2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備量子力学とスペクトル

量子力学の骨 — 状態はベクトル、エネルギーはスペクトル、ギャップはいちばん下の隙間

量子力学では、状態は複素ヒルベルト空間 $\mathcal H$ の長さ 1 のベクトル $\psi$ です（1-10）。和 $\alpha\psi+\beta\phi$ を長さ 1 に直したものも状態で（重ね合わせ）、$|z|=1$ の $z$ を掛けた $z\psi$ は同じ状態です（2-03 の位相）。内積は左について共役線形とします。

左は二択の系（スピンや「左の谷か右の谷か」）、右は直線上の粒子で、$|\psi(x)|^2$ を位置の確率密度と読みます（Born 1926 にさかのぼるとされます）。測れる量には自己共役作用素 $A$ が対応し（有限次元ではエルミート行列、1-01）、測定の値は固有値 $a_k$ のどれか、その確率は正規直交な固有ベクトル $e_k$ を使って $|\langle e_k,\psi\rangle|^2$ です。

例。$\psi=(1,1)/\sqrt2$ で $\sigma_z=\operatorname{diag}(1,-1)$ を測ると $\pm1$ が半々です。$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ なら $\sigma_x\psi=\psi$ で、$\psi$ は固有値 $+1$ の固有ベクトルなので、測ると確実に $+1$ です（$\sigma_x,\sigma_z$ は Pauli 行列、1-04）。$L^2(\mathbb R)$ では位置 $X$ は $x$ を掛ける作用素、運動量は $P=-i\hbar\,d/dx$ で、$XP-PX=i\hbar$ から不確定性 $\Delta X\,\Delta P\ge\hbar/2$ が出ます 既知。

エネルギーの作用素をハミルトニアン $H$ と呼びます。直線上の粒子なら $H\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi$ です。状態は Schrödinger 方程式に従います。

右端は固有ベクトル $H\phi_n=E_n\phi_n$ による展開で、各成分は位相が回るだけです。$e^{-itH/\hbar}$ はユニタリで確率の合計を保ちます（1-01。逆向きは Stone の定理 既知）。固有ベクトル一つの状態は分布が変わらない定常状態で、変化は位相の差 $(E_n-E_m)t/\hbar$ だけから生じます。

例（二準位）。左の谷 $e_L$、右の谷 $e_R$、すり抜けの振幅 $g\gt0$ の系です。

$e_L$ から出発すると、右にいる確率 $P_R$ は角振動数 $2g/\hbar=(E_+-E_-)/\hbar$ で往復します。準位の隙間が往復の速さを決めます（1-01 の図 2 の $x=0$）。07 節で $g$ が指数関数的に小さい例を見ます。

無限次元では固有ベクトルの無い値も現れるので、スペクトル $\sigma(H)$（$H-\lambda$ が有界な逆を持たない $\lambda$ の集合、1-10）を使います。自己共役なら、$\lambda\in\sigma(H)$ は「$\lVert\psi_k\rVert=1$、$\lVert(H-\lambda)\psi_k\rVert\to0$ の列がある」と同じです（Weyl の判定法）既知。

壁で $\psi=0$ とした箱のスペクトルは固有値だけです（離散スペクトル）。直線では平面波 $e^{ipx/\hbar}$ は $\int|\psi|^2=\infty$ で状態になりません。例。幅 $\ell$ の波束 $\ell^{-1/2}\chi(x/\ell)e^{ipx/\hbar}$（$\chi$ は滑らかな山）では $\lVert(H-p^2/2m)\psi\rVert$ が $1/\ell$ 程度で 0 に近づき、どの $E\ge0$ もスペクトルに入り、固有値ではありません（連続スペクトル）。箱を広げると左の間隔が詰まり、右に近づきます（06 節）。

寄り道：谷が無限に続く井戸

$E_0=\inf\sigma(H)$ を基底状態のエネルギー、それが固有値ならその固有ベクトル $\phi_0$ を基底状態と呼びます。変分原理（1-10）では次の通りです。

どの試し関数も上界を与えますが、下界にはすべての $\psi$ を押さえる必要があります（この非対称は本の全体に出てくるので 1-10 §06 の囲みにまとめてあります）。注意を三つ。(i) 下端は固有値とは限りません（直線上の自由粒子）。(ii) 底まで落ちません。$V=\tfrac12m\omega^2x^2$ なら $\langle X^2\rangle\langle P^2\rangle\ge\hbar^2/4$ と相加相乗平均から $\langle H\rangle\ge\hbar\omega/2$ です（2-06）。(iii) 一次元で $V$ が遠方で増えるなら、基底状態は縮退せず正に取れ、$n$ 番目の固有関数は $n$ 個の零点を持ちます（Sturm の振動定理）既知。

