2026-10-01 · chapter ヤン–ミルズと質量ギャップ第 1 部 数学の準備線形代数

ベクトル空間と線形写像 — 行列を「ベクトルを動かす規則」として読み、固有値・指数関数・エルミートとユニタリを揃える

ヤン–ミルズ理論では、数が入るはずの場所に行列が入ります。役は三つです。

ゲージ変換に使う行列の大きさを $N$（$N \times N$ 行列）とすると、電磁気学は $N = 1$ の場合で、ゲージ変換は絶対値 1 の数 $e^{i\alpha}$ を掛けるだけです（2-03）。数の積は順序に依らないので、物質の無いとき、ゲージ場自身の方程式（Maxwell 方程式）は線形のままです。$N \ge 2$ では順序が効き、物質が無くてもゲージ場どうしの積が方程式に現れます（3-02）。この章はその土台を有限次元で揃えます。

ベクトル空間とは、足し算とスカラー倍ができ、結合・交換・分配の法則など数と同じ規則が成り立つ集まりです。スカラーを $\mathbb{R}$ から取れば実ベクトル空間、$\mathbb{C}$ から取れば複素ベクトル空間です。どのベクトルも $v = c_1v_1 + \cdots + c_nv_n$ とただ一通りに書けるとき $v_1, \dots, v_n$ を基底、本数 $n$ を次元と呼びます。例は $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{C}^n$、$n \times n$ 行列全体（次元 $n^2$）、区間上の連続関数全体（無限次元、1-10）です。

この本で何度も戻る例は、トレース 0 の 2×2 エルミート行列の全体です。エルミートとは $H^\dagger = H$ となることで、$\dagger$ は転置して各成分の複素共役を取る操作です（§05・§06）。和も実数倍もエルミートですが、$i$ 倍すると $(iH)^\dagger = -iH$ となって外れます。つまり成分は複素数なのに実ベクトル空間で、次元は 3 です。

右辺の三つは 1-02 §05・1-04 で Pauli 行列 $\sigma_3, \sigma_1, \sigma_2$ として再登場し、$\mathrm{SU}(2)$ のゲージ場の値はこの空間（の $i$ 倍）に入ります。

線形写像は和とスカラー倍を保つ写像です（$L(u+v) = Lu + Lv$、$L(cv) = c\,Lv$）。基底を決めると行列で書け、$j$ 列目が基底 $e_j$ の行き先です。合成は行列の積 $(AB)v = A(Bv)$ で、数と違い、順序を入れ替えると一般に変わります。

差 $[A, B] = AB - BA$ を交換子と呼びます。この例では $[A, B] = \operatorname{diag}(1, -1)$ で、§02 の基底の一つ目です。交換子がリー環の骨格になる話は 1-03 で扱います。

行列式 $\det A$ は面積（体積）の符号つきの倍率、トレース $\operatorname{tr} A$ は対角成分の和です。$\det(AB) = \det A \det B$、$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ から、どちらも基底の取り替え $A \mapsto P^{-1}AP$ で変わらず、写像そのものの性質です。例：回転 $R(\theta) = \left(\begin{smallmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{smallmatrix}\right)$ は $\det R = 1$、$\operatorname{tr} R = 2\cos\theta$。

写像はたいていのベクトルの向きを変えますが、向きを変えずに伸び縮みだけさせる方向をもつことがあります。その方向のベクトルが固有ベクトル、伸び率が固有値です。

2×2 では $\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A = 0$。実の 2×2 行列では、判別式 $D = (\operatorname{tr} A)^2 - 4\det A$ が正なら実の固有方向が二本、負なら無く（固有値は複素数の組）、0 なら重根です（重根のとき固有方向は一本だけか、スカラー行列 $\lambda I$ ならすべての方向）。$n$ 本の独立な固有ベクトルを並べた $P$ で、$P^{-1}AP$ は対角行列になります（対角化）。

$v$ と $Av$ が同じ直線に乗ることは、二つを並べた行列式 $\det[v, Av]$ が 0 になることと同じです。図1 で確かめられます。

計算この図の数値はこの端末で計算しました（表は NumPy の固有値計算）。行列は行を「;」で区切っています。下の表の行を押すと、その行列が図に入ります。

対称行列では固有方向が直交します（理由は §06）。ずれは固有方向が一本しかなく、対角化できません。回転には実の固有方向が無く、$\det[v, Av]$ はどの向きでも $\sin 60^\circ \approx 0.866$ です。

寄り道：回転に実の固有ベクトルが無いこと

長さと角度を測るのが内積です。複素数の成分でそのまま $\sum_k u_kv_k$ とすると、$v = (1, i)$ の「長さの二乗」が $1 + i^2 = 0$ になってしまいます。そこで片方に複素共役を付けます（$\overline{z}\,z = |z|^2 \ge 0$）。

