2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 10 部 質量ギャップの厳密な証明へ — この端末の検討主張しないこと

主張しないこと — 示していないこと、強く読まないこと、偽とも言わないこと

数学の文章で「主張しない」と書くとき、意味は三つに分かれます。この章の項目は、どれか一つ以上に当たります。

一つ目は示していないです。問題の本体（$\mathbb R^4$ 上の量子ヤン–ミルズ理論の存在と質量ギャップ）について、この端末の記録は何も示していません。二つ目は強く読まないです。示したことには必ず条件や仮定が付いています。条件を外した形で読むと、示していない文になります。三つ目は偽とも言わないです。ある方法で届かなかったことは、その方法の性質であって、届かなかった命題が偽だという主張ではありません。

三つ目は論理の形で書くと区別がはっきりします。「$P$ を主張する」を $\vdash P$ と書くと、

です。左は「$P$ の証明を持っていない」、右は「$P$ の否定の証明を持っている」です。この章の「主張しない」はいつも左の意味です。比喩で言えば、地図に道が描いていないことは、そこに道が無いことの証拠ではありません。正確には、(1) の左は書き手の手持ちについての文で、$P$ の真偽については何も言いません。

例。仮定 H（10-03 §02）は、左の意味で主張しない文の典型です。記録は H を証明しておらず、H が偽だとも言っていません。

表 1　この章の項目の分け方

問題文（0-03 §01）が求めるのは、コンパクトな単純ゲージ群ごとに $\mathbb R^4$ 上の量子ヤン–ミルズ理論が存在し、公理（4-09・4-10）を満たし、質量ギャップ $\Delta\gt0$ を持つことです。

ここで $H$ はハミルトニアンです。この端末の記録は (2) のどちらの部分についても何も示していません。記録の冒頭も「本稿に本体への主張は無い」と書き、各節の末尾に「質量ギャップの存在について本節は何も主張していない」と繰り返します。

このサイトの公開済みの論文（論文の一覧、一リンク積分と Bakry–Émery）も同じです。論文は 'we make no claim about the continuum limit' と書き、質量ギャップ自体は機械検査した定理ではありません。対数 Sobolev 不等式から質量ギャップに至る段は紙の上の、しかも概略（'only in outline'）です 紙。扱うのは強結合の側の一様な評価で、連続極限とは反対の側にあります（10-01 §04）。

コンパクト性だけの存在は解に数えられない

問題文の脚注 2 は、弱い存在（コンパクト性）だけによる極限を解から除きます。ただし極限の性質を他の手法で確立するなら別だ、という書き方です 既知（0-03 §08）。記録が「部分列の極限の存在は（緊密性があれば）ただで出る」と書く箇所は、この水準の話です。そこから一意性も質量ギャップも出ません。

問題文の本文は、四次元のトーラス $T^4$ の上の構成について、完成してはいないが既知の方法の延長で届く見込みが大きい（'while the construction is not complete, there is ample indication that known methods could be extended to construct Yang–Mills theory on T4'）とした上で、体積に一様な質量ギャップを示すには新しい考えが要ると書きます 既知（6-10）。紫外側も赤外側も、この端末の記録より先にある既知の結果で閉じてはいません。

「二次元と三次元ではできている」の正確な形

一般向けの説明では「低次元ではできている」と言われますが、正確には二つに分かれます 既知。二次元のヤン–ミルズは構成されていますが、伝播する自由度を持たない、ほぼ位相的な特殊な理論です（6-02）。三次元で言えるのは、格子の紫外安定性（Bałaban 1985）と、ヤン–ミルズ–ヒッグスの確率量子化の局所時間の解（Chandra–Chevyrev–Hairer–Shen）までです。測度の構成は、Chevyrev の 2022 年の総説の時点で $T^3$ の上でも未解決とされ、探した範囲でその後の構成は見当たりません（6-06）。その総説は 'a construction of the 3D YM measure and a description of its gauge-invariant observables, even on T3, remains open' と書きます。記録の二次元・三次元との対照（取りこぼしと指数の比較）は、低次元の構成を再現したものではありません。

記録の中心の文は「仮定 H の下で、(S4)（物理単位の質量ギャップ）は、取りこぼしの総和が有限であることと同値」です（10-01 §07）。この文を「質量ギャップは取りこぼしの総和可能性に帰着した」と読むのは強すぎます。下に何層もの仮定があるからです。

