2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 4 部 量子化ゲージ固定

ゲージ固定と Faddeev–Popov — 局所では正しく、大域では符号が打ち消し合う

約束：ユークリッドの $\mathbb R^4$、$\hbar=c=1$、エルミートな $A_\mu=A^a_\mu T^a$ と結合 $g$ を分けて書きます（3-02 の流儀。幾何の章の接続とは $\mathcal A=-igA$）。

摂動論（4-03）は作用の二次の部分の逆を伝播関数に使います。$S$ はゲージ変換で変わらないので、二次の部分は $A=\partial\lambda$ の向きに平らで、逆がありません。

例。$k=(0,0,0,\kappa)$ なら $K=\kappa^2\,\mathrm{diag}(1,1,1,0)$ で、第 4 成分は作用に現れません 計算。軌道の体積（4-02 §07）が有限な Wilson の格子では固定が要りません（5-01 §06）既知。要るのは連続のまま $A=0$ の周りで展開するときです。

逆が無い理由を言葉にします。経路積分 $\int\mathcal DA\,e^{-S}$（4-02）は、ゲージ変換で移り合う場（一つの軌道）をすべて足します。軌道の向きには $e^{-S}$ が変わらないので、その向きのガウス積分は減衰せず、発散します。比喩で言えば、谷底が一本の溝になっていて、溝に沿ってはどこまでも平らです。正確には、二次形式 (2) の核 $K$ が $k$ の向きに固有値 0 を持つ、ということです。そこで、軌道の向きの積分を一つ外に取り出し、各軌道から代表を一つ選んで残りを足したくなります。その取り出し方を、まず有限次元の模型で見ます。

平面の重み $e^{-S(|x|)}$ は回転 $R_\theta$ で変わらず、軌道は原点を中心とする円です。ここで回転の角 $\theta$ が「軌道の向き」に当たります。狙いは $Z$ の値を変えずに $\theta$ の積分を表に出すことで、そのために $Z$ の中へ 1 を書き換えたものを入れます。使うのは一変数の $\delta$ 関数の規則です。

条件 $G(x)=0$ が各円と一度だけ交わるなら、$\theta\mapsto G(R_\theta x)$ は一点だけで 0 になるので、次の「1 の挿入」が成り立ちます。

これを $Z=\int d^2x\,e^{-S}$ に入れ $x\to R_\theta^{-1}x$ と変数を変えると、$d^2x$・$S$・$\Delta_G$ は回転で変わらないので $\theta$ の積分は群の体積 $2\pi$ を残します。

これが Faddeev–Popov の手順のすべてで、面の上の重み $\Delta_G$ が Faddeev–Popov の行列式です。

例。条件を正の $x_1$ 軸（$G=x_2$、$x_1\gt0$）にすると $\Delta_G=r$、(4) は $Z=2\pi\int_0^\infty r\,e^{-S}dr$ で、極座標のヤコビアンです。行列式は軌道の大きさを測ります（3-04 §04 の Weyl の因子と同じ役）。

群を各点のゲージ変換の全体に、条件を $G^a=\partial_\mu A^a_\mu-\omega^a$ にして (3)(4) を繰り返します。$\delta G^a=\frac1g\partial_\mu(D_\mu\lambda)^a$ なので、行列式の中身は次の $\mathcal M$ です。定数倍 $1/g$ と符号は行列式の全体の定数になり、$Z$ の全体の定数（期待値の比で消える）に吸収されるので落とします。

$\omega$ を重み $e^{-\int\omega^2/2\alpha}$ で平均すると（母数を $\xi$ と書く文献も多いが、この本では $\xi$ を相関長に使うので $\alpha$ と書きます。4-03 と同じ字です）、$\delta$ 関数が作用の項に変わり、二次形式に逆ができます。

$\alpha=1$ が Feynman、$\alpha\to0$ が Landau ゲージです（逆は数値で確認 計算）。$\det\mathcal M$ も作用の項にするため、反可換な数（Grassmann 数：$\theta_i\theta_j=-\theta_j\theta_i$、$\theta_i^2=0$）を使います。規則は $\int d\theta\,1=0$、$\int d\theta\,\theta=1$ です。$e^{-a\bar\theta\theta}=1+a\theta\bar\theta$ で展開が止まるので

です 既知。行列式が符号つきで出ます（§08 の 0/0 の源）。こうして行列式は反可換な場 $c^a,\bar c^a$（ゴースト。4-10 で Pauli–Villars の負の重みの状態を指す「ゴースト」とは別の意味）の積分になります。

