2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 2 部 物理の準備場と波動方程式

場という考え — 粒の数を無限にすると、系の座標が関数になる

場の話は、有限個の粒から始めるのが近道です。長さ $\ell$ の区間に $N$ 個の粒を間隔 $a=\ell/(N+1)$ で並べ、隣どうしを張った糸でつなぎ、両端を壁に固定します。粒 $j$ の横のずれを $q_j(t)$（壁は $q_0=q_{N+1}=0$）、粒の質量を $m=\rho a$（$\rho$ は線密度）、張力を $\sigma$ とします。

隣とのずれ $\Delta q$ が小さいと、間の糸は $\sqrt{a^2+\Delta q^2}-a\approx\Delta q^2/(2a)$ だけ伸びます。粒は横にだけ動くとし、次の項 $-\Delta q^4/(8a^3)$ は捨てます。こうして以下の方程式は線形になります（線形であることが効く場面は 08 節）。張力 × 伸び が位置エネルギーなので、ラグランジアン（2-01）と Euler–Lagrange 方程式は次の形です。

右辺には隣の粒しか出てきません。この局所性はゲージ理論まで残ります。例。$N=1$ なら $m\ddot q=-(2\sigma/a)q$ の単振動で、$\ell=\rho=\sigma=1$ のとき $\omega=\sqrt8\approx2.828$ です。

まとめて $\ddot{\mathbf q}=-K\mathbf q$ と書くと、$K$ は対角成分が $2\sigma/(ma)$、その両隣が $-\sigma/(ma)$、ほかが 0 の対称行列です。対称行列なので、直交する $N$ 本の固有ベクトルを持ち、固有値は実数です（1-01）。固有値は負にもなりません。$\mathbf q\cdot K\mathbf q$ は位置エネルギーの $2/m$ 倍で、二乗の和だからです。固有ベクトル $\mathbf v$ では $\mathbf v\cdot K\mathbf v=\lambda|\mathbf v|^2$ なので $\lambda\ge0$。両端が壁に留まるので位置エネルギーが 0 になるのは $\mathbf q=0$ のときだけで、$\lambda=0$ も起きません。そこで固有値を $\omega_n^2$（$\omega_n\gt0$）と書きます。

固有ベクトルを軸に取り直すと、各成分は $\ddot Q_n=-\omega_n^2Q_n$ に従います。もつれ合った $N$ 個の粒が、互いに無関係な $N$ 個の単振動に分かれる。これが基準振動で、それぞれの揺れ方を「モード」、$n$ をモードの番号と呼びます。この行列では $n=1,\dots,N$ について閉じた式が書けます。

代入して $\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B$ を使えば確かめられます。例。$\ell=\rho=\sigma=1$ なら $\omega_n=2(N+1)\sin\frac{n\pi}{2(N+1)}$ で、$n$ が $N$ より十分小さいと $\omega_n\approx n\pi$。次の節の弦の振動数です。

粒の数を増やし間隔 $a$ を 0 に近づけます。$\ell$・$\rho$・$\sigma$ は固定し、粒の質量 $m=\rho a$ は 0 へ。何を固定して極限を取るかは、格子ゲージ理論で同じ形の問いとして戻ってきます（5-09）。番号 $j$ を位置 $x=ja$ と読み替えて $q_j(t)=u(t,x)$ と書くと、$(q_{j+1}-q_j)/a\to\partial_xu$、$\sum_ja(\cdots)\to\int dx$、$(q_{j+1}-2q_j+q_{j-1})/a^2\to\partial_x^2u$ となり、

$\mathcal L$ をラグランジアン密度、下の式を波動方程式と呼びます。同じ式は場の Euler–Lagrange 方程式 $\partial_t\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_tu)}+\partial_x\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_xu)}-\frac{\partial\mathcal L}{\partial u}=0$ からも出て、この形は電磁場（2-03）でもヤン–ミルズ場（3-03）でも使います。

場とは、添字 $j$ が連続な $x$ に置き換わった系です。系の「座標」は数の組ではなく関数 $u(t,\cdot)$ 一つです。弦の基準振動は $\sin(n\pi x/\ell)\cos\omega_nt$、振動数は $\omega_n=n\pi c/\ell$（$n=1,2,\dots$）で、上限がありません。

計算図の数値は本文の閉じた式からその場で計算。

計算表 1　鎖と弦の振動数の比 $\omega_n/(n\pi)$（$\ell=\rho=\sigma=1$）。行列 $K$ の固有値を数値で求めた値で、閉じた式との相対差は最大 $3\times10^{-12}$ でした。