この本は物理の流儀で、第 2 引数について線形とします（$\langle cu, v\rangle = \overline{c}\langle u, v\rangle$）。数学の教科書には逆の流儀も多く（例：Axler の定義 6.2）、結論は変わりません。$\langle u, v\rangle = 0$ なら直交、互いに直交する長さ 1 のベクトルの基底が正規直交基底です。

$A$ の随伴 $A^\dagger$ は、転置して成分の複素共役を取った行列です（数学では $A^*$）。内積の中で $A$ を反対側へ移します。

$H^\dagger = H$ の行列がエルミート行列で、実の成分なら対称行列です。量子力学では測定値（エネルギーなど）がエルミートな作用素で表されます（2-05）。鍵は二つの性質です。

固有値は実数：$Hv = \lambda v$、$\lVert v\rVert = 1$ なら $\lambda = \langle v, Hv\rangle = \langle Hv, v\rangle = \overline{\lambda}$。異なる固有値の固有ベクトルは直交：$Hu = \mu u$ なら $\lambda\langle u, v\rangle = \langle u, Hv\rangle = \langle Hu, v\rangle = \overline{\mu}\langle u, v\rangle = \mu\langle u, v\rangle$（$\mu$ は実数）で、$\mu \ne \lambda$ だから $\langle u, v\rangle = 0$。

押し進めたのがスペクトル定理です 既知。エルミート行列には固有ベクトルからなる正規直交基底があり、固有値 $\lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n$ は実数です。基底を並べたユニタリ行列 $U$（§07）で $U^\dagger HU$ は実対角になります。

最小の固有値と次の固有値の差を隙間（ギャップ）と呼びます。量子力学では最小の固有値 $E_0$ が基底状態のエネルギー、$E_1 - E_0$ が最初の励起に要るエネルギーです。有限次元では隙間はいつも計算できます。問題は無限次元で、極限のあとも隙間が正のまま残るかどうかです（1-10・4-11）。

例：§02 の行列は $\operatorname{tr} H = 0$、$\det H = -(x^2 + y^2 + z^2)$ なので固有値は $\pm\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$、隙間が 0 になるのは $x = y = z = 0$ だけです。図2 は $y = c$、$z = 0$ の場合です。

計算曲線はその場で $\pm\sqrt{x^2 + c^2}$ から描き、表は NumPy のエルミート用固有値計算の値です（両者は表示の桁で一致）。$x$ を $-x$ にすると重みが入れ替わります。表の行を押すと、その $x$ と $c = 0.3$ が図に入ります。

$c = 0$ では直線 $\pm x$ が交わります。$c \ne 0$ なら曲線は近づくだけで、最小の隙間 $2c$ が残り、そこを過ぎると下の固有ベクトルの中身が入れ替わります。

寄り道：準位は避け合う

内積を保つ行列がユニタリ行列です。長さと角度を変えない変換で、実の成分なら直交行列（回転と鏡映）です。

左から右は $\langle Uu, Uv\rangle = \langle u, U^\dagger Uv\rangle$ から出ます。列が正規直交基底をなすことと同じで、$U^{-1} = U^\dagger$。固有値は $|\lambda| = 1$、$|\det U| = 1$ です。積と逆行列もユニタリなので、全体 $\mathrm{U}(n)$ と、$\det U = 1$ の部分 $\mathrm{SU}(n)$ は「群」になります（1-02）。

例：$\mathrm{U}(1) = \{e^{i\alpha}\}$ は単位円です。$|a|^2 + |b|^2 = 1$ の複素数で作った $\left(\begin{smallmatrix} a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} \end{smallmatrix}\right)$ は $\mathrm{SU}(2)$ の元です（すべてがこの形であることは 1-02 §05）。

ユニタリ行列も対角化できます。根拠は複素のスペクトル定理です 既知。$AA^\dagger = A^\dagger A$ を満たす行列（正規行列）は、ユニタリ行列で対角化できます。ユニタリ行列は $U^\dagger U = UU^\dagger = I$ なのでこれに当たり（エルミート行列も当たります）、$U = V\operatorname{diag}(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n})V^\dagger$（$V$ はユニタリ、$\theta_k$ は実数）と書けます。

ゲージ理論でユニタリ行列が出るのは、物質の場が $\mathbb{C}^N$ に値をとり、長さの二乗 $\psi^\dagger\psi$ が作用に現れるからです。ゲージ変換はそれを保つように選ばれます（3-01）。格子の上では、ゲージ場そのものが各辺のユニタリ行列です（5-01）。

指数関数の級数は掛け算と足し算しか使わないので、行列にもそのまま使えます。

収束。作用素ノルム $\lVert X\rVert = \max_{\lVert v\rVert = 1}\lVert Xv\rVert$（長さ 1 のベクトルを最大何倍にするか）は $\lVert XY\rVert \le \lVert X\rVert\lVert Y\rVert$ を満たすので、各項は $\lVert X\rVert^k/k!$ 以下、和は $e^{\lVert X\rVert}$ 以下です。$k = N$ までの部分和 $S_N(X)$ の誤差は次のとおりです。