例。$\hbar=m=1$、$H=-\tfrac12d^2/dx^2+x^4$ にガウス関数 $e^{-x^2/4s^2}$ を入れると $\langle H\rangle_s=1/8s^2+3s^4$ で、その最小値 $\tfrac3{16}48^{1/3}=0.68142$ が $E_0=0.667986$ の上界です。奇の試し関数 $xe^{-x^2/4s^2}$ は偶の基底状態に直交するので、$E_1$ の上界を与えます。

計算表 1　ガウスの試し関数の最良の上界と、三点差分の固有値。

上界どうしの差は、ギャップの上界でも下界でもありません（試し関数次第でどちらにもずれます）。下から押さえるには、基底状態に直交するすべての状態の評価が要ります。場の量子論で質量ギャップを示すことも、定義から、真空に直交する状態のエネルギーを下から押さえることです（4-11）。

基底状態が縮退せず $E_0$ がスペクトルの孤立点のとき、$\Delta=\inf(\sigma(H)\setminus\{E_0\})-E_0\gt0$ をギャップと呼びます。問題の解説は、真空のエネルギーを 0 として「$H$ のスペクトルが $(0,\Delta)$ に無い」ことを質量ギャップと定めています（Jaffe–Witten §4）既知。読み方は三つです。(i) 値段：正確には、$\phi_0$ に直交する状態では $\langle H\rangle\ge E_0+\Delta$。(ii) 振動：$\phi_0$ と $\phi_1$ の重ね合わせは角振動数 $\Delta/\hbar$ で揺れる（(4)）。(iii) 減衰：(3) に形式的に $t=-i\tau$ を入れると（2-04）、振動が減衰に変わる。

$c_0\ne0$ なら基底状態に近づき、残りは $e^{-\Delta\tau/\hbar}$ 倍以下になります。(7) の左辺を $\psi(\tau)$ と書き、基底状態の重みを $w_0(\tau)=|\langle\phi_0,\psi(\tau)\rangle|^2/\lVert\psi(\tau)\rVert^2$ とします。$1-w_0$ は基底状態以外にある確率で、図 1 と表 2 はこれを追います。自己共役な $A$（$\langle\phi_0,A\phi_0\rangle=0$）の虚時間の相関では次の形です。

(8) から、虚時間の方向で相関が消えるまでの目安は $\hbar/\Delta$ 以下です。これは時間の次元の量で、相対論では $c$ を掛けて長さ $\hbar c/\Delta$ にします。空間の方向の減衰（クラスター性）と相関長（2-08）は 4-11、経路の和での見方は 2-07 で扱います。

計算図の数値はこの端末で計算しました（箱 $[0,1]$、$H=-d^2/dx^2$（$\hbar=1$、$\hbar^2/2m=1$）、$\Delta=3\pi^2$。係数は python3 で求め、(7) の部分和をその場で計算）。

計算表 2　基底状態以外の重み $1-w_0$ と、次の準位だけ残した予想 $(c_1/c_0)^2e^{-2\Delta\tau}$。

重みは振幅の二乗なので指数は $2\Delta$ です。中央について対称な状態なら $c_1=0$ で、減り方は $E_2-E_0=8\pi^2$ で決まります。ギャップが保証するのは、どの状態にも効く最も遅い減り方です。

質量ギャップは無限に広い空間で問われます。有限の箱で正でも、広げると閉じることがあります。問題の解説も、体積によらない一様なギャップが無限体積極限の証明で役を果たしうること、その証明には新しい着想が要ることを述べます（Jaffe–Witten §5・§6.5）既知。$\hbar=m=1$、箱 $[-L/2,L/2]$ で三つの $V$ を比べます。

計算表 3　箱の長さ $L$ と隙間 $E_1-E_0$（三点差分。$V=0$ は厳密値 $3\pi^2/2L^2$ と一致）。

自由粒子の隙間は $1/L^2$ で閉じます。$-\operatorname{sech}^2x$ には束縛状態 $\operatorname{sech}x/\sqrt2$（$E_0=-1/2$、代入で確かめられます）がちょうど一つあり、次の準位が連続スペクトルの下端 0 へ下がるので、隙間は $1/2$ に向かいます 既知。ギャップの上は連続スペクトルでもかまいません。質量ギャップを持つ場の理論でも、真空の上は粒子の連続スペクトルで、$\Delta$ から始まります（2-04）。