$n$ を固定すれば比は 1 に近づきますが、$n=N/2$ の列は $\sin(\pi/4)/(\pi/4)\approx0.900$ へ、$n=N$ の列は $2/\pi\approx0.637$ へ近づくだけです。連続極限は波長が間隔より十分長い波についての近似です。

解は二通りに読めます。進む波として：二回微分できる任意の $f,g$ について $u=f(x-ct)+g(x+ct)$ は解です。$f$ は右へ、$g$ は左へ、形を保って速さ $c$ で進みます。初めの形 $u_0$・初速 0 なら $u=\frac12[u_0(x-ct)+u_0(x+ct)]$ で、山は二つに割れます（両端固定なら $u_0$ を奇関数・周期 $2\ell$ に延ばす）。この形の解は d'Alembert の 1747 年の論文にさかのぼるとされます。

定在波の重ね合わせとして：方程式が線形なので、基準振動の和も解です。

係数の式は $\sin(n\pi x/\ell)$ どうしの直交性（積の積分が $n\ne n'$ で 0、$n=n'$ で $\ell/2$）から出ます。フーリエ正弦級数です（1-11）。例。位置 $p$ を高さ $h$ まで引いて放した三角形では $b_n=\frac{2h\ell^2}{n^2\pi^2p(\ell-p)}\sin\frac{n\pi p}{\ell}$。係数は $1/n^2$ でしか減らず、角を表すには高いモードまで要ります。

計算図の数値は $b_n$ の部分和と d'Alembert の式からその場で計算（$\ell=c=h=1$）。

運動と位置のエネルギーの和 $E$ は時間によりません。波動方程式を使うと被積分関数の時間微分が $\sigma\,\partial_x(\partial_tu\,\partial_xu)$ になり、両端が動かないので境界の項が消えるからです。

Noether の定理（2-01）の場の版です。基準振動に分けると直交性で交差項が消え、$E=\sum_nE_n$、$E_n=\frac{\rho\ell}{4}(\dot b_n^{\,2}+\omega_n^2b_n^2)$。各 $E_n$ は一つずつ保存します。弦は、互いに無関係な単振動の無限個の集まりです。

例。はじいた弦（$s=p/\ell$）では、モード $n$ の取り分は $f_n=\frac{2\sin^2(n\pi s)}{n^2\pi^2s(1-s)}$ です。

計算表 2　最初の $K$ 個のモードが持つエネルギーの割合。全項の和が 1 になること（200 万項で 5 桁以上）も確かめました。

真ん中をはじくと $f_1=8/\pi^2\approx0.81$。端の近く（$s=0.02$）では最初の 10 個で 4 割に届かず、エネルギーは短い波長の側へ逃げます。

各粒を元の位置へ引き戻すばね（定数 $\kappa$）でも床につなぐと、位置エネルギーに $\sum_j\frac{\kappa}{2}q_j^2$ が足されます。$\Omega^2=\kappa/m$ を固定した連続極限が左の Klein–Gordon 方程式、平面波 $\cos(kx-\omega t)$ を代入した分散関係が右です。ここでの $k$ は波数（単位長さあたりの位相の進み。波長 $\lambda$ なら $k=2\pi/\lambda$）で、モードの番号 $n$ とは別の量です。

$\Omega=0$ なら $\omega=c|k|$ で、波長を長くすれば振動数は 0 に近づきます。$\Omega\gt0$ なら常に $\omega\ge\Omega$：振動数に下限ができます。長さ $\ell$ の箱では波数が $k_n=n\pi/\ell$ に限られ、最低振動数は $\omega_1=\sqrt{(c\pi/\ell)^2+\Omega^2}$。有限の箱では $\Omega=0$ でも正で、問われるのは箱を広げても下限が残るかどうかです。質量ギャップの定義が無限体積で書かれるのはこのためです（4-11）。

計算図の数値は $\omega=\sqrt{k^2+\Omega^2}$、$k_n=n\pi/\ell$ からその場で計算（$c=1$）。

計算最低振動数（$c=1$）は、$\ell=1,10,100,1000$ に対して $\Omega=0$ で 3.142, 0.314, 0.0314, 0.00314、$\Omega=1$ で 3.297, 1.048, 1.0005, 1.000005（閉じた式の値）。$\ell\le100$ では、間隔 0.05 の鎖の行列の最小固有値と相対差 0.11% 以内（$\ell=1$ で最大）で一致しました。

