2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 7 部 物理の側からAdS/CFT・動径と尺度

ホログラフィー — 四次元の場の理論を、一次元多い重力の幾何で読む

ホログラフィーの主張はこうです。$d$ 次元の重力を含まない場の理論が、$d+1$ 次元の重力を含む理論と同じ物理を別の言葉で書いている。増えた一次元は境界からの「深さ」で、前者を境界の理論、後者を内部（バルク）の理論と呼びます。代表例は Maldacena（1997、ATMP 1998。前の年は arXiv に出た年、後ろは掲載誌の年）です。

左は四次元の $\mathcal N=4$ 超対称ヤン–ミルズ理論（以下 SYM）、右は十次元の弦理論です。IIB 型は十次元の超弦理論の一つで、7-05 の IIA 型とは超対称性の向き（カイラリティ）の組み合わせが違います。次元は 10 ＝ 4（境界）＋ 1（深さ）＋ 5（$S^5$）です（7-05 §09）。原論文は 'We are led to the conjecture' と書き、(1) は今も予想です 物理。この章は入口を扱い、質量ギャップが幾何に化ける模型は 7-09 に回します。

寄り道：なぜ「ホログラム」か — 面積で数える

$N$ 枚重ねた D3 ブレーン（開いた弦の端が乗る、空間三次元の膜）に端を持つ開いた弦は、低いエネルギーで $U(N)$ のゲージ場になります（7-07）。同じ膜は重力から見ると時空を曲げます。Maldacena は低エネルギーの極限で、膜の上の理論と膜のすぐ近くの時空が同じものを記述すると読みました 物理。計量（線素）$ds^2$ は、座標が少しずれたときの距離の二乗を与える式で、曲線の長さは $\int ds$ です（平らな空間なら $ds^2=dx_1^2+dx_2^2+\cdots$）。膜が作る計量は

です。$x_\parallel$ は膜に沿う四つの座標（$dx_\parallel^2$ は時間の方向だけ符号が逆。2-04）、$r$ は膜からの距離、$\alpha'=\ell_s^2$ は弦の長さの二乗、$g_s$ は弦の結合です。$r\to0$ では $f\approx R^4/r^4$（$R^4=4\pi g_sN\alpha'^2$）で、$z=R^2/r$ と置くと

となり、半径 $R$ の $AdS_5$ と $S^5$ の積です 既知。結合の対応には二つの書き方があります。今日広く使われる規約では $g_{\rm YM}^2=4\pi g_s$ で $R^4/\alpha'^2=4\pi g_sN=\lambda$（$\lambda=g_{\rm YM}^2N$）、原論文の規約 $g_{\rm YM}^2=2\pi g_s$ では $R^4/\alpha'^2=2\lambda$ です 既知。違いは作用の規格化だけで、今日の規約はインスタントンの作用が $8\pi^2/g_{\rm YM}^2$ になる規格化です（Aharony–Gubser–Maldacena–Ooguri–Oz の総説 (3.8)・§4.2）。7-04 の (2)（行列のトレースで $\frac{1}{2g^2}\int\operatorname{tr}F^2$、$\lambda=g^2N$）も同じ規格化なので、7-04 の $\lambda$ で $R^4/\alpha'^2=\lambda$ です。この章では $\lambda$ を直接使わず、$R^2/\alpha'=\sqrt{4\pi g_sN}$ で書きます。

超重力（弦理論の低いエネルギーで残る、重力を含む場の理論）が信頼できるのは $R\gg\ell_s$、つまり $g_sN\gg1$ のときで、内部の量子効果はゲージ理論の $1/N$ の補正に当たります（原論文）物理。$g_s\ll1$ と両立させるには $N\gg g_sN\gg1$ が要ります。