（$\simeq$ は部分積分。）ゴーストの伝播関数 $\delta^{ab}/k^2$ と、$g f^{abc}p_\mu$ に比例する頂点が出ます 既知。ゴーストは外に出る粒子ではなく、ループの中にだけ現れます（β 関数にも入る：4-06 §03）。例。$n$ 成分の実のガウス積分は $(\det A)^{-1/2}$ を与えます（2-07 §02）。Feynman ゲージ（$\alpha=1$）で $g=0$ なら核は $k^2\delta_{\mu\nu}$ なので、各運動量で 4 成分のゲージ場が $(k^2)^{-4/2}$、ゴーストが (7) により $(k^2)^{+1}$ を与え、合わせて $(k^2)^{-2/2}$：横波の二つの偏りだけが残ります（$4-2=2$）。

寄り道：可換ならゴーストは消える

固定した作用にも、ゲージ場とゴーストを混ぜる反可換な対称性 $s$ が残ります（補助場 $b^a$ を足す）。

$s\Psi=ib\,\partial A+\frac\alpha2b^2+\bar c\,\mathcal Mc$ で、$b$ を積分すると (6)(8) に戻ります。$sS=0$ と冪零性 $s^2=0$（Jacobi 恒等式）から、形式的に二つが出ます 既知。

• ゲージの選び方に依らない。$\Psi$ を変えると作用は $s(\delta\Psi)$ だけ変わり、$s$ で消える $O$ には $\langle O\,s(\delta\Psi)\rangle=\langle s(O\delta\Psi)\rangle=0$。Becchi–Rouet–Stora（1976）の要旨は、半単純な群で、すべての場が質量を持つ線形のゲージでは Slavnov 恒等式（$s$ の対称性を相関の間の関係に書いたもの）が繰り込まれた摂動論の全次数で成り立つと示し、例として調べた SU(2) Higgs–Kibble 模型では物理的な S 作用素がユニタリでゲージのパラメータに依らないことを摂動の意味で示した、と書きます（1975 年の論文は可換な Higgs–Kibble 模型）。質量ゼロの純ヤン–ミルズについての結論ではありません。
• 物理的な状態。$s$ は状態に働く演算子 $Q_B$（BRST 電荷。$Q_B^2=0$）になります。共変なゲージでは状態空間が不定計量（内積 $\langle\psi,\psi\rangle$ が負や 0 になりうる）で、そのままでは確率の解釈ができません。そこで物理的な状態を $\operatorname{Ker}Q_B/\operatorname{Im}Q_B$（BRST のコホモロジー）とします。これは「$Q_B$ で消える状態を、$Q_B$ の像の分だけ同一視したもの」です。$Q_B^2=0$ なので像 $\operatorname{Im}Q_B$ は核 $\operatorname{Ker}Q_B$ に含まれ、商が作れます。像に入る状態は物理的な状態との内積が 0 になるので、同一視で落としても測れる量は変わらない、というのが狙いです。負や 0 のノルムの状態（時間成分・縦成分の偏り、ゴースト）がこうして落ち、残る空間の内積が正になることが期待されます。S 作用素は散乱の前と後の状態をつなぐ作用素で、ユニタリ性は確率の合計を保つこと（2-05 §02 の $e^{-itH}$ と同じ性質）です。Kugo–Ojima（1979）の要旨は、局所共変な演算子形式（理論とその漸近場が在ることを前提にした枠組み）の中で、BRS 電荷の代数から物理的な S 行列のユニタリ性を示したと書きます 物理。理論そのものが在ることは仮定で、連続の理論での同一性は示されていません（§09）。

「BRST」は Becchi・Rouet・Stora と Tyutin の頭文字とされます。例。場を定数とした部分で $s^2$ を記号計算すると、SU(2)・SU(3) とも $s^2A^a$・$s^2c^a$ は 0 項でした。$sc$ の係数 $-\tfrac12$ を $-1$ に変えると $s^2A^a$ に 2 項・25 項が残ります 計算。

(3) の「一度だけ」が崩れる場合を作ります。Landau ゲージ（3-04 §05）に倣い円の上の $F$ の臨界点を代表にし、$M=\partial_\varphi^2F$ を行列式、極小の集まりを Gribov 領域の類比とします。

大きい場で極小と極大の組が生まれ、その点 $(0,\pm r_*)$ で $M=0$（地平の類比）です。重み $e^{-r^2/2}$ で $r^2$（真の期待値 2）を四通りに数えます（$|M|$ と $M$ の違いは この節の寄り道）：(i) $|\det|$ で全コピー、(ii) Gribov 領域（極小）だけ、(iii) $F$ の最小だけ（基本モジュラー領域）、(iv) 符号つき（BRST の数え方）。

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (10) と表 1 の閉じた式をその場で評価。表 1 は臨界点を数える総当たりと差 0.004 以下）。

