2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ付録仮定の索引

仮定の索引 — 名前・一行の意味・置いた章・状態を一つの表に

第 10 部は、問題を言明に割り、言明を仮定と量で書き、仮定から結論が出る代数を Lean で確かめる、という順で進みます。その途中で名前の付いた仮定が二十近く出てきます。この付録は、それを一か所に並べる索引です。式の導出や数値の根拠は書かず、正本の章（その記号を定義した章）へリンクします。

表の行は四つの種に分けます。

• 仮定：証明を持たずに置いた文。仮定 H、鎖、$T(c,1)$、(P) など。
• 言明：問題を割った部品で、真偽が問われている文。(S1)〜(S8)。
• 量：定義で決まる数。$\kappa$・$\delta(b)$・$\theta$・$\eta_{\rm dyn}$ など。量そのものは仮定ではありませんが、「この量が 0」「この和が有限」という文は仮定になります。
• 約束：記号の選び方。$\mathcal E_\vartheta$ と $\mathcal E_A$ の正規化など。真偽を持たないが、他の文の真偽を変えうるもの。

状態の欄には本書の札を使います。既知 は既知の定理や係数、Lean は「この仮定から結論が出る」代数が機械検査済み、紙 は紙の上の証明、計算 はこの端末で確かめた数値、物理 は物理の水準で受け入れられているが定理ではないもの、です。仮定の行に Lean の札が付いていても、仮定そのものが示されたという意味ではありません。札は、その行の仮定を使う定理があることを示します。

例。「H↑」の行には「仮定」「Lean（hup_is_gap_positivity）」と並びます。読み方は、H↑（$a^2C_P\le C$、つまり $C_P\lesssim\xi_{\rm RG}^2$）は証明されていないが、H↑ と鎖 (i) の等号 $C_P=1/m^2$ を仮定すれば物理単位の質量 $m_{\rm phys}=m\,\xi_{\rm RG}$ の下界が出る、という代数は検査済み、です。

仮定 H の正本は 10-03 §02 です。中身は一文で言えます。格子ヤン–ミルズの測度について、揺らぎが均される時間（Poincaré 定数 $C_P$）が、相関長 $\xi$ の二乗と同じ冪で伸びる。比喩は 10-00 §07 の「にじむ時間 ≍ 定規²」です。正確には、冪の指数の極限についての文です。

ここで $\beta=4/g^2$（SU(2)、記号表の $\beta=2N/g^2$）、$C_P$ は Wilson 測度の Poincaré 定数で 1-10 §07 の定義のもの、$\xi$ は相関長です。冪の文は、$C_P$ を $\beta$ の冪倍しても変わりません（$\ln\beta/\ln\xi\to0$ の下で。一ループの $\xi\approx e^{3\pi^2\beta/11}$ ならこれが成り立つ 物理）。一方、定数倍の幅（帯）で揃うという強い文は、$C_P$ をどの目盛りで測るかで真偽が変わります。そこでこの本は、帯の文を正規化を名指して別の名前で呼びます。

$A\asymp B$ は、比が正の定数で上下から押さえられることを表します。(2) は $C_P\asymp\xi^2$ と同じです。比べる長さを記帳の長さ $\xi_{\rm RG}=1/a$ にした帯の文 $a^2C_P\asymp1$（表 1 の最終行）を、上の半分と下の半分に割ったものが H↑ と H↓ です（10-03 の (5)）。$\xi$ で書いた (2) の半分は、H↑[$\mathcal E$]・H↓[$\mathcal E$] と正規化を添えて区別します。

H↑ と H↓ の区別は量化子の区別でもあります。$C_P$ は比の上限なので、H↓ は試験関数を一つ示せば済み、H↑ はすべての関数についての不等式です（10-03 の (6)）。質量ギャップの証明が下界の証明であることが、H↑ の側に映ります。

例。自由場の場の正規化では $C_P=\xi^2$ で、H も $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_A]$ も H↑[$\mathcal E_A$] も H↓[$\mathcal E_A$] も成り立ちます。同じ自由場をリンクの角度で測ると $C_P=(g^2/4)\xi^2$ で、H は成り立ちますが $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ の下の半分が破れます（8-05 §03）。