まず H 自身が仮定です。この本で仮定 H と呼ぶのは冪の水準の文 $\ln C_P/\ln\xi\to2$（動的指数のずれ $\eta_{\rm dyn}=0$）です（10-03 §02）。記録は、H を含む量 $a^2C_P$ を三つの比に割りました。$a=1/\xi_{\rm RG}$（記帳の長さで決めた格子間隔。第 5 部の格子間隔とは別の定義で、鎖 (iii) の下で定数倍で揃う。10-03 §02）、Langevin の隙間を $\lambda_1=1/C_P$、最も軽い状態の質量を $m$、弦張力を $\sigma$ として（どれも格子単位）、

右の三つの比が上下から押さえられれば $a^2C_P\asymp1$ が出ます。これは 10-01 の (S5) で、$\text{H}_{\rm band}$（$C_P$ と $\xi^2$ が定数倍の幅で揃うという帯の読み）と鎖 (ii)(iii) を合わせた文です（10-03 の (3)）。H（冪の水準の $\ln C_P/\ln\xi\to2$）はそのうち第三の因子 $m^2C_P=C_P/\xi^2$、つまり鎖 (i) の冪の水準の部分です。三つの鎖は (i) van Hove（$\lambda_1\asymp m^2$）、(ii) 一尺度（$m^2\asymp\sigma$）、(iii) 閉じ込めが記帳の尺度で（$\sigma\asymp a^2$）です。逆向きは一般には出ません。記録は「(i)(ii)(iii) のどれも一本も証明していない」と書きます（10-03 §05）。

次に、同値そのものが H のほかに四つの前提の上にあります。冪の形 $C_P\asymp\xi^{2-\eta_{\rm dyn}}$・$\xi_{\rm phys}\propto a^\theta$（$\eta_{\rm dyn}$ は導出した量ではなく表記）、$\eta_{\rm dyn}\ge0$、段の誤差が加法的で有界という模型、取りこぼし $\delta(b)$ が一ループ核の模型で測った量であること、の四つです。その上で、

の最後の同値だけが機械検査されています LeandrainExp_eq_zero_iff（仮定：$0\le\eta_{\rm dyn}\le2$、$\theta\ge0$。実数の代数）。(4) の代数が言うのは (S5) の冪について $p=0\iff\eta_{\rm dyn}=0\wedge\theta=0$ であることで、(S5) から (S4) へ渡るには $\text{H}_{\rm band}$ が要ります（10-01 §03）。代数は正しく、問われるのはその代数を物理の量に当てはめる段です。

図の論理（鎖の強さは最も弱い環で決まる）：H（冪の水準の $\ln C_P/\ln\xi\to2$）は鎖 (i) から出る。(S5) の冪の水準は H と鎖 (ii)(iii) から出る。(4) の同値を (S5) の冪に当てはめるには四つの前提が要る。(S5) から (S4) へは $\text{H}_{\rm band}$ と「Σδ<∞」が要る。問題文の主張は (S4) と残りの段から出る。十の前提のうち、この端末の記録で証明されたものはありません。図は数値を含みません。

Poincaré 定数は上限です（1-10 §07）。測度 $\mu$ と Dirichlet 形 $\mathcal E$（勾配の二乗の期待値）について、

です。どの $f$ を代入しても $C_P$ の下界が一つ得られます。だから H を上下に割ると、性格が違う二つの文になります（10-03 §04・§07）。

H↓ は「ある $f$」の文で、うまい $f$ を一つ見つければ示せます。H↑ は「すべての $f$」の文で、どれだけ多くの $f$ を試しても示せません。

記録は H↓ のために三つの族を試しました。局所的なゲージ不変な観測量の平行移動、素のリンク角、ゲージ固定した長波長のモードです（10-05。後の二つの数値はコンパクト $U(1)$ で測ったもの、§08）。三つとも $\xi^2$ に届きませんでした。ここから言えるのは「この三つの族からは H↓ が出ない」ことだけです。記録は「H↓ は開いたまま」「$C_P\asymp\xi^2$ が偽だとは言っていない」と明記しています。

H↑ には手がありません。尺度の一次元の鎖で有界性を出した議論は、射影の仮定 (P) の下だけのもので、(P) は H より弱くありません（10-06 §07）。周期境界の箱で H↑ が破れるという読みも条件つきで、二段を重ねています 物理。出発点は、HMC 型の力学（ハミルトン方程式で配位を大きく動かすモンテカルロ、5-07）で、位相電荷の二乗の自己相関に見られた有効な動的指数 'about 5'（動的指数は 2-10）です。一段目はこれを、HMC と Langevin が同じ普遍類に属する（大きな尺度で同じ遅さの振る舞いをする）という予想で Langevin に移す段です。この予想は、開いた境界条件の $SU(3)$ の数値で自己相関が $a^{-2}$ でスケールすることから支持が報告されたものです。二段目は、可逆な Langevin では自己相関時間が $C_P$ 以下（$\tau_{\rm int}\le C_P$）という既知の不等式で $C_P$ に移す段です。

