert^2/\lVert\psi\rVert^2=120$ です。ここでは $\lambda_2=4\pi^2$ が厳密に分かっている（03 節）ので $\mu=39$ と置けて、$\lambda_1\ge10-20/29=9.310$ です。表 2 の下に出る Ritz の値（$39.50\dots$）は $\lambda_2$ の上界で、$\mu$ の根拠にはなりません。変分原理だけでは上界しか出ず、下から押さえるには別の情報が要ります。Temple の不等式では、それが次の準位の下界 $\mu$ です（08 節の凸性 $V''\ge\kappa$ はもう一つの例）。質量ギャップの証明が難しいことの、有限個の自由度での姿です（2-05 §04・4-11）。

計算表 2　$V_n=\{x(1-x)p(x):\ p\ \text{は}\ n-1\ \text{次以下}\}$ での Rayleigh–Ritz の値と、(7)（$\mu=39$）の下界。行列は分数で厳密に作成。

偶数の $n$ で加わる反対称な関数は $\lambda_2$ だけを改善し、上界は $42,\ 39.50155,\ 39.47847$（$4\pi^2=39.47842$）と下がります。$n=5$ で $\pi^2$ は幅 $2\times10^{-6}$ の区間に挟まれます（下の端は $\mu=39\le4\pi^2$ に依ります）。

「傾きの小さい関数は平均からあまり外れない」を数で言ったものが Poincaré 不等式です。区間 $[0,1]$ では次の形で、定数 $1/\pi^2$ はこれ以上小さくできません 既知。

証明。Neumann の固有関数 $1,\ \sqrt2\cos k\pi x$ で $f-\bar f=\sum_{k\ge1}a_k\sqrt2\cos k\pi x$ と書くと、左辺は $\sum|a_k|^2$、右辺の積分は $\sum k^2\pi^2|a_k|^2\ge\pi^2\sum|a_k|^2$ です。等号は $f=a+b\cos\pi x$ のときだけ。長さ $L$ の区間では定数は $(L/\pi)^2$ で、大きさの二乗に比例します（円の上の版は 7-06 の (4)）。

これは 06 節の変分原理を、Neumann の作用素の「0 の次」に使ったものです。一般に、自己共役な $A\ge0$ で $Af=0$ となるのが定数だけ、隙間が $\Delta$ なら、$\operatorname{Var}(f)\le C_P\langle f,Af\rangle$ の最良の定数は $C_P=1/\Delta$ で、(5) からならす動きは速さ $1/C_P$ で落ち着きます。Dirichlet 版 $\int|f|^2\le\pi^{-2}\int|f'|^2$（$f(0)=f(1)=0$）も同じ数ですが、等号は $\sin\pi x$ で、別の内容です。例。$f=x$ では左辺 $1/12$、右辺 $1/\pi^2$ で、比は 0.82 です。

場の理論で要るのは、確率測度 $\mu(dx)=e^{-V(x)}dx/Z$（$Z$ は全体を 1 にする定数）に対する形です。内積を $\langle f,g\rangle_\mu=\int\overline f\,g\,d\mu$ とし、この内積で長さが有限な関数の空間を $L^2(\mu)$、分散を $\operatorname{Var}_\mu(f)=\int\bigl|f-\textstyle\int f\,d\mu\bigr|^2d\mu$ と書きます。

最良の $C_P$ は、$Lf=-f''+V'f'$ の 0 の次の隙間の逆数です。$L$ は $L^2(\mu)$ で自己共役で、部分積分から $\langle f,Lf\rangle_\mu=\int|f'|^2d\mu$、$Lf=0$ となるのは定数だけです（07 節と同じ形。基底状態の側からは 2-05 §08）。左の不等式は $f=x$ を入れれば出ます。右は Brascamp–Lieb（1976）の分散の不等式の系とされ、Bakry–Émery（1985）の対数 Sobolev 不等式（Poincaré 不等式より強い形の不等式）からも出ます 既知。一次元なら次の筋で足ります。$Lf=\lambda f$ を微分すると $g=f'$ は $Lg+V''g=\lambda g$、$g$ との内積で $\int|g'|^2d\mu+\int V''g^2d\mu=\lambda\int g^2d\mu$、よって $\lambda\ge\kappa$（固有関数があり境界の項が消えるとして）。正規分布 $V=x^2/(2\sigma^2)$ では三つとも $\sigma^2$ です（Chernoff 1981）。

計算図の数値はこの端末で計算しました（最良の $f$ と $C_P$ は python3 で求めて埋め込み、重み $e^{-V_c}$ はその場で計算）。

計算表 3　$V_c=x^4/4-cx^2/2$ の $C_P$（$L$ をシュレーディンガー型の作用素に直して三点差分で求めた。方法は出典表。刻みを半分にしても 4 桁一致）。$c\lt0$ では $\kappa=-c$。

谷が二つ（$c\gt0$、谷の間の山の高さ $c^2/4$）になると $C_P$ は $\operatorname{Var}(x)$ よりずっと速く増え、$c=4$ では 9 倍です。最良の $f$ は左の谷で $-1$、右で $+1$ に近い段差になり、その傾きは重みのほとんど無い山の上でしか効きません。重みのくびれが $C_P$ を大きくします。

変数が $x=(x_1,\dots,x_n)$ と多いときは、(9) の $|f'|^2$ を勾配の長さの二乗 $|\nabla f|^2=\sum_j|\partial_jf|^2$ に替えます。基本は次の二つです 既知。

(i) 独立な変数の積の測度の $C_P$ は、各因子の $C_P$ の最大値で、変数の数によりません。$L$ が各変数の $L$ の和になり、固有関数は積 $f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)$、固有値は和になるので、0 の次の値は各因子の隙間の最小値だからです（固有関数の基底があるとして）。

(ii) 平均 0・共分散行列 $C$ のガウス測度の $C_P$ は、$C$ の最大固有値です。$C$ の固有ベクトルを直交座標に取ると、測度は分散が $C$ の固有値の独立な一次元ガウスの積に分かれ（1-08）、$|\nabla f|^2$ は直交座標の取り替えで変わりません。あとは (i) と、一次元の $C_P=\sigma^2$（08 節）を使います。

1-08 (10) の輪の上の自由場では $C=(-\Delta_{\mathrm{lat}}+m^2)^{-1}$ です。$-\Delta_{\mathrm{lat}}$ の固有値は 0 以上で、0 は定数の向き（すべての $x_j$ を同じだけずらす向き）なので、$C^{-1}$ の最小固有値は $m^2$、よって $C_P=1/m^2$ です。相関長 $\xi\approx1/m$（1-08 (11)）と合わせると $C_P\approx\xi^2$ になります（この $C_P$ は場の変数 $x_j$ の勾配で測ったものです。格子ゲージ理論でリンクの角度を変数に取ると定数倍が変わるので、どちらで測るかを必ず書きます。10-03）。

ここで二つの隙間を区別します。自由場では、$C_P$ の逆数 $m^2$ は $L$ の隙間（(5) で $e^{-tL}$ が平均からのずれを消す速さ）です。一方、1-08 (10) を虚時間の経路積分と読んだときのハミルトニアンの隙間は、格子間隔を単位にして $1/\xi$（1-08 (11)。$m$ が小さいとき $\approx m$）です。二乗の関係 $C_P\approx\xi^2$ は自由場の計算で、相互作用のある理論で一般に保たれるかどうかは 10-03 の問いであり、証明されていません（群の上の同じ形は 5-11）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-11 フーリエ解析と分布。量子力学での使い方は 2-05。

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