コピーの数が軌道で変わると (i) はずれ、領域の中にコピーが残る (ii) も直りません。(iii) は正しいが、最小の選択は大域的な比較で局所的な条件では書けません。(iv) は極小と極大が同数なので 0/0 です。

例。(i) のずれ $4ue^{-u}/(1+2e^{-u})$（$c=0.05$ で $2\times10^{-8}$）は $c$ の冪でどの次数も 0 で、4-07 §05 の $e^{-1/x}$ と同じ型です 計算。

寄り道：交点を符号つきで数える

Gribov（1978）の要旨は、非可換では $\partial_\mu A_\mu$ を固定してもゲージは固定されず、FP 行列式が正の範囲に制限すれば足りるらしい、と書きます 既知。Landau ゲージをノルム $\|A^g\|^2$ の停留点と読むと

$\Omega$ が Gribov 領域、境界が 地平、$\Lambda$ が 基本モジュラー領域です 既知。$\bar\Omega$ は $\Omega$ の閉包（境界も含めたもの）です。$\Omega$ は $\mathcal M\gt0$ で開いた集合、$\Lambda$ は $\le$ で閉じた集合で、$\Lambda$ の境界には地平に接する点がある（van Baal、§07）ので、閉包で書きます。

• 凸。$\mathcal M(A)$ は $A$ について一次なので、「すべての $\omega$ で $\langle\omega,\mathcal M(A)\omega\rangle\gt0$」は半空間の共通部分です。Zwanziger（1982）の要旨も 'convex region Ω which is bounded in every direction' と書きます。$\Lambda$ も凸です（van Baal 1997 の節 "Complete gauge fixing"）。
• どの向きにも有界（Zwanziger 1982 の要旨）。有限次元での筋：$\mathcal M(tA)=\mathcal M_0+t\mathcal M_1$ の $\mathcal M_1$ は跡 0（$f^{aba}=0$）の対称行列で負の固有値を持つので、大きな $t$ で正でなくなる。
• どの軌道も地平の内側を通る（Dell'Antonio–Zwanziger 1991 の要旨：ノルムは各軌道で最小に達し、そこで軌道は地平の内側と交わる）。
• $\Omega$ の中にもコピーは残る。Zwanziger（2004）はそれが期待値に影響しないと主張しています 物理。

図 1 の実線が $\Omega$、正の $x_1$ 軸が $\Lambda$ の類比です。伝播関数への影響は 7-02 §07。

一辺 $L$ の周期的な箱で SU(2) の一定の場 $A^a_\mu=a\,\delta^{a3}\delta_{\mu1}$ を取ると、$\mathcal M$ は平面波 $p=2\pi n/L$ で対角化でき、色の 3 番（中性）と $\omega^1\pm i\omega^2$（荷電）に分かれます。

最小の非自明な固有値（$n=0$ は除く）は $n=(\pm1,0,0,0)$ の $1-s$ で、地平は

です。van Baal（1997 の節 "Gauge fields on the three-torus"）は三次元のトーラスの Coulomb ゲージで同じ計算を $C=gaL$ で行い、Gribov 領域が $|C_k|\le2\pi$ の立方体、捩れた（反周期的な）ゲージ変換による $A=0$ のコピーが地平の上にあることを示しています 既知。基本モジュラー領域は、反周期的な変換も同一視するとき（純ヤン–ミルズ）は $|C_k|\le\pi$（$s\le\frac12$）です。基本表現の場（クォーク）があって周期的な変換しか許されないときは $|C_k|\le2\pi$（$s\le1$）で、その境界は地平に接します 既知。

計算この図の数値はこの端末で計算した（式 (12) をその場で評価）。$s=0$・0.5・1・2 で最小の非自明な固有値は 1・0.5・0・−1（順に $A=0$・基本モジュラー領域の境界〔反周期的な変換も同一視するとき〕・地平・周期的な変換による $A=0$ のコピー）。

格子でも確かめました。$L^4$ 格子で 1 の向きのリンクを $e^{i\theta\sigma_3/2}$ とし、Landau ゲージの汎関数 $\sum(1-\tfrac12\mathrm{Re\,tr}\,g_xU_{x,\mu}g^\dagger_{x+\mu})$ の二階微分を運動量ごとに対角化すると、荷電の固有値は $\tfrac12[\cos\tfrac\theta2-\cos(p_1\pm\tfrac\theta2)]+\tfrac12\sum_{\nu\ne1}(1-\cos p_\nu)$ に一致しました（格子間隔 1 で $\theta=ga$）。

計算python3・NumPy。閉じた式との差は $3\times10^{-16}$ 以下。

箱が大きいほど長い波長の向きの地平は原点に近く、Gribov の要旨はこの制限が赤外の特異性を打ち消し遠距離の線形な相互作用につながると書きます 物理。四次元の測度の定理にはなっていません。