弦の自由度は可算無限個です。困るのはすべてのモードが同じ重みで揺すられるとき、典型は熱平衡です。最小限の定義（詳しくは 2-08）：温度 $T$ の熱平衡では、配置の確率密度が $\exp(-V/k_BT)$ に比例します（$k_B$ はボルツマン定数）。$V=\sum_n\frac{\kappa_n}{2}Q_n^2$ なら各 $Q_n$ は独立なガウス分布（1-08）に従い、分散は $k_BT/\kappa_n$、位置エネルギーの平均は一つあたり $k_BT/2$ です（等分配）。弦では $u=\sum_nq_n\sin(n\pi x/\ell)$ に対し $\kappa_n=\sigma n^2\pi^2/(2\ell)$ で、三つのことが起きます。

1. 全エネルギーは無限大。無限個のモードに $k_BT/2$ ずつ配られるからです。
2. 一点での変位は有限。$\operatorname{Var}u(x)=\sum_n\frac{2\ell k_BT}{\sigma n^2\pi^2}\sin^2\frac{n\pi x}{\ell}=\frac{k_BT}{\sigma}\cdot\frac{x(\ell-x)}{\ell}$。この確率的な曲線はブラウン橋と呼ばれます（既知Sheffield 2007）。
3. 傾きは定まらない。$\operatorname{Var}\partial_xu=\frac{2k_BT}{\sigma\ell}\sum_n\cos^2\frac{n\pi x}{\ell}$ は発散します。曲線は途切れないのに、どこも角だらけです。正確には、どの点でも傾きが確率変数として定義できない、という意味です。

計算図は $u=\sum_{n\le K}g_n\sqrt2\sin(n\pi x)/(n\pi)$（$g_n$ は種を固定した正規乱数、$\ell=k_BT/\sigma=1$）をその場で計算。

計算空間の次元 $d$ を上げたとき（膜、箱の中の場）の、箱 $[0,1]^d$ の中心での分散（単位 $k_BT/\sigma$）を、各方向の番号を $K$ まで取ったモードの和で数えます（$K=10$ から 160 まで倍々）。モード $n=(n_1,\dots,n_d)$ の寄与は $1/|n|^2$ に比例します。格子で刻んだ同じ量の表と図は 1-09 表 3・図 3 にあり、この本ではそれを正本にします。四で切り替わる量と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

$d=1$ は $1/4$（ブラウン橋の中心の値）に収束します。$d=2$ は $K$ を倍にするごとに $\ln2/(2\pi)\approx0.110$ ずつ増え（$\log K$ で発散）、$d=3$ は倍、$d=4$ は四倍になります。半径 $r$ の殻のモード数が $r^{d-1}$ に比例し、一つあたり $1/r^2$ なので、和は $\sum r^{d-3}$ の形です。発散は波長の短い側から来ます。

既知$d$ 次元の箱の中の場を $\varphi(x)$ と書きます（弦の $u$ の多次元版）。$d\ge2$ では熱い場の一点の値 $\varphi(x)$ は意味を持たず、滑らかな重みの関数 $f$ をかけて積分した値 $\int\varphi f\,dx$ だけが確率変数として意味を持ちます。この意味で、場は関数ではなく超関数に値を取ります（Sheffield 2007、1-09・1-11）。量子の場を虚時間で書くと時間も空間の一方向と同じ扱いになり、四次元時空の自由な場は $d=4$ の行と同じ形の和を持ちます（4-02）。

場が荒いほど、場どうしの積（非線形項）に意味を与えにくくなります。正確には、超関数どうしの積は一般には定義できません（1-11）。発散（4-04）はその素朴な現れです。どこまで荒くても非線形項を扱えるかを正確に述べるのが、確率量子化の「劣臨界・臨界」です（6-09）。

この先の使い道：電磁場のポテンシャルと冗長さ（2-03）、$\partial_t^2/c^2-\partial_x^2$ のローレンツ不変性（2-04・時空の記事。波が尾を引くかは空間の次元で決まる：同記事）、モードを量子の振動子にした Fock 空間（2-06）、場の上の確率（2-07）。

3-02 で前提が一つ崩れます。基準振動に分けられたのは、方程式が線形だったからです。ヤン–ミルズ場は各点でリー環に値を取り、自分自身と相互作用するので、モードは独立でなくなります。古典の波には下限もありません。物理それでも量子では隙間が生じると考えられています。

寄り道：閉じ込めの弦も、この方程式で揺れる

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：2-03 電磁気学はゲージ理論である。量子化へ先に進むなら 2-06。

← 2-01 ラグランジアンと作用目次2-03 電磁気学はゲージ理論である →