2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化β 関数・11N/3

漸近自由 — 短い距離で結合が弱まる符号と、11N/3 の中身

繰り込んだ結合 $g$ は、測る尺度 $\mu$（運動量。距離ならおよそ $1/\mu$）を決めて初めて値が決まります（4-04）。その変わり方が β 関数で、右辺は小さい $g$ での展開です。

$\beta\gt0$ なら短い距離（大きい $\mu$）で結合が強まり、QED と四次元の $\phi^4$ がこちらです（6-08）。$b_0\gt0$ なら短い距離で弱まります。これが漸近自由です。$b_1$ 以降を捨てて積分すると、$1/g^2$ が $\ln\mu$ の一次式になります（7-01 と同じ式）。

式 (2) は、$\mu$ が何倍になったかの対数に比例して $1/g^2$ が増える、という意味です。$\mu$ を 10 倍しても 100 倍しても、増え方は一定の刻みで、結合はゆっくりとしか弱まりません。

例。結合の二乗を $4\pi$ で割った $\alpha$ で書くと、電子だけの QED の一ループでは $d(1/\alpha)/d\ln\mu=-2/(3\pi)\approx-0.212$（Tong の講義録 §2.4.1 の式の書き直し）、純 SU(3) では $+1.751$ です。後者では $\mu$ が 10 倍になるごとに $1/\alpha$ が約 4.03 増えます（0-03）計算。

ゲージ群に、ディラック粒子 $n_f$ 個（表現 $R_f$）と複素スカラー $n_s$ 個（表現 $R_s$）を足した理論の一ループの係数は次のとおりです（Tong の講義録 §2.4・§2.7。't Hooft 1999 の式 (5.3) は規格化の違う同じ式）既知。

$T(R)$ は $\mathrm{tr}_R(T^aT^b)=T(R)\,\delta^{ab}$ で決まる数で、基本表現で $\tfrac12$、随伴表現で $C_A$（SU(N) なら $N$。1-04）です。純 SU(N) では $b_0=\tfrac{11N}{48\pi^2}$ です。変数の取り方で見かけの数が変わるので、表 1 に並べます（四行は同じ内容）。

計算python3 で評価。SU(3) の $b_0^{(\alpha)}=33/(12\pi)$ は PDG の式 (9.3) とその直後の $b_0$ の式と一致。

最後の行は格子の言葉です（5-01）。格子間隔 $a$ を半分にするごとに $\beta_{\mathrm L}$ を $\kappa\ln2$（SU(2) で 0.258、SU(3) で 0.579）上げれば同じ物理が保たれる、というのが一ループの予言です 計算。SU(2) の $\kappa=11/(3\pi^2)$ は、この端末の記録の傾き $\kappa$ と同じ数で、既知の一ループ係数を格子の規約で書いたものです（10-02）既知。

なぜ符号が逆になるのでしょう。背景場の方法は、ゆっくり変わる外の場（背景場）を置き、そのまわりの量子の揺らぎを一ループで積分して、背景場の作用の係数 $1/g^2$ がどう変わるかを見る方法です。これで計算すると（Tong の講義録 §2.4.2）、グルーオンの寄与は二つに割れます。場の成分をスカラーのように数える項は、ゴーストで余分を引いたあと、電磁気と同じ遮蔽の向きに $-\tfrac13$ を与えます。スピン 1 から来る項（講義録の 'the paramagnetic piece'）は反遮蔽の向きに $+4$ を与えます。全体の負号はここから来ます（'This is where the overall minus sign comes from'）既知。

光子は電荷を持たず QED の真空の偏極に加わりませんが、グルーオンは色の電荷を持つので加わります（3-02）。Wilczek のノーベル講演も 'it is the effect of virtual gluons that is responsible for antiscreening' と書きます。

