2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備フーリエ解析と超関数

フーリエ解析と分布 — 点で値を持たないものを、波と平均で扱う

二次元以上の自由場は一点での値を持ちません。一点の分散が無限大だからです（1-09 §08）。意味を持つのは、なめらかな重み $f$ で平均した値で、その分散は二点の相関 $G$ を二重に平均して書けます。

$G$ を伝播関数と呼び、形式的には $E[\varphi(x)\varphi(y)]=G(x-y)$ です。$G$ は $x=y$ で無限大ですが、(1) の右辺は有限です。例：一辺 $\varepsilon$ の箱で平均した値の分散は、$d\ge3$ なら $G\approx c\,r^{2-d}$（§07）により $\varepsilon^{2-d}$ に比例し、四次元では箱を半分にするごとに 4 倍です。点では無限、平均すれば有限です。

周期 $2\pi$ の関数を波 $e^{ikx}$ の重ね合わせに分けます。$e^{ikx}/\sqrt{2\pi}\ (k\in\mathbb Z)$ は $L^2(-\pi,\pi)$ の正規直交基底で（1-10 §02 の複素版）、係数は内積で取り出せます 既知。

最後が Parseval の等式です。部分積分をすると、微分は係数に $ik$ を掛けることに替わります。

だからなめらかさは係数の減り方に出ます。$n$ 回微分しても二乗積分が有限なら $\sum_kk^{2n}|c_k|^2\lt\infty$。跳びがあると係数は $1/k$ でしか減りません。

例：矩形波 $f(x)=\operatorname{sign}x$ の部分和は $S_N(x)=\frac4\pi\sum_{k\ \text{奇数}\le N}\frac{\sin kx}{k}$ です。二乗平均の誤差は Parseval により $\frac8{\pi^2}\sum_{k\ \text{奇数}\gt N}k^{-2}\approx\frac4{\pi^2N}$ で 0 に行くのに、最大値は跳びの脇で約 1.179 まで行き過ぎ、跳びの幅 2 に対する比 $\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\sin t}{t}dt-\frac12=0.08949\cdots$ は $N$ によらず残ります。これが Gibbs 現象で、Wilbraham（1848）が最初に調べ、Gibbs の 1899 年の手紙で広く知られ、Bôcher（1906）が名を付けたとされます 既知。

計算$S_N$ の最大（$x=\pi/(N+1)$ の値）は $N=1,9,999$ で 1.27324・1.18233・1.17898（極限 $\frac2\pi\operatorname{Si}(\pi)$）、二乗平均の誤差は 0.18943・0.04040・0.000405 です（Parseval の式と数値積分で一致。$N=999$ の 0.0004052846 は 10 桁まで一致）。二乗平均では収束し、一様には収束しない。「収束」には強さの違う意味があります。部分和を平均した Fejér 平均 $\sigma_N=\frac1{N+1}(S_0+S_1+\cdots+S_N)$ は正の核でならしたものなので行き過ぎが起きません（$|\sigma_N|\le1$）既知。「ならしてから極限を取る」は §04 の近似の基本の手です。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（級数の部分和をその場で足す。読み出しは $N=1,3,5,9,19,49,99,199$ で上の計算と 5 桁一致）。

周期の無い関数では周波数が連続に並び、和が積分に替わります。この本の約束は次の通りです。測度を $d^dk/(2\pi)^d$ とする点は 1-09 の (10) と揃えてあります。

級数と同じ規則が成り立ちます 既知。長さが保たれ（Plancherel）、微分が掛け算に、畳み込み $(f*g)(x)=\int f(y)g(x-y)\,d^dy$ が積になります。

すると $\widehat{-\Delta f}=|k|^2\hat f$ で、定数係数の微分方程式は周波数ごとの割り算になります。$m\gt0$ なら分母は 0 にならず、解が一つ決まります。

例：幅 $\sigma$ のガウスの変換は幅 $1/\sigma$ のガウスです（2-05 の不確定性関係）。$e^{-m|x|}$ の変換は $\frac{2m}{k^2+m^2}$ で、$x=0$ の角が $1/k^2$ の遅い減り方に出ます（§07 の一次元の伝播関数）。

点の値を持たない対象を、なめらかな関数と組にした値で定義します。組む相手をテスト関数と呼び、何回でも微分できて有界な集合の外で 0 になる関数とします（全体を $\mathcal D$。例：$|x|\lt1$ で $e^{-1/(1-|x|^2)}$、外で 0）。

