2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 6 部 構成的場の理論φ⁴₂・φ⁴₃

スカラー場の構成 — φ⁴ が二次元と三次元で公理を満たすまで

6-01 の地図（六つの段）で、相互作用のある理論として六つの段がすべて閉じた例は、二次元と三次元の $\phi^4$ でした。場は各点に実数を一つ持つだけで、ゲージ対称性も拘束もなく、難しさは点での積（紫外）と体積（赤外）に絞られます。ユークリッドの作用は、質量 $m_0$ の自由場の作用に問題文の式 (3) の多項式を足したものです。

$\lambda\gt0$ は結合定数、$\sigma=\alpha\lambda+\beta\lambda^2$ と $c=\gamma\lambda+\delta\lambda^2+\varepsilon\lambda^3$ は切断に依存させる相殺項です（JW §6.2）。$\phi^4_d$ の $d$ は時空の次元で、二次元では下に有界な多項式 $P$ に広げた $P(\phi)_2$ も同じ方法で扱われました。目標は問題文の一文です：'For 0 < λ ≪ 1, one can choose σ(λ), c(λ) so the field theory described by (3) exists, is unique, and has a mass equal to m such that |m − m₀| is small'（JW §6.2）。四次元では格子の極限がガウスに潰れます（6-08）。既知

6-01 の表 1（壊れている場所）で、二次元以上では格子の一点の分散 $c_a=G_a(0)$ が $a\to0$ で無限大になることを見ました。Wick 積は期待値が 0 になるように低い冪を引いた積で、次の条件で順に決まります（Summers 2016 §3.1）。

分散 $c$ の一変数なら ${:}x^2{:}=x^2-c$、${:}x^4{:}=x^4-6cx^2+3c^2$ で、尺度を合わせた Hermite 多項式です。要は、平均 0・共分散 $C$ のガウス場で

が成り立つことです。均した ${:}\phi^n{:}(f)$ の分散は $n!\iint f(x)f(y)C(x-y)^n$ で、$C$ は近距離で $d=2$ なら $\log(1/|x|)$、$d\ge3$ なら $|x|^{-(d-2)}$ のように振る舞うので

です。二次元ではすべての $n$ が有限、三次元では $n\le2$ だけで、$n=3$ が対数の境目、$n=4$ は $1/a$ で発散します。既知

計算表 1　格子の $\int C^n\approx a^d\sum_xG_a(x)^n$（m = 1。周期箱の一辺は二次元で 8、三次元で 4）。二次元の最下行は連続・無限体積の $\int_0^\infty2\pi r\,(K_0(r)/2\pi)^n\,\mathrm dr$。

二次元の列はどれも連続の値に近づきます。三次元では $\int C^2$ が収束し、$\int C^3$ は $a$ を半分にするごとの増分が 0.0044 前後に近づき（連続の予想は $\log2/(16\pi^2)=0.00439$）、$\int C^4$ はほぼ 2 倍ずつ増えます。二次元の ${:}\phi^4{:}(f)$ は確率変数ですが、三次元のそれは違います。この二列は §06 で頂点が二つの図としてもう一度現れます。

$V=\int_\Lambda{:}\phi^4{:}\,\mathrm dx$（$\Lambda$ は有限の箱）が確率変数でも、測度 $e^{-\lambda V}\mathrm d\mu_C/Z$ を作るには $e^{-\lambda V}$ が積分できなければなりません。古典的な $\phi^4$ は非負ですが、Wick 積は違います。${:}x^4{:}=(x^2-3c)^2-6c^2$ なので

で、二次元では $c_a=\frac1{2\pi}\log\frac1a+O(1)$ ですから、下限は $(\log\frac1a)^2$ の速さで $-\infty$ へ逃げます。Jaffe（2000）は、二次元の初期の進展が、空間を円周にした $\phi^4$ のハミルトニアンの安定性（下に有界であること）を示した Nelson の 1965 年の論文に多くを負うとしています。既知