同じ分け方は物質にも使えます。質量の無い粒子の一つの状態（スピン $s$、磁場の向きの成分 $s_z$）が $16\pi^2b_0$ に

ずつ寄与すると数えます。$(2s_z)^2$ がスピン（常磁性）、$-\tfrac13$ が軌道（反磁性）の分、$(-1)^{2s}$ はフェルミオンのループの符号です。グルーオン（$s_z=\pm1$）で $\tfrac{11}{3}C_A$、ディラック粒子で $-\tfrac43T$、複素スカラーで $-\tfrac13T$ と、式 (3) がすべて出ます（表 2）。この章では、式 (5) を既知の係数を再現する数え方として置きます。この規則が式 (3) の係数をすべて再現することは、この端末で確かめました 計算。規則そのものの導出はこの章では扱いません。漸近自由を常磁性として見る類比は Nielsen 1981 に遡るとされます（Tong の文献注。Tong は 't Hooft への私的な帰属にも触れています）。

計算この図と表の数値はこの端末で計算した（python3 の有理数で式 (5) を評価し既知の係数と一致。図は同じ式をその場で足す）。JavaScript が無効ならこの表で読める。

寄り道：真空は常磁性体

物質は $b_0$ を減らします。基本表現のディラック粒子 $n_f$ 個なら式 (3) は $16\pi^2b_0=\tfrac{11N}{3}-\tfrac{2n_f}{3}$ で、漸近自由は $n_f\lt11N/2$（SU(3) で 16.5 未満）のときだけです 計算。't Hooft の回想（1999）にも同じ数があります。現実のクォークは 6 種で、QCD は漸近自由の側です。

可換な群では $C_A=0$ なので、(3) には物質の項だけが残り、$b_0\lt0$（§02 の QED の向き）です。標準模型の $U(1)_Y$（$Q=T_3+Y$ の規格。超電荷は 3-07 の表 1）では、$T(R)$ を $Y^2$ に替え、左巻きの Weyl 成分一つをディラック粒子の半分に数えると、三世代のフェルミオン（一世代で $\sum Y^2=10/3$）と Higgs 二重項から

で、一ループでは結合が短い距離で強まります 計算。§05 の $b_1$（二ループの係数）とは別の数です。

ヤン–ミルズ場の無い理論については、Coleman と Gross（1973）の要旨が 'No renormalizable field theory without non-Abelian gauge fields can be asymptotically free.' と述べます（β 関数の計算の水準の主張）既知。問題文 §6.2 も四次元の $\phi^4$ が漸近自由でないことを自明性（6-08）と並べ、ヤン–ミルズを 'the natural candidate for four-dimensional CQFT' と呼びます。ヤン–ミルズが問題の主役である理由の一つです。

二ループの係数は Caswell と Jones がそれぞれ 1974 年の論文で求めています 既知。純 SU(N) では正で、PDG の $\alpha$ の式を $g$ に直すと次の形です（SU(3) で照合 計算）。

$b_0$ と $b_1$ は、結合の定義（繰り込みの方式）を替えても変わりません。別の結合 $\tilde g=g+c\,g^3+d\,g^5+\cdots$ に替え、$\mu\,d\tilde g/d\mu=(1+3cg^2+5dg^4)\beta(g)$ を $\tilde g$ で書き直すと

で、$c,d$ は $\tilde b_2$ から先にしか入りません（有理数の級数で確かめた 計算）。PDG も $b_2$ 以降は 'renormalization-scheme-dependent' と書き、Capitani ほか 1999 は $b_0,b_1$ を 'The universal coefficients' と呼びます 既知。この普遍性が §07 の足場です。

例。純 SU(3) で同じ積分定数 $\Lambda$（4-07）から出すと、$\alpha$ は $\mu/\Lambda=10$ で一ループ 0.248・二ループ 0.186、$10^{10}$ でも 0.0248・0.0232 と 7% 違います 計算。補正は「対数の対数」で、なかなか消えません。物質を足して $b_1\lt0$ にすると β 関数が $g_*^2=-b_0/b_1$ で 0 になり、SU(3) の $n_f=16$ なら $\alpha_*\approx0.042$ の赤外の固定点が見えます 計算（Banks–Zaks 1982 物理）。係数は五ループまで計算されています（PDG の文献表。級数全体の意味は 4-12）。

負の符号は 1973 年より前にも計算に現れていました。't Hooft の回想（1999）によれば、当時は β 関数が正であることが普遍的と考えられ、場の量子論では Bjorken スケーリング（高エネルギーの散乱で、ハドロンの中の構成要素が短い距離では自由に近く動いて見える規則性）を説明できないと思われていました。