「$C_P$ が長さの二乗と揃う」という文には三つの選び方があります。冪で言うか帯で言うか、比べる長さを相関長 $\xi$ にするか記帳の長さ $\xi_{\rm RG}$ にするか、$C_P$ を角度の $\mathcal E_\vartheta$ で測るか場の $\mathcal E_A=\mathcal E_\vartheta/\beta$ で測るか。$2\times2\times2$ で八つの読みがあります。次の表は 10-03 の表 0′ の再掲です。

導出は 10-03 §06・4-06 §05 にあり、ここでは和だけを示します（この段は読み飛ばしてよい）。右の列の分数は三つの対数の和です。正規化の $-1$（$C_P^{(\vartheta)}=C_P^{(A)}/\beta$）、確率時間の繰り込みの $+13/22$（10-03 §06）、そして $\xi_{\rm RG}$ の行だけに入る一ループの記帳と二ループの走りの差 $-2\cdot\tfrac{51}{121}=-\tfrac{102}{121}$ です（$51/121=b_1/(2b_0^2)$、純 SU($N$) で $N$ に依らない。4-06 §05）。どれも一ループの摂動論の繰り込み群の下の勘定で、物理の札です。

この和を、この端末で有理数のまま確かめました 計算。次の図は、この勘定の下で、帯の読みの比 $C_P/\xi^2$ と冪の読みの指数 $\ln C_P/\ln\xi$ がどう動くかを描きます。$\beta$ と $\xi$ は一ループの式 $\xi\approx e^{3\pi^2\beta/11}$（定数倍を除く、4-07）で結びます。

JavaScript が無効なときは表 3 で読めます。

読み方は二つです。比の列は四行とも 1 から離れ続け、どの帯の読みも一様な定数では閉じません。指数の列は四行とも 2 に近づき、冪の読みは動きません。ただし近づき方は遅く、$\xi=10^{48}$ でも指数は 2 から 0.008〜0.042 離れています。最後の行は A-01 の表 9 と同じ式で、指数は一致し、比は A-01 の値を $\xi=10^2$ の値で割ると一致します。この表はヤン–ミルズの測度の $C_P$ を測ったものではなく、勘定の帰結を並べた例です。この本が H を冪の水準に置いた理由が、この表の二つの列の違いです。

名前が増えると、どれがどれより強いかが気になります。定義から短い議論で決まる関係を四つ並べます。どれも $\beta\to\infty$ で $\xi\to\infty$ となることを前提にします 紙。

一、帯は冪を含む。$c\xi^2\le C_P\le C\xi^2$ なら、対数を取って $\ln\xi$ で割ると

で、H が出ます。$\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ からも $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_A]$ からも H が出ます。逆は出ません。$C_P^{(A)}=\xi^2\sqrt{\ln\xi}$ は H を満たしますが、どちらの正規化の帯にも入りません。一ループの $\ln\xi\asymp\beta$ の下で $C_P^{(A)}/\xi^2\to\infty$、$C_P^{(\vartheta)}/\xi^2=C_P^{(A)}/(\beta\xi^2)\propto1/\sqrt\beta\to0$ です。$\xi^2\ln\xi$ のほうは、その正規化の帯から出ますが、もう一方の正規化の帯には入ります（同じ正規化の帯の破れは 8-05 §04）。

二、二つの帯は両立しない。正規化の関係 $C_P^{(A)}=\beta\,C_P^{(\vartheta)}$ から、両方が成り立てば $\beta=C_P^{(A)}/C_P^{(\vartheta)}\le C_A/c_\vartheta$ で、$\beta$ が有界になります。$\beta\to\infty$ と矛盾します。正規化を名指さずに「$C_P\asymp\xi^2$」と書くと、互いに排他な二つの文のどちらを指すかが決まらない、ということです。