下限が逃げても積分できることを示す議論の筋は三段です。(i) 切断した $V_a$ は式 (5) で下から抑えられる。(ii) $V-V_a$ の分散は表 1 の収束のように $a$ の冪で小さくなる。(iii) ガウス場の 4 次の多項式は、標準偏差が $s$ なら $t$ を超える確率が $\exp(-\mathrm{const}\cdot(t/s)^{1/2})$ 程度。$V\lt-M$ には $V-V_a$ が大きく負である必要があり、$a$ を $M$ に合わせて選ぶと、その確率は $e^{-pM}$ より速く減ります。結論は（Summers 2016 §3.1）既知

ここで $X\in L^p(\mathrm d\mu_C)$ は $E[|X|^p]\lt\infty$、つまり $p$ 乗の期待値が有限という意味です（$E$ は自由場の測度 $\mu_C$ での期待値）。$p=1$ なら正規化の定数 $Z=E[e^{-\lambda V}]$ が有限で、測度 $e^{-\lambda V}\mathrm d\mu_C/Z$ が作れます。

計算この図の数値はこの端末で計算した。一辺 1 の周期箱・m = 2 の格子の自由場の見本 20000 本（三次元の a = 1/64 は 6000 本）で $V_a=a^d\sum_x{:}\phi_x^4{:}$ を数えた。横軸は $V_a$、縦軸は密度。

計算表 2　図 1 の分布（抜粋）。標準偏差は式 (3) から厳密に、0.1% 点と $\log E[e^{-V}]$（λ = 1）は見本から（後者の誤差は二次元で ±0.002、三次元で ±0.005〜0.17）。括弧はガウス近似 $\mathrm{Var}(V)/2$。

二次元では、下限が −1.5 から −6.7 へ下がっても 0.1% 点は −0.9〜−1.0 から動かず、$\log E[e^{-V}]$ は 0.05 前後に落ち着きます。下限は遠くても、そこまで行く確率が極端に小さい、という式 (6) の中身です。三次元では標準偏差が半分ごとに $\sqrt2$ 倍、$\log E[e^{-V}]$ がほぼ 2 倍になってガウス近似に近づきます。$1/a$ で増える定数を $\lambda^2$ の次数で引く必要があり、これが問題文の $\delta$ に当たります（§06）。計算

最初の構成（Glimm–Jaffe の四部作、1968–1972）は、ミンコフスキー時空で場の方程式を作用素として解く形でした。二次元の方程式は

です（$\phi_\kappa$ はフーリエ成分を $|k|\le\kappa$ で切った場、$c_\kappa\sim\log\kappa$。Jaffe 2000 §3）。空間を関数 $g$ で切った $H(g)=H_0+\lambda\int{:}\phi(0,x)^4{:}\,g\,\mathrm dx$ が Fock 空間で本質的自己共役（切断した式から自己共役作用素がただ一つに決まること）・下に有界・最低の固有値が単純であることを示し、信号が光速を超えないことを使って $g\to1$ でポアンカレ不変な真空を得ます（段 2→段 4。Summers 2016 §2）。表現は Fock 表現と同値でありませんが（4-09 の Haag の定理）、有界な領域に制限すると同値です。既知

1970 年代前半には、Nelson の Markov 場（ここでは名前だけ挙げます）と Osterwalder–Schrader の公理（4-10）で、ユークリッドの測度

として作る道が開きました（式 (6) で意味を持つ）。二次元の格子では、差分の項が隣り合う点の組 $\langle xy\rangle$ について

となり、最後の項は $e^{-S}$ の中で $e^{+\phi_x\phi_y}$ として隣どうしに同じ符号を好ませます。スピンが実数全体を動く強磁性体です（Guerra–Rosen–Simon 1975 の題は 'as classical statistical mechanics'）。そこで相関不等式（GKS 型。隣どうしが同じ符号を好む系で、相関が非負になることを言う不等式）が効き、$P$ が偶多項式から $h\phi$（$h\ge0$）を引いた形なら、Schwinger 関数は非負で、境界条件を工夫すると箱とともに増えます。一様な上界と合わせれば単調収束で無限体積極限が取れ（段 4）、結合の大きさに制限はありません（Summers 2016 §3.1）が、問題文は相関不等式がスカラーのボソンや可換なゲージ理論に限られがちだとしています（JW §6.1）。反射正値性は極限に引き継がれます（段 5、6-01）。既知