超関数とは、テスト関数 $\phi$ に数 $\langle T,\phi\rangle$ を対応させる線形で連続な規則です（連続とは、台（関数が 0 でない点の集まりの閉包）が一つの有界集合に収まり、すべての導関数が一様に 0 に近づく列 $\phi_n$ で $\langle T,\phi_n\rangle\to0$ となること）既知。題の「試して測る」は比喩で、正確には、点の値の代わりにこの規則 $\phi\mapsto\langle T,\phi\rangle$ そのものを対象とみなす、という意味です。英語は distribution で、章の題の「分布」はその直訳です（確率の「分布」とは別の言葉）。超関数の考えは Sobolev（1936）に始まり、Schwartz が体系にしたとされます 既知。

例：(a) 有界な集合の上で積分できる関数 $f$ は $\langle f,\phi\rangle=\int f\phi\,d^dx$ で超関数になります。(b) $\langle\delta,\phi\rangle=\phi(0)$ の $\delta$ は、どの関数の積分でも書けません。微分は部分積分を定義に格上げして決めます。

右辺はいつでも意味を持つので、どの超関数も何回でも微分できます。階段関数 $H$（$x\gt0$ で 1、$x\lt0$ で 0）なら $\langle H',\phi\rangle=-\int_0^\infty\phi'\,dx=\phi(0)$、つまり $H'=\delta$ です。

近似：$\rho\ge0$ をなめらかで $\int\rho=1$ の関数、$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ とすると $\langle\rho_\varepsilon,\phi\rangle\to\phi(0)$、つまり $\rho_\varepsilon\to\delta$ です。$\sin nx$ は点ごとには収束しませんが、部分積分で $\frac1n$ が出るので超関数としては 0 に収束します。

変換には $\mathcal D$ より広い相手を使います。何回でも微分でき、関数も導関数も $|x|$ のどの冪より速く減る関数の全体 $\mathcal S$（Schwartz 空間）で、変換は $\mathcal S$ を $\mathcal S$ の上へ一対一に写します 既知。$\mathcal S$ の上の連続な線形の規則（緩増加超関数）の変換は、$\int\hat f\phi=\int f\hat\phi$ に合わせて定めます。

例：$\langle\hat\delta,\phi\rangle=\hat\phi(0)=\int\phi\,d^dx$ なので $\hat\delta=1$。一点に集中したものは、すべての周波数を同じ重みで含みます（白色雑音の「白色」の由来）。

逆に定数 1 の変換は $(2\pi)^d\delta$ で、どこでも同じ大きさのものは周波数 0 だけを含みます。(5) の規則もそのまま延びて $\widehat{\partial_jT}=ik_j\hat T$ となります 既知。§07 で伝播関数を $\hat G=1/(|k|^2+m^2)$ と書けるのはこのためです。

なめらかさは係数や $\hat f$ の減り方に出ます（(3)(5)）。これを数で測る物差しを二つ置きます。一つ目は周波数に重みを付けた長さで、これが有限な対象の全体を Sobolev 空間 $H^s$ と呼びます。$s$ が大きいほどなめらかなものしか入らず、$s$ が負ほど荒いものまで入ります。

二つ目は拡大縮小での振る舞いです。超関数の $T(\lambda\,\cdot)$ は、変数変換の式を定義に格上げして $\langle T(\lambda\,\cdot),\phi\rangle=\lambda^{-d}\langle T,\phi(\cdot/\lambda)\rangle$ で決めます。

「物差し」は比喩で、正確には (9a) の $s$ と (9b) の $\alpha$ という二つの数のことです。$\hat\delta=1$ なので $\|\delta\|_{H^s}$ が有限なのは $s\lt-d/2$ のときだけです。尺度の指数は $\delta$ が $-d$、$|x|^{-a}$ が $-a$ です。

確率的な対象 $T$ では、$T(\lambda\,\cdot)$ と $\lambda^\alpha T$ が同じ確率分布を持つとき、指数を $\alpha$ とします。白色雑音 $\xi$（$E[\xi(f)\xi(g)]=\int fg\,d^dx$、1-09 §07 の $\mathbb R^d$ 版）では、$\xi(\lambda\,\cdot)$ をテスト関数 $\phi,\psi$ と組にした値の共分散が $\lambda^{-2d}\int\phi(x/\lambda)\psi(x/\lambda)\,d^dx=\lambda^{-d}\int\phi\psi\,d^dx$ で、平均 0 のガウスは共分散で決まるので、$\xi(\lambda\,\cdot)$ は $\lambda^{-d/2}\xi$ と同じ確率分布を持ちます。指数は $-d/2$ です。質量の無い自由場（$m=0$、$d\ge3$）は共分散が $G(\lambda x)=\lambda^{2-d}G(x)$（§07 の近い側の式が $m=0$ では厳密）なので、指数は $1-d/2$ です。$d=2$ では $G$ が対数なので、定数を除いて同じことが成り立ちます 既知。時間も含む時空の白色雑音を、時間を $\lambda^2$ 倍・空間を $\lambda$ 倍する放物型の尺度で測ると、指数は $-(d+2)/2$ です（Hairer の講義の演習 2.3）既知。この指数が §10 で積の可否を決めます。