寄り道：量化子の否定

記録は H↓ を「物理単位の質量が有限」と読み替えました。ここで「非自明性」の語を使うと誤解を招きます。問題文やヤン–ミルズの文脈で「非自明」とは、理論がガウス的でない（粒子が相互作用する）ことです（0-03 §05）。H↓ が避けるのは $m_{\rm phys}=\infty$ という潰れ方だけで、相互作用の有無は問いません。

確かめるには、相互作用の無い理論で H を計算すれば足ります。格子 $\mathbb Z^d$ の質量 $m$ の自由場（ガウス測度、共分散 $G=(-\Delta_{\rm lat}+m^2)^{-1}$）では、ここでの $C_P$ を経路（格子全体の場）の測度の $C_P$（10-03 §01 の (β)）とし、場 $\phi$ で測った Dirichlet 形を使うと、Poincaré 定数は共分散の最大固有値（運動量 0 のモード）に等しくなります（多変数の場合は 1-10 §09）。相関長は転送行列（一つの時刻から次の時刻へ移す作用素、5-03）の隙間で決まります 既知。

比は $\xi\to\infty$ で 1 に近づくので、H の上下の両方が成り立ちます。格子間隔を $a=1/\xi$ と選べば $m_{\rm phys}=1/(a\xi)=1$ で、物理の質量は有限で正です。

計算表 2　格子の自由場の $C_P$ と $\xi^2$（場の正規化）

表の $C_P$ は $C_P=\xi^2-1/12+O(\xi^{-2})$ で、$\xi$ が大きいと差は速く 0 に近づきます（$\xi=1$ で 0.004、$\xi=8$ で $6.5\times10^{-5}$。$1/(4\sinh^2(u/2))=1/u^2-1/12+O(u^2)$）。二次元の周期格子 $64^2$ で共分散を運動量空間で対角化した最大固有値とも、$\xi=2,4,8$ で 6 桁一致しました 計算。この表は、§04 の三つの族が届かなかった $\xi^2$ に、自由場では $C_P$ がちょうど届くことも示しています。箱の和の試験関数がそこに届く様子は 10-03 §04 の図 1 にあります。

読み替えると、H も H↓ も相互作用の無い理論で成り立つ文です。H から非自明性（記録の段 (S8)、走る結合）は出ません。H↓ の読み替えは「物理単位の質量が有限」と書き、「非自明性」とは呼びません。正規化を場でなくリンク角で取ると、自由近似でも下側が対数で破れます。その話は 10-03 §06 にあります。

Lean の札は「この言明が機械検査で閉じた」という意味で、言明が物理の量について正しいという意味ではありません。定理は「仮定 ⟹ 結論」の形をしていて、仮定に測定値・模型・物理の期待が入ることがあります。要約で定理名だけが残り、仮定が落ちると、示していない文になります（Lean の案内）。

表 3 は、第 10 部の本文に出る定理名のうち、仮定を落とすと強く読まれやすいものの抜粋です。全体の対応表は 10-07 にあります。

表 3　定理名・仮定・強く読まないこと

機械検査と紙の区別も同じ注意が要ります。一リンク積分の曲率の評価 $\operatorname{Hess}\Phi\ge-27\beta^2$ は Lean ですが、「27 は 21 より先には改善できない」は陽な配位の厳密な算術で、Lean の定理ではありません 紙。また、完全な族が $d\le4$ で在るという組合せの定理（LeanperfectK_one_iff、仮定は $2\le d$。10-02 §02）の「4」は格子 $\mathbb Z^d$ の性質で、物理の四次元時空とは関係のない一致です（§09）。

記録が自分の言葉で導いたものの多くは、既知の結果と同じでした。それらは第 3〜7 部に既知として置き、この部では成果として並べません（執筆の規約）。再導出が無駄だったという意味ではなく、記録の道具が既知の結果を正しく再現する、という検算の意味を持ちます。

例として、一段の記帳の傾き $\kappa$ は、一ループの係数 $b_0=11N/(48\pi^2)$ を $\beta=2N/g^2$ で書き直した数です 既知。

「5 桁一致」は、記録の多段の数値の傾き 0.371521 と一ループの値 0.371511 が相対 $2.8\times10^{-5}$ で合うことです。一ループの模型の中の一致で、非摂動の確認ではありません（10-02 §07）。