ゴーストは $\det\mathcal M$ を絶対値なしで与えました（式 (7)）。したがって BRST 対称なゲージ固定の積分は、一つの軌道の上のコピーを $\operatorname{sign}\det\mathcal M$ つきで数えます。

ここで使う言葉を定義します。Euler 標数 $\chi$：コンパクトで境界の無い多様体（1-05）の上の滑らかな関数の臨界点（二階微分の行列が退化しないもの）を、その行列の行列式の符号（負の固有値が偶数個なら $+1$、奇数個なら $-1$）をつけて足した数です。この数は関数の選び方によりません（Poincaré–Hopf の定理）。円では極小が $+1$、極大が $-1$ で $\chi(S^1)=0$、球面では $\chi(S^2)=2$ です。正の次元のコンパクトで連結なリー群 $G$ では $\chi(G)=0$ で、積の空間では $\chi(G^N)=\chi(G)^N$ です 既知。Morse 理論は、このように臨界点を数えて多様体の形を読む理論の名前です。

最後の二つの等号は符号の和を $G^N$（$N$ は格子点の数）の Euler 標数と読むもので（Schaden 1999 の Morse 理論の解釈、Mehta ほか 2014 の式 (2)。臨界点が退化しない軌道で）、$\chi(G)=0$ です 既知（6-11 §05）。ゲージ不変な量の期待値は 0/0 です。Mehta らはこれを「Neuberger の 0/0 問題」と呼んで Neuberger の 1986 年と 1987 年の論文を引き、1987 年の論文の要旨は、非摂動で出会うこの障害は形式的には連続の定式化にも在る、と述べます 既知。

例。図 1 の「符号の和 0」がその最小版です（$\chi(S^1)=0$）。同じ要旨は、摂動展開のどの次数でも格子の BRS 不変性は局所ゲージ不変性の代わりを果たすとも論じます。符号の打ち消し合いは摂動のどの次数にも映らないからで、§05 の例の $e^{-1/(18c^2)}$ と同じ型です。回避の道は数え方を取り替えます 既知。

• 固定しない（Wilson の格子。Elitzur の定理：8-02 §09）か、Gribov 問題の無い最大木のゲージ（3-04 §08）。
• 立体射影による修正 Landau ゲージ：リンクの変数を立体射影で平らな座標に写してから汎関数を作る（von Smekal ほか 2007。要旨：コンパクトな $U(1)$ では Gribov 問題を解き、最大可換部分群に使えば $SU(N)$ の 0/0 を避けられるかもしれない。Landau ゲージの連続極限は変わらない）。
• オービフォールド化：ゲージ固定に使う群の多様体を、特異な点を許す多様体の一般化（オービフォールド）に取り替え、その上の Morse 理論で数える（Mehta ほか 2014。要旨：分配関数が軌道に依らなくなる）。
• 質量で正則化：ゲージ場とゴーストに質量項（Curci–Ferrari 質量）を足した作用で数え、0/0 を正則化する（Ghiotti–von Smekal–Williams 2006、要旨）。剰余空間：群の全体ではなく $SU(2)/U(1)$（球面 $S^2$ で $\chi=2$）の上で数える BRST（Schaden）。

発散の代数との比較は 6-12。

問題文が求めるのはゲージ不変な局所場（$\mathrm{tr}\,F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ など）の相関と、再構成したハミルトニアンのギャップです（0-03）。ゲージ固定は摂動論では必須の道具です（§04）。それ以外では次の位置にあります 既知。

• 公理との関係。確率の解釈に要る正値性（反射正値性。4-10 で定義）は、共変なゲージで固定した場には期待できません。共変なゲージでは不定計量の状態空間を使うこと（§04）は既知の枠組みで、Magnen–Rivasseau–Sénéor 1993 は Feynman ゲージのような共変なゲージは正値性を欠くので構成の最初からは使えないと書きます（4-10 §09）。そのため再構成はゲージ不変な量から行います。BRST のコホモロジーとその正定値の空間の同一性は連続では示されていません（8-02 A18）。
• 構成の試みでは局所的に使います。Bałaban について問題文の解説は 'The choices vary locally in space-time, as well as on different length scales.' と書きます（Jaffe–Witten §6.5、6-05・6-07）。二次元の Chevyrev–Shen も格子のゲージ固定を使います（要旨、6-09）。

Singer の定理が禁じるのは連続な大域的な切り口だけで、0/0 も格子全体で共変なゲージを BRST 対称に固定したときの現象です。残る問いは「ゲージ不変な相関の測度が四次元の連続極限で在り、スペクトルに隙間があるか」のままです。

この章が言えている範囲

出典と再現

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