例。独立な振動子 $N$ 個では、基底エネルギー $N\hbar\omega/2$ は $N$ とともに増え、$N\to\infty$ で発散します。それでもギャップは $\hbar\omega$ のままです（2-06）。場の量子論では真空のエネルギーを 0 とし、差を問います。Jaffe–Witten §4 は、真空のベクトル $\Omega$ が Poincaré 群（2-04）の下で不変であることから $H\Omega=0$ と述べています。

同じ井戸を二つ並べ、間の山を高くしていきます（$\hbar=m=1$）。

谷一つなら最低準位は約 $1/2$ で、谷の数だけ二重に重なります。谷の間のすり抜けが (4) の $g$ の役をして、準位は偶の $\phi_0$ と奇の $\phi_1$ に分かれ、山が高いときの幅は次の通りです 既知。

Zinn-Justin–Jentschura（2004）の式 (2.8) $\frac{2}{\sqrt{\pi g}}e^{-1/6g}$ で $g=1/4a^2$ としたものです（同論文の位置エネルギーを $a$ ずらすと (9)。山の高さは $a^2/8=1/32g$）。谷の一つのまわりで $V_a$ を振動子の項と、$g$ が小さいとき小さい残りの項に分け、準位を $g$ のべきで展開して各次数の係数を順に求めるのが摂動論です（4-03）。その摂動級数はパリティ（$x\to-x$ での偶奇）によらず、二つの準位で同じです（同論文 (2.13)–(2.14) の説明）既知。隙間の $e^{-1/6g}$ は、$g$ のべき級数に展開すると係数がすべて 0 です。摂動論をどれだけ高い次数まで計算しても、この隙間は現れません。$S_0$ は虚時間で $-V_a$ の山頂から山頂へ転がる古典解（インスタントン）の作用です。ヤン–ミルズでの対応物は 3-05、$e^{-1/g^2}$ の形の量は 4-07・4-12 で出ます。

計算図の数値はこの端末で計算しました（準位と波動関数は python3 の三点差分。塗りは $\tfrac12(\phi_0^2+\phi_1^2-2\phi_0\phi_1\cos\Delta t)$）。

計算表 4　(9) の隙間（三点差分）と (10) の比較。右端は、同じ論文が予想として述べる展開 (2.13) の係数（式 (2.19a)）による補正の倍率 $1-\frac{71}{12}g-\frac{6299}{288}g^2$ です 物理。

比は 1 に、また補正の倍率に近づきます（$a=5$ で差 $2\times10^{-4}$）。$a=5$ の隙間は準位の間隔（約 1）より 6 桁小さく、右へ移る時間 $\pi/\Delta$ は約 $5\times10^6$ です。

一次元で $\phi_0\gt0$ のとき（04 節）、実数値の $f$ で $\psi=f\phi_0$ と書いて部分積分すると、$H\phi_0=E_0\phi_0$ により $V-E_0$ の項が消えます。

$\psi\perp\phi_0$ は $\int f\,d\mu=0$ のことで、そのとき $\lVert\psi\rVert^2=\operatorname{Var}_\mu(f)$ です。変分原理を $\phi_0$ に直交する $\psi$ に使うと、最良の定数で次が成り立ちます。

ギャップは基底状態の分布 $\mu$ の Poincaré 定数に反比例します 既知（Poincaré 不等式は 1-10 §07、重みの付いた形は §08）。ここでの $\mu$ は一つの時刻での基底状態の分布です。$\psi=f\phi_0$ と対応させると $H-E_0$ は $\tfrac{\hbar^2}{2m}L$（$L$ はこの $\mu$ に対する 1-10 §08 の作用素）にあたり、$L$ の隙間は $2m\Delta/\hbar^2$ です。1-10 §09 の $C_P\approx\xi^2$ は、虚時間の経路全体の測度（1-08 (10)）についての言明で、別の量です。例。振動子（$\hbar=m=\omega=1$）では $\phi_0=\pi^{-1/4}e^{-x^2/2}$（代入で確かめられます）なので $\mu$ は分散 $1/2$ の正規分布で、ギャップ 1（表 3 の右列、2-06）から $C_P=1/2$ です。「正規分布の Poincaré 定数は分散に等しい」は、振動子のギャップ $\hbar\omega$ と同じ内容です（$f=x$ で等号）。二重井戸の $a=3$ では $C_P=1/2\Delta=36.9$ です。$f$ を「左で $-1$、右で $+1$」に近く取ると、分散は約 1 なのに、傾きは $\mu$ のほとんど無い山の間でしか効きません。分布のくびれがギャップを小さくします。同じ形は一リンク積分（5-11・このサイトの論文）でも使います。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-06 調和振動子と生成消滅。虚時間の続きは 2-07、ギャップの定義の本体は 4-11。

← 2-04 特殊相対論と時空目次2-06 調和振動子と生成消滅 →