(6) の右辺を $\delta$ にした方程式の解が伝播関数です。「δ に応える」は比喩で、正確には (10) の最初の式を超関数の等式として満たすことで、このような解を基本解と呼びます。$\frac1{|k|^2+m^2}=\int_0^\infty e^{-t(|k|^2+m^2)}dt$ とガウスの変換から、熱方程式 $\partial_tu=\Delta u$ の基本解 $(4\pi t)^{-d/2}e^{-|x|^2/4t}$（熱核）を時間で積分した表示も出ます。

$G$ は自由場の共分散で、物理では質量 $m$ の粒子のユークリッドの伝播関数です（4-02・4-03）。$r=|x|$ として $d=1$ では $e^{-mr}/2m$、$d=3$ では $e^{-mr}/4\pi r$、一般には変形ベッセル関数 $K_\nu(s)=\int_0^\infty e^{-s\cosh t}\cosh\nu t\,dt$ を使って $(2\pi)^{-d/2}(m/r)^{d/2-1}K_{d/2-1}(mr)$ です 既知。大事なのは二つの顔です。

近い顔では $m$ が消え、$d\ge2$ で発散します。遠い顔では $e^{-mr}$ で減ります。「顔」は比喩で、正確には $r\to0$ で $G(r)$ と (11) の左の式との比が 1 に近づき、$r\to\infty$ で右の式との比が 1 に近づく、という意味です。相関が $e^{-r/\xi}$ で減るときの $\xi$ を相関長と呼ぶと（2-08）$\xi=1/m$ で、「相関の減る速さ＝質量」は質量ギャップの定義（4-11）の自由場の版です。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（$K_\nu$ の積分表示を台形則で。表 1 と 7 桁一致）。

計算表 1　$m=1$ の $G$ と (11) の式との比（$d=2$ の近い側は定数 $\ln2-\gamma$ を足す）。ベッセル関数の式と (10) の数値積分が 15 桁一致。

格子の伝播関数

間隔 $a$ の格子の伝播関数は、1-09 の (10) の被積分関数に $e^{ik\cdot x}$ を掛けて積分したものです（1-09 の (10) はその $x=0$ の値）。$d=3$、$m=1$ の距離 1 では、連続の $G$ との差が $a=1/8$ で 0.9%、$a=1/16$ で 0.2% と $a^2$ に比例して縮みます 計算（5-01）。

原点で発散しても、近くで積分できれば §04 の (a) で超関数です。冪なら次元との比べっこです（$|S^{d-1}|$ は単位球面の面積）。

$G\sim r^{2-d}$ は $a=d-2\lt d$ なので、どの次元でも超関数です。その $n$ 乗は $a=n(d-2)$ で、積分できるのは $n(d-2)\lt d$、二乗なら $d\lt4$、三乗なら $d\lt3$ のときです。

伝播関数の冪は場の積から出ます。ガウスの四次の平均は対の組み方の和です（1-08 §06）。無限大の $E[\varphi^2]=G(0)$ を引いた ${:}\varphi^2{:}=\varphi^2-E[\varphi^2]$（Wick 積）では、$x$ の $\varphi$ と $y$ の $\varphi$ を結ぶ組だけが残ります（$x$ どうし・$y$ どうしの組は引いた分で消える）既知。

${:}\varphi^2{:}(f)$ の分散が有限なのは $G^2$ が積分できる $d\lt4$ のとき、三乗なら $6G^3$ で $d\lt3$ のときです。四で切り替わる他の計算と並べた図は 1-12 §10 の次元のつまみです。

計算表 2　$I_n(\varepsilon)=\int_{\varepsilon\lt|x|\lt1}G(x)^n\,d^dx$（$m=1$、動径の数値積分）。行を押すと図 3 に描きます。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（表 2 と同じ動径の数値積分を $\log_{10}(1/\varepsilon)=1,1.25,\dots,6$ で行い、4 桁で埋め込んだ表）。