例：曲率半径を弦の長さの 5 倍にとると、$N=3$ では $g_s=16.6$ で弦の結合が強く、$N=100$ でやっと 0.5 です 計算。

反ド・ジッター空間 $AdS_{d+1}$ は、計量（§02）の符号が $(-,-,+,\dots,+)$ の平らな空間の中の双曲面

で、(5) を保つ群 $SO(2,d)$ がそのまま対称性です（Maldacena の付録）。座標を選び直すと (4) の前半の形になります（Poincaré 座標）。以下は虚時間（2-04）に移したユークリッド版で考えます。境界の座標を $x=(x_1,\dots,x_d)$ と書くと

$d=1$ のときは上半平面で、図1 はこの場合を描きます。例：$x=0$ に沿って $z=1$ から $z=\varepsilon$ まで上がる長さは $\int_\varepsilon^1R\,dz/z=R\ln(1/\varepsilon)$ で、$\varepsilon\to0$ で無限大です。境界 $z=0$ は無限の彼方にあります 既知。対称性の次元は $SO(2,4)$ が $6\cdot5/2=15$（ユークリッド版では $SO(1,5)$ で、次元は同じ 15。1-03）、四次元の共形変換が並進 4・ローレンツ 6・拡大 1・特殊共形 4 の 15 で、Witten（1998a）の言葉で 'SO(2, d) ... acts on M_d as the conformal group' です 既知。

(6) で $(x,z)\mapsto(sx,sz)$ とすると分子も分母も $s^2$ 倍で、$ds^2$ は変わりません。この内部の等長変換（長さを保つ変換）は境界では拡大 $x\mapsto sx$ で、「境界で $s$ 倍大きいものを見る」と「$s$ 倍深い所を見る」が同じ操作になります。Susskind–Witten（1998）の言葉では 'scale size gets transmuted into a spatial dimension' です 既知。

(6) の測地線（二点を結ぶ最短の曲線）は境界に直交する半円で、境界の区間 $[-\ell/2,\ell/2]$ から垂れる半円は深さ $\ell/2$ まで潜ります。深さ $\varepsilon$ で切った長さは $\ell$ の対数です。

質量 $m$ の粒子が内部を伝わる振幅はおよそ $e^{-mL}$ なので、指数関数の減衰が境界ではべき乗則に化けます。Susskind–Witten (2.5) も同じ考え方で、球の模型の上で係数を落とした形 $\delta^m/|X_1-X_2|^m$ で書いています。指数 $2mR$ は $mR$ が大きいときの近似で、正確には (9) です 物理。

計算この図の数値はこの端末で計算した。

境界の近く $z=\varepsilon$ で切ることは、境界の理論の紫外の切断です。Susskind–Witten は 'the infrared regulator δ in the bulk theory also plays the role of an ultraviolet regulator in the boundary super Yang Mills theory' と書きます（$\delta$ はこの章の $\varepsilon$ に当たる）。そのうえで、切った球面を大きさ $\delta$ の格子に区切り、格子一つに場一つにつき一自由度と仮定して、自由度を $N^2/\delta^3$ と数えました（同論文 (3.1)）物理。図1 で一段潜るごとにタイルの幅は 2 倍になり、ブロックを二つずつまとめる繰り込み群の一段（6-05）を思わせます。正確には、de Boer–Verlinde–Verlinde（1999、JHEP 2000）が古典超重力の動径方向の発展を表す Hamilton–Jacobi 方程式（作用を端の値の関数とみて立てる方程式）から、Callan–Symanzik 方程式（尺度を変えたときに相関関数がどう変わるかを表す式。4-04）の形を導き、'We propose a direct correspondence' と提案した水準です 物理。

Gubser–Klebanov–Polyakov（1998）と Witten（1998a）の処方では、内部の場 $\phi$ の境界値 $\phi_0$ を境界の演算子 $\mathcal O$ の源（$\int\phi_0\mathcal O\,d^dx$ の形で作用に足す外場）と読み、次を等しいとおきます。右端は超重力が使える極限（$N,\lambda\to\infty$）での古典解の作用 $I$ です。GKP の要旨は 'We suggest' で始まり、提案です 物理。