性質。(a) $\frac{d}{dt}e^{tX} = Xe^{tX}$。よって $x(t) = e^{tX}x_0$ は $x' = Xx$、$x(0) = x_0$ の解です。(b) $e^{(s+t)X} = e^{sX}e^{tX}$、特に $(e^X)^{-1} = e^{-X}$。(c) $Pe^XP^{-1} = e^{PXP^{-1}}$。(d) $\det e^X = e^{\operatorname{tr} X}$。対角化できれば (c) から $\prod_k e^{\lambda_k} = e^{\sum_k \lambda_k}$、一般には上三角化で示せます 既知。どの複素正方行列 $X$ も、ユニタリ行列 $V$ で $V^\dagger XV$ を上三角にでき（Schur の定理）、上三角行列の指数関数は対角成分が $e^{\lambda_k}$ の上三角行列です。

注意。$XY = YX$ なら $e^{X+Y} = e^Xe^Y$ ですが、一般には違います。§03 の $A, B$ は $A^2 = B^2 = 0$ なので $e^A = I + A$、$e^B = I + B$ で、

計算三つとも違います。差を交換子で書く公式は 1-03 の主題です。(d) は乱数の 4×4 複素行列 1000 個で相対誤差 $5.7\times 10^{-14}$ 以内でした。

例：$J = \left(\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ は $J^2 = -I$ なので、偶数次と奇数次に分けて $e^{tJ} = \cos t\,I + \sin t\,J = R(t)$、つまり回転です。一般に $X^2 = -\omega^2 I$ なら $e^{tX} = \cos(\omega t)\,I + \frac{\sin(\omega t)}{\omega}X$ です。

計算図の部分和はその場で級数を足しています。表は倍精度の部分和と回転行列 $e^{tJ}$（$a = 0$）との差を作用素ノルムで測った値です。表の数値のセルを押すと、その $N$ と $t$（$a = 0$）が図に入ります。

$t$ が大きいと項 $t^k/k!$ がいったん膨らむので、要る $N$ は $t$ とともに増えます。$t = \pi$、$N = 16$ では、上の誤差の上界 $1.8\times 10^{-5}$ に対し実際の誤差は $7.8\times 10^{-7}$ です。

寄り道：級数をそのまま足すと失敗する例

エルミート行列とユニタリ行列は指数関数でつながります。比喩で言えば、エルミート行列は「回し方」、ユニタリ行列は「回した結果」です。正確には次のとおりです。

項ごとに随伴を取ると $(e^{iH})^\dagger = e^{-iH}$。$iH$ と $-iH$ は交換するので §08 (b) から $U^\dagger U = e^0 = I$、行列式は (d) から出ます。$\operatorname{tr} H = 0$ なら $\det U = 1$ で $U \in \mathrm{SU}(n)$ です。逆に、どのユニタリ行列も §07 の対角化から $H = V\operatorname{diag}(\theta_k)V^\dagger$ と置いて $e^{iH}$ と書けます 既知（$\theta_k$ は $2\pi$ の整数倍だけ選べるので、$H$ は一つに決まりません）。

例：$H = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ は $H^2 = I$ なので $e^{i\theta H} = \cos\theta\,I + i\sin\theta\,H$、行列式は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。計算乱数の 3×3 エルミート行列 1000 個で $\lVert U^\dagger U - I\rVert \le 1.6\times 10^{-15}$、トレース 0 なら $|\det U - 1| \le 1.1\times 10^{-15}$ でした。

この対応は二か所で使われます。量子力学の時間発展 $e^{-itH/\hbar}$ はユニタリで、確率の合計を保ちます（2-05）。ゲージ理論では、§02 の空間を $N \times N$ に広げたもの（トレース 0 の $N \times N$ エルミート行列、の $i$ 倍）を指数関数で送った先が $\mathrm{SU}(N)$ で、前者がゲージ場の値、後者がゲージ変換の空間です（1-03・1-04）。実の成分に限れば、「反対称行列 $K$ の $e^K$ は回転」という形になります。

ゲージ場の値に「$i$ 倍」を付けるのは幾何の書き方（1-07）です。物理の書き方はゲージ場をエルミートな行列のまま書き、二つは $A_{\text{幾何}}=-iA_{\text{物理}}$ で移り合います（結合定数を分けて書く章での形は 3-02 の表）。

この章が言えている範囲

出典と再現

次に読む章：1-02 群とは何か — ユニタリ行列の集まりが「群」をなすことから始め、$\mathrm{SO}(3)$ と $\mathrm{SU}(2)$ の関係へ進みます。

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