$d=4,n=2$ は $\varepsilon$ を 1/10 にするごとに 0.02916 伸び、(11)(12) から出る $\ln10/8\pi^2$ に合います 計算。四次元は $G^2$ がちょうど積分できなくなる境目で、四次元で結合定数が次元を持たないこと（4-04）も同じ尺度の勘定です 既知（1-12）。

なめらかな $g$ と超関数 $T$ の積は $\langle gT,\phi\rangle=\langle T,g\phi\rangle$ で決まります。超関数どうしを「ならして掛け、ならしを外す」と三つのことが起きます。(i) 発散する：$\rho_\varepsilon^2$ の面積は $\varepsilon^{-d}\int\rho^2$ で無限大に行きます。(ii) ならし方が残る：$H$ を $\rho$ で、$\delta$ を $\psi$（どちらも確率密度）でならし、$x=\varepsilon X$ と置き換えます。

極限は $c\,\delta$ ですが、$c$ はならし方で決まります。$\rho$ を標準ガウス、$\psi$ を中心 $s$ のガウスにすると $c=\Phi(s/\sqrt2)$（$\Phi$ は標準正規分布の分布関数）で、0 と 1 の間のどの値にもなります。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（閉じた式。下の数値積分と照合）。

計算数値積分では、$H$ と $\delta$ の積の面積は $s=-2,0,1,2$ で 0.078650・0.500000・0.760250・0.921350（$\varepsilon=0.1$ と 0.01 で同じ、$\Phi(s/\sqrt2)$ と 6 桁一致）、$\delta$ どうしは $\varepsilon=0.1$ で 1.038・2.821・2.197・1.038、$\varepsilon=0.01$ でその 10 倍です。

(iii) 結合法則が壊れる。主値 $\langle\mathrm{p.v.}\tfrac1x,\phi\rangle=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{|x|\gt\varepsilon}\frac{\phi(x)}{x}dx$ について、「なめらかな関数×超関数」の積として $x\cdot\delta=0$、$x\cdot\mathrm{p.v.}\frac1x=1$ です。

関数の積の性質をすべて保つ積は、超関数全体には入れられません。正確には、超関数（少なくとも連続関数と $\delta$）を含む結合的な積で、連続関数どうしでは普通の積に一致し、微分がライプニッツ則 $(fg)'=f'g+fg'$ を満たすものは作れない、とされます（Schwartz 1954）既知。

積が作れる条件は、§06 の尺度の指数で書けます。$C^\alpha$ を次の空間とします。$0\lt\alpha\lt1$ なら $\alpha$ 次のヘルダー連続な関数（$|f(x)-f(y)|\le C|x-y|^\alpha$、$|x-y|\le1$）の全体、$\alpha\gt1$ なら導関数に同じ形の条件を課したもの、$\alpha\lt0$ なら §06 の尺度の指数が局所的に一様に $\alpha$ 以上の超関数の全体です。$\alpha$ が大きいほどなめらかです。荒さの合計が正なら積が作れます（Hairer 2014 の命題 4.14）既知。

「連続に定まる」とは、なめらかな関数どうしの積を極限で延ばしたものが、近づけ方に依らず一つに決まることです。同じ命題は、$\alpha$ が自然数でなければ $\alpha+\beta\gt0$ が必要でもあることを述べています。

例：階段関数 $H$ は有界ですが跳びがあり、荒さの指数は 0 です（$H(\lambda x)=H(x)$。$\alpha\lt0$ のどの $C^\alpha$ にも入る）。一次元の $\delta$ は $-1$ です。合計は正にならないので (16) は使えず、§09 の (ii) の現象と矛盾しません。自由場は $1-d/2$ より少し荒い（$\alpha\lt1-d/2$ の $C^\alpha$ に入る）ので、二乗が (16) の決まった積として作れるのは $d\lt2$ だけです 既知。§08 で $d=2,3$ の ${:}\varphi^2{:}(f)$ の分散が有限になったのは、§09 の (i) の発散を先に引いた（繰り込んだ）からで、ならし方に依らない形になることは確率の打ち消し（ガウスの対の数え上げ）に依っています。

ヤン–ミルズの接続 $A$ は短い距離で自由場と同じ荒さを持つと期待され 物理、場の強さ $F=dA+A\wedge A$（1-07）の $A\wedge A$ は二次元以上で (16) を満たさない積です。二・三次元ではこの種の積の解析が確率量子化で進められ（6-09）、四次元では連続の理論そのものがまだ構成されていません（6-10）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-12 寄り道：四次元でだけ起きること。伝播関数の使い道は 4-03、超関数に値を取る場の公理は 4-09。

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