段 6 まで通したのは Glimm–Jaffe–Spencer（1974）です。$\lambda/m_0^2$ が十分小さいとき、クラスター展開で無限体積極限と OS の公理を示し、相関の指数減衰（6-01 の式 (9)）を得ました。質量作用素 $M=\sqrt{H^2-P^2}$（$P$ は運動量）については

が示されています（Summers 2016 §3.1）。$0$ は真空、孤立した $m$ は一粒子、$m_1$ より上は二粒子以上です。孤立した一粒子があれば Haag–Ruelle の散乱理論（孤立した粒子の状態から、遠い過去と遠い未来の散乱の状態を組み立てる一般論。ここでは名前だけ挙げます）が使え、Osterwalder–Sénéor（1976）は散乱行列が自明でなく、摂動級数がその漸近展開になることを示しました（Summers 2016 §3.1）。一方、存在とギャップの証明に使うクラスター展開は $\lambda$ の冪級数ではなく、$n$ 番目の項が $\lambda^nG_n(\lambda)$（$G_n$ は $\lambda\to0$ で有界）の形をした収束する展開です（Jaffe 2000 §4）。摂動級数のほうは発散し（4-12）、厳密な答えの漸近展開になるだけです。仕組みは 6-04 で扱います。既知

例：$\lambda=0$ なら二点関数は $C(x)$ で、遠方で $e^{-m_0|x|}$ のように減衰し、ギャップは $m_0$ です。弱結合の結果は、この隙間が小さな相互作用で潰れないことを言っています。ギャップの出どころは作用に書き込んだ $m_0$ です（§09）。

何が増えるかは摂動論の図の数え方で見当が付きます（4-03・4-04）。頂点が $n$ 個・外線が $E$ 本の連結な図は、内線が $I=2n-E/2$ 本、ループが $L=n-E/2+1$ 個です。ループの積分は運動量の $d$ 乗、伝播関数は $-2$ 乗を運ぶので、見かけの発散の次数は

で、$\omega\ge0$ が紫外で発散しうる図（$\omega=0$ は対数）です。頂点が一つの図は自分とつながる線だけでできていて、Wick 積で消えます。

計算この図の値は式 (11) をその場で計算したもの。表 3 はこの端末の計算と一致する。

計算表 3　ω ≥ 0 となる型 (n, E) と ω。

三次元で残る型のうち二つは表 1 の列そのものです。(2, 0) は二つの頂点を四本の線で結んだ真空の泡で $\int C^4$（$1/a$）、(2, 2) は三本の線で結んだ自己エネルギーで $\int C^3$（対数）です。図 2 で $d$ を 2.66 から 2.67 へ動かすと、(2, 0) が発散しうる型に入ります。境目は $d=8/3$ で、式 (4) の $n=4$ の境目と一致します。計算

問題文は、二次元では $\alpha,\gamma$ を、三次元では五つすべてを切断に依存させるとしています（JW §6.2）。既知問題文はどの定数がどの図に当たるかを書いていませんが、$\lambda$ の次数を頂点の数と読むと、$\alpha,\gamma$ は $n=1$、$\beta,\delta$ は $n=2$、$\varepsilon$ は $n=3$ に当たり、表 3 の型の数と合います。計算Jaffe（2000 §6）も、三次元では Wick 積に加えて、対数で発散する質量の相殺項と、線形と対数で発散する二つの真空のエネルギーの相殺項が要るとしています。$\lambda$ 自身は繰り込まれません。既知