三、半分どうしの向き。$\beta\ge1$ なら $C_P^{(\vartheta)}\le C_P^{(A)}$ です。だから

角度で測るほうが $C_P$ が小さいので、上界は場の正規化のほうが言いにくく、下界は角度の正規化のほうが言いにくい。表 2 の一ループの列で、角度の帯は H↓[$\mathcal E_\vartheta$] が、場の帯は H↑[$\mathcal E_A$] が破れるのは、この向きと矛盾しません。

四、帯と記帳の長さ。$a^2C_P\asymp1$ は、$\text{H}_{\rm band}$ と鎖 (ii)(iii)（$a\xi\asymp1$）から従う文です。$a^2C_P=(a\xi)^2\cdot C_P/\xi^2$ と割れるので、二つが揃えば出ます（10-03 の (4)）。逆向きは出ません。因子どうしが打ち消し合えば、片方が破れていても積は帯に入ります（7-12 図 2）。

読みの注記：10-08 の (8)。10-08 §06 の (8) の括弧「H と D2 の下」の H は、同じ段落が掲げる帯の文 $a^2C_P\asymp1$（リンクの角度の正規化）を指しています。この本の名前の約束（10-03 §02）では、これを $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_\vartheta]$ と鎖 (ii)(iii) を合わせた文と読みます（表 2 の帯・$\xi_{\rm RG}$・$\mathcal E_\vartheta$ の行）。冪の H は一により $\text{H}_{\rm band}$ から従う、より弱い仮定です。

例。自由場で場の正規化なら $\text{H}_{\rm band}[\mathcal E_A]$・H↑[$\mathcal E_A$]・H↓[$\mathcal E_A$] は等号で成り立ち、角度の正規化では一により H だけが残ります。$\xi_{\rm RG}$ で書いた帯の文は、自由近似でも記帳の次数で決まるので、ここには含めません（表 2）。

寄り道：仮定は定理の引数

$a^2C_P$ を三つの比の積に割ると、各因子が定数倍で押さえられるという三本の鎖が出ます（正本は 7-12 §05、半分ずつの割り方は 10-03 §05）。

$\sigma$ は弦張力、$m$ は格子単位の最も軽い質量、$\lambda_1=1/C_P$ は Langevin 力学の隙間です。H↑ に要るのは三つの下界（緩和が遅すぎない・グルーボールが軽すぎない・閉じ込めが弱すぎない）で、記録はその先をさらに二つの仮定に移しました。(ii) の上の半分を管の不等式 $T(c,1)$ へ、H↑ を射影の仮定 (P) へ、です（10-06）。

表 4 の矢印はどれも「仮定 ⟹ 結論」の向きで、鎖や $T(c,1)$ や (P) そのものを示した行はありません。記録の言い方では、方向 15 と 15′ は「難しさがどこへ移ったか」を名指しして止まりました（10-06 §09）。

例。(ii) の上の半分は $m\ge2\sqrt{c\sigma}$ と同じです。強結合の主項 $m=4\sigma$ の内側では $\sigma$ は大きく、むしろこの不等式は成り立ちます。その主項の関係を $\sigma\to0$ まで延ばすと $m/\sqrt\sigma=4\sqrt\sigma\to0$ となり、$\beta$ に一様な正の $c$ は取れません。ただしこの延長は展開の収束域の外です（7-12 §08）。

(S1)〜(S8) は仮定ではなく、問題文の要求を格子から入る道で割った部品です。正本は 10-01 §02 で、矢印でのつながりは 10-01 §03 にあります。(S5) だけは記録の定式化で、他の七つと性格が違います。

(7) は見取り図で、定理ではありません。(S5) は (7) に入らず、(S4) の言い直しの候補として置かれています。

(S8) の「非自明」と H↓ は別の文です。H↓ は物理単位の質量が有限に残ることで、自由な質量つきの場でも満たされます（10-03 §03）。また、(S5) から (S4) への矢印には $\text{H}_{\rm band}$ が要ります。H↓ を物理単位の質量の有限性と読めるのは、H↓ が $\xi_{\rm RG}$ で書いた文（$m_{\rm phys}=m\,\xi_{\rm RG}$）だからです。自由場では二つが一致しますが（10-01 表 3）、相互作用のある理論では別の量の言明です。