帰結の一つが質量と次元の関係です。$x$ に依らない解では、質量 $m$ の場の方程式は $z^{d+1}(z^{1-d}\phi')'=m^2R^2\phi$ で（Witten 1998a (2.37)）、$\phi=z^\alpha$ を入れると $\alpha(\alpha-d)=m^2R^2$ です。大きい根を $\Delta$ と書きます（文献の慣習の字で、質量ギャップの $\Delta$ とは別）。

境界の近くで $\phi\approx\phi_0z^{d-\Delta}$ の解が内部で滑らかに延びます。拡大 $(x,z)\mapsto(sx,sz)$ で $\phi_0$ は $s^{\Delta-d}$ 倍されるので、$\int\phi_0\mathcal O$ が不変であるには $\mathcal O$ のスケーリング次元（拡大 $x\mapsto sx$ で演算子が $s^{-\Delta}$ 倍になるときの $\Delta$）が $\Delta$ でなければならず、二点関数は $|x|^{-2\Delta}$ に比例します 物理。実根の条件 $m^2R^2\ge-d^2/4$ は、負の質量の二乗もここまでは許すという Breitenlohner–Freedman の下限です 既知。

例：質量ゼロなら $\Delta=4=d$ で、$\int\phi_0\mathcal O\,d^4x$ の $\phi_0$ が無次元の数、つまり結合の役をします。ディラトン（期待値が弦の結合を決めるスカラー）は $\operatorname{tr}F^2$ に対応します。$\mathcal N=4$ の理論では Witten（1998a §2.6）が、ラグランジアン密度を結合で微分した演算子（$\operatorname{tr}F^2$ を含む）が $m^2=0$ のディラトンに当たると述べ、Csáki–Ooguri–Oz–Terning は先行文献を引いて 'the operator tr F² in four dimensions corresponds to the dilaton field …' と書きます 物理。$\operatorname{tr}F^2$ は $0^{++}$ グルーボール（7-01）を作るので、7-09 ではディラトンの方程式からグルーボールの質量を読みます。

距離 $L$ の重いクォーク対のエネルギー $E(L)$ は Wilson ループ（5-01）から読みます。Maldacena（1998）と Rey–Yee（1998、EPJC 2001）が同じ時期に出した処方では、クォークは境界に端を持つ弦の端点で、内部に垂れた弦の面積（Nambu–Goto）が $E$ を与えます 物理。(4) では張力 $1/(2\pi\alpha')$ に $R^2/z^2$ が掛かります。

被積分関数が $x$ を含まないので $z^2\sqrt{1+z'^2}=z_0^2$（$z_0$ は底の深さ）が保存され、右の式が出ます。弦は $L$ に比例する深さ $z_0=0.8346L$ まで潜ります。境界での発散（点電荷の自己エネルギー）をまっすぐな二本の弦の分で引くと

で、定数は数値積分と閉じた形が 8 桁一致し、原論文の (4.6)(4.8) と同じです 計算。原論文は 'the energy goes as 1/L, a fact which is determined by conformal invariance. Notice that the energy goes as (gN)^1/2 as opposed to gN which is the perturbative result' と書きます 物理。

計算この図の数値はこの端末で計算した（弦の形は (10) の積分の表、$E$ は (11)(12)）。

(11) の $1/L$ は共形性の帰結なので、閉じ込め（$E\approx\sigma L$、7-01）には尺度が一つ要ります。最も粗い模型は内部を深さ $z_w$ で切ることです。Polchinski–Strassler（2001、PRL 2002）は、ギャップがあれば 'the gravitational redshift has a nonzero lower bound' と述べて幾何を切る近似を使いました 物理。この模型で (10) を最小にすると、$L\le L_c=1.19814z_w$ では共形の解（底の深さ $0.8346L\le z_w$）がそのまま使えます。$L>L_c$ では弦の底が壁に届きます。壁に触れる点で弦は壁に接する（傾き 0）ので、保存量 $z^2\sqrt{1+z'^2}$ は $z_w^2$ になり、下りの部分は $z_0=z_w$ の共形解の半分です。両側の半分で幅 $L_c$ を使い、残りの $L-L_c$ を壁に沿う直線でつなぎます。