さらに三次元では、Wick 積をとったハミルトニアンが稠密に定義された作用素（どのベクトルにもいくらでも近いベクトルを含む部分空間の上で定義された作用素）にならず、状態ベクトルを切断とともに 0 に向かう定数で掛け直す必要があり（問題文の言う波動関数の繰り込み）、表現は Fock 表現と同値になりません（Jaffe 2000 §6）。Jaffe はこれを、有界な領域では Fock 表現と同値になる二次元（§04）とはまったく違う、としています。制御の道具は Glimm–Jaffe（1973）の位相空間の細胞（位置と運動量の尺度の両方で区切った箱）への局所化で、ある尺度の評価から二倍の尺度を評価する帰納は繰り込み群の考えにつながります（同。6-05）。その上で Feldman–Osterwalder（1976）と Magnen–Sénéor（1976）が独立に、$\lambda/m_0^2$ が小さいとき切断と体積を外した極限で OS の公理を示しました（Summers 2016 §3.2。前者は題に質量ギャップを掲げる）。$\lambda/m_0^2$ の制限は後に Seiler–Simon（1976）と Park（1977）が別の方法で外し、Burnap（1977）は一粒子状態の存在を示して Haag–Ruelle の散乱理論が使えるようにしました（Summers 2016 §3.2。原論文は書誌のみ）。既知

$\phi^4_2$・$\phi^4_3$ はその後も、新しい方法が既知の結果を再現できるかを確かめる例になりました。方法ごとに、出力に含まれる段が違います。Brydges–Fröhlich–Sokal（1983）は格子・Schwinger–Dyson 方程式・相関不等式で、弱結合の存在と非自明性を格子理論の部分列の極限として示しました。確率量子化（6-09）は測度 $e^{-S}$ を

の不変測度（この方程式で時間発展させても分布が変わらない測度）として作ります。Hairer（2014）は正則性構造で、有限体積の $\Phi^4_3$ に対応する確率量子化の方程式 (12) の解を（爆発するかもしれない時刻までの局所解として）作りました。要旨はこれを、その測度に関して対称な自然な Markov 過程を作る問題の解決と述べていますが、本文では解が大域的であることや測度の不変性は示されておらず、期待されるとしています。Gubinelli–Hofmanová（2021）は $\mathbb R^3$ 上で、極限点がどれも非ガウスで反射正値性と並進不変性を持つことを示し、要旨は回転不変性とクラスター性を除いて OS の公理を確かめたとしています。有限体積（三次元トーラス）では、測度を確率最適制御で変分的に書く方法もあります（Barashkov–Gubinelli 2020）。なお問題文は、ヤン–ミルズの問題の存在の部分について、コンパクト性による弱い存在だけでは、極限の性質（質量ギャップや公理）を別に示さない限り解答と認めないとしています（JW 脚注 2）。既知

既知表 4　四つの理論（結合の質量次元は 6-01 の式 (7)、発散の型は表 3）。

持ち出せるものは四つです。(1) 相殺項の形を摂動論から読み、切断に依存させること。(2) 尺度ごとの評価を積み上げること（位相空間の細胞は繰り込み群の段の列になった。6-05）。(3) 反射正値性のような不等式の性質は極限に引き継がれること。(4) 弱結合の展開で相関の指数減衰を示せば、それがギャップになること。

持ち出せないものの中心はギャップの出どころです。$\phi^4_2$・$\phi^4_3$ では作用に $m_0\gt0$ を書き込み、$|m-m_0|$ が小さいことを示しました。ヤン–ミルズの作用には質量の項が無く、期待されているギャップの尺度は $e^{-\mathrm{const}/g^2}$ の形で結合に依存し、$g$ の冪には展開できません（4-07）。弱結合の展開の足場になる質量が、はじめから無いのです。加えて四次元では発散する図がすべての次数に現れ、場は接続でゲージ不変性を保たねばなりません（5-01）。既知物理

一方で問題文は、四次元の $\phi^4$ が漸近自由でないことを自明性の証拠に挙げ、短距離で結合が弱くなるヤン–ミルズを四次元の構成的場の理論の自然な候補としています（JW §6.2）。止まる場所は 6-10 で見ます。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：6-04 クラスター展開（§05 で使った道具の仕組み）。

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