例。「格子単位の隙間がすべての $\beta$ で一定値以上」は (S4) ではありません。物理単位では $\Delta\ge c/a\to\infty$ で、連続極限の反対側です（10-01 §04）。この向きは既知で、成果に数えていません。

記録は、格子を $b$ 倍に粗くする一段を次の写像で記帳しました（10-01 §07・10-02 §07）。

左の式に出る二つの数と、右の式に出る二つの指数が、この節の量です。量は仮定ではありませんが、「$\sum\delta\lt\infty$」「$\eta_{\rm dyn}=0$」のような文は仮定になり、記録の「(S4) ⟺ $\sum\delta\lt\infty$ かつ $\eta=0$」は、冪の形と一ループ核の模型を前提にした $p=0$ の代数です。

記号 $\eta$ に注意が要ります。記録の $\eta$ はもともと二つの量を指していました。この本は、冪の形と (S4) の同値の $\eta$ を $\eta_{\rm dyn}$ に固定し、$\eta_s$ は試験関数の下界にだけ使います。断りの無い $\eta$ は $\eta_{\rm dyn}$ です。

例。$b=2$ に固定すると $\delta(2)=0.1335$（重み $w$）で、$\theta=\delta(2)/\ln2\approx0.19$ です（10-02 §08）。$\eta_{\rm dyn}=0$ でも $p=2\theta\approx0.39\gt0$ で、$a^2C_P\to0$ の側に落ちます。段ごとに $b_k=k+2$ と大きくすれば $\sum c_2/(k+2)^2\lt\infty$ で $\theta=0$ に戻せます。

真偽を持たないのに、他の文の真偽を変える行があります。$C_P$ の正規化です。記号表 A-01 §08 と 10-03 §01 の表 0 が正本です。

$\vartheta$ はリンクの角度（$U=e^{i\vartheta\cdot\sigma}$）、$A$ は場です。Dirichlet 形を $1/\beta$ 倍すると、最良の定数は $\beta$ 倍になります。冪の文は動かず、帯の文は動きます（§03・§04）。

自由場では $C_P^{(\beta)}=4\,(C_P^{(\alpha)})^2$ で、仮定 H は (β) についての文なので「経路の $C_P$ と真空の $C_P$ の二乗が揃う」と読み替えられます 計算（10-03 §01）。ゲージ理論では一つの時刻の測度はゲージ軌道の空間の上にあり、この読み替えは自由場の形からの類推です。

例。Lean の hup_is_gap_positivity が仮定する $C_P=1/m^2$ は、自由場で場の正規化のときの値です。だからこの定理は、$\mathcal E_A$ の目盛りで読むのが自然です（10-07 §08）。

表 1〜7 の行は孤立していません。最後に、行どうしを矢印で結んだ図を置きます。矢印は、元が（同じ先に入る他の矢印の元と合わせて）先を出すのに使われる向きです。元一つだけで先が出るとは限らず、合わせて要るものは表 8 の各行に書きます。線の形で種類を分けます。実線は Lean で検査した代数、細い線は定義から従う関係、破線は別の仮定や模型の下でだけ立つ矢印、一点鎖線は前提（含意ではなく、先を述べるのに要るもの）、点線は両立しない対です。図の中の矢印はどれも「仮定 ⟹ 結論」で、図の中のどの箱も、(S2) と小さい $\beta$ の (S1) を除いて証明されていません。

JavaScript が無効なときは表 8 で読めます。

図を眺めると、Lean の実線はどれも下から上へ、仮定から H↑ や (S5) に向かって伸びていて、一番下の箱（鎖・$T(c,1)$・(P)）に入る実線は一本もありません。一番上の (S4) に入る矢印も、条件つきか前提だけです。これが「Lean で閉じた代数は仮定の形を整理したもので、質量ギャップの側には届いていない」ということの図の上の姿です。定理までの距離の見積もりは 10-11、この本が主張しないことの一覧は 10-10 にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：この章が本の最後の付録です。全体の順序は 目次、記号は A-01 記号表、用語は A-02 用語集 へ。

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