$L$ に比例する部分（面積則）が現れ、$L=L_c$ で (11) と値も傾きもつながります 計算。例：表4 の $L=8z_w$ では共形の $-0.029$ に対し $+0.892$ です。(12) のとおり $\sigma(L-L_c)$ に一定の数を足した形で、$L$ が大きいと傾き $\sigma$ の直線に乗ります。弦張力には $\sqrt{4\pi g_sN}$ が掛かり、壁までの箱で決まるグルーボールの質量（$\sim1/z_w$）には掛からないので、結合が大きいほど二つの尺度は離れます（比の $\lambda$ 依存と出典は 7-09 §08）。模型の中の算術で、実際の幾何は 7-09・7-10 で扱います。

「厳密」には二つの意味があります。片側だけで閉じた数学（双曲幾何・リー群・常微分方程式）として正しいことと、模型の中で両辺の定義が一致することです。どちらも四次元のヤン–ミルズ理論の定理ではなく、(1) も証明されていません。

最後の行は Witten–Yau（1999）の定理です。言葉を三つ用意します。Einstein 多様体は、Ricci 曲率（曲率を方向ごとに平均したもの）が計量の定数倍になる多様体で、ここではその定数が負です（(6) の空間が例）。共形境界（Penrose の意味）は、無限の彼方にある境界のことで、計量に境界で零になる関数の二乗を掛けると境界までなめらかに延びるときに付けられます（(6) なら $z^2ds^2$ が $z=0$ まで延びる）。$H_n(M;\mathbb Z)=0$ は、大まかに言えば $M$ に $n$ 次元の「穴」が無いことです。$M$ を $n+1$ 次元、$N$ をその $n$ 次元の共形境界とし、$M$ が完備（どの方向にも途中で切れない）で、$N$ のスカラー曲率（曲率をさらに一つの数にまとめたもの）が正なら

です（要旨 'Let M be a complete Einstein manifold of negative curvature ... N must be connected'）既知。この章で使うのは結論の「境界 $N$ は一続き（連結）」だけです。AdS/CFT が動機ですが、双対そのものの定理ではありません。例：表5 の物理の行は、どれも (1) を前提に使います。

(1) の境界の理論は純ヤン–ミルズ理論ではありません。六本のスカラー場とフェルミオンを持ち、共形で結合が走らず（4-06 と対照的）、尺度 $\Lambda$ が生まれません（4-07）。重力の計算が効く $N,\lambda\to\infty$ は、問題文（0-03）が求める任意のコンパクト単純群と、短い距離で漸近自由（$\lambda\to0$）に一致する理論とは逆の側です。共形ならギャップはありません。質量 $m>0$ の状態があれば、拡大で質量 $sm$（任意の $s>0$）の状態もあるからです。

$P^2$ は四元運動量の二乗（2-04）で、(11) の $1/L$ はこの事情の別の顔です 既知。例：Clay の問題の頁は今も質量ギャップについて 'no proof of this property is known' と書きます。ホログラフィーで質量ギャップが数学の定理として示された例は無く（物理の水準でギャップを持つ模型は 7-09）、弦理論に非摂動的な定義が無いこと、(1) が予想であること、極限が問題文の外にあることが重なっています（9-02）。四次元に戻す道は 7-10、超対称性のもとで双対からギャップが見える例は 7-11 です。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：7-09 質量ギャップが幾何になる — 潰れる円の幾何で、グルーボールの質量を固有値として読む。

← 7-07 ゲージ場はどこから来るか目次7-09 質量ギャップが幾何になる →