Politzer の題は疑問符付きの 'Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?' でした 既知。't Hooft は 1973 年の論文について 'I was surprised, not about the result, which I had known all along, but about the stir they caused' と書き、本当に問題なのは閉じ込めだと続けます。この本の問題もその先にあります（7-01）。

格子（5-01）では格子間隔 $a$ が切断で、裸の結合 $g_0$ が $a$ とともに走ります。§05 の普遍性から、その β 関数も同じ $b_0,b_1$ で始まり、二ループまでで積分すると

です（Capitani ほか 1999 の式 (2.7) で $\mu=1/a$ とした形）既知。格子の $\Lambda_{\mathrm L}$ と、連続の $\overline{\mathrm{MS}}$ 方式の $\Lambda$ を比べます。$\overline{\mathrm{MS}}$ は、次元正則化で発散の極とそれに付く定数だけを引く、連続の理論で標準の結合の定義です（4-05）。二つの $\Lambda$ は一ループで決まる定数倍だけ違い、Wilson 作用では $\Lambda_{\overline{\mathrm{MS}}}/\Lambda_{\mathrm L}=28.81$（SU(3)）、19.82（SU(2)）です。Lüscher–Weisz 1995 の係数 $k_1$ から計算し、SU(3) は同論文の式 (4.1) の 28.80934 と一致しました 計算。式 (8) が格子の数値で成り立つことを漸近スケーリングと呼びます（5-05。早い時期の検証は Creutz 1980）。

今の精度で — 純 SU(3) の $r_0/a$

長さの基準 $r_0$ は、静的な色の電荷の対に働く力 $F$ から $r_0^2F(r_0)=1.65$ で決めます（7-01）。Necco–Sommer 2002 の $r_0/a$ に式 (8) と Λ の比を掛けた $r_0\Lambda_{\overline{\mathrm{MS}}}$ の素朴な推定は、漸近スケーリングが成り立てば一定になるはずの量です。

計算この図と表の数値はこの端末で計算した。$r_0/a$ は Necco–Sommer 2002 の表 1（* は $r_c/a$ を $r_c/r_0=0.5133$ で換算）、上げ幅（データ）は同論文の補間式 (2.6) から（— は範囲外）。推定は $(r_0/a)\times a\Lambda_{\mathrm L}\times28.81$。図の値は python3 と一致。JavaScript が無効ならこの表で読める。

推定は 0.28 から 0.46 へ増え続け、非摂動の値 0.602(48) にまだ届きません。裸の結合の展開は収束が遅いのです（一ループだけなら 0.09〜0.14）。それでも向きと桁はそろい、$\beta_{\mathrm L}$ を上げるほど予言に近づきます。箱の大きさを尺度に走る結合を非摂動的に測る方法（Lüscher–Weisz–Wolff 1991）では、測った結合が 'closely matched by the perturbative evolution' で、そこから 0.602(48) が出ています（Capitani ほか 1999）既知。ただし、どれも有限の格子の数値と摂動論の比較で、連続極限の存在も一意性も示しません（5-09・9-05）。

問題文は漸近自由をまず物理の説明として導入し（§1）、二つの役目を与えます。一つは要件で、相関関数が短い距離で漸近自由と摂動的な繰り込み理論の予言に合うこと（§4。引用は 0-03 §07）。作った理論が「ヤン–ミルズ」であることを短い距離で照合する役目です。もう一つは道具で、'Asymptotic freedom ensures a decisive regularity in the case when classical Sobolev inequalities are borderline'（§2）既知。四次元は古典の評価がぎりぎり足りない境目の次元で、その不足を漸近自由が補う、と読めます（1-12。Bałaban の仕事は 6-07）。

漸近自由は「短い距離は易しい」と告げ、同時に「長い距離では展開の手掛かりが無い」とも告げています。問題の難しさは後者の側にあります（6-10・6-11）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：4-07 次元転移と Λ（式 (2) を長い距離の側へ延ばすと現れる $\Lambda$）。格子の側の続きは 5-05。

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