表 4　記録の再導出と、対応する既知の結果

二重み Hardy 不等式（Muckenhoupt）・変分の有効質量の上界性・素のリンク角の商が 1 であること（Haar 測度のゲージ不変性）など、残りの対応は 10-12 §09 にあります。この表に無い事項でも、記録は［既知］の印を「既知かもしれない」の意味で使っています。探した範囲で先行の記録が見当たらないものも、見当たらないこと以上は主張しません。Bałaban、Magnen–Rivasseau–Sénéor、Osterwalder–Seiler の原論文の本文は、この端末では読んでいません（出典表で「書誌のみ」）。

計算の札が付いた数は、この端末で確かめた範囲の数です。記録の方針は「冪の値は主張せず、向きだけを主張する」で、たとえば有効な峰の数の冪や $L^{-3.5}$ のような指数は、外に出す主張にしていません。

計算の数で最も起きやすい誤りは、要約の段で条件が落ちることです。たとえばゲージ固定の方向（方向 13、10-05 §03）の数値、コピー（同じゲージ固定の条件を満たす別の配位。Gribov のコピー）の間の散らばり 3.25 倍・β=0.9 の「閉じ込め相」・指数 $L^{-3.5}$ は、すべて四次元のコンパクト $U(1)$ で測ったものです。β=0.9 は $U(1)$ の相転移 $\beta_c\approx1.01$ の下の閉じ込め相で、非可換ヤン–ミルズの閉じ込めではありません。記録自身が「$SU(N)$ では測っていない（コンパクト $U(1)$ のコピーは格子の人工物）」と書いています 計算。正しい要約は「この方向は $U(1)$ の試験で閉じた」です。

図 2 は、四つの文が一次資料や記録の本文から一行の要約に上がるまでに、どの条件を失うかを並べます。段 0 は記録の本文、段 3 は条件を落としきった一行で、段 3 の文はどれも示していない文です。

JavaScript が無効のときは表 5 で読めます。図は数値を含みません（条件の有無の表）。

表 5　段 0 の文と段 3 の一行（段 3 は誤り、または示していない文）

ほかに、この節に属する「主張しない」を並べます。変分の有効質量の上界 $\le0.501(71)$（β=2.6・$12^4$）と一次資料の $am(0^{++})=0.514(8)$（β=2.60・$24^4$）が近いことは同定ではなく（箱が違う：$12^4$ と $24^4$。同じ箱で比べられるのは β=2.40 だけ）、変分の上界性は既知です（10-05 §06）。比の破れが $O(a^2)$ だという判断は六点の当てはめで、$O(a)$ の形でも当てはめの良さは同程度です（7-12 §04）計算。$\delta(2)=0$ となる核（$\alpha_0=1.4400$）は計算で、証明ではありません。

物理の側の言葉を借りた箇所は、借りた先の水準を引き継ぎます。ホログラフィーは予想です。Maldacena は本文で 'We are led to the conjecture' と書きます 物理（7-08 §01）。記録が作った対応表は辞書であって、証明された同値ではありません。極限 $N\to\infty$・$g^2N\to\infty$ は問題文の外にあり（7-10）、ホログラフィーは H を証明していません。ホログラフィーの「余分な一次元」は、その予想の中の動径座標（尺度）で、問題文の四次元とは別物です。

「等価原理に当たる一文」は、記録が置いた類比です。鎖 (ii)「閉じ込めの管には弦張力以外の長さの径数が無い」を、一般相対論の「第二種の質量が無い」と同じ型と見る対応表で、物理的な同一性ではありません（7-12 §03）。リーマン幾何学と格子ゲージ理論を並べた対応表も同じく類比です。

四という数は二つの意味で現れます。完全な族の $d\le4$ は数え上げの上限（符号理論のハミング限界と同じ型の勘定）から出る格子 $\mathbb Z^d$ の組合せの数で（Lean、§06）、$d=4$ が周辺的であることは結合の次元勘定から出ます。どちらも格子かユークリッド空間 $\mathbb R^d$ の次元の話で、物理の時空とは Osterwalder–Schrader の再構成（4-10 §05）を通してしかつながりません。前者の一致は偶然として扱います（四次元の記事）。

構成を主張する投稿を判定しない

四次元の構成を主張する投稿には、多段の各段に残る小さな欠陥を足し上げられるという型の議論があります。この端末の記録はその正否を判定せず、Clay の意味の解とも扱いません（10-04 §07）。

似た言葉は同じ内容を意味しません。定理までの距離は 10-11、記録の数と既存の数の突き合わせは 10-12 にあります。

この章が言えている範囲

出典と再現

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